Aioma suplimet matematic-r.3 SCURTĂ INCURSIUNE ÎN LUMEA ORTHOSULUI Prof. Dumitru Oprea,Dragodăeşti ORTHOS este u cuvât î limba greacă care îseamă drept (corect) şi care a geerat, î geeral ca prefi, o serie de cuvite oi î diverse domeii ale cuoaşterii şi chiar î vorbirea curetă. Î cele mai multe cazuri se foloseşte ca prefi cuvâtul ORTO astfel îcât, combiat cu alte cuvite, fie de origie greacă, fie de origie romaă, a ăscut oţiui oi (bogate î coţiut şi î semificaţie) sau, u de puţie ori, a dat aştere chiar la ştiiţe oi. Î cele ce urmează vom prezeta cititorului mai îtâi elemete di lumea matematică a ortosului. O primă clasă o formează combiarea ditre ORTO şi GONIA = ughi, dâd aştere la ORTOGONAL, astfel că avem: a) drepte ortogoale (drepte perpediculare) b) direcţii ortogoale c) curbe ortogoale [ două curbe (C) şi (C') sut ortogoale î M=(C) (C') dacă tagetele lor î M sut perpediculare ] d) doi vectori, y V spaţiu vectorial (dotat cu produs scalar) dacă produsul lor scalar, y. Două subspaţii vectoriale A şi B ale aceluiaşi spaţiu vectorial V (dotat cu produs scalar) se zic subspaţii ortogoale dacă toţi vectorii di A sut ortogoali pe vectorii di B. Cel mai mare subspaţiu ortogoal pe u subspaţiu dat se umeşte complemet ortogoal al respectivului subspaţiu. Trasformarea liiară T : V V se zice ortogoală dacă păstrează produsul scalar a T, T y, y ; î acest caz, avem îtotdeaua doi vectori, adică, y T ( ), T ( y ) şi T ( ), ude pri se îţelege orma = lugimea vectorului. Dacă vectorii uei baze a spaţiului vectorial V sut ortogoali, baza se zice ortogoală. Se ştie că u reper îtr-u spaţiu vectorial este costituit ditr-u puct O umit origie şi ditr-o bază v, v..., v, atuci O; v, v,... v reper î V; î caz că vi v oricare j ar fi i, j,, reperul se zice ortogoal. Î aceiaşi familie a ortogoalităţii, avem matricele ortogoale (matricele pătrate î care AA I ), apoi î geometrie avem proiecţia ortogoală, simetria ortogoală. Cele de mai sus arată geeralitatea ortogoalităţii faţă de perpedicularitate. Ea se etide şi la fucţii. Petru două fucţii f şi g cotiue pe a, b se poate itroduce produsul lor scalar (ca fiid b f, g f g d sau mai geeral, dacă cosiderăm şi o fucţie a atuci se defieşte produsul f, g f g d. b a eegativă,
Aioma suplimet matematic-r.3 Î caz că f, g atuci fucţiile f şi g se zic ortogoale. De eemplu, fucţiile f 3şi g 5 sut ortogoale pe,, deoarece f 7 9 g d ; aalog fucţiile f si şi g cos m sut ortogoale pe,. Studiul fucţiilor ortogoale are puterice implicaţii î teoria seriilor Fourier. Polioamele Hermite, Legedre, Laguerre, Cebâşev sut ortogoale. Î 9, celebrul matematicia poloez Stephe Baach itroduce oţiuea de ormă î spaţiile vectoriale, îţelegâd pri vector ormat vectorul = vector uitar. Î acest mod, termeul greco-lati orthoormat eprimă deodată caracterul de ughi drept şi de vectori uitari. Dacă ei şi ei, ej petru i, j,, atuci, e, e,..., e u reper ortoormat -dimesioal. O altă familie de obiecte matematice care fac parte tot di lumea ORTHOSULUI sut cele di geometria tetraedrului. Astfel, avem triughiul ortic (ale cărui vârfuri sut picioarele îălţimilor uui triughi dat), iar puctul de cocureţă al îălţimilor uui triughi dat se umeşte ortocetrul triughiului. Î mod aalog, î 87, geometrul elveţia Iacob Steier a itrodus oţiuea de tetraedru ortocetric (acel tetraedru î care cele 4 îălţimi ale sale sut cocurete). Î prima jumătate a sec. al XIX-lea, o serie de străluciţi geometri ca: Feuerbach, Vecte, Jacobi, l Huilier etc. au stabilit multiple proprietăţi ale tetraedrelor ortocetrice. De la triughi, orthosul s-a etis şi la patrulater dâd aştere la patrulatere ortodiagoale (care au diagoalele perpediculare). Tot di lumea ORTHOSULUI, fac parte o serie de cuvite cu profude semificaţii î cultură şi civilizaţia omeirii: ortodo (orto+doa = gâdire dreaptă) şi ortodoie; ortodramă (orto+dromos=drum drept)=drumul cel mai scurt ître două pucte de pe pămât; ortoedric, u poliedru cu feţe care se itersectează î ughiuri drepte. De asemeea, tot descedeţi di orthos sut ortografia (scrierea corectă îtr-o limbă); ortopedia, ortoepia (studiul prouţării corecte îtr-o limbă); ortocromatic; or toptere (u ordi de isecte) etc. Di cele de mai sus rezultă putericele ecouri pe care le-a avut orthosul î procesele de cuoaştere al omului de-a lugul veacurilor.
Aioma suplimet matematic-r.3 APLICAŢII ALE FUNCŢIEI si Prof. Sereela Gabriela Radu,Piteşti Î maualele de Aaliză matematică se tratează si lim care e utilizată la stabilirea a derivatelor fucţiilor si şi cos, fără a se face u studiu temeiic al fucţiei si f care are multiple şi iteresate aplicaţii î matematică şi î alte domeii. Î cele ce urmează, vom face u studiu al variaţiei (şi graficului) fucţiei si f : (ude f ) şi câteva aplicaţii ale acestei fucţii. si I. Observăm că : se prelugeşte pri cotiuitate la fucţia f si :, dacă s i f l i m. Apoi se costată imediat că f f, ceea ce îseamă că fucţia este pară (are graficul simetric faţă de Oy) şi ecuaţia f '( ) tg (fucţia are o ifiitate de pucte de etrem aproimate pri 4, 49; 4, 73;, 9; 4, 7... ) deci tabelul de variaţie este 3 4 şi graficul este reprezetat î Fig.. grafic este î Fig.: Astfel avem u prim eemplu de reprezetare pritr-o itegrală (î cazul ostru argumetul fucţiei este limita superioară a itegralei) a uei fucţii.celebrul matematicia germa Peter Gustav Lejeue Dirichlet (85-859) a arătat că sit Si dt şi de aceea t se umeşte azi itegrala Dirichlet [vezi []]. II. O primă aplicaţie a fucţiei si f este faptul că si d u poate fi eprimată pritr-u umăr fiit de fucţii elemetare şi permite deci defiirea fucţiei sius itegral. sit Si dt :, al cărei t 3
Aioma suplimet matematic-r.3 Vom calcula itegrala si d, folosid trasformata Laplace. Se ştie di tabelul trasformatelor Laplace, că dacă origialul este f t, atuci imagiea sa este F s, adică avem t s si ds L d lim arctgs. Dacă se îlocuieşte s L si cu si k î itegrala Dirichlet, se obţie o altă epresie petru fucţia sig: petru k si k d petru k al cărei petru k grafic este reprezetat î Fig.3. O aplicaţie fasciată a fucţiei si f se datoreşte faptului că pri itermediul ei se demostrează matematic că pămâtul este rotud (aproimativ sferic), ceea ce echivalează cu faptul că lumea oastră este o lume rotudă, u plată. Fie u cerc (γ) costruit pe suprafaţa pămâtului, cu cetrul î Q şi cu raza r sau cu cetrul î N şi cu raza lug. NM (măsurată pe suprafaţa pămâtului) ude SON este aa polilor aşa cum se vede î Fig.4. Dacă observatorul se află î M pe suprafaţa pămâtului avâd colatitudiea θ MON (măsurată î radiai) iar pămâtul cosiderat sferic are raza R, atuci vom avea petru lugimea cercului (γ) două valori disticte după atitudiea observatorului M:. M cosideră pămâtul plat M p l. M cosideră pămâtul sferic ( M ) s si l r Rsi (deoarece R ). Petru se îtocmeşte următorul tabel: 3 4 5 3 4 5 6 7 8 9 l( ) / 6,83 6,83 6,8 6,8 6,78 6,75 6,5 6,56 6 5,785 5,56 5,96 4,833 4,43 4 Di tabel rezultă o descreştere î raport cu, a valorii raportului l / petru observatorul M, adică si p l /. Se observă că fucţia s i este cea care justifică atitudiea lui M s petru valori mici ale lui raportul l / şi de aici rezultă că pămâtul este rotud (sferic). Bibliografie: [] Eli Maor: Spledorile trigoometriei (Ed. Theta, Bucureşti 7) [] Radu Bădescu şi Costati Maica: Itegrale utilizate î mecaică, fizică şi tehică (Ed. Tehică, Bucureşti 968). 4
Aioma suplimet matematic-r.3 O GENERALIZARE A TEOREMEI LUI PYTHAGORA Miro Oprea Motto: Secţiuea de aur şi teorema lui Pythagora formează împreuă două tezaure ale geometriei J. Kepler (57-63) Se ştie că geeralizarea este ua di operaţiile fudametale ale gâdirii şi că multe teoreme (chiar cele de mai mică importaţă) di matematică au fost supuse procesului de geeralizare. Geeralizarea a fost şi rămâe î cotiuare uul di motoarele (cu mulţi cai putere ) pricipale ale dezvoltării matematicii. Celebra teoremă a lui Pythagora (cu multiplele sale iterpretări) a fost supusă operaţiei de geeralizare mai mult ca oricare altă teoremă di matematică. Astfel, prima geeralizare a teoremei lui Pythagora a fost dată de matematiciaul arab Tâbit (86-9) şi se referă la etiderea teoremei la u triughi oarecare. Î secolele XVIII-XX s-au dat alte geeralizări î spaţii multidimesioale care au permis apariţia uor oţiui matematice profude, ce au dus la crearea uor oi domeii î matematică. De eemplu, diagoala d a uui paralelipiped dreptughidc are lugimea 3 d î fucţie de cele 3 dimesiui 3,, ale muchiilor sale. Mai geeral, u paralelipiped dreptughic -dimesioal are diagoala d ude,,..., sut lugimea muchiilor sale. i i Este bie de precizat petru cititorul ostru, că teorema lui Pythagora îmbracă forme diferite î cele trei geometrii fudametale, după cum urmează. Geometria lui Euclid: a b c a a b b c c Geometria lui Lobacevski: k k k k k k e e e e e e ude k este o costată oarecare, iar e,78... Geometria lui Riema: Forma difereţială ds d ddy dy ude forma pătratică y y este pozitiv-defiită. Î cele ce urmează vom iterpreta teorema sub forma: aria pătratului costruit pe ipoteuză este egală cu suma ariilor pătratelor costruite pe catete. Geeralizarea pe care o precoizăm acum se referă la costruirea (î eteriorul triughiului dreptughic) pe laturile sale a uor figuri plae asemeea. Vom îţelege pri figuri plae asemeea, două figuri î care ua este o creştere (dilatare) a celeilalte. Astfel, două triughiuri echilaterale sut îtotdeaua asemeea, două cercuri sut asemeea, două pătrate, două poligoae regulate de acelaşi ume sut asemeea. Două dreptughiuri care au acelaşi raport ître cele două dimesiui, sut asemea şi eemplele pot cotiua. ABC Â 9, astfel Fie triughiul dreptughic că BC a (uităţi); CA=b; AB=C, î care avem b c a. Pri îmulţire cu k a relaţiei 5
, obţiem Aioma suplimet matematic-r.3 kb kc ka, ceea ce se traduce pri costruirea pe laturile triughiului a uor dreptughiuri aemeea, astfel că: aria dreptughiului costruit pe ipoteuză este egală cu suma ariilor dreptughiurilor costruite pe catete. Dacă k, atuci b c a, ceea ce 4 îseamă că aria semidiscului costruit pe ipoteuză este egală cu suma ariilor semidiscurilor costruite pe catetă (Fig.). Dacă 3 k, atuci avem că aria triughiului echilateral 4 costruit pe ipoteuză este egală cu suma ariilor triughiurilor echilaterale costruită pe catete. (Fig.3). Î cazul uui poligo regulat cu laturi se ia k ctg (de ude?) şi avem că aria poligoului regulat cu 4 laturi costruit pe ipoteuză este egală cu suma ariilor poligoaelor regulat de acelaşi ume costruite pe catete (Fig.4). Deci, î geeral, dacă pe laturile uui triughi dreptughic se costruiesc figuri asemeea cu raportul de asemăare k, atuci aria figurii costruite pe ipoteuză este egală cu suma ariilor figurilor costruite pe catete. Este bie ştiut că teorema lui Pythagora este cea mai importată şi cea mai populară teoremă di îtreaga matematică, fiid pusă îcă de la îceputul matematicii la temelia şi la dezvoltarea sa. Simplitatea şi frumuseţea sa au trezit iteresul multor iubitori ai matematicii, î a-i da demostraţie, astfel că astăzi se cuosc î jur de 4 demostraţii. Î 94, matematiciaul america Elisha Scott Loomis a scris lucrarea The pythagorea propositio care au cupris 37 demostraţii ale celebrei teoreme. Î 968 lucrarea a fost reeditată şi îmbogăţită cu oi demostraţii. Ceea ce este foarte iteresat şi atrage ateţia, este faptul că icio demostraţie u este trigoometrică. Ivităm cititorul să eplice: DE CE NU EXISTĂ NICIO DEMONSTRAŢIE TRIGONOMETRICĂ A TEOREMEI LUI PYTHAGORA? Î ecepţioala lucrare Matematica distractivă (Ed.SIGMA di 4) a lui I.Dăcilă îi este cosacrat îtreg cap.3 sub titlul O comoară a geometriei: teorema lui Pitagora. Autorul precizează că de-a lugul istoriei a fost umită î cele mai diverse feluri: teorema căsătoriei (eliii), scauul soţilor (hiduşii), figura evestii (persaii), putea măgarului (poreclă dată de liceei), stăpâa matematicii (matematicieii Evului Mediu). 6
Aioma suplimet matematic-r.3 O APLICAŢIE GEOMETRICĂ A POLINOAMELOR CEBÎŞEV Miro Oprea I. Itroducere După cum se ştie, polioamele Cebîşev apar î multe ramuri ale matematicii ca: teoria iterpolării, polioamele ortogoale, teoria aproimaţiei, aaliză umerică, teoria ergodică etc., ceea ce face di ele o veritabilă bijuterie matematică. Î lucrările sale, taletatul matematicia rus P.L. Cebîşev (8-894), pe baza dezvoltării î sume de si şi cos ale lui cos şi si stabilite de A. Moivre (667-754), costruieşte două tipuri de polioame şi aume t cos cu cos (cuoscut azi ca poliom Cebîşev de speţa îtâi) şi si u cu si cos (cuoscut azi ca poliom Cebîşev de speţa a doua). Î cele ce urmează vom pue î evideţă legătura ce eistă ître polioamele Cebîşev de speţa a doua şi poligoaele regulate (covee şi cocave). Clericul eglez Bradwardie (9-349) cu preocupări matematice, a dezvoltat î lucrările sale proprietăţile poligoaelor-stea regulate, ceea ce a stârit u iteres deosebit astroomului-geometru, J. Kepler (57-63) î a stabili ecuaţia 3 z 7z 4z 7 ale cărei rădăcii sut pătratele laturilor celor trei heptagoae regulate îscrise îtr-u cerc cu raza uu. II. Polioamele Cebîşev de speţa a doua Def.: Se umeşte poliom Cebîşev de speţa a doua, poliomul de gradul, dat de epresia si u ude cos şi,. si Di defiiţie se deduce imediat relaţia de recureţă ître trei polioame de grade cosecutive: u u u care permite rapid costruirea şirului de polioame Cebîşev de speţa a doua: 3 4 u ; u ; u 4 ; u 8 4 ; u 6 ; 5 3 6 4 3 3 6 ; 64 8 4 ;... 3 4 u5 u6 Tot direct, pe baza defiiţiei, rezultă proprietăţile: u u u u ) ) ; 3) rădăciile polioamelor u ; k cos cu, k Fie matricea simetrică tridiagoală de ordiul :.......... U.................. Observăm că: şi sut cuprise î itervalul,. sut reale 7
det det ceea ce îseamă că Aioma suplimet matematic-r.3............................... detu........................................ U U detu doua, adică u detu cu u şi verifică relaţia de recureţă a polioamelor Cebîşev de speţa a u. Calculâd primele două derivate î raport cu, ale poliomului Cebîşev de speţa a doua, avem: si u si ` cos si cos u 3 3cos si si u 3si cos si 3 si cos si si u si 6 si " ` u u u 3 care reprezită ecuaţia difereţială a polioamelor Cebîşev de speţa a doua. f Ştim că seria geometrică z z cu z. Dacă z cos i si cu z este covergetă, avâd ca limită fucţia r şi,, atuci putem scrie z r cos i si r cos i si r cos i r si, iar r cos ir si r cos r si f r cos i si i. r cos ir si r cos r si r cos r r cos r Deci: r cos cos r şi r cos r r si si si si r r r r cos r si r cos r şi si r cos r cum cos, avem că u r, ceea ce îseamă că f r r r r r este fucţia geeratoare a polioamelor u, iar r r r r este fucţia geeratoare a polioamelor t. 8
Aioma suplimet matematic-r.3 Teorema : Valorile proprii ale matricii U sut k 4si cu k,. Dem.: Valorile proprii ale lui U sut zerourile lui u, adică k cos. Deci k k k cos cos 4si. (q.e.d.) Fie poliomul v u u. Teorema : Zerourile poliomului v sut cos k. Dem: si si si ; deci v si k k, si si adică k cos cu k,. Se observă uşor că polioamele v verifică relaţia de recureţă v v v, deci sut tot polioame Cebîşev de speţa a doua cu v ; v. Acestor polioame le ataşăm matricea tridiagoală simetrică de ordiul......... astfel că detv v petru şi V............ v ; v. Teorema 3: Valorile proprii ale matricii V sut k 4si cu k,. Dem: Valorile proprii ale lui V sut rădăciile ecuaţiei algebrice î, det V, adică sut zerourile poliomului v. Deci avem cos k cos k 4si k cu k, (q.e.d.). 9
III. Aplicaţii la poligoae regulate şi figuri stea-regulate Aioma suplimet matematic-r.3 Fie u cerc de rază R, pe care îl divizăm î arce egale pri pucte de diviziue pe care le otăm,, 3,...,. Dacă uim puctele î mod succesiv se obţie poligoul regulat cove cu laturi, iar dacă le uim di q î q, ude q, se obţie o figură stea-regulată pe care o otăm. Î q caz că q, atuci poliomul regulat cove, iar dacă, q atuci se obţie poligoul regulat stelat. Eistă -goae regulate, ude fucţia lui Euler. Eemple: 5 5 petagoul regulat cove şi 5 petagoul stelat (petagrama) 6 6 heagoul regulat cove şi 6 două triughiuri echilaterale cu acelaşi cetru rotit uul faţa de celălalt cu 6 = steaua lui David. 7 7 heptagoul regulat cove şi 7 7 ;. 3 două heptagoae stelate 8 8 optogoul regulat cove şi 8 o figură stea (două pătrate egale cu acelaşi cetru rotit uul faţă de celălalt cu 45); 8 octogoul stelat. 3 Se vede imediat că l Rsi şi q l Rsi. Di teoremele şi 3 rezultă: Teorema 4: Valorile proprii ale matricilor q V şi U sut l şi k şi respectiv k cu q, k şi respectiv q, k. l q ale figurilor stea-regulate petru q Bibliografie: [.] V. Ruder şi C. Nicolescu: Probleme de matematici speciale (Ed. didactică, Bucureşti 98) [.] V. Brâzăescu şi O. Stăăşilă: Matematici speciale (Ed. All, ) [3.] M.Ţea: Rădăciile uităţii (S.Ş. M. 5, Bucureşti).