5. OPTIMEERIMISÜLESNDED MJNDUSES nts asma Sissejuhatus Majanduses, aga ka mitmete igapäevaste probleemide lahendamisel on piiratud võimalusi arvestades vaja leida võimalikult kasulik toimimisviis. Ettevõtete, firmade peamiseks eesmärgiks on kasumi maksimeerimine. Samuti on oluline ka kulu minimeerimine ning tulu maksimeerimine. Riigi jaoks on oluliseks küsimuseks, kuidas kehtestada selline maksusüsteem, mis tagaks majanduse võimalikult kiire ja tasakaalustatud arengu. Kõigi nimetatud probleemide kohta ütleme, et tegemist on optimeerimisülesannetega. Eelnevalt oleme osas 4 mõningaid optimeerimisülesandeid juba käsitlenud. Nüüd kirjeldame optimeerimisülesannete lahendamist põhjalikumalt, kasutades selleks funktsiooni tuletisega seotud maksimeerimise ja minimeerimise tarvilikke ja piisavaid tingimusi. Üldjuhul on optimeerimisülesannete lahendamine väga keerukas probleem. Meie uurime järgnevalt vaid kõige lihtsamaid diferentsiaalarvutusel põhinevaid optimeerimisülesannete lahendamise meetodeid. 5.1. Funktsiooni maksimumi ja miinimumi leidmine tuletise abil Tuletame meelde funktsiooni maksimumi ja miinimumi tarvilikud ja piisavad tunnused, mida edaspidi majandusliku sisuga optimeerimisülesannete lahendamisel kasutame. Eelnevalt aga käsitleme nende tunnuste kirjeldamiseks vajalikke mõisteid. Piirkonna (domain) all mõistame edaspidi mistahes lõiku, (lõplikku või lõpmatut) poollõiku või (lõplikku või lõpmatut) vahemikku. Punkti a ümbruseks (neighborhood of a) nimetame mistahes vahemikku ( a ε ; a+ ε ), kus ε on suvaline positiivne arv. Funktsioonil y = f(x) on lokaalne maksimum (local maximum) kohal a, kui leidub punkti a ümbrus, nii et iga punktist a erineva x korral sellest ümbrusest f (x) < f (a). Funktsioonil y = f(x) on lokaalne miinimum kohal a, kui leidub punkti a ümbrus, nii et iga punktist a erineva x korral sellest ümbrusest f (x) > f (a). Funktsiooni lokaalset maksimumi ja lokaalset miinimumi nimetatakse funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks.
Üldiselt võib funktsioonil võib olla lõpmata palju lokaalseid maksimume ja miinimume. Joonisel 5.1.1 toodud funktsiooni korral: lokaalsed maksimumid on y(b) ja y(d), punktid b ja d on lokaalsed maksimumkohad; lokaalsed miinimumid on y(a) ja y(c), punktid a ja c on lokaalsed miinimumkohad. Joonis 5.1.1. Lokaalsed maksimumid ja miinimumid. Punkti, mille korral funktsiooni esimene tuletis on null, nimetatakse statsionaarseks punktiks. Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus: Oletame, et funktsioonil f(x) on igas oma määramispiirkonna punktis olemas tuletis. Siis selle funktsiooni lokaalne ekstreemum saab paikneda vaid statsionaarses punktis, st ainult sellises punktis a, kus f (a) = 0. (5.1.1) 5-
Edaspidi vaatlemegi ainult funktsioone, mis omavad oma määramispiirkonna igas punktis tuletist. Osutub, et tingimuse (5.1.1) täidetus pole lokaalse ekstreemumi olemasoluks piisav. Tõepoolest, joonisel 5.1. toodud kolm statsionaarset punkti on erineva iseloomuga: joonisel 5.1. a) on funktsioonil statsionaarses punktis lokaalne miinimum; joonisel 5.1. b) on funktsioonil statsionaarses punktis lokaalne maksimum; joonisel 5.1. c) pole funktsioonil statsionaarses punktis ei miinimumi ega maksimumi. Joonis 5.1.. Kolm statsionaarset punkti: (a) lokaalne miinimum, (b) lokaalne maksimum, (c) lokaalne ekstreemum puudub. Nagu näha joonistelt 5.1. (a) ning 5.1. (b), muudab funktsiooni esimene tuletis lokaalse miinimumi ja maksimumi korral märki; kui lokaalset ekstreemumi ei eksisteeri, siis statsionaarse punkti ümbruses tuletise märk ei muutu (joonis 5.1. (c)). Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus: Statsionaarses punktis on funktsioonil lokaalne ekstreemum parajasti siis, kui funktsiooni kasvamine asendub selles punktis kahanemisega või vastupidi. Esimesel juhul on seal lokaalne maksimum, teisel juhul lokaalne miinimum. Kui f (x) > 0 vahemikus (a, b), siis funktsioon f(x) on selles vahemikus kasvav. Kui f (x) < 0 vahemikus (a, b), siis funktsioon f(x) on selles vahemikus kahanev. Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus teise tuletise abil: Statsionaarses punktis a, kus f (a) = 0, on funktsioonil f(x) lokaalne miinimum, kui f (a) > 0, 5-3
lokaalne maksimum, kui f (a) < 0. Funktsiooni globaalne maksimum piirkonnas (global maximum in domain) on funktsiooni suurim väärtus selles piirkonnas. Funktsiooni globaalne miinimum piirkonnas (global minimum in domain) on funktsiooni vähim väärtus selles piirkonnas. Globaalset maksimumi ja globaalset miinimumi nimetatakse funktsiooni globaalseteks ekstreemumiteks. Esitame järgnevalt piirkonnas X globaalse ekstreemumi piisava tunnuse, mis ei kuulu küll keskkooli matemaatika programmi, kuid on paljudes optimeerimisülesannetes globaalse ekstreemumi piisavuse kontrolliks hästi kasutatav. Globaalse ekstreemumi piisav tingimus teise tuletise abil: Olgu a X funktsiooni f(x) statsionaarne punkt, st f (a) = 0. Siis on funktsioonil f(x) punktis a piirkonna X globaalne miinimum, kui piirkonna X igas punktis x kehtib võrratus f (x) > 0; globaalne maksimum, kui piirkonna X igas punktis x kehtib võrratus f (x) < 0. Tingimuse f (x) > 0 täidetus igas piirkonna X punktis x tagab, et funktsiooni f(x) graafik on nõgus piirkonnas X, st funktsiooni graafiku igas punktis kulgeb puutuja allpool antud joont (vt joonis 5.1.3). 5.1.3. Nõgus piirkond. 5-4
Tingimuse f (x) < 0 täidetus igas piirkonna X punktis x tagab, et funktsiooni f(x) graafik on kumer piirkonnas X, st funktsiooni graafiku igas punktis kulgeb puutuja allpool antud joont (vt joonis 5.1.4). Joonis 5.1.4. Kumer piirkond. Näide 5.1.1. Leida funktsiooni y x x = + 6 9 ekstreemumid. Lahendus. ntud funktsiooni tuletis y = 4x+ 6= 0, kui x= 1,5. Piisavust saab kontrollida kahel viisil: Esimene võimalus. y = 4< 0 iga x korral, mistõttu globaalse ekstreemumi piisava tunnuse tõttu x= 1,5 on globaalne (muidugi siis ka lokaalne) maksimumpunkt. Teine võimalus. ntud funktsiooni puhul on tegemist allapoole avaneva parabooliga. Järelikult antud funktsioon omab maksimumpunkti, mis saab ekstreemumi tarviliku tunnuse põhjal olla ainult selle funktsiooni statsionaarses punktis x= 1,5. # Funktsiooni globaalne ekstreemum lõigus või vahemiku ( a, b) antud lõigu otspunktides. statsionaarses punktis [ a, b] võib asuda: Joonisel 5.1.5 on lõigus [0; 3] on globaalne miinimum punktis, lõigus [3; 5] aga punktis 3. 5-5
Joonis 5.1.5. Lõigus [0; 3] on globaalne miinimum punktis, lõigus [3; 5] on globaalne miinimum punktis 3. Joonisel 5.1.6 on lõigus [0;45] on globaalne maksimum punktis 40 ja globaalne miinimum punktis 10; lõigus [45;10] on globaalne maksimum punktis 10 ja globaalne miinimum punktis 90. Joonis 5.1.6. Lõigus [0; 45] on globaalne maksimum punktis 40 ja globaalne miinimum punktis 10. Lõigus [45; 10] on globaalne maksimum punktis 10 ja globaalne miinimum punktis 90. Vaata ka interaktiivset demot "Funktsiooni globaalsed ekstreemumid". Seal saad muuta funktsiooni graafiku kuju ning näha, kuidas globaalse maksimumi ja globaalse miinimumi asukoht on erinevate lõikude korral erinev. 5-6
Funktsiooni f(x) globaalsete ekstreemumite leidmine lõigus a, b : 1. Leia funktsiooni statsionaarsed punktid vahemikus ( a, b ).. Leia funktsiooni f(x) väärtused vahemiku ( a, b ) statsionaarsetes punktides ja lõigu otspunktides a ja b. [ ] 3. Leitud väärtustest suurim on globaalne maksimum ja vähim globaalne miinimum [ a, b] Näide 5.1.. Leida funktsiooni 3 x f ( x) = 4x + 7x 9 ekstreemumid lõigus[ 0;4 ]. 3 Lahendus. 1. Leiame antud funktsiooni statsionaarsed punktid vahemikus (0; 4) : = 8 + 7= 0 = 1 ja x = 7, y x x x1 Vahemikku (0; 4) kuulub vaid punkt x 1= 1.. 17 f (1) =, f (0) = 9 ja 3 71 f (4) =. 3 3. 17 glob max f ( x) = f (1) =, 3 71 glob min f ( x) = f (4) =. # 3 KIRJNDUST LUGEMISEKS asma,., Kallam, H., Levin,., Majandusmatemaatika alused. Tallinn, Kirjastus Ilo, 005. Lk 101-110. Kaasa,. Majandusteaduse matemaatilised alused. Tartu Ülikooli Kirjastus, 00. Lk 84-99. 5.. Kulu, tulu ja kasumi optimeerimine Esitame rea näiteid kulu minimeerimise ning tulu ja kasumi maksimeerimise kohta. Seejuures kasutatakse nendes näidetes Majanduses kasutatavate funktsioonide osas sissetoodud tähistusi ja mõisteid. Näide 5..1. Kulufunktsioon on tootmismaht on 50 ühikut. Leida C( ) = 0,3 + 50+ 3000, kus on tootmismaht. Praegune 5-7
a) kas tootmismahtu suurendades keskmine kulu suureneb või väheneb; kas on kasulik tootmismahtu tõsta; b) minimaalset keskmist kulu kindlustav tootmismaht. Lahendus. Keskmine kulu avaldub kujul ( ) 0,3 + 50 + 3000 3000 C C( ) = = = 0,3+ 50+ ning selle tuletis kujul 3000 C ( ) = 0,3. a) Kuna 3000 C (50) = 0, 3 = 0,9< 0, 50 siis punktis = 50 on keskmise kulu funktsioon kahanev, mistõttu tootmismahu väike suurendamine põhjustab keskmise kulu kahanemise. Järelikult on otstarbekas tootmismahtu tõsta. b) Leiame funktsiooni C( ) statsionaarse punkti, st punkti, kus C ( ) = 0 : 3000 0,3 = 0 = 10 000 = 100. Saadud võrrandi lahenditest pakub meile huvi vaid positiivne lahend = 100. Kuna 6000 C ( ) = > 0 3 iga positiivse korral, siis = 100 on funktsiooni C() globaalne miinimumpunkt. Näide 5... Nõudlusfunktsioon on p( ) = 300 5, kus p on hind eurodes ja nõutav kogus. Praegu müüakse toodet hinnaga 40 eurot. Leida a) kas hinda suurendades kogutulu kasvab või kahaneb; b) maksimaalset tulu kindlustav tootmismaht. Lahendus. Leiame tulufunktsiooni: 5-8
R( ) = p( ) = (300 5 ) = 300 5 ning selle tuletise R ( ) = 300 10. a) Leiame hinnale 40 eurot vastava nõutava koguse: 40= 300 5 = 5. Kuna R (5) = 300 10 5= 0< 0, siis tootmismahu suurendamisel tulu kahaneb ehk teisiti öeldes, tootmismahu vähendamisel tulu kasvab. Nõudlusfunktsioonist näeme, et tootmismahu vähenemisel hind suureneb. Järelikult hinna suurenedes tulu kasvab. b) Leiame tulufunktsiooni statsionaarse punkti: 300 10= 0 = 30. Kuna R ( ) = 10< 0 iga korral, siis tootmismaht = 30 tagab tulu globaalse maksimumi. # Näide 5..3. Olgu tulufunktsioon esitatud seosega R( ) = 00 ning kogukulu seosega C 3 ( ) = 50 + 80 + 100, kus tähistab tootmismahtu. Leida maksimaalset kasumit kindlustav tootmismaht ja maksimaalne kasum. Lahendus. rvutame esiteks kasumi π () = R () C () = + + 3 49 10 100 ning leiame tuletised π = + + ( ) 6 98 10 ja π = + ( ) 1 98. Võrrandil + + = 6 98 10 0 on vaid üks positiivne lahend 17,5. Kuna π ( 17,5) < 0, siis 17,5 on funktsiooni π () lokaalne maksimumkoht. Tegelikult on see ka kasumifunktsiooni globaalne maksimumkoht, sest mittenegatiivsete väärtuste korral < 17,5 puhul kasumifunktsioon kasvab, > 17,5 puhul aga kahaneb (sest teisi lokaalseid ekstreemume > 0 korral peale 17,5 ei ole). Maksimaalseks kasumiks on π max (17,5) = 687,5. # Näide 5..4. Firma kulufunktsioon ja nõudlusfunktsioon on vastavalt 5-9
C= + 0,06 ja = 400 5 p. Leida kasumifunktsioon, kasumit maksimeeriv väärtus ja maksimaalne kasum ning sellele vastav hind a) juhul, kui firma suudab antud toodet toota maksimaalselt 100 ühikut; b) juhul, kui firma suudab antud toodet toota maksimaalselt 50 ühikut. Lahendus. Kuna nõudlusfunktsioonist saame, et 400 p=, siis kasumifunktsioon on 5 400 π ( ) = (+ 0,06 ) ehk π = 14 0,1, 5 kus juhul a) 0,100 ja juhul b) 0, 50. Leiame funktsiooni π ( ) statsionaarsed punktid: Näeme, et juhul a) 70 tooteühiku tootmine on võimalik, juhul b) aga mitte. Tõestame, et tagab funktsiooni ( ) globaalse maksimumi piirkonnas 0,. Selleks saab kasutada kahte moodust: 1. Kuna π ''( ) = 0, < 0 iga väärtuse korral, siis = 70 on funktsiooni π ( ) globaalne maksimum. [ ] [ ]. Kuna = 70 on kasumifunktsiooni ainus lokaalne ekstreemum, siis < 70 korral on π ( ) kasvav ja > 70 korral kahanev. Järelikult on = 70 ka globaalseks maksimumiks. a) Kuna firma tootmisvõimsus lubab toota maksimaalselt 100 ühikut, siis on kasumit maksimeerivaks väärtuseks 70, maksimaalseks kasumiks on ja sellele vastavaks hinnaks π ' = 14 0, ; 14 0, = 0 = 70. π [ ) π (70) = 14 70 0,1 70 = 490 rahaühikut = 70 400 70 p= = 13, 5 rahaühikut. b) Kuna firma tootmisvõimsus lubab antud juhul toota maksimaalselt 50 ühikut, siis 70 ühiku tootmine pole firmale jõukohane. rvestades, et π (0) = 0 ja π (50) = 450, näeme, 5-10
et maksimaalse kasumi tagab tootmismaht 50 ühikut. Maksimaalne kasum on siis 450 rahaühikut ning vastav hind rahaühikut. Näide 5..5. Katseliselt on kindlaks tehtud, et auto bensiini kulu y (liitrites) 100 km tee läbimisel sõltub selle liikumise kiirusest v (km/h) ning avaldub kujul hind on 1,3 eurot liitri eest. a) Kui suur on ökonoomseim auto liikumiskiirus, mille puhul bensiini kulu on minimaalne? Bensiini b) Kuidas muutub (optimaalsega võrreldes) bensiini kulu 500 km pikkuse teelõigu läbimisel, kui sama auto kiirus oleks 130 km/h? Kui suur on lisakulu optimaalsega võrreldes? Lahendus. a) Leiame funktsiooni y= 0,007v 1, 4v+ 77 statsionaarse punkti: y = 0,014 v 1, 4; 0,014 v 1, 4= 0 v= 100. Kuna y = 0, 014> 0 iga v korral, siis v= 100 on antud funktsiooni globaalne miinimumkoht; seega ökonoomseim auto liikumise kiirus on 100 km/h. b) 130 kilomeetrilise tunnikiiruse korral kulub bensiini 100 km kohta 100 kilomeetrilise tunnikiirusega sõites on bensiini kulu liitrit. liitrit. Seega liikudes kiirusega 130 km/h kulub 100 kilomeetrilisel teelõigul bensiini 6,3 liitrit rohkem. 500 kilomeetrilisel teelõigul kulub 5 6,3= 31,5 liitrit rohkem, mis rahalises väljenduses teeb 31,5 1,3= 40,95 eurot lisakulu. # Näide 5..6. Firmal on 100 autot ja neid renditakse välja nädala kaupa. Kogemus näitab, et kui nädalarent on 100 eurot, renditakse välja kõik autod. Summa tõstmisel 5 euro võrra väheneb autode rentijate arv ühe võrra. Milline nädalarent annab firmale suurima kogutulu? Mitu autot siis välja renditakse? Lahendus. 400 50 p= = 14 5 y= v v+ 0, 007 1, 4 77. Optimeerida tuleb kogutulu R ja argumendiks võetakse hind p. Kogutulu funktsioon on R( p) = p, y (130) = 0, 007 130 1, 4 130+ 77= 13,3 y (100) = 0, 007 100 1, 4 100+ 77= 7 kus on väljarenditud autode arv. Esitame väljarenditavate autode nõudlusfunktsiooni 100 korral kujul ( p) = a p+ b, 5-11
kus a ja b on seni veel mitte teada olevad konstandid. Teame, et kui rendihind on 100 eurot, siis nõutav kogus on 100 autot, kui hind tõuseb 105 euroni, siis kogus langeb 99 autoni. Järelikult saame a ja b määramiseks võrrandisüsteemi 100= a 100+ b 99= a 105 + b. Et antud süsteemi lahendiks on a= 0,, b= 10, siis otsitavaks nõudlusfunktsiooniks on ning tulufunktsiooniks on seega R( p) = ( 0, p+ 10) p ehk R( p) = 0, p + 10 p. Leiame tulufunktsiooni statsionaarse punkti: Kuna ( p) = 0, p+ 10 R ( p) = 0, 4 p + 10; 0, 4 p+ 10= 0 p= 300. R ( p) = 0, 4< 0 iga p korral, siis p= 300 on tulufunktsiooni globaalne maksimumpunkt. Nõudlusfunktsioonist leiame sellisele hinnale vastava renditavate autode arvu: (300) = 0, 300+ 10= 60. Vastus: maksimaalse tulu annab firmale rendihind 300 eurot ning siis renditakse välja 60 autot. # Näide 5..7. Ettevõtte tulufunktsioon on R( ) = 40 0,01 ja kulufunktsioon C ( ) = 0,03 + 8 + 5, kus on toodetud ja müüdud kogus ning kulu ja tulu on eurodes. Kui suur peaks olema toodangu ühe ühiku pealt võetav käibemaks m, et maksustamisest riigile laekuv tulu oleks suurim? Kui suur on saadav käibemaksutulu T ja sellele vastav ettevõtte kasum? Lahendus. Kui ühe ühiku pealt võetav käibemaks on m, siis ettevõtte poolt makstav summaarne käibemaks (ehk riigile laekuv käibemaksutulu) on väljendatav argumendist m sõltuva funktsioonina T ( m) = m. Ettevõte soovib ka käibemaksuga maksustamise tingimustes oma kasumit 5-1
π = R( ) C( ) T ( ) ehk π = 0, 04 + 3 m 5 maksimeerida. Kasumifunktsiooni maksimumpunkti leiame järgmiselt: π = 0, 08+ 3 m, 3 m 0, 08+ 3 m= 0 0 =. 0,08 Kuna π = 0,08< 0 iga väärtuse korral, siis 0 on kasumifunktsiooni globaalne maksimumpunkt. Järelikult seose (5..1) põhjal 3 m 3 m m T = m = 0,08 0,08. Leiame maksustamisest laekuva tulu ehk funktsiooni T ( m) maksimumpunkti: 3 m T ( m) = ; 0,08 3 m = 0 m0 = 16; 0,08 Et T ( m) = < 0 iga m väärtuse korral, siis m 0 0,08 on funktsiooni T ( m) maksimumpunkt. Seepärast ning 3 m 3 16 0,08 0,08 0 0 = = = 00 Tmax = m0 0 = 16 00= 300 eurot; π max = 0, 04 00 + 3 00 5 300= 1595 eurot. Vastus: iga tooteühiku pealt tuleks nõuda maksu 16 eurot, siis on maksustamisest laekuv tulu 300 eurot ning ettevõtte kasum 1595 eurot. # 5-13
ÜLESNDED 5..1. Kulufunktsioon on C( ) = 0,1 + 30+ 5000, kus on tootmismaht. Praegune tootmismaht on 0 ühikut. Leida, kas tootmismahtu suurendades keskmine kulu suureneb või väheneb. Kas tootmismahtu on kasulik tõsta? 5... Nõudlusfunktsioon on p( ) = 500 10, kus p on hind eurodes ja nõutav kogus. Praegu müüakse toodet hinnaga 300 eurot. Leida, kas hinda suurendades kogutulu kasvab või kahaneb. 5..3. Kasumifunktsioon on π ( ) = 0, + 50 3000, kus on tootmismaht. Praegune tootmismaht on 00 ühikut. Kas kasumi suurendamiseks tuleks tootmismahtu tõsta või langetada? 5..4. Kontoritöö kulud käibe iga 100 euro kohta sõltuvad kontoritöötajate arvust n järgmiselt: C n n n ( ) = 3 4 + 80. Mitu töötajat peaks kontoris olema, et nende töö oleks kõige efektiivsem? 5..5.* Kulufunktsioon on C( ) = 0, + 50+ 000, kus on tootmismaht. Praegune tootmismaht on 150 ühikut. Leida a) kas tootmismahtu suurendades keskmine kulu suureneb või väheneb; b) minimaalset keskmist kulu kindlustav tootmismaht. 5..6.* Nõudlusfunktsioon on p( ) = 10 0,, kus p on hind eurodes ja nõutav kogus. Praegu müüakse toodet hinnaga 3 eurot tükk. Leida a) kas hinda suurendades kogutulu kasvab või kahaneb; b) maksimaalset tulu kindlustav tootmismaht. 5..7. Kasumifunktsioon on π ( ) = 0,1 + 70 900, kus on tootmismaht. Praegune tootmismaht on 500 ühikut. Leida a) kas toodangut suurendades kasum kasvab või kahaneb; b) maksimaalset kasumit kindlustav tootmismaht. 5..8.** Kulufunktsioon avaldub ruutfunktsioonina kujul C( ) = a + b + d, kus on tootmismaht ja a, b, d on konstandid. Iseloomustada kogukulude muutumist ja leida keskmise kulu ekstreemumkoht, kui a) a> 0; b) a< 0. 5-14
5..9. Firma kulufunktsioon on C( ) = 0,5 + 100 000, kus on tootmismaht ja toodet müüakse 600 eurot tükk. Leida mitu toodet tuleb müüa, et saada maksimaalset kasumit ja kui suur see on. 5..10. Firma müüb oma tooteid hinnaga 30 eurot tükk. Firma kogukulu avaldub valemiga C ( ) = 0,01 + + 5, kus on müüdavate toodete hulk. Leida toodete hulk, mille puhul on firmal maksimaalne kasum ja kui suur see kasum on? 5..11. Firma kulufunktsioon on C( ) = 4 + 150 000, kus on tootmismaht, ja hinna sõltuvus kogusest on p( ) = 4000 6. Leida maksimaalne kasum ja tootmismaht ning hind, mille korral saavutatakse maksimaalne kasum. 5..1. Leida monopoolse firma kasumit maksimeeriva toodangu maht, hind ja kasum, kui nõudlusfunktsioon on = 4 p ja kogukulufunktsioon C( ) = + 4+. 5..13.* Firma kogutulu on 5 + 600, kogukulu aga C( ) = 100+ 10 500. Millise tootmisplaani korral on firma kasum maksimaalne? Millises vahemikus võib tootmisplaan olla, et firma oleks kasumis? 3 5..14. Kulufunktsioon on C( ) = 0, 8 + 10+ 00, kus on tootmismaht. Milline on maksimaalne kasum, kui tooteühiku müügihind on 180 eurot? 5..15.* Kulude analüüsil tehti kindlaks, et püsikulud kuus on 50 000 eurot ja muutuvkulu ühiku kohta 000 eurot. Leida maksimaalne kasum ja tootmismaht ning hind, mille korral saavutatakse maksimaalne kasum, kui nõudlusfunktsioon on ( p) = 0,5 p+ 4000. 5..16.* Kulude analüüsil tehti kindlaks, et püsikulud kuus on 410 eurot ja muutuvkulu ühiku kohta 14 eurot. Leida maksimaalne kasum ja tootmismaht ning hind, mille korral saavutatakse maksimaalne kasum, kui nõudlusfunktsioon on ( p) =,5 p+ 315. 5..17.* Teatud tooteliigi hind sõltuvana nõutavast kogusest omab kuju p= 5 0,5. Kogukulufunktsioon on seda kindlustav toodangu maht? C 3 ( ) = 0, 03,13 + 55,85. Kui suur on maksimaalne kasum ja 5..18.** Osaühing toodab kiiktoole monopolistliku konkurentsi tingimustes. Selle toote nõudlusfunktsioon avaldub kujul p( ) = 31 480 16. kus on valmistatud toolide arv kuus. Kogukulu sõltuvust kuu tootmismahust väljendab seos 3 500 000 0 1 0, 6. + + Leida kasumit maksimeeriv hind ja toodangu maht. Milline on seejuures kasum? Firma summaarne püsikulu suurenes 10%. Kui suur on siis hinna, tootmismahu ja kasumi muutus? 5-15
5..19.* rvutite valmistamise keskmine muutuvkulu on VC( ) = 0,1 1, + 1800, kus on valmistatud arvutite hulk. Millistel väärtustel keskmine muutuvkulu kasvab, millistel kahaneb? Millisel väärtusel on keskmine muutuvkulu minimaalne? Leida see kulu. 5..0.** Firma kohta on järgmised andmed: a) tootmise püsikulu on 0 000 eurot; b) muutuvkulu on võrdeline toodetava kaubakoguse ruuduga ning võrdetegur on 5; c) nõudlusfunktsioon on lineaarne; d) kui kauba ühiku hind on 650 eurot, siis müüdav kogus on 90 tk, kui aga kauba ühiku hind on 800 eurot, siis on müüdav kogus 80 tk. Leida kulufunktsioon, nõudlusfunktsioon ja kasumifunktsioon; Leida maksimaalne kasum ja sellele vastav kauba kogus. 5..1.* Monopoolse firma kulufunktsioon on C( ) = 0,05 + 3 ning nõudlusfunktsioon = 55 5p. Leida kasumifunktsioon, kasumit maksimeeriv väärtus ja maksimaalne kasum ning sellele vastav hind juhul, a) kui firma suudab antud toodet valmistada maksimaalselt 00 ühikut; b) kui firma suudab antud toodet valmistada maksimaalselt 50 ühikut. 5...* uto liikumisel iga 100 km kohta kuluv bensiini hulk y (liitrites) on esitatav seosega y= v v+ 0, 005 0,9 50, kus v (km/h) on auto liikumise kiirus. uto sõidab kiirusega 100 km/h Tallinnast Võrru (0 km). Kas selline auto liikumise kiirus on optimaalne? Eitava vastuse korral uurida, kui suur on rahalises väljenduses juhi ülekulu, kui ühe liitri bensiini hind on 1,5 eurot? 5..3.* Prognoositakse, et teatud tõenäosusega on lähima kuu aja jooksul oodata aktsia hinna muutumist seaduspärasuse alates praegusest. p t t t t 3 ( ) = 0, 0035 + 0,18,5 + 15 järgi, kus t on päevade arv a) Mitme päeva pärast on kasulik aktsiaid osta ja mitme päeva pärast on kasulik neid müüa? b) Kui suurt tulu saadakse, kui ostmiseks sobival ajal ostetakse 1000 aktsiat, mis müümiseks sobival ajal maha müüakse. 5..4.* Prognoos näitab, et kauba pakutav kogus muutub lähima 3 kuu jooksul vastavalt 3 seosele ( t) = 0,04t 7t + 00t+ 15 000, kus t on päevade arv alates tänasest. Mitme päeva pärast on pakutav kogus saavutanud miinimumi? 5-16
5..5.* Olgu kulufunktsioon C( ) = + 0+ 300. Leida minimaalsed kulud tooteühiku kohta, kui a) tootmismaht võib-olla kuni 50 ühikut; b) tootmismaht võib olla kuni 0 ühikut. 5..6.* On teada, et firma kogukulu (eurodes) kuus avaldub valemiga C ( ) = 0, 01 + 10 + 40 000, kus on tootmismaht. Leida: a) minimaalsed kulud tooteühiku kohta, kui tootmismaht on kuni 5000 ühikut kuus; b) minimaalsed kulud tooteühiku kohta, kui tootmismaht ei saa ületada 1500 ühikut kuus. 3 5..7.* On antud firma kasumifunktsioon π ( ) = + 70 4800 6000, kus on toodete arv tuhandetes ja kasum on eurodes. Leida firma maksimaalne kasum, kui a) tootmismaht võib olla kuni 100 tuhat toodet; b) tootmismaht ei või ületada 50 tuhandet toodet. 5..8.* Nõudlusfunktsioon on kujul p( ) = 1000, kus on nõutav kogus ja p on hind 00 eurodes. Leida firma maksimaalne kogutulu ja hind selle saavutamiseks a) kui firma tootmismaht võib olla kuni 00 000 ühikut; b) kui firma tootmismaht võib olla kuni 80 000 ühikut. 5..9.** Elanike arvu muutumise prognoos järgmiseks viieks aastaks annab tulemuseks, et elanike arvu muutust kirjeldab funktsioon (tuhat elanikku), kus t on aeg aastates alates praegusest. Millal on järgmise viie aasta jooksul elanike arvu kasv a) kõige kiirem; b) kõige aeglasem? 5..30.* Tootja poolt tehtud kulutused on 5 eurot toote kohta. Turu-uuring näitas, et kui toodet müüa hinnaga p, siis ostetakse päevas kasum oleks maksimaalne? 0 p N t t t t 3 ( ) = + 9 + 48 + 50 toodet. Millise hinnaga tuleks seda toodet müüa, et 5..31. Hüvise nõudlust kirjeldab funktsioon = 160 p, kus p on hüvise hind. Millise hinna korral on tarbijate kulutused sellele hüvisele kõige suuremad? 5..3.** Videokassettide laenutajal on 400 kassetti ja ühe kasseti laenutamine maksab 0 eurot nädalas. Sellise tasu korral laenutatakse välja 00 kassetti nädalas. Kui tasu vähendatakse 10 euro võrra, tõuseb laenutuste arv 300 kassetini päevas. Kas maksimaalse tulu saamiseks oleks vaja kassette juurde muretseda? Eeldame, et kassettide nõudlus on lineaarne. 5-17
5..33.* Tootja kulude analüüs näitab, et tootes x toodet päevas, on kulud järgmised: a) tööjõu kulu päevas 1000 eurot; b) otsene materjalikulu 40 eurot tooteühiku kohta; 500 c) tellimuskulud x eurot päevas. Leida kulufunktsioon ja määrata toodete arv päevas nii, et kulud oleksid minimaalsed. 5..34.* Kiivrite tootmiseks tehtavad kulutused (tööpinkide seadistuskulud + talitluskulud) sõltuvad tööpinkide arvust n järgmiselt: korral kogukulud on minimaalsed. Leida tööpinkide arv, mille 5..35.** Ettevõtte kulude analüüs näitas, et 50 toote valmistamisel olid otsesed kulud materjalile ja energiale 350 eurot. Otseste tööjõukulude leidmiseks on teada, et tükitöötasu on 70 eurot, millele lisandub sotsiaal- ja haigekassamaks (33%). dministratiivkulud on 3000 eurot kuus ja tootmisruumide rent 800 eurot kuus. Nõudluse uurimisel selgus, et a) nõudlusfunktsioon on teatud piirides lineaarne; b) hinnaga 50 eurot müüdi 50 toodet kuus; c) hinnaga 00 eurot müüdi 1000 toodet kuus. 1 800 C( n) = 00 n+. n Leida optimaalne tootmismaht, optimaalne hind ja maksimaalne kasum. 5..36.** MP3 mängijaid tootva firma tulufunktsioon on R( ) = 65 0,0 ja kulufunktsioon C = + + ( ) 0,01 5 80, kus on toodetud ja müüdud kogus ning kulu ja tulu on eurodes. Kui suur peaks olema ühe müüdud MP3 mängija pealt võetav käibemaks m, et maksustamisest riigile laekuv tulu oleks suurim? Kui suur on riigile laekuv tulu T ja sellele vastav firma kasum? 5..37.** rvuteid tootva firma nõudlusfunktsioon on p= 1000 0, 04 ja kulufunktsioon C = + + ( ) 0, 01 800 500, kus on toodetud ja müüdud arvutite hulk ning hind p ja kulu on eurodes. Kui suur peaks olema ühe müüdud arvuti pealt võetav käibemaks m, et maksustamisest riigile laekuv tulu oleks suurim? Kui suur on riigile laekuv tulu T ja sellele vastav firma kasum? 5..38.** Raadioid tootva firma nõudlusfunktsioon on = 8000 150 p ja pakkumisfunktsioon = 50 p 000, kus on toodetud ja müüdud raadiote hulk ning hind p on eurodes. Kui suur peaks olema ühe müüdud raadio pealt võetav käibemaks m, et maksustamisest riigile laekuv tulu oleks suurim? Kui suur see tulu on? 5-18
5..39.** Tehas sai tellimuse valmistada teatud toodet koguses tükki. Ühe tööpingi jõudlus on n tk tunnis. Seadistuskulud on s eurot tööpingi kohta ja talitluskulud p eurot tunnis. a) Leida tööpinkide arv, mille korral summaarsed kulud (seadistuskulud + talitluskulud) on minimaalsed. b) Näidata, et kui kogukulu on minimaalne, võrduvad seadistuskulud talitluskuludega. 5..40.** Elektrialajaam asub jõe kaldal. Teisel kaldal 1500 m allavoolu asub tehas. Paigaldada tuleb kaabel alajaamast tehaseni. Milline oleks paigalduskulude seisukohalt parim trajektoor kaabli paigaldamiseks, kui kaabli panek maa peal maksab 0 eurot meeter ja vee all 35 eurot meeter ning jõe laius on 100 m? Kui suured on sel juhul paigalduskulud? Test asub e-õppekeskkonnas Moodle. KIRJNDUST LUGEMISEKS asma,., Kallam, H., Levin,., Majandusmatemaatika alused. Tallinn, Ilo, 005. Lk. 101-110, 146-148. Ettevõtlikkusest ettevõtluseni: gümnaasiumiõpik. Toimetajad T. Saal jt. Tallinn, S Teadlik Valik, 01. Lk. 117-118 Kaasa,. Majandusteaduse matemaatilised alused. Tartu Ülikooli Kirjastus, 00. Lk. 84-99. Majandusõpik gümnaasiumile. Koostajad ja autorid L. Kulu jt. Tallinn, Junior chievement Eesti S, 011. Lk. 15-156. 5.3. Funktsiooni tuletise majanduslik tähendus, marginaalsuurused Kõigepealt tuletame meelde, et definitsiooni kohaselt funktsiooni y = f(x) tuletis f (x) avaldub kujul Kui funktsiooniks oleks näiteks eelmises paragrahvis esinev kulufunktsioon C = C(), siis selle tuletis avalduks analoogiliselt kujul f ( x+ x) f ( x) f ( x) = lim. x 0 x C( + ) f ( ) C ( ) = lim. 0 5-19
Tuletise definitsioonist lähtuvalt võime ütelda, et kui x (või ) on piisavalt väike, siis f ( x) f ( x+ x) f ( x) x C( + ) f ( ) C ( ) (5.3.1) Järgnevalt näitame esitatud seose õigsust nii analüütiliselt näiteülesande kui ka joonise abil. Näide 5.3.1. Olgu meil antud kulufunktsioon C() =. Hindame seose (5.3.1) õigsust kahel juhul: a) kui = 1; b) kui = 100 000. Lahendus. Lahendame kõigepealt ära ülesande üldkujul. Vaatleme seose (5.3.1) vasakut poolt. ntud kulufunktsiooni korral on selleks tuletis C ()= 1. Vaatleme seose (5.3.1) paremat poolt. Selleks leiame eraldi murru lugeja: C( + ) - C() = [( + ) ( + )] ( ) = + + + = +. sendades saadud avaldise lugejasse, saame, et + (+ 1) = = + 1 a) Kui = 1, siis seose (5.3.1) vasak pool on C (1) = 1 1 = 1 ning parem pool 1 + 1 = 1 +. b) Kui Q =100 000, siis seose (1) vasak parem pool on C (100 000) = 100 000 1=199999 ja parem pool 100 000 + 1 = 199 999 +. Kui nüüd mõlemal juhul võtta piisavalt väike, siis on ilmne, et võrduse parem ja vasak pool on ligikaudselt võrdsed. Kuid ikkagi tekib küsimus: millal lugeda -le omistatavat väärtust piisavalt väikeseks? Majanduses loetakse selleks peaaegu alati väärtus 1, st suuruse ühe ühikuline muudatus. Näeme, et siis juhul a) saame ligikaudse võrduse 1 ning juhul b) ligikaudse võrduse 199999 00 000. Juhul a) on suhteline viga juhul b) aga 1 100% = 100%, 1 00 000 199 999 100% 0,0005%. 199 999 5-0
Joonis 5.3.1. Funktsiooni täpne muut ja tuletise abil leitud ligikaudne muut. On ilmne, et juhul a) ühikuline muutus ei ole piisavalt väike, juhul b) aga on. Siit nähtub ka, et võrreldes loodusteadustega (füüsika, keemia) on marginaalsuuruste rakendamisel majanduses tõsiseid probleeme. Füüsikas, keemias on olemas täpsed mõõteriistad ning suurusi on võimalik mõõta äärmiselt väikese veaga, majanduses aga mõõtmise (hindamise) viga on palju suurem. Võrduse (5.3.1) õigsust piisavalt väikese argumendi muudu korral võib esitada ka graafiliselt. Joonisel 5.3.1 on funktsiooni y(x) graafikule (sinine joon) punktis tõmmatud puutuja (roheline joon). Kui x suureneb x võrra, siis funktsiooni muutuse täpseks jälgimiseks peame liikuma mööda funktsiooni graafikut ning lõik y = f(x + x) f(x) on funktsiooni muut. Kui me aga liigume mööda puutujat, võime leida ligikaudse muudu. Kuna puutuja tõus on funktsiooni tuletis, siis puutujat mööda liikudes saame muuduks f ( x) x. On näha, et väikese x korral erinevus praktiliselt puudub, st y f ( x) x. Vaata ka interaktiivset demot "Funktsiooni täpne ja ligikaudne muut". Nagu juba mainitud, võib sageli piisavalt väikeseks nimetada ühikulist muutust, st x = 1. Siis võime eelmise seose kirjutada kujul f ( x+ 1) f ( x) f '( x) = f ( x+ 1) f ( x) = y. 1 naloogiliselt näiteks kulufunktsioon C = C() korral saame, et kui = 1, siis C( x+ 1) C( x) C '( x) = C( x+ 1) C( x) = C. 1 5-1
Funktsiooni tuletise majandusliku tähenduse paremaks mõistmiseks on kõigepealt kasulik meelde tuletada tuletise füüsikalist tähendust, milleks on keha liikumise hetkkiirus. Kui keha liikumist kirjeldab funktsioon s = s(t), kus t tähistab aega ja s läbitud teepikkust, siis selle hetkkiirus v( t) hetkel t avaldub valemiga s( t+ t) s( t) v( t) = s'( t) = lim. t 0 t Sellest seosest paneme tähele, et piisavalt väikese s( t+ t) s( t) v( t). t t korral kehtib ligikaudne võrdus Seega võime väita, et kiirus hetkel t näitab ligikaudselt hetkest t möödunud ajaühiku jooksul keha poolt läbitud teepikkust (eeldusel, et ajaühik on piisavalt väike). Kommenteerime viimase lause sulgudes esitatud märkust järgmise näite najal. Oletame, et auto liikumise hetkkiirus on 60 km/h. Siis oleks ilmselt ebaõige väita, et auto sõidab antud hetkest alates 1 tunni jooksul edasi 60 km. Siin näitab 60 km/h vaid auto sõidukiiruse taset antud hetkel, mida mõõdetakse kilomeetrites ühe tunni kohta. Sama sõidukiiruse taset saab väljendada ka näiteks kujul 1 km/min ning 50/3 m/sek, sest 60 km/h = 1 km/min = 50/3 m/sek. Kuna ühte sekundit võime antud situatsioonis lugeda piisavalt väikeseks ajavahemikuks, siis väide, et 1 sekundi jooksul, lähtudes mõõtmise hetkest, liigub auto edasi ligikaudu 50/3 meetrit, on piisavalt hästi antud situatsiooni kirjeldav. Väide, et auto sõidab 1 minuti jooksul edasi 1 km, on juba märgatavalt ebatäpsem ning väide, et auto sõidab 1 tunni jooksul 60 km on üldjuhul väär; see kehtib vaid ühtlase liikumise korral. Eelnevast arutelust võib teha järgmise üldistuse. Kui kaks muutuvat suurust x ja y on seotud funktsiooni y = f(x) abil, siis tuletis f (x) (juhul kui see eksisteerib) näitab ligikaudset suuruse y muutumist suuruse x ühikulise muutuse kohta juhul, kui see ühik on antud olukorras küllalt väike. 5-
Pöördume nüüd majandusprotsesside käsitlemise juurde. Majanduses ja äritegevuses on väga olulisteks arvulisteks näitajateks keskmised suurused, näiteks toodangu keskmine hind, keskmine tootlikkus, keskmine kogukulu jne. Kuid keskmised näitajad ei anna vastust kaugeltki kõikidele olulistele küsimustele. Näiteks, keskmistele suurustele toetudes ei saa me teada, kuidas ühe majandusnäitaja (kulu, tooraine mahu jne) suurenemine või vähenemine mõjutab teise majandusnäitaja (tulu, kasumi jne) kasvamist või kahanemist. Nimetatud probleemi lahendamiseks tuleb hoopis uurida väikestele muutustele vastavaid efekte. Harilikult käsitletakse majanduses väikese muutusena suuruse üheühikulist muutust, kuid siis tuleb ühiku valimisel hoolitseda selle eest, et see oleks uuritavas olukorras piisavalt väike. Väikestele muutustele vastavate efektide täpsemaks matemaatiliseks hindamiseks tuleb leida vaadeldavate suuruste muutude suhete piirväärtused ehk vastavaid seoseid kirjeldavate funktsioonide tuletised. Majandusalases kirjanduses kasutatakse mõiste tuletis asemel inglisekeelset mõistet marginal, mille eestikeelne vaste on marginaalsuurus või ka piirsuurus. Lepime kokku, et edaspidi kasutame terminit piirsuurus. Tuletis on siin tõlgendatav teatud majandusliku suuruse muutumise kiirusena teise majandussuuruse suhtes. See tähendab, et kiirus üldisemas mõistes ei iseloomusta ainult muutumist ajas, vaid ka näiteks muutumist hinna, koguse või mõne muu suuruse suhtes. Me võime uurida kasumi muutumist, kui me muudame hinda. Siis saame leida kasumi muutumise kiiruse hinna suhtes. Uurida võime aga ka kasumi muutumist, kui me muudame tootmismahtu. Seda muutumist iseloomustab kasumi muutumise kiirus tootmismahu suhtes. Olgu mingi üks majandusnäitaja y mingi teise majandusnäitaja x funktsiooniks, st y= f ( x), siis suuruse y piirsuuruseks ehk marginaalsuuruseks nimetatakse tuletist y ' = f '( x) ning tähistatakse sümboliga My. Vaatleme näiteks kulufunktsiooni C = C(), tulufunktsiooni R = R() ja kasumifunktsiooni π = π ( ). Siis piirkulu (marginal cost) on kulufunktsiooni tuletis, st MC = C ( ) ; piirtulu (marginal revenue) on tulufunktsiooni tuletis, st MR= R ( ) ; piirkasum (marginal profit) on kasumifunktsiooni tuletis, st Mπ = π ( ). Oleme juba eespool näidanud, et kui mõõtmiseks kasutatav ühik on olemasoleva toodangu mahuga võrreldes piisavalt väike, siis 5-3
MC C( + 1) C( ) = C naloogiliselt saame MR R( + 1) R( ) = R ja Mπ π ( + 1) π ( ) = π Eeldades, et täiendav tooteühik on võrreldes olemasoleva toodangu mahuga piisavalt väike, saame eespool toodu põhjal väita järgmist: Piirkulu näitab täiendava tooteühiku tootmiseks vajalikku kogukulu ligikaudset muutu. Piirtulu näitab täiendava tooteühiku müümisest tekkivat kogutulu ligikaudset muutu. Piirkasum näitab täiendava tooteühiku müümisest tekkivat kasumi ligikaudset muutu. Märkus 5.3.1. Siin on nii kulu, tulu kui ka kasumi muutumine tingitud tootmismahu muutumisest, st meil on piirkulu (piirtulu, piirkasum) tootmismahu suhtes. Tulu ja kasumi muutumine võib olla tingitud ka hinna muutumisest, siis saame rääkida piirtulust (piirkasumist) hinna suhtes. Märkus 5.3.. Ülaltoodud arutelust järeldub, et piirkulu ja piirtulu mõõtühikuks on 1 rahaühik toodanguühiku kohta, kui kulu- ja tulufunktsiooni argumendiks on toodangu maht (võrdle eespool kirjeldatud hetkkiiruse mõõtühikuga). Kui nimetatud funktsioonide argumendiks on mingi muu tootmisfaktor, siis on ühikuks 1 rahaühik nimetatud tootmisfaktori ühe ühiku kohta. Näide 5.3.. Tootmiskulu sõltuvus tootmismahust avaldugu kujul C () = 60 + 1 3 + 3 (rahaühikut). Leida piirkulu, mis vastab tootmismahule 15 ühikut. Kas antud juhul leitud piirkulu kirjeldab piisavalt hästi täiendavaid kulutusi, mis tuleb teha tootmismahu suurendamiseks 15-lt ühikult 16- le ühikule? Lahendus. Et MC C ( ) ( ) = 1 6 + 6, 5-4
siis piirkulu MC (15) = 17. Seega piirkulu antud toodangumahu juures on 17 rahaühikut toodangu ühe ühiku kohta. rvutades tootmiskulu muudu tootmismahu ühikulise muutuse kohta vahetult, saame C(16) C(15) = 1361 rahaühikut. Näeme, et erinevus tootmiskulu täpse muudu ja sellele vastava piirkulu vahel on arvuliselt küll suhteliselt suur (s.o 1361 17= 89 rahaühikut), kuid võrreldes kulu täpse muuduga 1361 võime 89 ühikulise muudu lugeda siiski piisavalt väikeseks. rvestades vea küllaltki suurt arvulist väärtust võib piirkulu väärtuse põhjal majanduslike järelduste tegemisel seda väärtust jämedalt ümardada. ntud juhul võib piirkulu MC väärtuse 17 põhjal teha järelduse, et see lisakulu, mida me teeme, valmistades 15 ühiku asemel 16 ühikut, on ligikaudu 1300 rahaühikut. # Näide 5.3.3. Kaupluses on eksootilise puuvilja päevane nõudlus (kilogrammides) avaldatav funktsiooniga (p) = -10p + 60, kus p on puuvilja 1 kg hind eurodes. Leida piirtulu hinna suhtes ning interpreteerida seda, kui a) p = ; b) p = 3,5. Lahendus. Et tulufunktsioon R(p) omab kuju siis piirtulu R(p) = p (p) = 10 p + 60p, MR(p) = ( 10 p + 60 p) = 0 p + 60. rvutame nüüd piirtulu hindade p = eurot ja p = 3,5 eurot korral: MR() = 0 +60 = 0 ja MR(3,5) = 0 3,5 + 60 = 10. Seega puuvilja 1 kilogrammi hinna tõstmine a) eurolt 3 eurole suurendab tulu ligikaudu 0 euro võrra; b) 3,5 eurolt 4,5 eurole kahandab tulu umbes 10 euro võrra. # Näide 5.3.4. Kaupluses on USB mälupulkade nõudlus (p) avaldatav funktsioonina (p) = 1p +58 tk/päevas, kus p on 1 mälupulga hind eurodes. Leida piirtulu hinna väärtuste p = 1 ja p = 3 korral. Kas antud juhul on mõistlik leitud piirtulu väärtusi käsitleda tulu ligikaudse muutusena hinna ühikulise kasvu korral, kui 5-5
a) hinna ühikuks on 1 euro; b) hinna ühikuks on 1 eurosent? Lahendus. Et tulufunktsioon R(p) omab kuju siis piirtulu R(p) = p (p) = 1 p +58p, MR(p) = ( 1 p + 58 p) = 4 p + 58. rvutame nüüd piirtulu ja tulufunktsiooni muudud hindade p = 1 eurot ja p = 3 eurot ning hinna 1 eurolise muudu (st p= 1 euro) ja 1 eurosendilise muudu (st p= 1 eurosent = 0,01 eurot) korral: MR ( 1) = 4, R( ) R(1) = 1, R( 1,01) R(1) = 0,388 0, 4 MR ( 3) = 4, R( 4) R(3) = 36, R ( 3,01) R(3) = 0,41 0, 4 Seejuures mõõdame siin piirtulu eurodes hinna ühe euro kohta, tulufunktsiooni muutu aga mõõdame eurodes. Piirtulu võime mõõta ka eurosentides hinna ühe eurosendi kohta või ka eurodes hinna ühe eurosendi kohta. Seega näiteks seos 5-6 eurot hinna ühe euro kohta on samaväärne seosega MR(1) = 4 eurosenti hinna ühe eurosendi kohta või seosega MR(1) = 0,4 eurot hinna ühe eurosendi kohta. Tehtud arvutustest näeme, et euro korral tekivad suhteliselt suured erinevused tulufunktsiooni muudu ja vastava piirtulu vahel (näiteks hinna p = 1 korral on sel juhul muuduks 1 eurot ja vastavaks piiruluks MR(1)=4 eurot hinna ühe euro kohta). Järelikult pole antud juhul mõistlik arvutatud piirtulu väärtust käsitleda tulu ligikaudse muuduna hinna 1 eurolise suurenemise korral. Teistsugune on olukord p= 1 eurosent korral. Siis näiteks hinna p = 1 korral on tulufunktsiooni muuduks 0,388 0,4 eurot = 4 eurosenti ja vastavaks marginaaltuluks MR(1) = 4 eurosenti hinna ühe eurosendi kohta. Järelikult on nüüd tulufunktsiooni muut ja vastav piirtulu peaaegu võrdsed ja me võime saadud piirtulu väärtust käsitleda tulu ligikaudse muuduna hinna 1 eurosendilise suurenemise korral. Juhtude a) ja b) erinevused tulenevad sellest, et ühik 1 euro on antud juhul liiga suur, ühik 1 eurosent aga on piisavalt väike (meenutame, et tuletise definitsioon nõudis piisavalt väikest argumendi muutu). # p= 1 MR( 1) = 4
Märkus 5.3.3. Eelpoolesitatud näidetest võib teha järelduse, et piir- ehk marginaalsuuruste põhjal tehtavad numbrilised hinnangud majanduslike suuruste kohta võivad sageli olla küllalt ebatäpsed. Suuruse y (kus y = f (x)) piirsuuruse My juures on kõige olulisemaks näitajaks selle märk; kui My > 0, siis x suurendamisel y ka suureneb; kui My < 0, siis x suurendamisel y väheneb. Näites 5.3.4 arvutatud marginaaltulu väärtuste järgi võime väita, et hinna suurendamisel 1 eurolt mingi väikese suuruse võrra tulu suureneb; hinna suurendamisel 3 eurolt mingi väikese suuruse võrra tulu väheneb. ÜLESNDED 5.3.1. Ettevõtte kulufunktsioon ja tulufunktsioon sõltuvana tootmismahust on antud vastavalt 3 seostega C( ) = 1000+ 60 3 + 0,5 ja R( ) = 400. Leida a) piirkulu- ja piirtulufunktsioonid MC( ), MR( ) ning piirkasumifunktsioon Mπ ( ) ; b) rvutada MC(5), MR(5) ja Mπ(5). 5.3..* Funktsioon y = 10 0,04 3 esitab tootmiskulu y sõltuvust tootmismahust. Leida piirkulu tootmismahul = 5 ühikut. Mida see majanduslikult tähendab? Hinnata, kas antud juhul leitud piirkulu kirjeldab piisavalt hästi täiendavaid kulutusi, mida tuleb teha tootmismahu suurendamiseks ühe ühiku võrra. 1 3 5.3.3.* Tootmise kulufunktsioon on C( ) = 1000+ 100+ ( on tootmismaht). Leida 30 keskmine kogukulu (ühe tootmismahu ühiku kohta) ja piirkulu, kui tootmismaht on 100 ühikut. Kas antud juhul leitud piirkulu kirjeldab piisavalt hästi täiendavaid kulutusi, mida tuleb teha tootmismahu suurendamiseks ühe ühiku võrra? 5.3.4.* Tootmiskulu sõltuvus tootmismahust avaldub kujul C () = 500 + + 0,1 3 (eurot). a) Leida piirkulufunktsioon ning arvutada piirkulu = ja = 0 korral. b) Kas leitud piirkulud kirjeldavad piisavalt hästi täiendavaid kulutusi, mis tuleb teha tootmismahu suurendamiseks ühe ühiku võrra? Kummal juhul kirjeldab piirkulu täpsemalt täiendavaid kulutusi? c) Millisel juhul tuleb teha enam täiendavaid kulutusi? 5.3.5.** On antud järgmised kulufunktsioonid C 1 () = 5 + 8 (eurodes) ja C () = 50 + 4 + 0,01 (eurodes). 1 5 5-7
a) Leida mõlema funktsiooni jaoks piirkulufunktsioon, keskmise kogukulu funktsioon, keskmise muutuvkulu funktsioon. b) rvutada piirkulu, keskmine kogukulu ja keskmine muutuvkulu = ja = 15 korral. c) Kas leitud piirkulud kirjeldavad piisavalt hästi täiendavaid kulutusi, mis tuleb teha tootmismahu suurendamiseks ühiku võrra? Kummal juhul kirjeldab piirkulu täpsemalt täiendavaid kulutusi? d) Millisel juhul tuleb teha enam täiendavaid kulutusi? e) Milliseid majanduslikke järeldusi saab veel teha? Milline põhimõtteline erinevus on C 1 () ja C () vahel? 5.3.6.** Olgu kulufunktsioon lineaarne, C( ) = a + b, kus on tootmismaht ning a ja b on positiivsed arvud (a>0, b>0). Leida piirkulu avaldis. Mida võib öelda piirkulu kohta lineaarse kulufunktsiooni korral? 5.3.7..** Näidata, et konstantse hinna p korral on piirtulu ja hind võrdsed. 5.3.8.* Kauba nõudlus on määratud seosega 3 + 4 p 100 = 0, kus p on kauba ühe ühiku hind ja selle hinna eest müüdava kauba kogus. Leida kogutulufunktsioon, keskmine tulu ja piirtulu, mida saadakse kaubaühiku müügist. Leida piirtulu = 100 korral. Kas saadud väärtus kajastab piisavalt tõeselt tulu muutu tootmise suurendamisel ühiku võrra? 5.3.9. On teada tsemendi nõudlusfunktsioon p = 0,8 + 0,4 + 80, kus on müüdud tonnide arv, p tsemendi ühe tonni hind (eurodes). Leida R() ja MR(). rvutada suurus MR (10) ning võrrelda seda vahega R(11) R(10). Millise majandusliku järelduse võib teha? 5.3.10.* Mikrokalkulaatoreid valmistav tehas müüb neid hinnaga 100 eurot tükk. Kulufunktsioon on C() = 0, +,5 + 100, kus on valmistatud ja müüdud mikrokalkulaatorite kogus. Leida kasumifunktsioon. rvutada piirkasum = 10 korral. Millise majandusliku järelduse võib teha? Kas saadud väärtus kajastab piisavalt tõeselt kasumi muutu tootmise suurendamisel ühiku võrra? 5.3.11. Kauba nõudlusfunktsioon omab kuju p= 500 1,5. Leida kogutulu R ja piirtulu MR funktsioonid. Joonistada nende funktsioonide graafikud piirkonnas = 0 kuni = 15. 5.3.1. Olgu kulufunktsioon C( ) = 0,5 + + 00 ja tulufunktsioon R( ) = 1,5 + 50, kus on tootmismaht. Leida piirkulu ja piirtulu väärtus kahe erineva tootmismahu 1 = 5 ja = 15 korral ning otsustada kummalgi juhul, kas on kasulik tootmismahtu tõsta. 1 8 5.3.13. On antud kulufunktsioon C () = 40 + 3 + 0, ja toote müügihind p = 10. a) Leida tulufunktsioon ja kasumifunktsioon ning piirtulu ja piirkasumi funktsioonid. 5-8
b) rvutada tulu, kasum, piirtulu ja piirkasum = ja = 10 korral. c) Kas leitud piirtulud ja piirkasumid kirjeldavad piisavalt hästi täiendavat tulu ja kasumit, mis saadakse tootmismahu suurendamisel ühiku võrra? Kummal juhul piirtulu ja piirkasum kirjeldab täpsemalt täiendavat tulu ja kasumit? d) Milliseid majanduslikke järeldusi saab veel teha? 5.3.14.* On antud nõudlusfunktsioon p = 0 4, kus on tootmismaht ja p müügihind. Leida funktsioonid R(), R(), MR() ning joonestada nende graafikud. Leida suurused MR(), MR(4), R(), R(4) ja anda neile majanduslik tõlgendus. 5.3.15.** Olgu meil nii kulufunktsioon kui ka nõudlusfunktsioon lineaarsed. Kulufunktsioon olgu C( ) = a + b, kus a ja b on positiivsed arvud (a > 0, b > 0). Nõudlusfunktsioon ehk hinna sõltuvus kogusest olgu p( ) = p k, kus p 0 ja k on positiivsed arvud ( p 0 > 0, k > 0). a) Leida piirtulu avaldis ja võrrelda seda nõudlusfunktsiooniga. b) Skitseerida nõudlusfunktsiooni p() ja piirtulu MR() graafikud ühes ja samas teljestikus, kus horisontaalteljel on. c) Konstantse hinna korral selgus, et piirtulu ja hind on võrdsed. Kas nad saavad olla võrdsed ka nüüd, lineaarse nõudlusfunktsiooni korral? 0 1 4 Test asub e-õppekeskkonnas Moodle. KIRJNDUST LUGEMISEKS asma,., Kallam, H., Levin,., Majandusmatemaatika alused. Tallinn, Ilo, 005. Lk. 15-19. rrak,., Eamets, R., Krinal, V. jt. Majanduse algkursus. Tallinn, 1995. Lk. 99-100. Eamets, R., Kaasa,., Kaldaru, H., Trasberg, V. Sissejuhatus majandusteooriasse. Tartu, TÜ Kirjastus, 005. Lk. 79-85, 90-108. Ettevõtlikkusest ettevõtluseni: gümnaasiumiõpik. Toimetajad T. Saal jt. Tallinn, S Teadlik Valik,, 01. Lk. 19-13. Kaasa,. Majandusteaduse matemaatilised alused. Tartu, TÜ Kirjastus, 00. Lk. 30-37. Majanduse BC / rrak,., jt. III trükk. Tartu, vatar OÜ, 00. Lk. 15-16. Kerem, K., Keres, K., Randveer, Mikroökonoomika alused. Tallinn, Külim, 004. Lk. 147-151. 5-9
Kerem, K., Randveer, M. Mikro- ja makroökonoomika põhikursus. 5., parandatud ja täiendatud trükk, Tallinn, Külim, 007. Lk. 43-57. 5.4. Optimeerimine marginaalsuuruste abil ntud peatükis kirjeldame optimeerimisülesannete lahendamist marginaal- ehk piirsuuruste abil. 5.4.1. Kasumi maksimeerimise kuldreegel Teatavasti avaldub kasumifunktsioon π ( ) tulufunktsiooni R( ) ja kulufunktsiooni C( ) vahena, st π ( ) = R( ) C( ). Eeldame, et kõik vaadeldavad funktsioonid omavad igas oma määramispiirkonna punktis tuletist. Kuna ekstreemumi tarviliku tingimuse kohaselt saab sel juhul funktsiooni ekstreemum paikneda vaid punktis, kus selle funktsiooni tuletis võrdub nulliga, siis kasumifunktsiooni ekstreemum saab paikneda ainult sellises punktis, kus π ( ) = 0. Võttes kasumifunktsioonist tuletise, saame π ( ) = R ( ) C ( ). Kuna tuletise majandusliku tähenduse kohaselt kasumi-, tulu- ja kulufunktsioonide tuletised kujutavad endast vastavalt piirkasumit, piirtulu ja piirkulu, st π ( ) = Mπ ( ), R ( ) = MR( ), C ( ) = MC( ), siis kasumi maksimum saab paikneda vaid punktis, kus piirkasum π ( ) = 0 või punktis, kus piirtulu ja piirkulu on omavahel võrdsed. Viimast seost tuntakse majanduses nö kasumi maksimeerimise kuldreeglina. Kasumi maksimeerimise kuldreegel (golden rule of profit maximization) MR( ) = MC( ), st tootjale optimaalne toodangu väljalaske hulk vastab piirkulu ja piirtulu võrdsusele. See tähendab, et kasum on maksimaalne, kui täiendava tooteühiku tootmisel tehtav lisakulu (piirkulu) on võrdne selle tooteühiku müümisel saadava lisatuluga (piirtuluga). Näide 5.4.1. Olgu antud kulufunktsioon C( ) = 0,5 + + 00 ja tulufunktsioon R8 ) 1,5 50 = +. Rakendada kasumi maksimeerimise kuldreeglit. 5-30
Lahendus. Piirkulu ja piirtulu on vastavalt MC( ) = + ja MR( ) = 3+ 50. Võrdsustades piirkulu ja piirtulu, saame + = 3+ 50 = 1. Joonis 5.4.1. Kulu C, tulu R, kasum p. Joonisel 5.4.1 on esitatud kulu ja tulu graafikud, lisaks ka vastav kasumigraafik; joonisel 5.4. on toodud piirkulu ja piirtulu graafikud. Kasumi maksimumi korral ( = 1 ) on piirtulu ja piirkulu võrdsed. Joonisel 5.4.1 on see näha sellest, et vastavas punktis on kulugraafiku ja tulugraafiku puutujatel ühesugune tõus, nad on paralleelsed. Sellel joonisel väljendab piirsuurust puutuja tõus. Piirsuuruste graafikul joonisel 5.4. on piirkulu ja piirtulu võrdsus selgemini näha selles Joonis 5.4.. Piirkulu MC ja piirtulu MR. 5-31
punktis piirtulu ja piirkulu graafikud lõikuvad. # Vaatame veel joonist 5.4.. Punktis = 5 on lõigu KL pikkus võrdne lisakasumiga ühe lisatoote tootmisel, Punktis = 15 on aga kasumi muutus negatiivne, tootmismahtu suurendada pole kasulik: Seega väärtusest 1 väiksemate väärtuste korral on piirkasum positiivne, st täiendava tooteühiku tootmine suurendab kasumit; väärtusest 1 suuremate väärtuste korral aga on piirkasum negatiivne, st täiendava tooteühiku tootmine vähendab kasumit. Seega võime teha järgneva kokkuvõtte: Kui piirtulu on suurem kui piirkulu, st MR > MC, siis lisaühiku tootmise korral suurenevad tulud rohkem kui kulud, st piirkasum ehk kasumi muutus ühe lisatoote tootmisel on positiivne (kasum suureneb). Järelikuilt on kasulik tootmismahtu suurendada. Kui piirtulu ja piirkulu on võrdsed, st MR=MC, on kasum maksimaalne ja tootmismahtu suurendades kasum ei muutu. Mπ (5) = MR(5) MC(5) = 37 5= 8. Mπ (15) = MR(15) MC(15) = 5 17= 1. Kui piirtulu on väiksem piirkulust, st MR<MC, siis lisatoote tootmine suurendab tulusid vähem kui kulusid, kasum väheneb ning tootmismahtu on kasulik vähendada. Marginaalanalüüsi kasutatakse mitmesuguste probleemide analüüsimiseks. Üheks näiteks on diskrimineerivate hindade (discriminating prices) kasutamine. Hinnadiskriminatsioon ehk diskrimineeriv hinnapoliitika (price discrimination) on ühesuguste kaupade müümine eri ostjatele erinevate hindadega. Sellisel juhul kujunevad hinnad nii, et võrdus MC = MR kehtib iga turu jaoks eraldi. Toome selgituseks järgneva näite. Näide 5.4.. Telefoniteenuseid pakkuv firma on analüüsinud nõudlust tööpäevadel ja puhkepäevadel: tööpäevadel ( p) = 90 0,5 p, puhkepäevadel ( p) = 35 0, 5 p, kus ja on kõnede arv tunnis ning p ja p vastavad hinnad. Summaarsed kulud tunnis on B C( ) = 5+ 0, kus = + B.Leida a) millised peaksid olema vastavad hinnad, et kasum oleks maksimaalne, 5-3 B B B