Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice
Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri, p = (x 1,,x d ), de numere reale x i in R numite puncte, unde d este dimensiunea spatiului. Metrica: o functie m: E d E d R cu 3 proprietati: 1. m(p,p) = 0 identitate 2. m(p 1,p 2 ) = m(p 2,p 1 ) simetrie 3. m(p 1,p 3 ) m(p 1,p 2 ) + m(p 2,p 3 ) inegalitatea triunghiurilor Metrica distantei: functie in E d E d R astfel incat d 2 1, p2) p1 p2 ( x ( p 1 i 1) xi ( 2)) i d( p p
Primitive geometrice Punct: tuplurile p = (x 1,,x d ) sunt definite in raport cu un sistem de axe cu aceeasi origine. Pot fi interpretate si ca vectori. Linie: o combinatie liniara de doua puncte distincte. p 1 (1 ) p 2 R Segment: o linie marginita p 1 ( 1 ) p 2 [0,1] Plan: o combinatie liniara de d puncte p 1 1 j p 2 2 1... d 1 pd 1 (1 1... d 1) p j d 1 Varietate liniara: o multime V pentru care orice combinatie liniara de doua puncte din V apartine multimii V. d
Multimi O multime de puncte S este conexa daca nu este reuniunea a doua multimi disjuncte nenule. Granita unei multimi S este o submultime a punctelor pentru care exista un punct vecin la distanta ε 0 ce nu se afla in S. Teorema lui Jordan: orice curba simpla inchisa (nu se intersecteaza cu ea insasi) partitioneaza planul in doua regiuni disjuncte. Exteriorul este nemarginit, iar interiorul este marginit. p 2 p 1 exterior interior
Multime convexa O multime S a lui E d este convexa daca si numai daca pentru toate p 1, p 2 din S toate punctele din segmentul p 1 p 2 sunt in S. p 1 p 1 p 2 p2 (convexa) (nu este convexa) Teorema: intersectia a doua multimi convexe este convexa. p 1 p 2
Infasuratoare convexa Infasuratoarea convexa CH(P) a unui set de puncte P in E d este cea mai mica multime convexa ce contine P. P CH(P) Echivalent: intersectia tuturor multimilor convexe ce contin P. In plan, infasuratoarea convexa este marginita de segmente liniare. In spatiu este marginita de planuri.
Poligoane Definitie: un poligon este o regiune a unui plan, marginita de o colectie finita de segmente liniare (muchii) ce formeaza curbe simple inchise unde fiecare punct final de segment (varf) este impartit de exact doua muchii. varfuri v i = (x i,y i ) muchii m ij = (v i,v j ) granite Complexitatea poligonului: numarul de varfuri
Tipuri de poligoane Poligon simplu: o singura curba inchisa: 1. Nici o pereche de muchii neconsecutive nu impart un varf. 2. Muchiile neadiacente nu se intersecteaza. P Poligon convex: Nici o linie intre oricare doua varfuri nu este inafara poligonului. diagonale
Tipuri de poligoane Poligon stelat: un poligon simplu P astfel incat exista un punct p in interiorul sau astfel incat toate liniile din p catre orice punct q in P se afla in interiorul lui P. p Poligon monoton: un poligon P este monoton de-a lungul unei linii L daca si numai daca proiectia varfurilor sale pe linie pastreaza o ordine data a punctelor. 1 2 3 4 5 6 7
Poliedre Definitie : O multime finita de poligoane (numite fete) in spatiu astfel incat fiecare muchie a unui poligon este impartita de exact doua poligoane. Fetele neadiacente nu se intersecteaza Fetele adiacente impart un punct sau un segment Poligoanele definesc o suprafata inchisa fete muchii varfuri
Exemple de non-poliedre
Posibile arii de dezvoltare proiect Procesarea structurilor poligonale Reducerea/Simplificarea Mesh-urilor Generarea si simplificarea terenurilor
Posibile arii de dezvoltare proiect Vizualizarea structurilor N-Dimensionale Proiectii N => N-1, Transformari N-Dimensionale Hiper-Primitive grafice
Posibile arii de dezvoltare proiect Sistem de detectie a coliziunilor Detectie a coliziunilor volumelor de incadrare Structuri de incadrare ierarhice Detectie a coliziunilor componentelor
Posibile arii de dezvoltare proiect Sistem de simulare interactiuni fizice
Posibile arii de dezvoltare proiect Triangularizari Delaunay
Posibile arii de dezvoltare proiect Diagrame Voronoi
Posibile arii de dezvoltare proiect Curbe/Volume de Incadrare/Aproximare Variatii Alpha-Shape parametrizabile Constrangeri de ocolire/excludere Infrumusetari ale volumelor rezultate
Posibile arii de dezvoltare proiect Caracteristici geometrice pentru clasificare
Posibile arii de dezvoltare proiect Regiuni/Segmentare Watershed
Posibile arii de dezvoltare proiect Morfologie matematica