x είναι f 1 f 0 f κ λ

3 Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ [Κεφάλαια, Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου] ΘΕΜΑ Α.Βλέπε σχολικό βιβλίο, σελίδα 4.. Βλέπε σχολικό βιβλίο, σελίδα 88, 89. 3. α) ΣΩΣΤΟ, διότι αν η f παραγωγίσιμη στο χ τότε θα είναι συνεχής στο χ, που είναι άτοπο. β) ΣΩΣΤΟ,διότι για είναι f f f λ f : - f λ f κ λ λ κ λ κ. άρα: για είναι f f f κ λ γ) ΣΩΣΤΟ, διότι προκύπτει από το θεώρημα Bolzano στο, α, β με f β, με f.,, όπου δ) ΣΩΣΤΟ, διότι η η παράγωγος είναι πολυώνυμο ου βαθμού, άρα μηδενίζεται εκατέρωθεν της ρίζας τουαλλάζει πρόσημο. α, ε) ΛΑΘΟΣ, διότι π.χ. f 3, f 3, f δεν είναι τοπικό ακρότατο. f, αλλά το y 3 - - 3 f - -3 ΘΕΜΑ Β α) g () ln c g () ln c για κάθε. Ισχύει ότι g (e), οπότε βρίσκουμε ότι c c. β) Ο τύπος της g() γίνεται g() ln της παραγώγου g () ln. Για τη μονοτονία το ακρότατο κατασκευάζουμε τον παρακάτω πίνακα: Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ. Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Page

Άρα η g() είναι γνησίως φθίνουσα στο (,] γνησίως αύξουσα στο [, ). Άρα για έχουμε ολικό ελάχιστο g(). Για κάθε έχουμε g() g(). γ) lim g() lim ( ln ) Επειδή έχουμε lim ( ln ) ( ) (απροσδιόριστη μορφή), εφαρμόζουμε de l' hospital ln lim lim lim. Το ζητούμενο lim g() επίσης lim g() lim [(ln ) ]. δ) Από το β) ερώτημα έχουμε g(a) [, ) άρα e.. ln g() ln ln ln e e e ΘΕΜΑ Γ α) Σύμφωνα με τις συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής επειδή f () g () f () g () k f () g() (k) υπάρχει c : β) f ()g() e e f ()g() e ή e f ()g() e με διαιρώντας με προκύπτει: e f () g() e () Ισχύει f () lim λ g() lim λ e lim lim e, e lim όμοια Όποτε η () μας δίνει λ λ, άρα λ λ Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ. Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Page

δηλαδή γ) Η f ως δύο φορές παραγωγίσιμη είναι συνεχής στο [, ]. Άρα f /[, ] συνεχής () f ( ) f ( ) k (3). Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις για το k : Αν k τότε f ( ) ή f ( ) ο.ε.δ. (Η εξίσωση f () έχει ρίζα τη ή τη ) Αν k τότε η (3) ισχύει ως ανισότητα f ( ) f ( ) (3α) Οι (), (3α) εξασφαλίζουν τις υποθέσεις του Θ.Bolzano από το οποίο έχουμε ότι: Υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε f ( ), οπότε (, ) ρίζα της f () (, ) ο.ε.δ. ΘΕΜΑ Δ. Η σχέση f () δίνει f () άρα η συνάρτηση g() f () ως συνεχής στο (,) (, ) (επειδή προκύπτει από πράξεις μεταξύ συνεχών), διατηρεί σταθερό πρόσημο στα διαστήματα (,) (, ). Επιπλέον, επειδή g f e e e ln 4 ln e 4 g() ln ln e (διότι 4 ), άρα e g() για κάθε (,) g() για κάθε (, ). Άρα f ( ), (, ) f ( ), (, ). Αφού f ( ), (, ), παίρνοντας όριο καθώς το πλησιάζει στο από αριστερά έχουμε: lim f () αφού η συνάρτηση f είναι συνεχής, θα ισχύει ότι lim f () lim f () f() συνεπώς f (). Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ. Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Page 3

Όμοια, αφού f ( ), (, ), παίρνοντας όριο καθώς το πλησιάζει στο από δεξιά παίρνουμε τελικά f (). Άρα f ().. Αρκεί να αποδείξουμε ότι F'() G '() για κάθε (,) (, ) δηλαδή, ισοδύναμα, ότι για κάθε (,) (, ) ισχύει: f () ( )f '() f ( ) ( )f '() () Λόγω του προσήμου της συνάρτησης g() που ορίσαμε στο προηγούμενο ερώτημα, η δοσμένη σχέση f () ( ) f'() γράφεται για : f () ( )f '() για : f () ( )f '() f () ( )f '() Άρα τελικά ισχύει f () () f'() για κάθε (,) (, ) που ήταν το ζητούμενο λόγω της (). 3. (Υπενθυμίζουμε ότι το Θεώρημα Μέσης Τιμής εφαρμόζεται σε διάστημα όχι σε ένωση διαστημάτων). Αφού F'() κάθε (,). Όμοια, αφού F'() G '(), για κάθε (,), υπάρχει σταθερά c ώστε F() G() c, για G '(), για κάθε (, ), υπάρχει σταθερά c ώστε F() G() c, για κάθε (, ). G() c, Συνεπώς, F() λόγω συνέχειας των συναρτήσεων F() G() c, G() στο παίρνουμε G() lim F() lim F() F() G() c G() c c c άρα τελικά F() G(), για κάθε (,) (, ), δηλαδή ισοδύναμα ln f (), για κάθε (,) (, ) επειδή f (), άρα τελικά ln, f ()., Για να δούμε αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο θα εξετάσουμε αν το όριο f () f() lim είναι πραγματικός αριθμός. Πράγματι: Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ. Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Page 4

ln f () f() ln lim lim lim lim ( ) ( ) lim ( ) άρα η f είναι παραγωγίσιμη στο με f '(). 4. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο (,) (, ) ως πηλίκο παραγωγισίμων με ln '( ) ln ' ln h() ( ) ( ) f '(), όπου h() ln,. Για να βρούμε τη μονοτονία της f αρκεί να βρούμε το πρόσημο της συνάρτησης h στο (,) (, ) καθώς ο παρονομαστής θετικός στο (,) (, ). ( ) είναι Η συνάρτηση h είναι παραγωγίσιμη στο (, ) με h'() ln. Επειδή h'() στο (,) h'() στο (, ) η h είναι συνεχής σε κάθε ένα από τα διαστήματα (,] [, ) οπότε είναι γνησίως αύξουσα στο (,] γνησίως φθίνουσα στο [, ) συνεπώς παρουσιάζει μέγιστο στο το h(). Άρα h( ) h( ) για κάθε με την ισότητα να ισχύει μόνο για. Άρα h() για κάθε (,) (, ) οπότε f'() για κάθε (,) (, ) επειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, θα έχουμε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ). Αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ) άρα για κάθε ισχύει f( ) f( ) που αποδεικνύει το ζητούμενο. (Διαφορετικά θα μπορούσαμε να κάνουμε χρήση της εφαρμογής του σχολικού βιβλίου σελ. 66 σύμφωνα με την οποία ισχύει ln, για κάθε με την ισότητα να ισχύει μόνο για. Άρα για είναι από την εφαρμογή παίρνουμε ln, δηλαδή f (), για κάθε. Επειδή επιπλέον f (), άρα f () για κάθε ). 5. Θέλουμε να λύσουμε την εξίσωση f () (). Αρχικά παρατηρούμε ότι η είναι μία προφανής λύση της εξίσωσης. Θα δείξουμε ότι είναι μοναδική. Για δείξαμε στο Δ4 ότι f () από την άλλη είναι e (). e e Άρα για τα δύο μέλη της παραπάνω εξίσωσης δε μπορεί να είναι ίσα (το πρώτο μέλος είναι μικρότερο της μονάδας το δεύτερο μεγαλύτερο της μονάδας), συνεπώς η ισότητα ισχύει μόνο για. Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ. Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Page 5