Probleme pentru clasa a XI-a

Probleme pentru clasa a XI-a 1

( ) 01. Fie A si B doua matrici de ordin n cu elemente numere reale, care satisfac relatia AB = A + B. a) Sa se arate ca det(a 2 + B 2 ) 0. b) Sa se arate ca rang A + B = n daca si numai daca cel putin una din matricile A sau B are rangul n. 02. Fie ( x n )n 0 un sir dat de x 0 = 0 si relatia de recurenta Revista RMT x n+1 = { 2 + xn, daca n este par; 3 6 + xn daca n este impar. Sa se arate ca sirul x n este convergent si sa se calculeze limita sa. 03. Fie N matricea n n cu toate elementele egale cu 1/n si A M n (R), A = ( ) a ij, o matrice astfel incat A k = N pentru un k natural nenul. Sa se demonstreze ca a 2 ij 1. 1 i,j n 04. Fie ( x n )n 0 sirul dat de x 0 = 0 si x n+1 = 11 x n 1 Lucian Turea Sa se arate ca sirul x n este convergent si sa se calculeze limita sa. Olimpiada Locala 2004 2

05. Fie ( x n un sir astfel incat )n 1 x n+1 x n 1 2 n. Sa se arate ca sirul x n este convergent. Concursul A. Myller 2004 06. Fie 0 < a 1 un numar real si ( x n )n un sir astfel incat x 0 (0, 1] si Sa se calculeze lim n nx n. x n+1 = ax n e xn. Revista RMT 3

( ) 07. Fie ( a n )n 1 un sir de numere reale astfel incat 0 < a n 1 pentru orice n 1, si seria data de sumele partiale este divergenta ( a k = ). Sa se arate ca pentru orice l [1, ) { } exista o functie strict crescatoare f l : N N, astfel incat : a 1 + a 2 + a 3 +... + a fl (n+1) lim n a 1 + a 2 + a 3... + a fl (n) = l. Revista RMT 08. Fie a, b, c, d patru numere intregi. Se considera determinantul : a b c d D = a 3 b 3 c 3 d 3 a 5 b 5 c 5 d 5. a 7 b 7 c 7 d 7 Sa se arate ca D este divizibil cu 7. Olimpiada Locala 2006 un sir crescator de numere reale pozitive. Sa se demon- 09. Fie ( a n )n 1 streze ca lim n n a n 1 + a n 2 +... + an n = lim a n. n 10. Fie f, g : [a, b] R doua functii continue cu proprietatea inf f(x) inf g(x) sup g(x) sup f(x). x [a,b] x [a,b] x [a,b] x [a,b] Sa se arate ca exista c [a, b] astfel incat f(c) = g(c). 4

11. Sa se arate ca pentru orice α [1, + ) { }, exista un sir ( k n ) de numere naturale astfel incat lim n n 1 + 1 2 + 1 3 +... + 1 k n = α. 12. Fie f : R R o functie continua astfel incat pentru orice numere reale a < b, exista numerele reale c 1 c 2 in intervalul [a, b] astfel incat f(c 1 ) = f(c 2 ) = max x [a,b] f(x) Sa se arate ca f este o functie constanta. 13. Fie f : R R o functie continua care are urmatoarea proprietate f(x) + f(y) 2 x y, ( ) x, y R. Daca sup f(x) = 1, sa se arate ca exista un unic numar real a astfel x R incat f(a) = 1. Dan Marinescu - Shortlist 2005 14. Fie a 1, a 2,..., a n > 0 numere reale si I R un interval cu 0 I, astfel incat Sa se arate ca a 1 a 2... a n = 1. a x 1 + ax 2 +... + ax n n, ( ) x I. 5

15. Fie a, b R, a < b, si f : R (a, b) o functie bijectiva si crescatoare. Sa se arate ca oricare ar fi x (a, b). 16. Fie A, B M n (R) astfel incat lim f( f 1 (t) + f 1 (x) ) = a, t a Marcel Tena - Olimpiada Locala 2004 A 2 + B 2 = (2 3)(AB BA). Sa se arate ca daca det(a 2 + B 2 ) 0, atunci n este divizibil cu 12. Revista RMT 6

( ) 17. Fie 0 < x 1 < y 1 doua numere reale, si ( ) x n n si ( y n )n de relatiile : doua siruri date x n+1 = x 1 + x 2 +... + x n y n si y n+1 = y 1 + y 2 +... + y n x n. Daca sirul ( x n ) este marginit, sa se arate ca lim xn = 0 si lim y n = +. Revista RMT 18. Fie f : R R o functie cu proprietatea (P ): pentru orice a, b numere reale are loc ( ) a + b { } f f(a), f(b). 2 a) Sa se dea un exemplu de functie neconstanta cu proprietatea (P ). b) Daca f este continua si are proprietatea (P ), sa se arate ca este constanta. OJM 2004 19. Se da sirul ( a n )n 1 definit astfel : a n este unica solutie a ecuatiei Sa se calculeze lim n n(a n 1). x + ln x = 1 + 1 n. 20. Fie f : [0, 1] [0, ) o functie continua. Sa se arate ca sirul este convergent. a n = n f ( ) 1 n + f n ( ) 2 n +... + f n ( ) n n n 7

21. Sa se calculeze lim x 0 ( a x 1 + a x 2 +... + ) 1/x ax n, n unde a 1, a 2,..., a n sunt numere reale pozitive date. *** 22. Pentru n 1 se considera ecuatia 1 1 + x + 1 2 + x +... + 1 = ln 2. n + x a) Sa se arate ca ecuatia are solutie unica x n. b) Sa se calculeze lim xn n. 23. Sa se arate ca orice functie continua f : R R, ce transforma orice interval deschis intr-un interval inchis, este constanta. Atila Abdula - Shortlist 2005 24. Gasiti toate functiile continue f : R R, care satisfac relatiile i) f(2 2x ) x + f(2 x ), ( ) ii) f(2 3x ) 3x 2 + f 2 3x. Marcel Chirita - Shortlist 2005 25. Fie a un numar real pozitiv, diferit de 1, si P un polinom cu coeficienti reali de grad n. Sa se arate ca ecuatia a x = P (x) are cel mult n + 1 solutii reale. Szasz Robert - Shortlist 2005 26. Demonstrati ca pentru orice A, B M 2 (C) si orice a, b, c C are loc det(aab + bba + ci 2 ) = det(aba + bab + ci 2 ). Vasile Pop - Shortlist 2006 8

27. Fie ( ) ( ) a n si bn doua siruri astfel incat ak < si b k =. a) Sa se arate ca daca exista lim an b n, atunci este in mod necesar egala cu 0. b) Sa se dea un exemplu de siruri ( ) ( ) a n si bn astfel incat sa nu fie adevarat ca a n lim = 0. n b n Vasile Berinde - Shortlist 2006 28. Fie f : R R o functie cu limite in orice punct si fara puncte de extrem local. Sa se arate ca : a) f este continua. b) f este strict monotona. Mihai Piticari si Sorin Radulescu - ONM 2002 29. Se da functia continua f : [a, b] R, si se defineste functia g : [a, b] R astfel : g(x) = sup f(t). t [a,x] Sa se arate ca Im g este un interval. 30. Fie f : [0, ) [0, ) o functie continua astfel incat a) Sa se arate ca lim x lim f(f(x)) =. x f(x) =. George Dinca - ONM 1987 b) Ramane rezultatul valabil daca f : (0, ) (0, )? Sorin Radulescu - ONM 1981 31. Se considera f : (a, b) R o functie cu urmatoarea proprietate: oricare ar fi x (a, b), exista un interval nedegenerat [a x, b x ] (a, b) care in contine pe x, astfel incat f este constanta pe [a x, b x ]. a) Sa se arate ca Im f este cel mult numarabila. b) Sa se gaseasca toate functiile continue cu proprietatea de mai sus. ONM 2004 9

( ) 32. Sa se determine toate polinoamele neconstante f R[X], astfel incat pentru orice matrici A, B M 4 (R) cu rang A > rang B, sa rezulte ca rang f(a) rang f(b). Marius Ghergu - OJM 2005 33. Fie D cercul unitate din planul complex (D = {z C : z = 1}), si f : D C \ D o functie cu proprietatea ca f(z 1 ) f(z 2 ) z 1 z 2, ( ) z 1, z 2 D. Sa se arate ca daca exista z 0 D cu proprietatea ca f(z 0 ) < 1, atunci f(z) < 1, ( ) z D. 34. Fie n 2 un numar natural. a) Sa se arate ca oricare ar fi X, Y M n (R), are loc inegalitatea [ ] n rang (XY ) rang (Y X). 2 b) Sa se dea exemplu de doua matrici A si B din M n (R) pentru care inegalitatea de mai sus se transforma in egalitate. 35. Fie sirul x n definit ca fiind singura solutie a ecuatiei ( 1 + 1 ) n+xn = 1 + 1 n 1! + 1 2! +... + 1 n!. Ion Savu - ONM 2004 Sa se arate ca sirul este convergent si sa se calculeze limita sa. 36. Pot fi scrise fara nici o repetitie toate numerele rationale strict pozitive sub forma unui sir ( a n )n 1, astfel incat n a n este convergent? Shortlist 2005 10

37. Fie 0 < a < b doua numere reale si f : [a, b] R o functie continua pe [a, b] si derivabila pe (a, b). Sa se arate ca exista un punct c (a, b) astfel incat f (c) = 1 a + b + 1 c a + 1 c b. Olimpiada Republica Moldova 2006 38. Se dau in plan sistemele de puncte A 1, A 2... A n si B 1, B 2,... B n, cu centre de greutate diferite, unde n 2 este un numar natural. Sa se arate ca exista un punct P in plan astfel incat P A 1 + P A 2 +... + P A n = P B 1 + P B 2 +... + P B n. Marius Cavachi - ONM 2006 39. Fie f : [0, ) R cu urmatoarea proprietate : pentru orice x > 0, sirul ( f(nx) ) este strict crescator. n 0 a) Daca f este continua pe [0, 1], rezulta ca f este crescatoare? b) Aceeasi intrebare pentru f continua pe Q +. ONM 2006 40. Sa se determine cel mai mare n 2 cu proprietatea ca daca A M n (C), A λi n, atunci pentru B M n (C) urmatoarele afirmatii sunt echivalente : i) AB = BA. ii) Exista p C[X] astfel incat B = p(a). Dumitru Busneag - Shortlist 2006 41. Fie n 2 un numar natural. Sa se determine cel mai mare numar natural k 1 astfel incat pentru orice k matrici A 1, A 2,... A k M n (C), daca I A 1 A 2... A k este inversabila, atunci si I A σ(1) A σ(2)... A σ(k) este inversabila pentru orice permutare σ S k. Dumitru Busneag - Shortlist 2006 11

42. Fie f : [0, 1] [0, 1] o functie bijectiva si continua. Sa se determine multimea A = { f(x) f(y) : x, y [0, 1] (R \ Q) }. Radu Gologan - ONM 2002 43. Se da o functie f : [0, 1] [0, 1], continua in 0 si 1, si care are limite laterale in orice punct, astfel incat f(x 0) f(x) f(x + 0), ( ) x (0, 1). Sa se arate ca f are un punct fix. Mihai Piticari 12

( ) 44. Fie a, b, c, d, e, f sase numere reale. Sa se arate ca : (a + b)de (d + e)ab de ab a + b d e (b + c)ef (e + f)bc bc ef b + c e f (c + d)fa (f + a)cd fa cd c + d f a = 0. V. Prasolov 45. Fie p 2 un numar natural si ( x n )n 1 un sir pentru care x 1 > 0 si Sa se calculeze lim nx n. x n+1 = p px n + 1 1. Virgil Nicula - Shortlist 2005 46. O functie f : R 2 R se numeste olimpica daca are urmatoarea proprietate : pentru orice numar finit de puncte A 1, A 2,..., A n astfel incat f(a 1 ) = f(a 2 ) =... = f(a n ), punctele A 1, A 2... A n sunt varfurile unui poligon convex. Sa se arate ca daca P este un polinom, atunci functia f(x, y) = P (x + iy) este olimpica daca si numai daca toate radacinile lui P sunt egale. Barbu Berceanu - ONM 2000 47. Exista functii continue f : R R cu proprietatea ca f(x) Q daca si numai daca f(x + 1) R \ Q? Laurentiu Panaitopol si Horia Pop 13

48. Fie f : [0, 1] R o functie indefinit derivabila astfel incat f (n) (0) = 0, pentru orice n natural, si lim n ( sup f (n) (x) x [0,1] Sa se arate ca f este functia identic nula. ) = 0. Daniel Jinga si Ionel Popescu - Shortlist 2002 (cls XII, enunt modificat) 49. Sa se arate ca nu exista functii f : R R + cu urmatoarele doua proprietati : i) Orice punct q Q este punct de minim local strict pentru f. ii) f este nemarginita pe orice multime de forma I Q, unde I este interval nedegenerat. Claudiu Raicu - ONM 2004 14