Cupris 1. Operaţii cu umere reale... 1 1.1. Radicali, puteri... 1 1.1.1. Puteri... 1 1.1.. Radicali... 1 1.. Idetităţi... 1.3. Iegalităţi... 3. Fucţii... 6.1. Noţiuea de fucţii... 6.. Fucţii ijective, surjective, bijective... 6.3. Compuerea fucţiilor... 7.4. Fucţia iversă... 8 3. Ecuaţii şi iecuaţii de gradul îtâi... 8 3.1. Ecuaţii de gradul îtâi... 8 3.. Iecua tii de gradul îtâi... 9 3.3. Modul uui umăr real... 10 4. Numere complexe... 1 4.1. Forma algebrică... 1 4.. Puterile umărului i... 13 4.3. Cojugatul lui z... 13 4.4. Modulul uui umăr complex... 14 4.5. Forma trigoometrică... 15 4.6. Formula lui Moivre... 16 4.7. Forma expoeţială... 17 4.8. Ecuaţia biomă... 18 5. Progresii... 18 5.1. Progresiile aritmetice... 18 5.. Progresiile geometrice... 19 6. Logaritmi... 0 6.1. Ecuaţii şi iecuaţii logaritmice fudametale... 6.. Ecuaţii şi iecuaţii expoeţiale fudametale...
7. Geometrie... 3 7.1. Vectori... 3 7.. Aduarea vectorilor... 5 7.3. Teoreme cu vectori... 30 7.4. Geometrie aalitică î pla şi î spaţiu... 34 7.4.1. Pla determiat de u puct şi doi vectori ecoliari paraleli cu plaul. 34 7.4.. Pla determiat de trei pucte ecoliare... 36 7.4.3. Ecuaţia plaului pri tăieturi... 37 7.4.4. Ecuaţia geerală a plaului... 37 7.4.5. Poziţia plaelor... 38 7.5. Ecuaţia dreptei... 39 7.5.1. Ecuaţia dreptei determiat de u puct şi de u vector paralel cu dreapta.. 39 7.5.. Ecuaţia dreptei determiat de două pucte diferite... 41 7.5.3. Ecuaţia geerală a dreptei... 41 7.5.4. Ecuaţia dreptei î pla... 4 7.5.5. Ecuaţia dreptei determiat de două pucte diferite... 4 7.5.6. Ughul determiat de două drepte... 43 7.6. Distaţa la u puct la o dreaptă (î pla)... 44 7.6.1. Ecuaţia bisectoarei (î pla)... 44 7.7. Distaţa la u puct la o dreaptă (î spaţiu)... 45 7.8. Cercul... 46 7.9. Elipsa... 46 7.10. Hiperbola... 48 7.11. Parabola... 49 7.1. Alte aplicaţii cu vectori... 50 8. Metoda iducţiei matematice... 51 8.1. Axioma de recureţă a lui Peao... 51 8.. Metoda uducţiei matematice... 51 8.3. Variată a metodei iducţiei matematice... 5 9. Aaliză combiatorie... 5 9.1. Permutări... 5 9.. Arajamete... 5 9.3. Combiări... 53 9.4. Biomul lui Newto... 54 9.5. Suma puterilor asemeea ale primelor umere aturale... 55
10. Polioame... 56 10.1. Forma algebrică a uui poliom... 56 10.. Divizibilitatea polioamelor... 56 10.3. Rădăciile polioamelor... 57 10.4. Ecuaţii algebrice... 58 10.5. Polioame cu coeficieţi di R, Q, Z... 58 11. Permutări, matrici, determiaţi... 59 11.1. Permutări... 59 11.. Matrici... 60 11.3. Determiaţi... 6 11.4. Iversa uei matrici... 63 11.4.1. Tr(A)... 63 11.4.. Determiatul şi ragul... 64 1. Sisteme liiare... 66 1.1. Notaţii... 66 1.. Compatibilitatea... 67 1.3. Sisteme omogee (b i =0)... 67 13. Trigoometrie... 68 13.1. Aplicaţii ale trigoometriei î geometrie... 71 14. Aaliză matematică... 74 14.1. Recureţe... 74 14.1.1. Recureţe de ordi 1... 74 14.1.. Recureţe de ordi al doilea... 74 14.. Limita de şiruri... 74 14..1. Limite geerale, criterii de covergeţă... 76 14.3. Limite de fucţii... 80 14.3.1. Operaţii cu limite de fucţii... 80 14.3.. Limite tip... 81 14.4. Cotiuitatea fucţiilor... 83 14.4.1. Teoreme petru cotiuitatea fucţiilor... 84 14.5. Fucţii derivabile... 86 14.5.1. Defiiţia derivatei îtr-u puct... 86 14.5.. Reguli de derivare... 86 14.5.3. Derivatele fucţiilor elemetare... 87
14.5.4. Derivatele fucţiilor compuse... 88 14.5.5. Derivatele de ordi superior ale uor fucţii elemetare... 90 14.5.6. Proprietăţi ale fucţiilor derivabile... 91 14.6. Itegrale... 91 14.6.1. Primitive... 91 15. Primitivele fucţiilor... 9 15.1. Reguli petru itegrarea geerală a fucţiilor... 9 15.. Primitivele fucţiilor raţioale... 93 15.3. Itegrale cu r=(x +a ) 1/... 96 15.4. Itegrale cu s=(x a ) 1/... 99 15.5. Itegrale cu t=(a x ) 1/... 100 15.6. Itegrale cu R 1/ =(ax +bx+c) 1/... 101 15.7. Itegrale de fucţii trigoometrice ce coţi umai si... 103 15.8. Itegrale cu fucţii trigoometrice ce coţi umai cos... 105 15.9. Itegrale cu fucţii trigoometrice ce coţi umai ta... 107 15.10. Itegrale cu fucţii trigoometrice ce coţi atât si cât şi cos... 107 15.11. Fucţii logaritmice... 109 15.11.1. Proprietăţi ale itegralei defiite... 110 15.11.. Teorema Fudametală... 11 15.11.3. Iegalităţi... 113 15.1. Alte teoreme... 116 15.1.1. Fucţii primitivabile... 116 15.1.. Fucţii itegrabile... 117 15.1.3. Arii... 117 16. Structuri algebrice... 118 16.1. Grupul... 118 16.1.1. Proprietăţi şi teoreme... 119 16.. Mooid... 11 16.3. Iel... 1 16.4. Corpuri... 1 17. Spaţii vectoriale... 14
1 Operaţii cu umere reale 1.1 Radicali,Puteri 1.1.1 Puteri 1. a m = a m a. a m b m = (a b) m 3. a m : a = a m 4. a m : b m = (a : b) m 5. a m = 1 a m 6. (a m ) = a m. Puterile umerelor reale se extiid atât petru expoeți rațioali pozitivi sau egativi, cât şi petru puterile reale fiid defiite cu ajutorul şirurilor de puteri rațioale. Aceste puteri au proprietǎți idetice cu expoeți umere aturale. 1.1. Radicali 1 1. a = a, a > 0; 1. a = 1 = a m 1 ; a 3. ( a) = a; 4. a b = ab; 5. ( 1 a ) = 1 a ; 6. 7. a b c = abc; a : b = a b ; 1
m 8. a a = m a +m ; m 9. a : m a = a m ; 10. a m = a m ; m 11. a = a m ; m 1. a mp = a p ; m 13. a p b q = m a p b qm ; m 14. a = m a; 15. a = a ; +1 16. a = +1 a; 17. a ± a + c a c b = ±, c = a b; 1. Idetitǎţi Oricare ar fi x, y, z, t, a, b, c, d R şi N avem: 1. a b = (a b)(a + b). (a + b )(x + y ) = (ax by) + (ay + bx) 3. a b b 3 = (a b)(a + ab + b ) 4. a 3 + b 3 = (a + b)(a ab + b ) 5. a 3 +b 3 +c 3 3abc = (a+b+c)(a +b +c ab bc ca) 6. a b + b 3 + c 3 = (a + b + c) 3 3(a + b)(b + c)(c + a) 7. a 4 b 4 = (a b)(a + b)(a + b ) 8. a 4 + b 4 = (a + b ab )(a + b + ab ) 9. a 5 b 5 = (a + b)(a 4 + a 3 b + a b + ab 3 + b 4 ) 10. a 6 + b 6 = (a 3 ab ) + (b 3 a b) 11. a b = (a b)(a 1 + a b +... + ab + b 1 )
1. a +1 + b +1 = (a + b)(a a 1 b +... ab 1 + b ) 13. (a + b + c) = a + b + c + ab + bc + ac 14. a j x j a jx j j=1 j=1 j=1 = (a ix j a jx i) 1 i<j 15. (Hermite) 1 [ x + k ] = [x], k=0 cu [ ] otǎm partea îtreagǎ. Fie x u umǎr real. Se umeşte parte îtreagǎ a lui x, cel mai apropiat îtreg mai mic sau egal cu x. Se umeşte parte fracțioară a lui x, difereța ditre umǎr şi partea lui îtreagă. Defiiția este sugerată de Axioma lui Arhimede : Petru orice umar real x, existǎ u umǎr îtreg, uic, astfel icat x < + 1. 1.3 Iegalitǎţi 1. [E 1(x)] +... + [E (x)] 0;. x + y xy, x, y R; 3. 1 a + 1 ab b a + b a + b 4. (a + b)(b + c)(c + a) 8abc; a 5. b + b a 3
( 1 6. (a + b + c) ) 9, a + 1 b + 1 c a, b, c > 0; 7. a + b + c ab + bc + ca; 8. a 3 + b 3 + c 3 3abc; a 1 9. + a +... + a 1 + a ; a a 3 a a 1 10. (x + y )(a + b ) (ax + by) ; 11. (Beroulli) Petru orice x [ 1, ) şi α Q \ {1} avem: (1+x) α 1+αx, dacǎ α (0, 1) şi (1+x) α 1 + α x dacǎ α (, 0) (1, + ). 1. Petru orice a k R, k = 1, şi b k { 1, 1} avem cǎ a k b k a k. ( 13. Dacǎ u = 1 + 1 ). Atuci şirul u este strict descrescǎtor, adicǎ: u > u +1. 14. Petru orice a k 0 umere reale avem cǎ: a 1 + a +... + a a 1a... a 1 a + 1 1 a +... + 1. a Iegalitatea de mai sus, este umitǎ, iegalitatea mediilor. Egalitatea se obție petru a 1 =... = a. a 1 + a +... + a 15. 4 a 1 + a +... + a
16. (Cauchy-Buiakovsky-Schwarz) Dacǎ a k, b k R atuci ( ) ( ) a k b k ( ) a k b k 17. (Cebisev) Petru orice N şi a k, b k R, k = 1, eseté ( ) ( ) 1 1 a k b k ( ) 1 a k b k. Egalitatea se obție dacǎ a i = a j şi b i = b j i j. 18. (Huyges) Petru orice N \ {1} şi x k R + avem cǎ (1 + x k ) (1 + x 1...x ) 19. (Katorovici) Fie [a, b] R + u iterval, atuci dacǎ x k [a, b] k = 1, avem ( ) ( ) t k t k x k x k ( (a + b) ) t k. 4ab 5
7.5. Ecuaţia dreptei determiat de douǎ pucte diferite Similar, folosim ecuatția de mai sus, petru putul M 1, şi petru vectorul M 1M : M 1M : x x 1 x x 1 = y y1 y y 1 = z z1 z z 1. (3) 7.5.3 Ecuatţia geerelǎ a dreptei Teoremǎ 7.6. Sistemul: { A1x + B 1y + C 1z + D 1 = 0 A x + B y + C z + D = 0 (4) ude ( ) A1 B 1 C 1 D 1 A B C D =. reprezitǎ o dreaptǎ. 41
7.5.4 Ecuaţia dreptei î pla Similar ca şi î spacțiu. Fie e o drepatǎ î pla atuci ecuatția caoicǎ este: x x 0 p = y y0 q (5) Dacǎ e u este paralel cu axa Oy atuci (adicǎ p 0), atuci petru orice vector de direcție avem cǎ q p = m este costatǎ. Numǎrul m este umitǎ pata dreptei. Avem cǎ m = tg α, (6) ude α este ughiul determiat de dreapta e cu axa Ox. Î acest caz dacǎ dreapta trece pri puctul A(x 0, y 0) şi are pata m atuci ecuația dreptei este: y y 0 = m(x x 0). (7) Observaţie 7.3. Douǎ drepte sut parelele dacǎ şi umai dacǎ pata dreptelor sut egale. Observaţie 7.4. Fie e 1, e douǎ drepte perpediculare. Fie d 1(p 1, q 1) şi d (p, q ) vectorii de direcţie. Evidet cǎ d 1 d, deci v 1 v = 0. Cea ce îseamǎ p 1p + q 1q = 0. Presupuem cǎ dreptele u sut paralele cu axa Oy atuci e 1 e m 1 m = 1. (8) 7.5.5 Ecuaţia dreptei determiat de douǎ pucte diferite Fie M 1(x 1, y 1) şi M (x, y ) douǎ pucte î pla. Atuci ecuația dreptei care trece pri puctele M 1 şi M are 4
vectorul de direcție M 1M (x x 1, y y 1), deci Ecuația caoicǎ a dreaptei M 1M este x x 1 x x 1 = y y1 y y 1, (9) sau: x y 1 x 1 y 1 1 x y 1 = 0. (30) 7.5.6 Ughul determiat de douǎ drepte Fie d 1 şi d douǎ drepte. Atuci m( d 1, d ) = d 1 arccos d d 1 d, d 1 d 0 d 1 π arccos d d 1 d, altfel. Dacǎ luǎm î cosiderare cǎ π arccos x = arccos( x), petru orice x [ 1, 1] atuci avem cǎ: sau: arccos m( d 1, d ) = arccos d 1 d d 1 d, (31) m( d 1, d ) = p 1p + q 1q + r 1r p 1 + q 1 + r 1 p + q + r. 43
13 Trigoometrie 1. si x + cos x = 1;. 1 + ta x = 1 cos x ; 3. 1 + cot x = 1 si x ; ( ) π 4. si x = cos x ; ( ) π 5. cos x = si x ; ( ) π 6. ta x = cot x ; ( ) π 7. cot x = ta x ; 8. ta x > x > si x, x 9. cos(x + y) = 10. si(x + y) = ( 0, π ) ; cos(x) cos(y) si(x) si(y); si(x) cos(y) + si(y) cos(x); ta(x) + ta(y) 11. ta(x + y) = 1 ta(x) ta(y) ; 1. cot(x + y) = 13. si(x y) = 68 cot(x) cot(y) 1 cot(x) + cot(y) ; si(x) cos(y) si(y) cos(x);
[si(x + y) + si(x y)]; 69 14. cos(x y) = cos(x) cos(y) + si(x) si(y); ta(x) ta(y) 15. ta(x y) = 1 + ta(x) ta(y) ; cot(x) cot(y) + 1 16. cot(x y) = cot(y) cot(y) ; 17. si(x) = si(x) cos(x); 18. cos(x) = cos x si x = 1 si x = cos x 1; 19. si 3x = 3 si x 4 si 3 x; 0. cos(3x) = 4 cos 3 (x) 3 cos(x); ( ) x 1 + cos(x) 1. cos = ; ( ) x 1 cos(x). si = ; ( ) x 1 cos x 3. ta = 1 + cos(x) ; ( ) x 1 + cos x 4. cot = 1 cos(x) ; 5. si(p) + si(q) = 6. si(x) cos(y) = ( ) p + q si cos 1 ( p q ) ;
7. si(p) si(q) = ( ) p q si cos 8. cos(p) + cos(q) = ( ) p + q cos cos 9. cos(x) cos(y) = ( p + q ( p q ) ; ) ; 1 [cos(x + y) + cos(x y)]; 30. cos(p) cos(q) = ( ) p q si si 31. si(x) si(y) = ( p + q 1 [cos(x y) cos(x + y)]; si(p ± q) 3. ta(p) ± ta(q) = cos(p) cos(q) ; si(p + q) 33. cot(p) + cot(q) = si(p) si q ; 34. si(x) = ta( x ) 1 + ta ( x ) ; 35. cos(x) = 1 ta ( x ) 1 + ta ( x ) ; 36. ta(x) = ta( x ) 1 ta ( x ) ; 37. ta( x ) = si(x) 1 + cos(x) = 1 cos(x) ; si(x) 70 ) ;