Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii de umere reale. Sa se calculeze suma seriilor: a) 3 ) 3 + ), b) 6 8 3, ) c) + + + Aplicăm Defiiţia: Se umeşte serie de umere reale o sumă ifiită de umere u + u + u 3 + + u +. Vom ota aceasta pri u. Numărul u se umeşte termeul geeral al seriei u. Şirul S ) dat de S u + u + u 3 + + u se umeşte şirul sumelor parţiale. şi Defiiţia: Seria u spuem că este covergetă dacă şirul S ) al sumelor parţiale este co- verget. Dacă S S atuci S se umeşte suma seriei şi se va scrie u S. Dacă şirul S ) este diverget atuci seria u este divergetă. a) Vom calcula şirul sumelor parţiale S ) asociat seriei u 3 ) 3 + ). u ude S u + u + u 3 + + u + u + + 3 5)3 ) + 3 )3+) 4 + 4 7 + 7 0 Petru a calcula această sumă vom rescrie fiecare terme u ca o difereţă de fracţii adică vom descompue fracţia u î fracţii simple). u 3 ) 3 + ) a 3 b 3 + ude a, b trebuie determiaţi. Vom avea a /3, b /3 deci u 3 ) 3 + ) 3 3 ) 3 + Obţiem Lucia Maticiuc S u + u + u 3 + + u + u 3 ) 4 + 3 4 7) + 3 7 ) ) ) 0 + + 3 3 5 3 + 3 3 3+ ) sumă telescopică) 3 3+ 3 0) 3,
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Deci seria este covergetă şi are suma u 3 b) Avem u 6 8 3 iar 6 8 3 0 are rădăciile 56) 8 + 56 3 3 4, 8 56 3 4. Deci Obţiem u 6 8 3 6 3/4)+/4) 4 3)4+) 4 4 3 4+ S u + u + + u 5 + 5 9 + 9 3 + + 4 3)4+) 4 ) 5 + 4 5 ) 9 + 4 9 3) ) ) + + 4 4 7 4 3 + 4 4 3 4+ ) sumă telescopică) 4 4+ 4 0). Deci seria este covergetă şi are suma c) u + + +. Deci u 4 S u + u + + u 3 + ) + 4 3 + ) + 5 4 + 3 ) + + + + ) + + + + ) + + + + + + + + + + + ) + ) + + + + + + 0, + + + Deci seria este covergetă şi are suma u Lucia Maticiuc Observaţie: Am folosit următoarele: Dacă avem ecuaţia a + b + c 0 cu rădăciile, atuci are loc descompuerea a + b + c a ) ) )
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc. Să se stabilească atura seriilor verificâd dacă este îdepliită codiţia ecesară de covergeţă: a) +/ + /), b) 4 + 3 + ), c), d) l!) + Aplicăm Proprietatea: Dacă termeul geeral al seriei u tide la 0 atuci seria este divergetă. a) Vom arăta deci că termeul geeral u u tide la 0. Î cazul ostru u +/ +/) / +/ )) / +/ ) / +/ ) +/ ) Iar acum avem o ită importată, şi petru + / ) folosim ita fudametală cu e avem edetermiarea ). Deci + / ) [ + / ) ] / e / e 0 Avem u + / ) 0 deci seria u este divergetă. b) u 4 + 3 + 4 +3 +) 4 3 + deci seria u este divergetă. 4 +3 ++ 3+/ ) 3+/ 4 +3 ++ ) +3/ +/ 4 + 3+0 +3/ +/ 4 + +0+0+ 3 0 c) u Petru a calcula ita petru + aplic criteriul raportului al lui + Cauchy-D Alembert petru şiruri: Avem + deci seria u este divergetă. u a a + a + 0 l!) d) u Petru calculul itei aplic Lema lui Stolz: l!) a b a + a b + b l+)! l! l[!+)] l! +) + + Lucia Maticiuc l! + l + ) l!) l + ) l ) 3
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc deci seria u este divergetă. Observaţie: Am folosit itele, + ) / e, ude 0 3. Folosid criteriul lui Leibiz, să se studieze covergeţa seriilor: a) ) l, b) ) + tg, R fiat. Aplicăm Teorema: Fie seria ) a a.î. a ) este şir descrescător la 0. Atuci seria alterată ) a este covergetă. a) Avem ) l ) l ) a ude a l. Di eerciţiul 4., ) l l b), avem că şirul descreşte şi 0 deci seria alterată ) l este covergetă. b) Avem ) + tg ) + a ude a tg. Fucţia tagetă este o fucţie crescătoare deci adică a ) descreşte şi este covergetă. a tg > tg + ) + a + tg tg tg0 0. deci seria alterată ) + tg 4. Folosid criteriul I de comparaţie, să se studieze atura seriilor: a) 3 +, b) 0 3 7. Aplicăm Criteriul I de comparaţie: Fie seriile u, v u v, N. Avem a) dacă seria v este covergetă atuci şi seria u este covergetă. b) dacă seria u este divergetă atuci şi seria v este divergetă. a) Notăm u. Avem imediat 3 + 3 + > 3 3 + > 3 u 3 + < 3 a.î. u, v > 0. Presupuem că Lucia Maticiuc 4
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Să otăm cu v 3. Ştim că seria este covergetă deoarece este seria 3/ 3/ armoică geeralizată cu p 3/ >. Deci şi seria este covergetă. 3 + b) Notăm u 0 3. Avem imediat 7 0 3 7 < 0 3 u 0 3 7 > 0 3 Să otăm cu v 0 3 0. Ştim că seria este divergetă deoarece este /3 /3 seria armoică geeralizată cu p /3. Avem că seria 0 este /3 0 /3 divergetă deci şi seria 0 3 7. Observaţie: Am folosit seria armoică geeralizată { covergetă, dacă p > p divergetă, dacă p 5. Folosid criteriul II de comparaţie, să se studieze atura seriilor: a) 0 +, b) + 7. Aplicăm Criteriul II de comparaţie: Fie seriile u, v a.î. u, v > 0. Presupuem ca u + v +, N. Avem u v a) daca seria v este covergetă atuci şi seria u este covergetă. b) daca seria u este divergetă atuci şi seria v este divergetă. Vom compara seriile di eemplele oastre cu seria armoică geeralizată a) Notăm u şi luăm v. Atuci avem 0 + şi Avem v + u + + u + 0 + ) + 0 + v 0 + 0 + Lucia Maticiuc u + u v + v + 0+ 0+ 0 + ) 0 + ) + ) 0 + 0 + + 0 Adevărat) 5
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Deci u + v + şi ştim că seria u v de ude rezultă că v u este divergetă. 0 + b) Notăm u şi luăm v. Atuci avem + 7 şi Avem v + + u + u + este divergetă seria armoică cu p ) + ) + 7 + ) + 7 v + ) + 7 + ) + 7 u + v + u v +7 +) +) +7+) + +7 +) +7+) ) + ) + 7 + ) + 7 ) + ) + + + 7 + 7 ) + 7 ) + + ) 4 + 9 3 + 7 4 + 3 + + 7 3 + 4 + 7 7 5 + 7 0 8 + 7 Adevărat) Deci u + v + şi ştim că seria u este divergetă seria armoică cu p ) u v de ude rezultă că v este divergetă. + 7 6. Folosid criteriul III de comparaţie, să se studieze atura seriilor: a) e, b) l, c) Aplicăm Criteriul III de comparaţie: Fie seriile u, u v λ. Atuci a) dacă λ 0, ) atuci v u v seriile au aceeaşi atură). b) dacă λ 0 atuci b ) dacă b ) dacă v u C) D) u v D) C) a.î. u, v > 0. Presupuem că Lucia Maticiuc 6
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc a) Notăm u e şi luăm v. Atuci avem p u e v / p p+ e p+ 0,, p + ) > 0 e Acum aleg p >, de eemplu p, a.î. seria p este covergetă. u Avem şi 0 λ deci şi seria e este covergetă. v b) Notăm u l şi luăm v. Atuci avem l u l, v l Deci u v iar seria este divergetă vezi Criteriul codesării, semiarul 4.) adică şi seria l este divergetă. l c) Notăm u şi luăm v. Atuci avem Deci u v u v iar seria adică şi seria Observaţie: Am folosit este divergetă., este divergetă este seria armoică cu p / < ) e, petru orice p > 0 p 7. Folosid criteriul lui Dirichlet, să se determie atura seriilor: a) si, kπ, k Z b) cos, kπ, k Z c) cos Lucia Maticiuc Aplicăm Criteriul lui Dirichlet: Dacă a este o serie care are şirul sumelor parţiale mărgiit, şi dacă b ) este u şir descrescător coverget la 0 atuci seria a b este covergetă. 7
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc a) Avem si si a b ude a si, b. Evidet b > + b + adica b ) şir descrescător şi b 0. Pe de altă parte avem că a are şirul sumelor parţiale asociat ei dat de Aceasta suma o vom calcula astfel: Deci Avem S si + si + si 3 + + si S si si si + si si + + si si [ cos ) cos + ) + cos ) cos + ) + + + cos ) cos + )] [ cos cos 3 + cos 3 cos 5 + + ] ) + ) + cos cos [ cos ] + ) cos cos + ) cos S si S cos +) cos si cos + cos +) si +, kπ, k Z cos + cos +) si si si, N deci S ) mărgiit deoarece margiea si u depide de N). Obţiem di criteriului lui Dirichlet că si este covergetă. b) cos cos a b ude a cos, b. Î mod aalog ca mai sus îmulţid S cos + cos + + cos cu si ) obţiem că de ude obţiem că + ) si si S si, kπ, k Z Lucia Maticiuc adică şirul S ) este mărgiit. S + si si, N Pe de altă parte mai trebuie studiată mootoia şirului b l. 8
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Să otăm cu f ) l f ) l l ) ) ) l l Dar petru suficiet de mare, mai precis petru > e avem l > l e deci f ) l < 0 f descrescătoare pe domeiul e, ) ) l deci şirul este descrescător. Avem şi ita l l 0, / deci b ) este descrescător la 0. Atuci di criteriului lui Dirichlet avem că seria este covergetă. c) Temă. Observaţie: Am folosit următoarele si α si β cosα β) cosα+β), si α cos β siα+β)+siα β), l 0, petru orice p > 0 p 8. Folosid criteriul lui Abel, să se studieze covergeţa seriilor: a) cos l +, b) ). l cos l Aplicăm Criteriul lui Abel: Dacă a este o serie covergetă, şi dacă b ) este u şir mooto şi mărgiit atuci seria a b este covergetă. a) Avem cos l + a b ude a cos, b l +. Avem că cos este covergetă coform criteriului lui Dirichlet vezi eerciţiul 3, c)). Pe de altă parte, deoarece fucţia l este crescătoare, b l + l + ) > l + ) l + + + b + Lucia Maticiuc deci b ) este şir descrescător şi b l + 0) l 0 deci, di covergeţă, avem că şirul este şi mărgiit. Sutem atuci î codiţiile Criteriului lui Abel deci cos l + este covergetă. 9
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc b) ) l Seria ) l a b ude a ) l, b. este covergetă coform criteriului lui Leibiz vezi eerciţiul 5). l Pe de altă parte avem că b e l e. Iar fucţia f ) l f l ) l ) l l Dar petru > e avem l > l e deci f ) l < 0 f descrescătoare pe ) l domeiul e, ) deci şirul este descrescător, iar fucţia e este crescătoare, deci l ) e este o fucţie descrescătoare adică şirul e l descreşte. Deci ) descreşte şi e 3.) adică e şi mărgiit. Di Criteriului lui Abel obţiem că l e 0 vezi ita de la sfârşitul eerciţiului ) este covergetă. l Lucia Maticiuc 0