Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Παραγώγιση στο χρόνο d x( ) sx ( s ) x ( ) [ x ) ] X X x( ) e ( s Μετασχηµατισµός aplace παραγώγου dx ( ) sx Ολοκλήρωση στο χρόνο Μετασχηµατισµός aplace ολοκληρώµατος x ( τ ) dτ s X s x ( τ ) dτ x( τ ) dτ X s Θεώρηµα αρχικής και τελικής τιµής x( ) lim s X lim x( ) lim s X ( s ) s s Μετασχηµατισµός aplace 6-9
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ APACE Επίλυση γραµµικής διαφορικής εξίσωσης µε τη βοήθεια Μονόπλευρου Μετασχηµατισµού aplace Η χρήση του µετασχηµατισµού aplace στην ανάλυση ΓΧΑ συστηµάτων Μετασχηµατισµός aplace 6-2
Να επιλυθεί η διαφορική εξίσωση d x ( ) 3 x ( ) 2 x( ξ ) dξ u ( ) µε αρχικές συνθήκες: x ( ) 2 και x( ξ ) dξ Παραγώγιση στο χρόνο d x( ) sx ( s ) x ( ) d Ολοκλήρωση στο χρόνο x ( τ ) dτ s X s x ( τ ) dτ Απάντηση X 2 s 3 2 3 2 2 x ( ) X { } [ 2 e 3e ] u( ) Μετασχηµατισµός aplace 6-2
ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ x () ΓΧΑ y () X (s) h () H (s) Y (s) Ένα γραµµικό χρονικά αναλλοίωτο σύστηµα περιγράφεται πλήρως από την κρουστική του απόκριση h(). Το σήµα εισόδου, x(), και το σήµα εξόδου, y(), ενός ΓΧΑ συστήµατος συνδέονται µε το ολοκλήρωµα της συνέλιξης. y( ) x( τ) h( τ) dτ y( ) x( ) h( ) Τασήµαταεισόδου-εξόδουσυσχετίζονταιµετηδιαφορικήεξίσωσης. ΤοθεώρηµατηςΣυνέλιξης. N a d y M ( ) b d x ( ) y ( ) x ( ) h ( ) Y H X Μετασχηµατισµός aplace 6-22
Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση µεταφοράς, H(s), ενός συστήµατος µπορεί να βρεθεί, ως πηλίκο των µετασχηµατισµών aplace εξόδου-εισόδου. Υπενθυµίζεται ότι Και µε τη βοήθεια της H Y X d y ( ) { x ( ) } M { y ( ) } ( ) s N { h ( ) } N a X d x ( ) s ) e bx ( Y H yb ( s ) e H a s s h ( ) e έχουµε Η ευστάθεια και η αιτιότητα προσδιορίζουν την περιοχή σύγκλισης της συνάρτησης µεταφοράς του συστήµατος. Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση µεταφοράς, H(s), ενός ΓΧΑ συστήµατος είναι µία ρητή συνάρτηση, δηλαδή, µπορείναεκφραστείωςλόγοςδύοπολυωνύµωντηςµεταβλητής s. s Σηµειώνεται επίσης στον υπολογισµό της H(s) ενός συστήµατος δεν υπεισέρχονται οι αρχικές συνθήκες στις οποίες βρίσκεται πιθανόν το σύστηµα. Μετασχηµατισµός aplace 6-23
Για το ηλεκτρικό κύκλωµα C σε σειρά A x () C B y () η διαφορική εξίσωση είναι d y( ) a y ( ) b x ( ) Γ Εφαρµόζοντας µετασχηµατισµό aplace στα δύο µέλη της εξίσωσης έχουµε διαδοχικά d y( ) a y ( ) { b x ( ) } d y( ) a { y ( ) } b{ x ( ) } d x ( ) s X s Y a Y b X ( s a) Y b X Y H X a H s b e u ( ) a ( ) a a h( ) b e u ( ) Με περιοχή σύγκλισης e s > e a { } { } Μετασχηµατισµός aplace 6-24
Να προσδιοριστεί η συνάρτηση µεταφοράς και η κρουστική απόκριση του κυκλώµατος i( ) υ ( ) V ( ) υ Απάντηση Η διαφορική εξίσωση για το σύστηµα είναι και η κρουστική απόκριση είναι h ( ) dυ ( ) d υ ( ) ( ) υ H s / η συνάρτηση µεταφοράς είναι ( ) e{ s} > / { H } e u ( ) Μετασχηµατισµός aplace 6-25
Αν το κύκλωµα αρχικά ηρεµεί, και στην είσοδό του, κατά τη χρονική στιγµή, εφαρµόσουµε πηγή σταθερής τάσης V, να προσδιοριστεί η τάση υ () στα άκρα της αντίστασης σε συνάρτηση µε το χρόνο. i( ) υ ( ) V ( ) υ Η συνάρτηση µεταφοράς είναι H / / e{ s} Απάντηση > V υ H V ( ) V u ( ) V e u ( ) V V s V e u ( ) Μετασχηµατισµός aplace 6-26
V V ( ) V u ( ) V e u ( ) V e υ u ( ) s Ανητάσησταάκρατηςαντίστασηςαρχικάείναιυ ( ) καιστηνείσοδότου, κατάτη χρονική στιγµή, εφαρµόσουµε πηγή σταθερής τάσης V 2, ναπροσδιοριστείη τάσηυ ()σταάκρατηςαντίστασηςσεσυνάρτησηµετοχρόνο. i( ) υ ( ) V ( ) υ Η διαφορική εξίσωση για το σύστηµα είναι Απάντηση Παραγώγιση στο χρόνο V d xv ( ) sx ( s ) υ x ( ( ) ) s Ολοκλήρωση στο χρόνο Λόγωτηςεισόδουυ () V u() Λόγωτηςαρχικήςσυνθήκηςυ () x ( τ ) dτ x ( τ ) dτ s X s ( ) [ ( ) ] e u ( ) υ ( ) e u ( ) V ( ) V e u ( ) υ ( ) V υ dυ ( ) d υ ( ) ( ) υ s Μετασχηµατισµός aplace 6-27
Αν έχουµε αρχικές συνθήκες τότε στη διαφορική εξίσωση N a d y M ( ) b d x ( ) συµπεριλαµβάνουµε τις αρχικές συνθήκες λόγω των ιδιοτήτων της παραγώγισης στο χρόνο και της ολοκλήρωσης στο χρόνο που έχει ο µονόπλευρος µετασχηµατισµός aplace. Παραγώγιση στο χρόνο d x( ) sx ( s ) x ( ) Ολοκλήρωση στο χρόνο x ( τ ) dτ s X s x ( τ ) dτ καιστην Y(s) H(s) X(s) εµφανίζεταικαιέναςεπιπλέoνόροςοοποίοςπροέρχεταιαπό τις αρχικές συνθήκες. Σηµειώνεται ότι η συνάρτηση µεταφοράς ενός συστήµατος είναι ανεξάρτητη της εισόδου και των αρχικών συνθηκών και ότι εξαρτάται µόνο από τα στοιχεία του συστήµατος. Μετασχηµατισµός aplace 6-28
Να προσδιορισθεί η αρχική και η τελική τιµή του σήµατος του αποίου ο µονόπλευρος µετασχηµατισµός aplace είναι X 7 s( 2) Εφαρµόζοντας το θεώρηµα της αρχικής τιµής βρίσκουµε ότι 7 7 ( x ) lim s lim s s( 2) s ( 2) 7 Εφαρµόζοντας το θεώρηµα της τελικής τιµής βρίσκουµε ότι x( ) lim s s 7 s( 2) lim s 7s ( s 2) 5 Το σήµα x() που έχει µονόπλευρο µετασχηµατισµό aplace είναι x( ) 5u( ) 2e2u( ) καιεπαληθεύουµεότι x( ) 7 και x( ) 5. Μετασχηµατισµός aplace 6-29