Sadržaj 3 FUNKCIJE VIŠE VARIJABLI 34 3. Homogene funkcije, homogenost................. 34 3.2 Parcijalne derivacije........................ 38 3.3 Totalni diferencijal........................ 40 3.4 Koeficijenti parcijalne i križne elastičnosti........... 4 3.5 Eulerov teorem.......................... 44 3.6 Implicitno zadane funkcije.................... 48 3.7 Parcijalne derivacije višeg reda.................. 5 3.8 Ekstremi funkcija dviju varijabli................. 5 3.9 Ekstremi funkcija dviju varijabli s ograničenjem........ 55 3.9. Metoda supstitucije.................... 56 3.9.2 Metoda Lagrangeovih multiplikatora.......... 58 i
Poglavlje 3 FUNKCIJE VIŠE VARIJABLI 3. Homogene funkcije, homogenost Napomena: Kažemo da je funkcija f : R n R homogena stupnja α ako i samo ako vrijedi: f(λx, λx 2,..., λx n ) = λ α f(x, x 2,...,x n ). Zadatak 3.. Ispitajte da li su sljedeće funkcije homogene i nadite im stupanj homogenosti. a) f(x, x 2, x 3 ) = x x 3 ln x +x 2 x 2 +x 3 f(λx, λx 2, λx 3 ) = (λx )(λx 3 ) = λ 2 x x 3 ln λx + λx 2 λx 2 + λx 3 ln λ(x + x 2 ) λ(x 2 + x 3 ) = λ 2 x x 3 ln x + x 2 x 2 + x }{{ 3 } = λ 2 f(x, x 2, x 3 ) α = 2 = f(x,x 2,x 3 ) 34
b) f(x, y) = x 2 + y 2 ln x f(λx, λy) = (λx) 2 + (λy) 2 ln(λx) = λ 2 x 2 + λ 2 y 2 ln(λx) = λ 2 [x 2 + y 2 ln(λx) }{{} ] f(x,y) fnije homogena funkcija c) f(x, y, z) = 3x 2 y ln z ALI: f(λx, λy, z) = 3(λx) 2 λy ln z = 3λ 2 x 2 λ 2 y 2 ln z = λ 2 λ 2 3x 2 y ln z = λ 5 2 3x 2 y ln z }{{} odmah vidimo da se, kao i u b) dijelu zadatka, iz ln(λz) neće moći izlučiti λ f nije homogena funkcija = f(x,y,z) f je parcijalno homogena u varijablama x i y stupnja homogenosti α = 5 2. d) Q(L, C) =.3[0.3L 0.5 + 0.7C 0.5 ] 2 Q(λL, λc) =.3[0.3(λL) 0.5 + 0.7(λC) 0.5 ] 2 e) f(x, y) = log x2 +xy y 2 =.3[0.3λ 0.5 L 0.5 + 0.7λ 0.5 C 0.5 ] 2 =.3(λ 0.5 ) 2 [0.3L 0.5 + 0.7C 0.5 ] 2 = λ.3[0.3l 0.5 + 0.7C 0.5 ] 2 }{{} = Q(L,C) Q je homogena funkcija stupnja homogenosti α = f(λx, λy) = log (λx)2 + (λx)(λy) (λy) 2 = log λ2 x 2 + λ 2 xy λ 2 y 2 = log λ2 (x 2 + xy = log x2 + xy = f(x, y) = λ 0 f(x, y) λ 2 y 2 y 2 f je homogena funkcija stupnja homogenosti α = 0 35
f) Cobb-Douglasova funkcija proizvodnje: Q(L, C) = 0.3L 0.4 C 0.6 homogena, α = 0.4 + 0.6 = g) Cobb-Douglasova funkcija u logaritamskom obliku: ln Q(L, C) = 0.2 lnl + 0.8 lnc + 3 Q je homogena, α = 0.2 + 0.8 = h) Funkcija potražnje za proizvodom 2 u ovisnosti o cijenama proizvoda i 2: ln q 2 (p, p 2 ) =.2 ln p 0.3 lnp 2 + homogena, α =.2 0.3 = 0.9 Zadatak 3.2. Zadana je funkcija x z(x, y) = x 4 + 5x 2 y 2 + 4y 4 3. 2x + y Za koliko će se postotaka promijeniti funkcijska vrijednost od z ako se varijable x i y istovremeno povećaju 0%? x x + 0 00 x =.x y y + 0 00 y =.y Računamo z(.x,.y) λ =. 36
(λx) z(λx, λy) = (λx) 4 + 5(λx) 2 (λy) 2 + 4(λy) 4 3 2(λx) + (λy) λ = λx 4 x 4 + 5λ 2 x 2 λ 2 y 2 + 4λ 4 y 4 3 2λx + λy λ = λx 4 (x 4 + 5x 2 y 2 + 4y 4 ) 3 λ(2x + y) = λx 3 x λ 3 4 + 5x 2 y 2 + 4y 4 3 2x + y = λ 2 x x 4 + 5x 2 y 2 + 4y 4 3 =. 2 z(x, y) 2x + y =.2 z(x, y) Vrijednost funkcije z će se povećati za 2%. Zadatak 3.3. Dana je funkcija Q(L, C) =.5L s C 0.7. Odredite parametar s R, s 0, takav da vrijednost funkcije Q(L, C) uslijed smanjenja varijabli za 3.6% ostane nepromijenjena. L L 3.6 00 L = 0.964L C C 3.6 00 C = 0.964C λ = 0.964 i želimo da vrijedi Q(λL, λc) = Q(L, C) = λ 0 Q(L, C) Drugim riječima, želimo da funkcija Q(L, C) bude homogena stupnja homogenosti α = 0. Q(λL, λc) =.5(λL) s (λc) 0.7 = λ s+0.7 Q(L, C) α = s + 0.7 = 0 s = 0.7 Napomena: Za homogenu funkciju sa stupnjem homogenosti α kažemo da ima: 37
opadajuće prinose ukoliko je 0 < α <, konstantne prinose ukoliko je α =, rastuće prinose ukoliko je α >. Zadatak 3.4. Dana je funkcija Q(L, C) = 0.3L 0.7 C 0.3. Kakvi su prinosi u pitanju? Za koliko će se postotaka promijeniti količina proizvodnje ako se rad i kapital istovremeno povećaju za 5%? α = 0.7 + 0.3 = U pitanju su konstantni prinosi. Q(.05L,.05C) =.05 α Q(L, C) =.05 Q(L, C) Ako se rad i kapital istovremeno povećaju za 5%, količina proizvodnje će se takoder povećati za 5%. DZ 3.5. Ispitajte homogenost funkcije: a) f(x, y, z) = 200x 2 ze 0.0y, b) ln q (p, p 2, t) = 3.2 ln p + 0.2 lnp 2 + 0.3t +. 3.2 Parcijalne derivacije Parcijalnu derivaciju funkcije f : R n R u točki (x,...,x n ) po i-toj varijabli definiramo kao f f(x,...,x i + h,...,x n ) f(x,..., x i,..., x n ) (x,...,x n ) = lim, x i h 0 h ukoliko taj limes postoji. Za parcijalnu derivaciju funkcije f po i-toj varijabli koriste se sljedeće oznake: f x i = f xi = f i. Za parcijalno deriviranje funkcija više varijabli vrijede ista pravila kao i za deriviranje funkcija jedne varijable uz napomenu da zamišljamo da su sve varijable, osim one po kojoj trenutno deriviramo, zapravo konstante. 38
Zadatak 3.6. Nadite parcijalne derivacije funkcije f(x, y) = 3x 2 +xy + y. f x = 3 2x + y + 0 = 6x + y f y = 0 + x + 2 y = x + y Zadatak 3.7. Nadite parcijalne derivacije funkcije z(x, y) = (x + 2y)e x2 +y 3. z x = ( + 0)e x2 +y 3 + (x + 2y)e x2 +y 3 (2x + 0) = e x2 +y 3 ( + 2x(x + 2y)) = e x2 +y 3 ( + 2x 2 + 4xy) z y = (0 + 2)e x2 +y 3 + (x + 2y)e x2 +y 3 (0 + 3y 2 ) = e x2 +y 3 (2 + 3y 2 (x + 2y)) = e x2 +y 3 (2 + 3xy 2 + 6y 3 ) Zadatak 3.8. Nadite parcijalne derivacije funkcije f(x, y, z) = e 2xz ln yz+. f x = e 2xz 2z 0 + 0 = 2ze 2xz f y = 0 yz z + 0 = y f z = e 2xz 2x yz y = 2xe2xz z Zadatak 3.9. Nadite parcijalne derivacije funkcije u(x, y) = 2x y x+y. 39
u x = = u y = = (2 0)(x + y) (2x y)( + 0) (x + y) 2 2x + 2y 2x + y 3y = (x + y) 2 (x + y) 2 (0 )(x + y) (2x y)(0 + ) (x + y) 2 x y 2x + y = 3x (x + y) 2 (x + y) 2 Zadatak 3.0. Zadana je funkcija f(x, y, z) = x 2 y 2 + 2xz + +ln(y+ e). Izračunajte f x (, 0, 4). f x (x, y, z) = = f x (, 0, 4) = 2 x 2 y 2x + 2 2 2xz + 2z + 0 x x2 y + z 2 2xz + 2 0 + 4 2 2 4 + = + 4 3 = 7 3 3.3 Totalni diferencijal Neka je z = f(x, y) diferencijabilna funkcija dvije varijable. Ako su dx i dy proizvoljni realni brojevi, definiramo totalni diferencijal od z = f(x, y) u (x, y), označen sa dz ili df, kao dz = f f dx + x y dy. 40
Kada se x promijeni u x + dx, a y u y + dy, tada promjenu funkcijske vrijednosti zovemo prirast z = f(x + dx, y + dy) f(x, y). Ako su dx i dy mali u apsolutnoj vrijednosti, tada z možemo aproksimirati sa dz z dz = f f dx + x y dy. Zadatak 3.. Za koliko se približno promijeni vrijednost funkcije z(x, y) = xe y ako x = poraste na.5, a y = padne na 0.9? x =, dx =.5 = 0.5 y =, dy = 0.9 = 0. z dz = z x dx + z y dy = e y dx + xe y dy = e 0.5 + e ( 0.) = e (0.5 0.) = 0.05e 3.4 Koeficijenti parcijalne i križne elastičnosti Koeficijent parcijalne elastičnosti funkcije dvije varijable, f(x, y), u odnosu na varijablu x definira se kao E f,x = x f f x Interpretacija: E f,x na nivou (x, y) = (x 0, y 0 ) nam govori za koliko se približno posto poveća vrijednost funkcije f, ako se varijabla x iz nivoa x 0 poveća za %, a varijabla y ostane nepromijenjena. 4
Analogno se definira i koeficijent parcijalne elastičnosti funkcije dvije varijable, f(x, y), u odnosu na varijablu y: E f,y = y f f y Interpretacija: E f,x na nivou (x, y) = (x 0, y 0 ) nam govori za koliko se približno posto poveća vrijednost funkcije f, ako se varijabla y iz nivoa y 0 poveća za %, a varijabla x ostane nepromijenjena. Zadatak 3.2. Izračunajte koeficijente parcijalne elastičnosti funkcije f(x, y) = x y2 u odnosu na varijable x i y, te interpretirajte rezultat na nivou x = 25, y = 3. E f,x = x f f x = E f,x (25, 3) = x x y 2 25 2(25 9) = 25 32 2 x y = x 2 2(x y 2 ) Na nivou x = 25, y = 3 kada x povećamo za % vrijednost funkcije f će se povećati približno za 25 32 %. E f,y = y f f y = E f,y (25, 3) = y x y 2 9 25 9 = 9 6 2 y2 ( 2y) = x y2 x y 2 Na nivou x = 25, y = 3 kada y povećamo za % vrijednost funkcije f će se smanjiti približno za 9 6 %. Pretpostavimo da na tržistu imamo dva proizvoda. Označimo sa p cijenu prvog, a sa p 2 cijenu drugog. q neka je potražnja za prvim proizvodom. Kako ona ovisi o cijeni tog proizvoda, ali i o cijeni drugog proizvoda, q je zapravo funkcija dvije varijable, tj. q = q (p, p 2 ). Analogno, q 2 (p, p 2 ) je funkcija potražnje za drugim proizvodom. Koeficijenti križne elastičnosti su specijalni slučaj koeficijenata parcijalne elastičnosti i opisuju ponašanje funkcije potražnje jednog proizvoda u slučaju kada se mijenja cijena drugog proizvoda. Dakle koeficijenti križne elastičnosti su E q,p 2 i E q2,p. 42
Kažemo da je neki proizvod normalno dobro ukoliko povećanje cijene tog proizvoda (dobra) uzrokuje pad potražnje za tim dobrom (p q ). Proizvodi su supstituti ukoliko rast cijene jednog od njih uzrokuje rast potražnje za drugim. (p 2 q ). Proizvodi su komplementi ukoliko rast cijene jednog od njih uzrokuje pad potražnje za drugim. (p 2 q ). Zadatak 3.3. Dana je funkcija potražnje q (p, p 2 ) = 2 p2 + 5 p 2. Izračunajte i interpretirajte koeficijente parcijalne i križne elastičnosti na nivou cijena p =, p 2 = 2, te interpretirajte rezultat. Jesu li proizvodi komplementi ili supstituti? koeficijent parcijalne elastičnosti: E q,p = p q q p = E q,p (, 2) = 2 + 5 2 p 2 p2 + 5 p = p 2 = 3 p 2 2 p2 + 5 p 2 Na nivou cijena p =, p 2 = 2, kada cijenu prvog proizvoda (p ) povećamo za % potražnja za tim proizvodom (q ) poraste približno za %. Zaključujemo 3 da prvi proizvod nije normalno dobro. koeficijent križne elastičnosti: E q,p 2 = p 2 q q p 2 = E q,p 2 (, 2) = p 2 2 p2 + 5 p 2 ( 5 p 2 2 5 2 + 5 = 5 6 2 ) = 5 p 2 ( 2 p2 + 5 p 2 ) = 5 2 p2 p 2 + 5 Na nivou cijena p =, p 2 = 2, kada cijenu drugog proizvoda (p 2 ) povećamo za % potražnja za prvim proizvodom (q ) smanji se približno za 5 %. Zaključujemo da su proizvodi 6 komplementi. Zadatak 3.4. Zadana je funkcija proizvodnje Q(L, C) = 2 L 3 C. Izračunajte E Q,L i E Q,C. 43
Q(L, C) = 2 L 3 2C 2 Cobb-Douglasova funkcija E Q,L = 3 2, E Q,C = 2 Zadatak 3.5. Zadano je ln q =.423 lnp + 4 lnp 2. Izračunajte koeficijente parcijalne i križne elastičnosti funkcije q. E q,p =.423 (proizvod je normalno dobro) E q,p 2 = 4 (proizvodi su supstituti) 3.5 Eulerov teorem Teorem 3.6 (Eulerov teorem). Neka je f = f(x, x 2,..., x n ) homogena realna funkcija n realnih varijabli, sa stupnjem homogenosti α. Tada vrijedi: x f x + x 2 f x2 +... + x n f xn = α f / : f, E f,x + E f,x2 +... + E f,xn = α. Zadatak 3.7. Zadana je funkcija Izračunajte xf x + yf y. f(x, y) = x 2 y 3 ln x(y x) y 2. Prvo provjerimo da li je f homogena i, ako jest, kojeg stupnja: f(λx, λy) =(λx) 2 (λy) 3 λx (λy λx) ln (λy) 2 =λ 2 x 2 λ 3 y 3 λ/x λ/ (y x) ln λ/y 2 2 =λ x 2 y 3 x(y x) ln y }{{ 2 } f(x,y) f homogena stupnja α =. 44
Sada primjenom Eulerovog teorema dobivamo: xf x + yf y = f = x 2 y 3 ln x(y x) y 2. Zadatak 3.8. Zadana je funkcija f(x, y) = t x(ln x ln y) + y t. Odredite parametar t R, t 0, takav da vrijedi xf x = yf y. Prvo provjerimo homogenost funkcije f: f(λx, λy) = t λx(ln (λx) ln(λy)) + (λy) t =λ λ/x t x t ln λ/y + λ t y t ( ) =λ t x x t ln y + y t =λ t ( t x(ln x ln y) + t y ) }{{} f(x,y) Primjenom Eulerovog teorema dobivamo: f homogena stupnja α = t. xf x + yf y = α f = t f = (uvjet zadatka) = 0. Kako f nije svuda jednaka 0, slijedi = 0, što nije moguće. t Zaključimo, ne postoji takav t R. Zadatak 3.9. Odredite parametar t R, t > 0, takav da vrijedi xu x + yu y + zu z = u, ako je ln u(x, y, z) = ln 2 + ln t x2 ln t+ y ln t+ z. Ispitujemo homogenost u: ln u(x, y, z) = ln 2 + ln x 2 t ln y t+ ln z t+ = ln 2 + 2 t lnx t + ln y t + ln z homogena, α = 2 t t + t + = 2 t 2 t +. 45
Eulerov teorem α =, 2 t 2 t + =, 2 t 2 t + = 0, 2 t 2 t t(t + ) = 0 t 2 t + 2 = 0 t = 2, t 2 =. Zbog t > 0 t =. Zadatak 3.20. Dana je funkcija f(x, y, z) = x y ln z. Izračunajte xf x + yf y + zf z. Funkcija f je parcijalno homogena sa koeficijentom α = 2 f(λx, λy, z) = λx λy ln z = λ 2 x ln z. y }{{} f(x,y,z) jer je (Euler) xf x + yf y = x ln z 2 y (fiksiramo z, kao da je neka konstanta). Ostaje nam derivirati f po z: f z = x y z zf z = z\ x y z\ = x y. xf x + yf y + zf z = x ln z + x. 2 y y Zadatak 3.2. Dana je funkcija potražnje za proizvodom u ovisnosti o cijenama proizvoda i proizvoda 2: q (p, p 2 ) = 2p 2 (2p t 2 + pt ) t. Odredite parametar t R takav da je suma parcijalne i križne elastičnosti jednaka 0. 46
E q,p + E q,p 2 = 0 = (Euler) = α q (λp, λp 2 ) =2λp 2 (2λ t p t 2 + λ t p t ) t =2λp 2 [λ t (2p t 2 + p t )] t =2λp 2 λ t2 (2p t 2 + p t ) t =λ t2 2p 2 (2p t 2 + p t ) t }{{} q (p,p 2 ) q homogena, α = t 2 t 2 = 0 t = ±. Zadatak 3.22. Neka je dana funkcija proizvodnje u ovisnosti o radu L i kapitalu C, Q(L, C) = 0.5L C. Izračunajte sumu svih parcijalnih elastičnosti proizvodnje. Q(L, C) = 0.5L C 2 homogena s koeficijentom α = + 2 = 3 2 (Euler) E Q,L + E Q,C = α = + 2 = 3 2. Q je funkcija rastućih prinosa (α > ). Zadatak 3.23. Neka je dana funkcija proizvodnje Q(L, C, t) = 0.5L Ce 0.3t. Izračunajte sumu svih parcijalnih elastičnosti proizvodnje. Po prethodnom zadatku je E Q,L + E Q,C = 3 2. E Q,t = t Q Q t = t 0.5L Ce 0.3t 0.5L Ce 0.3t 0.3 = 0.3t. E Q,L + E Q,C + E Q,t = 3 2 + 0.3t. Zadatak 3.24. Zadana je Cobb-Douglasova funkcija proizvodnje u logaritamskom obliku, ln Q = 0.23 + 0.23 lnl + 0.35 lnc. Izračunajte sumu svih parcijalnih elastičnosti proizvodnje. 47
E Q,L + E Q,C = (Euler) = α = 0.23 + 0.35 = 0.58 Q je funkcija opadajućih prinosa (α < ). Zadatak 3.25. Funkcija potražnje za proizvodom A homogena je stupnja, te ovisi o cijeni proizvoda A i B. Ako je koeficijent elastičnosti te funkcije u odnosu na cijenu proizvoda A jednak -0.5, izračunajte vrijednost koeficijenta elastičnosti te iste funkcije potražnje u odnosu na cijenu proizvoda B, te ga interpretirajte. Neka su p A i p B cijene proizvoda A, odn. B, a q A = q A (p A, p B ) funkcija potražnje za proizvodom A. E qa,p A + E qa,p B = α 0.5 + E qa,p B = E qa,p B = + 0.5 =.5 Interpretacija: Ako cijena proizvoda B naraste za %, potražnja za proizvodom A poraste približno za.5% (p B % q A.5%). Proizvodi A i B su supstituti. 3.6 Implicitno zadane funkcije Pretpostavimo da je jednadžbom F(y, x, x 2,..., x n ) = 0 implicitno definirana funkcija y = f(x, x 2,...,x n ) (tj. da se iz jednadžbe y može izraziti kao funkcija od x,...,x n ). Tada su parcijalne derivacije od f dane sa: f x i = f xi = F x i F y. Zadatak 3.26. Neka je funkcija y = y(x) dana implicitno formulom F(y, x) = x 2 + xy + y 2 6. Odredite y (x). 48
Prije bismo to izračunali ovako (vidi derivacije implicitne funkcije): Sada znamo i jednostavnije: x 2 + xy + y 2 6 = 0 /() 2x + y + xy + 2yy = 0 y (2y + x) = (2x + y) y = y (x) = 2x + y x + 2y dy dx = y (x) = F x F y = 2x + y x + 2y. Zadatak 3.27. Neka je funkcija z = f(x, y) dana implicitno formulom F(z, x, y) = x 2 2y 2 + 3z 2 yz + y = 0. Odredite parcijalne derivacije funkcije z. z x = F x = 2x F z 6z y z y = F y = 4y z + F z 6z y Zadatak 3.28. Dana je ovisnost količine proizvodnje, rada i kapitala: Q 3 LC = 0. Odredite graničnu produktivnost kapitala ( Q C ), te graničnu stopu tehničke supstitucije kapitala radom ( C ( Q L F(Q, L, C) = Q 3 LC ), graničnu produktivnost rada L ). 49
Q C = Q C = F C F Q = L 3Q 2 = L 3Q 2 (kada C jedinicu Q Q L = Q L = F L F Q = C 3Q 2 = C 3Q 2 L jedinica), 3Q 2 (kada L jedinicu Q C jedinica), 3Q 2 C L = C L = F L = C F C L = C L (kada L jedinicu C C jedinica). L Napomena (2. način): Ovdje smo mogli i izlučiti svaku pojedinu varijablu, pa onda derivirati: npr. Q 3 = LC Q = 3 LC = (LC) 3 Q C = Q C = 2 L 3 (LC) 3 L = 3 3 (LC) = L 2 3Q 2. No, to nije uvijek moguće, a i račun je kompliciraniji od. načina. Zadatak 3.29. Na nivou proizvodnje Q = 0, rad i kapital su povezani relacijom: L 0.3 C 0.7 = 0. Odredite graničnu stopu tehničke supstitucije kapitala radom i interpretirajte. F(L, C) = L 0.3 C 0.7 0 = 0 C L = C L = F L = C0.7 0.3L 0.7 C0.7 F C L 0.3 0.7C = 0.3 C 0.3 = 0.3C 0.3 L 0.3 0.7 L0.7 0.7L Interpretacija: L jedinicu C 0.3C jedinica da bi se odrala ista razina 0.7L proizvodnje. Npr. na nivou L = 0, C = 0, ako L povećamo za jedinicu, C se smanji za 3 jedinica. Tada je L = 0 + =, C = 0 3 = 7 7 94. 7 50
3.7 Parcijalne derivacije višeg reda Teorem 3.30 (Youngov ili Schwarzov teorem). Pretpostavimo da su mješovite parcijalne derivacije drugog reda 2 f x j x i 2 f x i x j funkcije f(x,...,x n ) obje neprekidne na otvorenom skupu S. Tada su te dvije parcijalne derivacije jednake u svim točkama skupa S. Drugim riječima, 2 f = 2 f, x i x j x j x i ako su te obje parcijalne derivacije neprekidne. Zadatak 3.3. Za funkciju f(x, y, z) = zy x izračunajte i f x, 2 f y 2, 2 f y x, 3 f x y z. f x = f x = zy x ln y f y = f y = zxy x 2 f y 2 = f yy = zx(x )y x 2 2 f y x = f yx = zxy x ln y + zy x y = zxyx ln y + zy x 3 f x y z = f y x z = f xyz = xy x ln y + y x 3.8 Ekstremi funkcija dviju varijabli Postupak za odredivanje ekstrema funkcije dvije varijable je sljedeći:. Odredimo stacionarne točke. To su točke koje su rješenja sustava jednadžbi: { fx = 0 f y = 0 (x, y ) stacionarne točke 5
2. Računamo funkcije: D = f xx, D 2 = f xx f xy f yx f yy = f xxf yy fxy 2 [ ] fxx f Napomena: Matrica xy naziva se Hesseova matrica funkcije f yx f yy f, a njena determinanta, koju smo mi označili s D 2 naziva se Hesijan. 3. Za svaku stacionarnu točku provjeravamo njen karakter: Ukoliko je D (x, y ) > 0 i D 2 (x, y ) > 0 (x, y ) je točka lokalnog minimuma. Ukoliko je D (x, y ) < 0 i D 2 (x, y ) > 0 (x, y ) je točka lokalnog maksimuma. Ukoliko je D 2 (x, y ) < 0 (x, y ) nije ekstrem, nego sedlasta točka. Ukoliko je D 2 (x, y ) = 0 za odredivanje karaktera točke (x, y ) potrebno je provesti daljnja ispitivanja; (x, y ) može biti točka lokalnog maksimuma, točka lokalnog minimuma, ili sedlasta točka. Zadatak 3.32. Odredite ekstreme funkcije f(x, y) = 80 y 2 +x 3 +2y 3x. Domena: x R, y R f x = 3x 2 3 = 0 x =, x 2 = f y = 2y + 2 = 0 y = 6 f xx = 6x f xy = 0 f yy = 2 T (, 6) i T 2 (, 6) su stacionarne točke } T (, 6) D (, 6) = 6 > 0 D 2 (, 6) = 2 < 0 T 2 (, 6) D (, 6) = 6 < 0 D 2 (, 6) = 2 > 0 D = 6x D 2 = 6x ( 2) 0 = 2x f(, 6) = 8 M(, 6; 8) T (, 6) je sedlasta točka } T 2 (, 6) je točka lokalnog maksimuma. 52
Zadatak 3.33. Odredite ekstreme funkcije u(x, y) = 3 ln x 6 + 2 lny + ln(2 x y). Domena: x, y > 0, 2 x y > 0 u x = 3 x 6 2 > x + y tj. x + y < 2 6 + 0 + 2 x y ( ) = 3 x 2 x y = 4x 3y+36 x(2 x y) = 0 u y = 2 y + 2 x y ( ) = 2 y 2 x y = 2x 3y+24 y(2 x y) = 0 4x 3y + 36 = 0 2x 3y + 24 = 0 4x + 3y = 36/II ( ) + I 2x + 3y = 24 2x = 2 x = 6, y = 4 T(6, 4) je stacionarna točka u xx = 3 x 2 (2 x y) 2 u xx (6, 4) = 3 36 4 = 3 u xy = (2 x y) 2 u xy (6, 4) = 4 u yy = 2 y 2 (2 x y) 2 u yy (6, 4) = 2 6 4 = 3 8 D (6, 4) = u xx (6, 4) = 3 < 0 D 2 (6, 4) = u xx (6, 4) u yy (6, 4) [u xy (6, 4)] 2 = 3 ( 3 8 ) ( 4 )2 = 6 > 0 u(6, 4) = 3 ln2 M(6, 4; 3 ln2) je maksimum. Zadatak 3.34. Odredite ekstreme funkcije z(x, y) = 8 x + x y + y. Domena: x 0, y 0 53
z x = 8 x 2 + y = 8y+x2 x 2 y = 0 8y + x 2 = 0 z y = x y 2 + = x+y2 y 2 = 0 x + y 2 = 0 8y + x 2 = 0 x + y 2 = 0 x = y 2 y 4 8y = 0 y(y 3 8) = 0 y = 0, y 2 = 2 x = 4 z xx = 6 x 3 z xx (4, 2) = 6 4 3 = 4 T(4, 2) je stacionarna točka z xy = y 2 z xy (4, 2) = 2 2 = 4 z yy = 2x y 3 z yy (4, 2) = 2 4 2 3 = D (4, 2) = z xx (4, 2) = 4 > 0 D 2 (4, 2) = z xx (4, 2) z yy (4, 2) [z xy (4, 2)] 2 = 4 ( 4 )2 = 3 6 > 0 z(4, 2) = 6 m(4, 2; 6) je minimum. Zadatak 3.35. Dane su cijene dvaju dobara u ovisnosti o količinama proizvodnje p = 5 Q i p 2 = 0 Q 2, te funkcija ukupnih troškova T(Q, Q 2 ) = 5Q + 4Q 2 + 5. Nadite optimalnu kombinaciju proizvodnje u cilju maksimiziranja dobiti. Koliko ona iznosi? PRIHODI: P(Q, Q 2 ) = p Q + p 2 Q 2 = (5 Q )Q + (0 Q 2 )Q 2 = 5Q Q 2 + 0Q 2 Q 2 2 TROŠKOVI: T(Q, Q 2 ) = 5Q + 4Q 2 + 5 54
DOBIT: D(Q, Q 2 ) = P(Q, Q 2 ) T(Q, Q 2 ) = 5Q Q 2 + 0Q 2 Q 2 2 5Q 4Q 2 5 = Q 2 Q2 2 + 0Q + 6Q 2 5 Tražimo maksimum dobiti. D Q = 2Q + 0 = 0 Q = 5 D Q2 = 2Q 2 + 6 = 0 Q 2 = 3 D Q Q = 2 D Q,Q 2 = 0 (Q, Q 2 ) = (5, 3) je stacionarna točka D (5, 3) = 2 < 0 D 2 (5, 3) = 2 ( 2) 0 2 = 4 > 0 D Q2,Q 2 = 2 D(5, 3) = 29 M(5, 3; 29) je maksimum. Maksimalna dobit se ostvaruje na razini proizvodnje Q = 5, Q 2 = 3 i iznosi 79. DZ 3.36. Zadana je funkcija ukupnih troškova za dva proizvoda T(Q, Q 2 ) = Q 2 + 3Q2 2 + Q Q 2 + 0 i prodajne cijene p = 7, p 2 = 20. Ispitajte uz koju se količinu Q i Q 2 ostvaruje maksimum dobiti i koliko ona iznosi. Maksimum dobiti se postiže na razini proizvodnje Q = 2, Q 2 = 3. DZ 3.37. Odredite ekstreme funkcije z(x, y) = x2 +y 2 x. Ekstremi ne postoje (nema stacionarnih točaka). 3.9 Ekstremi funkcija dviju varijabli s ograničenjem Pretpostavimo da su f(x, y) i g(x, y) realne funkcije dviju varijabli. Cilj nam je pronaći ekstreme funkcije f(x, y) na skupu točaka (x, y) koje zadovoljavaju jednadžbu g(x, y) = 0. Drugim riječima, rješavamo problem: f(x, y) min, max uz ograničenje: g(x, y) = 0. 55
3.9. Metoda supstitucije Uputa: Ukoliko je moguće, iz uvjeta izrazimo jednu varijablu preko druge i to uvrstimo u funkciju čije ekstreme tražimo. Na taj način problem ekstrema funkcije dviju varijabli s ograničenjem svodimo na problem ekstrema funkcije jedne varijable bez ograničenja. Zadatak 3.38. Nadite ekstremne vrijednosti funkcije z(x, y) = e x y uz ograničenje x + y = 4. z(x, y) = e x y x + y = 4 y = 4 x Sada supstitucijom varijable y u funkciji z(x, y) dobivamo: z(x, y) = z(x) = e x(4 x) = e 4x x2 z (x) = e 4x x2 (4 2x) = 0 x = 2 je stacionarna točka z (x) = e 4x x2 (4 2x) 2 + e 4x x2 ( 2) z (2) = 2e 4 < 0, z(2) = e 4, y = 4 2 = 2 M(2, 2; e 4 ) je lokalni maksimum. Zadatak 3.39. Neka je cijena jedinice rada, jedinice kapitala 2, a fiksni troškovi 0. Ako je dana funkcija proizvodnje Q(L, C) = 0.5( L + C) 2, nadite optimalnu kombinaciju rada i kapitala u cilju minimizacije troškova, a na nivou proizvodnje Q = 8. Koliki su ti minimalni troškovi? T(L, C) = L + 2 C + 0 = L + 2C + 0 min Q(L, C) = 0.5( L + C) 2 = 8 ( L + C) 2 = 6/ L + C = 4 L = 4 C/() 2 L = (4 C) 2 Supstitucijom varijable L funkcija ukupnih troškova prelazi u T(L, C) = T(C) = (4 C) 2 + 2C + 0 T (C) = 2(4 C) ( 2 2 ) + 2 = 0 56
4 C + + 2 = 0 4 C = 3 C = 4 3 C = 6 9 je stacionarna točka L = (4 T (C) = ( 4C 2 + 3) = 4 ( 2 )C 3 2 = 2 T ( 6 9 ) > 0 min, T(6 ) = 86 9 9 6 9 )2 = ( 8 3 )2 = 64 9 C 3 2 m( 6 9, 64 9 ; 86 ) je lokalni minimum. 9 Zadatak 3.40. Dana je funkcija troškova T(L, C) = 2L + C + 0 i funkcija proizvodnje Q(L, C) = L C u ovisnosti o radu i kapitalu. Nadite kombinaciju rada i kapitala uz koju se na nivou proizvodnje Q = 8 ostvaruju minimalni troškovi. T(L, C) = 2L + C + 0 Q(L, C) = L C = 8 L = 8 C T(L, C) = T(C) = 6 C + C + 0 T (C) = 6 C 2 + = 0 C 2 = 6 (C > 0) C = 4 je stac. točka L = 8 4 = 2 T (C) = 32 C 3 T (4) = 32 4 3 > 0 min, T(4) = 8 m(2, 4; 8) je lokalni minimum. 57
3.9.2 Metoda Lagrangeovih multiplikatora Problem f(x, y) min, max uz ograničenje: g(x, y) = 0. moguće je u većini slučajeva (pa i onda kada ne možemo primijeniti metodu supstitucije) riješiti metodom Lagrangeovih multiplikatora:. Definiramo Lagrangeovu funkciju L(x, y, λ) = f(x, y) + λg(x, y) 2. Odredimo stacionarne točke Lagrangeove funkcije, tj. točke koje su rješenja sustava jednadžbi: L x = 0 L y = 0 (x, y, λ ) stacionarne točke L λ = 0 3. Računamo sve parcijalne derivacije drugog reda Lagrangeove funkcije: L xx, L xy, L xλ, L yy, L yλ, L λλ, L xx L xy L xλ a potom determinantu D = L yx L yy L yλ L λx L λy L λλ. 4. Za svaku stacionarnu točku provjeravamo njen karakter: Ako je D(x, y, λ ) < 0 (x, y ) je točka lokalnog minimuma. Ako je D(x, y, λ ) > 0 (x, y ) je točka lokalnog maksimuma. Zadatak 3.4. Odredite ekstreme funkcije f(x, y) = 4y uz ograničenje (x 5) 2 + 9(y 4) 2 = 9. f(x, y) = 4y g(x, y) = 9 (x 5) 2 9(y 4) 2 58
L(x, y, λ) = 4y + λ(9 (x 5) 2 9(y 4) 2 ) L x = 2λ(x 5) = 0 λ(x 5) = 0, λ 0 x = 5 L y = 4 8(y 4)λ = 0 λ = 4 8(y 4) L λ = 9 (x 5) 2 9(y 4) 2 = 0 x = 5 9 9(y 4) 2 = 0 (y 4) 2 = y 4 = ± y = 3, y 2 = 5 Dobivamo dvije stacionarne točke: T (5, 3) λ = 4 8(3 4) 2 9 T 2 (5, 5) λ 2 = 4 8(5 4) 9 T (5, 3), λ = 2 9 : D = L xx = 2λ L xy = 0 L xλ = 2(x 5) L yy = 8λ L yλ = 8(y 4) L λλ = 0 2λ 0 2(x 5) 0 8λ 8(y 4) 2(x 5) 8(y 4) 0 = 4 9 (0 82 ) < 0 lok. minimum = f(5, 3) = 4 3 = 2 m(5,3;2) T 2 (5, 5), λ 2 = 2 : 9 2λ 0 2(x 5) D = 0 8λ 8(y 4) 2(x 5) 8(y 4) 0 = = 4 9 (0 ( 8)2 ) > 0 lok. maksimum f(5, 5) = 4 5 = 20 M(5,5;20) 4 0 0 9 0 4 8 0 8 0 = 4 9 0 0 0 4 8 0 8 0 = Zadatak 3.42. Odredite ekstreme funkcije f(x, y) = x y uz ograničenje x 2 + y 2 = 2. 59
f(x, y) = 4y g(x, y) = 2 x 2 y 2 = 0 L(x, y, λ) = x y + λ(2 x 2 y 2 ) L x = 2λx = 0 λ = 2x L y = 2λy = 0 λ = 2x = 2y 2y x = y L λ = 2 x 2 y 2 = 0 2 x 2 x 2 = 0 Dobili smo dvije stacionarne točke: T (, ), λ = 2 : D = = 2x 2 = 2 x 2 = x =, x 2 = y =, y 2 = λ = 2, λ 2 = 2 T (, ), λ = 2 T 2 (, ), λ 2 = 2 L xx = 2λ L xy = 0 L xλ = 2x L yy = 2λ L yλ = 2y L λλ = 0 2λ 0 2x 0 2λ 2y 2x 2y 0 0 2 0 2 0 2 4 T 2 (, ), λ 2 = 2 : D = = = 0 2 0 2 = 2 2 0 I 2 + III = ( ) ( 4 4) > 0 f(, ) = + = 2 M(-,-;2) 2λ 0 2x 0 2λ 2y 2x 2y 0 0 2 0 2 0 2 4 = = ( 4 4) < 0 0 2 0 2 2 2 0 lok. maksimum = I 2 + III lok. minimum 60
f(, ) = = 2 m(,;-2) Zadatak 3.43. Dana je funkcija troškova T(Q, Q 2 ) = 2Q 2 + Q Q 2 + Q 2 2 gdje su Q, Q 2 0 količine proizvodnje za dva proizvoda. Odredite Q i Q 2 tako da troškovi budu minimalni, a da ukupna proizvodnja bude 20. Problem glasi: T(Q, Q 2 ) = 2Q 2 + Q Q 2 + Q 2 2 min uz ograničenje Q + Q 2 = 20 I. Metoda supstitucije: Q 2 = 20 Q T(Q, Q 2 ) = T(Q ) = 2Q 2 + Q (20 Q ) + (20 Q ) 2 = 2Q 2 20Q + 400 T (Q ) = 4Q 20 = 0 Q = 5 T (Q ) = 4 > 0 T (5) = 4 > 0 lok. min. Q 2 = 20 5 = 5, T(5, 5) = 350 m(5,5;350) II. Metoda Lagrangeovih multiplikatora: L(Q, Q 2, λ) = 2Q 2 + Q Q 2 + Q 2 2 + λ(20 Q Q 2 ) } L Q = 4Q + Q 2 λ = 0 λ = 4Q + Q 2 Q L Q2 = Q + 2Q 2 λ = 0 λ = Q + 2Q 2 = 3Q 2 L λ = 20 Q Q 2 = 0 20 Q 3Q = 0 20 4Q = 0 Q = 5 Q 2 = 5 λ = 35 Dobili smo stacionarnu točku: T(5, 5), λ = 35 L Q Q = 4 L Q Q 2 = L Q λ = L Q2 Q 2 = 2 L Q2 λ = L λλ = 0 6
T(5, 5), λ = 35 : D = 4 2 0 I ( ) + II = 4 3 0 0 = = ( ) ( ) 3+3 (3 + ) = 4 < 0 lok. minimum f(5, 5) = 350 m(5,5;350) Interpretacija Lagrangeovog multiplikatora λ = 35: Ako ukupnu količinu proizvodnje povećamo za jednu (beskonačno malu) jedinicu, ukupni troškovi će se povećati za 35 jedinica. Zadatak 3.44. Potrošačeva funkcija korisnosti za dva dobra je u(x, x 2 ) = 2x x 2 +2x +x 2. Ako je cijena prvog dobra 2, a drugog, nadite maksimalnu korisnost uz budžet 8. Problem glasi: u(x, x 2 ) = 2x x 2 + 2x + x 2 max uz ograničenje 2x + x 2 = 8 I. Metoda supstitucije: x 2 = 8 2x u(x, x 2 ) = u(x ) = 2x (8 2x ) + 2x + 8 2x = 4x 2 + 6x + 8 u (x ) = 8x + 6 = 0 x = 2 u (x ) = 8 < 0 u (2) = 8 < 0 lok. maks. x 2 = 8 2 2 = 4, u(2, 4) = 24 M(2,4;24) II. Metoda Lagrangeovih multiplikatora: L(x, x 2, λ) = 2x x 2 + 2x + x 2 + λ(8 2x x 2 ) } L x = 2x 2 + 2 2λ = 0 λ = x 2 + x L x2 = 2x + λ = 0 λ = 2x + 2 = 2x L λ = 8 2x x 2 = 0 8 2x 2x = 0 62
8 4x = 0 x = 2 x 2 = 4 λ = 5 Dobili smo stacionarnu točku: T(2, 4), λ = 5 T(2, 4), λ = 5 : D = L x x = 0 L x x 2 = 2 L x λ = 2 L x2 x 2 = 0 L x2 λ = L λλ = 0 0 2 2 2 0 2 0 = II + III 0 2 2 2 0 0 = = 2 ( ) 2+ (0 ) = 2 > 0 lok. maksimum f(2, 4) = 24 M(2,4;24) Interpretacija Lagrangeovog multiplikatora λ = 5: Ako budžet povećamo za jednu (beskonačno malu) jedinicu, korisnost će se povećati za 5 jedinica. 63