ΘΕΜΑ A 5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 5 Διάρκεια: 3 ώρες A Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του,στο οποίο όμως η f είναι συνεχής Να αποδείξετε ότι Αν f () στο (, ) και f () στο (, ), τότε το f ( ) είναι τοπικό μέγιστο της f μονάδες A Να δώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού 5 μονάδες Α3Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α) Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει ολικό ελάχιστο, τότε θα παρουσιάζει τουλάχιστον ένα τοπικό ελάχιστο β) Αν f,για κάθε,,, τότε lim f γ) Αν το σύνολο τιμών της f είναι το διάστημα,, τότε η f δεν έχει ελάχιστο ούτε μέγιστο δ) Η συνάρτηση f είναι - στο πεδίο ορισμού της, αν και μόνο αν για κάθε, A f με είναι f f ε) Για να είναι το σημείο, αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του f σημείο καμπής της f C, αρκεί η ΘΕΜΑ Β Δίνεται μιγαδικός αριθμός z για τον οποίο ισχύει ότι z z z z z f να μονάδες Β Να αποδείξετε ότι ο z είναι πραγματικός 7 μονάδες w u zi, να δείξετε ότι το τρίγωνο Β Αν Α,Β οι εικόνες των μιγαδικών u,w με ΟΑΒ είναι ορθογώνιο Β3 Έστω 4 w z i i Να αποδείξετε ότι η εικόνα του w βρίσκεται σε κύκλο με κέντρο, K και ακτίνα ii Αν w, w δύο από τους μιγαδικούς w του προηγούμενου ερωτήματος, να w 3i αποδείξετε ότι: 5 w 3i 5
ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : και ο μιγαδικός z( ) f ( ) f ( t) dt i, Αν η εικόνα του μιγαδικού z κινείται στην ευθεία y Γ Να δείξετε ότι f ( ) e Γ Να δείξετε ότι z ( ) Γ3 Να υπολογίσετε το Im( z ( )) d Γ4 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4 3 μία ρίζα στο διάστημα, ΘΕΜΑ Δ Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο (, ) με t, f dt dt e t g( ) f ( t) dt Δ Να δείξετε ότι 3 f ( ) e, f e έχει τουλάχιστον ΔΝα βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f Δ3 Να βρείτε το lim ( e ) g( ) Δ4 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( t) dt f ( t) dt είναι αδύνατη 7 μονάδες Μονάδες 6 Μονάδες 4 Μονάδες 5 Μονάδες 5 Δ5 Να βρείτε το g ( )d Κάθε Επιτυχία στις Πανελλαδικές εξετάσεις! Μονάδες 5 Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς
Λύσεις
ΘΕΜΑ Α Α Επειδή f( ) για κάθε (, ) και η f είναι συνεχής στο, η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ] Έτσι έχουμε f ( ) f ( ), για κάθε (, ] () Επειδή f( ) για κάθε (, ) και η f είναι συνεχής στο, η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ) Έτσι έχουμε: f ( ) f ( ), για κάθε [, ) () Επομένως, λόγω των () και (), ισχύει: f ( ) f ( ), για κάθε (,, ) που σημαίνει ότι το f( ) είναι μέγιστο της f στο (, ) και άρα τοπικό μέγιστο αυτής Α Αν μια συνάρτηση f είναι: y συνεχής στο κλειστό διάστημα [, ] και M(ξ,f(ξ)) Β(β,f(β)) παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (, ) τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, (, ) τέτοιο, ώστε: A(a,f(a)) f( ) f( ) f ( ) Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει Ο a ξ ξ β ένα, τουλάχιστον, (, ) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο M(, f( )) να είναι παράλληλη της ευθείας ΑΒ Α3 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ B Β z z z z z z z z z z z z z z z z z z 4 z 4 z z z z z z z z z z z 4 z z zz z z z z z z zz z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z 4 z z z z z z zz z z z z, που είναι αδύνατο ή z z z OA u, Β OB w u zi u z και AB u w u u zi z u Επειδή OA AB OB το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο στο Α
Β3 i α τρόπος 4 4z 4 w i Αν w yi, τότε: z i z z 4z 4 4, y z z z y 4z και zy z Τότε y 4y y 4, δηλαδή 4 y y η εικόνα του w βρίσκεται σε κύκλο με κέντρο K, και ακτίνα β τρόπος 4 iw 4 w wz iw 4 wz iw 4 z z i w iw 4 iw 4 z iww 4w iww 4w i w 4w w w w i y yi y 4y y 4 ii Επειδή η εικόνα του w βρίσκεται σε κύκλο με κέντρο K, και ακτίνα, ισχύει ότι wi Είναι w i 3 w3 i w i 3 w3 i 5, άρα w 3 i 5 και w 3 i 5, οπότε και 5 w 3i w 3i w 3i 5 w 3i w 3 i 5 5 5 w 3 i 5 w 3 i 5 ΘΕΜΑ Γ Γ Αφού η εικόνα του μιγαδικού z κινείται στην ευθεία y οι συντεταγμένες του την επαληθεύουν οπότε ( e ) f ( ) f ( t) dt e f ( ) e f ( t) dt e e f t dt e e f t dt e c c ( ) ( ), () ( e ) () () c και e f ( t) dt e f ( t) dt e H συνάρτηση f είναι συνεχής οπότε η συνάρτηση συνάρτηση Παραγωγίζουμε τη σχέση () και έχουμε f ( ) e f () t dt είναι παραγωγίσιμη
Γ H ελάχιστη τιμή του z είναι : z() min ( OA) d( O, ) Άρα z ( ) ος τρόπος Επειδή f ( ) e, είναι z e e i Είναι ( ) t t f t dt e dt e e, οπότε z e e e e e e e, g e e, Έστω Η g είναι παραγωγίσιμη στο με g 4e e e e e e g e e e e e e ln ln ln Για κάθε ln g g >,ln και Γ3 για κάθε ln είναι είναι g g ln, e e [ Η g έχει ελάχιστο το ln ln ln ln e e e g ln e e e e, άρα 4 g z για κάθε t t Im( z) e dt e e Im( z( )) d ( ) e d e d d e d e d e e d e e 4 e e e e e 4 3 Γ4 f e e 4 3 4 3 4 3 e 3 3 ή - - - -
Έστω h 3,, Είναι h, h δηλαδή hh και επειδή η h είναι συνεχής, υπάρχει, τέτοιο ώστε 3 3 h 4 3 ΘΕΜΑ Δ f t dt dt e () t Θέτουμε u t οπότε du dt Για : u και για : u () f ( u) du dt e () t H συνάρτηση f είναι συνεχής στο (, ) οπότε η συνάρτηση Δ g( ) f ( u) du είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση με παράγωγο g( ) f ( ) H συνάρτηση t είναι συνεχής σαν ρητή συνάρτηση οπότε η συνάρτηση dt είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση με παράγωγο dt t H συνάρτηση e t e e είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο () f ( ) e f ( ) e e 3 f ( ) e Δ 3 lim f ( ) lim e ( ) e Άρα έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την 3 lim f ( ) lim e αφού Άρα έχει οριζόντια ασύμπτωτη την y 3 lim lim Δ3 g( ) g( ) f ( ) f 5 lim lim lim DLH e e e g( ) g( ) 5 5 lim lim ( ) e ( e ) Δ4 Για την συνάρτηση g ισχύουν οι υποθέσεις του ΘΜΤ στα [, ],[, ], με Οπότε υπάρχουν (, ) τέτοιο ώστε
g g() g() ( ) g() ( ) ( ) g f t dt f t dt f ( t ) dt και (, ) τέτοιο ώστε g g( ) g() ( ) g( ) ( ) ( ) ( ) g f t dt f t dt f t dt g( ) f ( ) οπότε η 3 e e g g είναι και γνησίως φθίνουσα, Είναι g f ( t) dt f ( t) dt g( ) g( ) άτοπο Δ5 g ( )d g ( )d g ( ) g ( )d g () f ( )d 3 f ( )d f ( )d ( ) f ( )d ( ) e d ( )( 3) ( )( 3) ( ) e d d ( ) e d 3 d ( ) e d 3ln e ( ) e d 3 3 3ln 3 3ln e 3ln e 3ln e