3. Výroková logika. Princíp dvojhodnotovosti (bivalencie): Existujú práve dve pravdivostné hodnoty pravda a nepravda.

3. Výroková logika Výroková logika patrí do klasickej logiky - do jednej z dvoch oblastí, na ktoré môžeme rozdeliť súčasnú logiku. 22 Sochor (2011, 21) prirovnáva výrokovú logiku ku gramatickému rozboru súvetí. Výrokovú logiku 23 môžeme presnejšie charakterizovať ako najjednoduchší logický systém, ktorý opisuje, ako na platnosť (resp. neplatnosť) argumentov vplývajú špecifické logické konštanty. Z hľadiska výrokovej logiky nás bude zaujímať to, ako platnosť, resp. neplatnosť argumentov ovplyvňujú špecifické logické konštanty, ktorými sú výrokové spojky (Zouhar 2008, 45). Synonymne s názvom výroková logika sa používajú aj názvy výrokový počet resp. výrokový kalkul 24 (Sochor 2011, 21). Výroková logika je teda jednoduchý systém, ktorý skúma iba fungovanie výrokových spojok. Keďže výrokové spojky sa aplikujú na jednoduché výroky ako na najmenšie časti jazyka výrokovej logiky, jednoduché výroky sú pre výrokovú logiku najmenšími a ďalej neanalyzovateľnými jednotkami jazyka. Medzi kompetencie výrokovej logiky teda nepatrí analýza vnútornej štruktúry jednoduchých výrokov, ale len skúmanie platnosti argumentov (resp. schém argumentov) v závislosti od výrokových spojok, ktoré sa v argumentoch vyskytujú (Zouhar 2008, 45). Pripomeňme si, že pod výrokom sa rozumie oznamovacia veta, ktorá je pravdivá alebo nepravdivá. Medzi výroky patria teda len také vety, o ktorých má zmysel pýtať sa, či sú alebo nie sú pravdivé. Na základe terminológie G. Fregeho budeme hovoriť, že veta má pravdivostnú hodnotu, ktorou je pravda alebo nepravda. Jednoduchý výrok sa dá charakterizovať ako výrok, ktorý neobsahuje žiadnu výrokovú spojku 25. Pod zloženým výrokom sa zase chápe výrok, ktorý je zložený z jednoduchých výrokov. Príkladom jednoduchého výroku je výrok Slnko svieti a príkladom zloženého výroku je výrok Ak prší, tak ulice sú mokré. Zloženým výrokom z hľadiska výrokovej logiky však nie je veta Ivan má fujaru, ktorá je vyrobená z dreva, pretože výraz ktorý nie je výrokovou spojkou 26, aj keď je spojkou v prirodzenom jazyku. Teraz sa ešte vrátime k základným logickým princípom pre výrokovú a predikátovú logiku. Základné logické princípy Výroková ako aj predikátová logika patria medzi klasické logické systémy a ich princípy sú klasickými princípmi. V prvej kapitole sme uviedli, že medzi základné logické princípy patria princíp dvojhodnotovosti, princíp kompozicionality a princíp vylúčenia sporu. Zopakujeme si ich definície a ukážeme ich súvislosť s ďalšími princípmi. Princíp dvojhodnotovosti (bivalencie): Existujú práve dve pravdivostné hodnoty pravda a nepravda. Tento princíp úzko súvisí s ďalšími dvoma princípmi princípom vylúčenia tretieho a princípom vylúčenia sporu. 22 Prvou oblasťou je teda systém klasickej logiky a druhou systém neklasických logík, resp. neklasické logiky. 23 Môžeme sa stretnúť s prívlastkom klasická pre výrokovú logiku. Súvisí to s faktom, ktorý sme opísali vyššie. Systém klasickej logiky zahrňuje okrem výrokovej logiky aj predikátovú logiku. 24 My však budeme používať naďalej názov výroková logika. 25 Výrokovými spojkami sú špecifické výrazy, z ktorých niektoré nepatria medzi spojky z gramatického hľadiska. 26 Výrokové spojky bližšie charakterizujeme v časti tejto kapitoly zaoberajúcej sa syntaxou a sémantikou výrokovej logiky. 28

Princíp vylúčenia tretieho (tertium non datur): Pre každý výrok platí, že buď je pravdivý tento výrok, alebo opak tohto výroku (Zouhar 2008, 40). Princíp vylúčenia sporu: Pre každý výrok platí, že nie je súčasne pravdivý tento výrok aj opak tohto výroku (Tamže, 40). Kým princíp vylúčenia tretieho hovorí, že pravdivostnú hodnotu pravda môžeme pripísať buď nejakému výroku, alebo jeho opaku, ale nemôžeme ju pripísať obom súčasne, princíp vylúčenia sporu hovorí, že ak nejakému výroku pripíšeme pravdivostnú hodnotu pravda, opaku tohto výroku už tú istú hodnotu pripísať nemôžeme (teda mu musíme pripísať pravdivostnú hodnotu nepravda). Tieto princípy vlastne hovoria, že výrok a opak tohto výroku nemôžu byť súčasne pravdivé a je pravdivý práve jeden z nich. (Tamže, 40) Zopakujme si druhý zo základných logických princípov, ktorým je princíp kompozicionality. Princíp kompozicionality (skladobnosti, extenzionality): Pravdivostná hodnota zloženého výroku je jednoznačne určená pravdivostnými hodnotami jednoduchých výrokov, z ktorých sa zložený výrok skladá, a spôsobom ich zloženia (Tamže, 40). Na základe tohto príncípu platí, že pravdivostná hodnota zloženého výroku Ivan je mladší ako Peter a chodí do prvej triedy je jednoznačne určená pravdivostnou hodnotou viet Ivan je mladší ako Peter a Ivan chodí do prvej triedy a spôsobom, akým sú tieto dva výroky spojené teda výrokovou spojkou a. Dôsledkom tohto princípu je tzv. princíp substitúcie, ktorý môžeme definovať nasledovne: Ak v zloženom výroku nahradíme niektorý jeho podvýrok iným výrokom s tou istou pravdivostnou hodnotou, pravdivostná hodnota zloženého výroku zostáva nezmenená. (Tamže, 41) Ak tento princíp ilustrujeme na príklade zloženého výroku Prešov je tretím najväčším mestom SR a má vyše osemdesiatdeväťtisíc obyvateľov, tak podľa tohto princípu o spomínanom výroku platí, že jeho pravdivostná hodnota sa zachová, keď napr. pravdivý výrok Prešov je tretím najväčším mestom SR, ktorý je časťou tohto zloženého výroku (resp. jeho podvýrokom) nahradíme pravdivým výrokom V súčasnosti je Prešov krajským mestom. 29

3.1 Jazyk výrokovej logiky V prvej kapitole sme hovorili o rozdiele medzi objektovým jazykom a metajazykom. Pripomeňme si, že jazyk VL 27 bude pre nás objektovým jazykom a jazyk (v našom prípade slovenský jazyk), v ktorom formulujeme poznatky o tomto objektovom jazyku, bude metajazykom. To však neznamená, že tieto dva jazyky sa úplne odlišujú, skôr by sa dalo povedať, že metajazyk je obsahovo bohatší než jazyk VL, pretože okrem bežných logických prostriedkov (výrokové premenné, výrokové spojky) obsahuje metajazyk aj mená výrazov objektového jazyka, mená syntaktických resp. sémantických vlastností a vzťahov výrazov objektového jazyka a pod. (Zouhar 2008, 34) Pre objektový jazyk výrokovej logiky budeme používať jednoduchý formálny jazyk, ktorý ako jediné zmysluplné výrazy obsahuje výrokové spojky a okrem nich obsahuje ešte výrazy, ktoré samy osebe význam nemajú a nazývajú sa výrokové premenné (tieto premenné zastupujú jednoduché výroky) (Tamže, 46). Každý jazyk, teda aj jazyk výrokovej logiky, sa dá vymedziť pomocou slovníka, gramatiky a sémantických pravidiel. Slovník jazyka výrokovej logiky sa skladá z nekonečnej množiny jednoduchých výrazov tzv. výrokových premenných, konečnej množiny výrokových spojok ako aj pomocných symbolov. Gramatika stanovuje pravidlá, ktoré určujú, ako z jednoduchých výrazov utvárať zložené výrazy. Takéto pravidlá sa nazývajú formačné pravidlá. Gramatika tiež obsahuje iba konečný počet formačných pravidiel. Na základe konečného počtu jednoduchých výrazov a konečného počtu formačných pravidiel je možné utvoriť neobmedzený počet zložených výrazov. Platí to samozrejme nielen pre formálny jazyk logiky, ale aj pre prirodzené jazyky. Slovník s príslušnou gramatikou tvorí syntax jazyka. (Tamže, 31-32) Jazyk sa vymedzuje nielen na základe syntaxe, ale aj na základe sémantických, resp. významových pravidiel, ktoré spočívajú v priraďovaní určitých významov všetkým jednoduchým výrazom jazyka 28. O odlišnosti prirodzeného jazyka a formálneho jazyka sme už hovorili v prvej kapitole. K tejto odlišnosti patrí aj to, že kým v prirodzenom jazyku sa nejakému výrazu môže priradiť viac významov alebo viacerým výrazom jeden a ten istý význam, vo formálnom jazyku sa predpokladá, že jeden výraz má práve jeden význam a žiadne dva výrazy nemajú jeden a ten istý význam (Tamže, 32). 27 Pre výrokovú logiku budeme často používať skratku VL. 28 Je potrebné si uvedomiť, že nie všetky jednoduché výrazy jazyka majú priradený nejaký význam. Výrazy, ktoré význam nemajú, sa nazývajú synkategorematické výrazy, a výrazy, ktoré význam majú, sa nazývajú nesynkategorematické. Napriek tomu, že výrazy prvého druhu nemajú význam samy osebe, istým spôsobom ovplyvňujú význam zložených výrazov, v ktorých vystupujú. Napr. nech p, q, r sú nejaké výroky, potom výrazy pomocou nich utvorené môžu byť nasledovné.: (p a q) alebo r, p a (q alebo r), p a q alebo r. Prvé dva výrazy sú pomocou pravidiel výrokovej logiky správne utvorené, kým posledný výraz je nesprávne utvorený, teda nie je ani zmysluplný v danom jazyku. Je potrebné si všimnúť aj to, že prvé dva výrazy znamenajú odlišné veci práve vďaka odlišnému rozmiestneniu zátvoriek. (Tamže, 32) 30

3.1.1 Syntax jazyka výrokovej logiky Slovník jazyka VL tvoria tri druhy výrazov: 1. výrokové premenné: p, q, r,...p 1, p 2,...,q 1, q 2,...; 2. výrokové operátory (výrokové spojky):,,,, ; 3. pomocné symboly (zátvorky): (,), [,], {,}. Slovník jazyka VL sa týmito druhmi výrazov úplne vyčerpáva, a teda žiadne iné výrazy, resp. symboly do tohto slovníka nepatria 29. Namiesto výrokových premenných môžeme dosadzovať ľubovoľné jednoduché výroky (napr. namiesto výrokovej premennej p môžeme dosadiť nasledujúci výrok Na seminári chýbal jeden študent ). Jednoduché výroky spájame pomocou výrokových operátorov, ktoré sa nazývajú výrokové spojky. Patria medzi ne negácia, konjunkcia, disjunkcia, implikácia a ekvivalencia 30. Tieto spojky reprezentujeme pomocou príslušných symbolov a v slovenčine ich čítame pomocou výrazov opísaných nižšie. Názov výrokovej spojky a jej symbol: Negácia (čítame: nie je pravda, že... 31 ) Konjunkcia (čítame:...a-----) Disjunkcia (čítame:...alebo-----) Implikácia (čítame: ak..., tak-----) Ekvivalencia (čítame:...vtedy a len vtedy, keď-----) Výrokové spojky delíme na dva typy: unárne (jednoargumentové, jednomiestne) a binárne (dvojargumentové, dvojmiestne). V slovníku výrokovej logiky máme jednu unárnu spojku, ktorou je negácia, a všetky ostatné spojky sú binárne. Rozdiel je v tom, že kým unárna spojka sa spája s jedným výrokom, resp. s jednou výrokovou premennou, binárne spojky spájame s dvoma výrokmi, resp. s dvoma výrokovými premennými. (Tamže, 48-49) Okrem výrokových premenných a výrokových spojok máme ešte v slovníku výrokovej logiky pomocné symboly, ktoré sú potrebné na zachytenie vnútornej štruktúry zložených výrokov obsahujúcich viacero výrokových spojok (Tamže, 47). Zohľadnenie týchto symbolov pri reprezentácii výrokov v jazyku výrokovej logiky rozhoduje tiež o tom, či je výraz gramaticky správne utvorený teda či je daný výraz jazyka VL formulou. Napr. p q r nie je formula jazyka VL, pretože tento výraz nie je správne utvorený; správne by bolo (p q) r, resp. p (q r), pričom ak máme len dve premenné, vonkajšie zátvorky môžeme eliminovať: napr. nemusíme písať (p q), ale stačí písať bez zátvoriek: p q. Prijmime 29 Pre doplnenie však musíme uviesť, že do slovníka VL budeme zaraďovať aj tzv. vylučujúcu disjunkciu ako ďalšiu výrokovú spojku, pre ktorú budeme používať symbol. V prípade disjunkcie teda budeme uvažovať o dvoch rozličných typoch: vylučujúcej disjunkcii (so symbolom ) a nevylučujúcej disjunkcii (so symbolom ). Tieto výrokové spojky bližšie charakterizujeme pri sémantike jazyka VL. 30 Výrazy negácia, konjunkcia, disjunkcia, implikácia a ekvivalencia sú viacznačné. Niekedy nimi označujeme príslušnú výrokovú spojku, niekedy výroky, resp. formuly, ktoré sú spojené týmito výrokovými spojkami, a niekedy sa nimi označujú aj významy týchto výrokových spojok. Na označenie výrokových spojok sa niekedy používajú aj výrazy: negátor, konjunktor, disjunktor, implikátor, ekvivalentor. (Zouhar 2008, 60) Z kontextu by nám malo byť stále zrejmé, o ktorý význam práve ide. 31 Namiesto bodiek a čiarok má byť dosadený nejaký výrok (jednoduchý), resp. výroková premenná. Dva rôzne výroky pritom nemôžeme reprezentovať pomocou rovnakej výrokovej premennej. 31

konvenciu, že v prípade viacerých konjukcií výrokových premenných môžeme zátvorky vynechávať, napr. konjunkciu (p q) (r s) môžeme písať aj ako p q r s, resp. je pri viacnásobnej konjunkcii jedno, kde zátvorky napíšeme, preto ich môžeme vynechať. Takýto výraz jazyka VL budeme teda považovať tiež za správne utvorený. Ďalej prijmime konvenciu, že výrazy utvorené pomocou viac za sebou nasledujúcich negácií budú tak isto správne utvorenými výrazmi jazyka VL (napr. správne utvorenými výrazmi bude výraz p; ale aj napr. výraz (p q). Formula VL: Formulou výrokovej logiky nazývame taký výraz jazyka VL, ktorý je podľa príslušnej gramatiky správne utvorený 32 (Tamže, 48). Definícia formuly výrokovej logiky: 1. Každá výroková premenná je formulou výrokovej logiky. 2. Ak α 33 je formulou výrokovej logiky, tak aj α je formulou výrokovej logiky. 3. Ak α a β sú formulami výrokovej logiky, tak (α β), (α β), (α β) (α β) sú formulami výrokovej logiky. 4. Každú formulu výrokovej logiky možno utvoriť iba pomocou aplikácie bodov 1 3. (Tamže, 48) Špecifickým druhom formuly je tzv. atomárna formula. Definícia atomárnej formuly VL: Formula α je atomárnou formulou VL vtedy a len vtedy, keď α je výroková premenná (Tamže, 50). To znamená, že atomárne formuly sú také, ktoré neobsahujú žiadne výrokové spojky (napr. atomárnou formulou je formula p ). Všetky ostatné formuly, ktoré nie sú atomárne, sa nazývajú molekulárne (tie obsahujú aspoň jednu výrokovú spojku) (Tamže, 50). Formačné pravidlá (resp. gramatika výrokovej logiky) sú obsiahnuté v definícii formuly výrokovej logiky. 34 Ďalšími dôležitými pojmami sú bezprostredná podformula formuly VL a podformula formuly VL. Ich definície sú nasledovné: Definícia bezprostrednej podformuly formuly výrokovej logiky: Nech α a β sú ľubovoľné formuly výrokovej logiky, O 1 ľubovoľná unárna spojka a O 2 ľubovoľná binárna spojka. Potom platí nasledovné: 1. Ak α je atomárna formula, tak α nemá žiadnu bezprostrednú podformulu. 32 Práve preto je potrebné prihliadať aj na zátvorky (resp. pomocné symboly). 33 Keďže sa rešpektuje rozdiel medzi objektovým jazykom (ním je v tomto prípade jazyk výrokovej logiky) a metajazykom (ktorým je slovenčina), budeme na tento rozdiel prihliadať aj prostredníctvom používania odlišných písmen. Na vyjadrovanie v metajazyku budeme používať písmená gréckej abecedy (α, β, γ,...α 1, α 2,...). Prostredníctvom týchto výrazov budeme hovoriť o správne utvorených výrazoch jazyka výrokovej logiky, ale tieto výrazy α, β, γ,...α 1, α 2,... nie sú súčasťou jazyka výrokovej logiky. Napr. výraz α v metajazyku bude reprezentovať ľubovoľnú formulu výrokovej logiky, to znamená že α bude reprezentovať nielen výraz p, ale aj p q, (p q) r, a pod. Výraz α bude teda reprezentovať akúkoľvek formulu jazyka VL, nielen premennú. (Tamže, 48) 34 Pripomeňme si, že formačné pravidlá VL určujú, ako z prvkov jazyka VL utvárať ďalšie správne utvorené výrazy jazyka VL. 32

2. Formula O 1 α má práve jednu bezprostrednú podformulu, ktorou je α. 3. Formula αo 2 β má práve dve bezprostredné podformuly, ktorými sú α a β. (Tamže, 50) Definícia podformuly formuly výrokovej logiky: Nech α a β sú ľubovoľné formuly výrokovej logiky. Potom platí nasledovné: 1. Pre formulu α platí, že α je podformulou formuly α. 2. Ak je α bezprostrednou podformulou formuly β, tak α je podformulou formuly β. 3. Ak je α podformulou formuly β a β je podformulou ďalšej formuly, tak α je podformulou tejto (ďalšej) formuly. (Tamže, 51) Na základe slovníka a syntaktických pravidiel výrokovej logiky vieme identifikovať štruktúru formuly, ktorá bude zohrávať významnú úlohu pri vyhodnocovaní jej pravdivostnej hodnoty teda pri sémantických pravidlách. Štruktúru formuly identifikujeme tak, že utvoríme tzv. formačný strom, ktorý je výsledkom postupného rozkladu formuly na jej podformuly, až nakoniec získame len atomárne formuly. Dôležité je, že pre každú formulu existuje práve jeden formačný strom. Pri vytváraní formačného stromu je potrebné najprv správne identifikovať hlavnú výrokovú spojku. Hlavná výroková spojka je tá, ktorej odstránením sa pôvodná formula rozloží na príslušný počet správne utvorených výrazov jazyka VL. Počet týchto výrazov závisí samozrejme od toho, aké spojky formula obsahuje či obsahuje unárne alebo binárne spojky. (Tamže, 51-52) Ako príklad utvoríme formačný strom pre nasledovnú formulu VL: p [q (p q)] p q (p q) q p q p q Na tomto príklade vidíme, že formula p [q (p q)] má dve bezprostredné podformuly, 35 ktorými sú p a q (p q) ; p nemá žiadnu bezprostrednú podformulu; bezprostrednými podformulami formuly q (p q) sú q (táto formula nemá žiadnu bezprostrednú podformulu) a p q (táto formula má ako bezprostredné podformuly atomárne formuly p a q ). Okrem toho platí, že formuly p, q, p q a q (p q) sú podformulami formuly p [q (p q)]. 35 Podformulou budeme teda vždy rozumieť formulu predstavujúcu časť pôvodnej formuly, ktorá vznikla jej rozkladom. 33

3.1.2 Sémantika jazyka výrokovej logiky V tejto časti najprv ukážeme to, ako z jednoduchých výrokov tvoriť zložené výroky a potom vysvetlíme, čo znamená sémanticky interpretovať nejakú formulu VL. Keďže zložené výroky tvoríme z jednoduchých výrokov pomocou výrokových spojok, potrebujeme si objasniť sémantiku týchto spojok, teda ich význam. Jednoduché výroky môžeme vo výrokovej logike považovať za akýsi stavebný materiál, ktorý spájame pomocou výrokových spojok do zloženého výroku. Pre logiku odhliadajúcu od faktického stavu sveta nie sú dôležité konkrétne výroky s ich skutočnými pravdivostnými hodnotami, ale len ich formy. Výroková forma nadobúda pravdivostnú hodnotu vzhľadom na ohodnotenie premenných. To znamená, že je z nej možné utvoriť výrok tak, že do tejto výrokovej formy dosadíme výroky s konkrétnou pravdivostnou hodnotou. Na základe použitej spojky potom môžeme určiť i výslednú hodnotu tohto zloženého výroku. Výrokové spojky (negácia, konjunkcia, disjunkcia, implikácia a ekvivalencia) sa dajú chápať ako pravdivostné funkcie, teda každá výroková spojka je funkcia, ktorá pravdivostným hodnotám priraďuje pravdivostné hodnoty zloženého celku (Sousedík 2008, 157-158). Môžeme povedať, že v istom zmysle aj formuly VL nadobúdajú pravdivostné hodnoty. Nenadobúdajú ich však v rovnakom zmysle ako výroky, keďže výroky sú plnovýznamovými výrazmi, pričom výrokové premenné takýmito výrazmi nie sú. (Zouhar 2008, 53) To znamená, že rozdiel spočíva v tom, že kým pri výrokoch pracujeme s konkrétnymi pravdivostnými hodnotami (pravda, nepravda), pri výrokovej formule určujeme jej pravdivostné hodnoty vzhľadom k tzv. vstupným pravdivostným hodnotám jednoduchých výrokov, z ktorých je formula zložená, ako aj vzhľadom k spôsobu ich zloženia (vzhľadom k významu príslušnej spojky). Práve za predpokladu tejto hodnoty ako vstupnej vieme na základe stanoveného významu výrokovej spojky určiť výslednú hodnotu celej formuly. Teraz sa pozrieme na významy týchto piatich výrokových spojok znázornené prostredníctvom príslušných tabuliek. 34

3.1.3 Význam výrokových spojok Negácia Negácia je unárna (jednomiestna) výroková spojka, ktorú v slovenčine vyjadrujeme spojením nie je pravda, že.... Negáciu označujeme symbolom a jej význam je určený nasledujúcou tabuľkou: 36 α α 1 0 0 1 Význam negácie je v podstate úplne jednoduchý: mení pravdivostnú hodnotu formuly na opačnú (Zouhar 2008, 53). Inými slovami negácia nejakého výroku je pravdivá, ak je tento výrok nepravdivý. Obsah tejto tabuľky je zachytený v nasledovnej definícii. Definícia negácie: Formula α je pravdivá vtedy a len vtedy, keď formula α je nepravdivá; formula α je nepravdivá vtedy a len vtedy, keď formula α je pravdivá (Tamže, 53). Význam negácie je funkcia, ktorá hodnote 1 priraďuje hodnotu 0, a hodnote 0 zase priraďuje hodnotu 1. Táto funkcia sa dá vyjadriť množinou usporiadaných dvojíc { 1, 0, 0, 1 }, kde prvý člen každej dvojice predstavuje hodnotu atomárnej formuly a druhý člen hodnotu molekulárnej formuly. (Tamže, 53) Príklad: Negáciou výroku Ján píše, je Nie je pravda, že Ján píše resp. Ján nepíše. Najlepšie je však používať spojenie nie je pravda, že..., aby nás to v niektorých prípadoch nemýlilo 37. Konjunkcia Ďalšou výrokovou spojkou je binárna spojka konjunkcia. Označujeme ju symbolom a v slovenčine ju vyjadrujeme spojkou...a---. Význam konjunkcie je určený nasledujúcou tabuľkou: α β α β 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 36 Do ľavého stĺpca budeme písať vstupné pravdivostné hodnoty a do pravého stĺpca výslednú pravdivostnú hodnotu, ktorá je za predpokladu vstupných hodnôt určená príslušnou výrokovou spojkou. Pre pravdivostnú hodnotu pravda budeme používať číslicu 1 a pre pravdivostnú hodnotu nepravda číslicu 0. 37 Napr. negáciou výroku Všetky zákony sú dobré nie je výrok Žiadne zákony nie sú dobré, resp. Všetky zákony sú nedobré, ale výrok Nie je pravda, že všetky zákony sú dobré, ktorý hovorí to isté ako výrok Niektoré zákony nie sú dobré (Tamže, 54). Tento vzťah negácie medzi výrokmi sme mohli vidieť už v logickom štvorci. 35

Keďže v prípade konjunkcie ide o binárnu spojku, celkový počet kombinácií vstupných pravdivostných hodnôt pre formuly musí byť väčší než bolo pri negácii a teda v tomto prípade sú to štyri kombinácie. Definícia konjunkcie: Formula α β je pravdivá vtedy a len vtedy, keď formuly α a β sú pravdivé; formula α β je nepravdivá vtedy a len vtedy, keď aspoň jedna z formúl α a β je nepravdivá. (Tamže, 54) Inými slovami: konjunkcia je nepravdivá vtedy, keď aspoň jedna zo zložiek konjunkcie je nepravdivá. Rovnako ako pri negácii aj význam konjunkcie môžeme chápať ako určitú funkciu a to takú, ktorá usporiadanej dvojici 1, 1 priraďuje hodnotu 1 a ostatným usporiadaným dvojiciam 1, 0, 0, 1 a 0, 0 priraďuje hodnotu 0. Túto funkciu je teda možné vyjadriť nasledovnou množinou usporiadaných dvojíc: { 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0 }. Prvý člen každej dvojice (a teda opäť usporiadaná dvojica) predstavuje vstupné hodnoty zložiek a druhý člen výstupnú hodnotu zloženej formuly. (Tamže, 55) Príklad: Zložený výrok Peter je filozof a Pavol je spisovateľ je pravdivý, ak sú pravdivé obidva jednoduché výroky, z ktorých sa tento zložený výrok skladá. Disjunkcia Disjunkcia je ďalšou binárnou výrokovou spojkou, ktorú označujeme symbolom a v slovenčine ju vyjadrujeme spojením...alebo---. Význam disjunkcie je určený nasledujúcou tabuľkou: α β α β 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Definícia disjunkcie: Formula α β je pravdivá vtedy a len vtedy, keď je aspoň jedna z formúl α a β pravdivá; formula α β je nepravdivá vtedy a len vtedy, keď obe formuly α a β sú nepravdivé (Tamže, 55). Disjunkcia je teda pravdivá vtedy a len vtedy, keď je pravdivá aspoň jedna zo zložiek disjunkcie. Význam disjunkcie môžeme stotožniť s určitou funkciou, ktorá usporiadaným dvojiciam 1, 1, 1, 0 a 0, 1 priraďuje hodnotu 1 a usporiadanej dvojici 0, 0 priraďuje hodnotu 0. Túto funkciu môžeme vyjadriť ako množinu usporiadaných dvojíc pravdivostných hodnôt: { 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0 }. Prvý člen každej dvojice (a teda opäť usporiadaná dvojica) predstavuje vstupné hodnoty podformúl a druhý člen výstupnú hodnotu formuly. (Tamže, 56) Príklad: Zložený výrok Prší alebo fúka vietor je pravdivý, ak je pravdivý aspoň jeden z výrokov Prší a Fúka vietor, z ktorých sa tento zložený výrok skladá. To znamená, že 36

bude pravdivý aj vtedy, keď budú oba výroky pravdivé. V tomto prípade hovoríme o tzv. nevylučujúcej disjunkcii 38, pretože ide o spojku, ktorej použitím vznikne výrok nevylučujúci možnosť pravdivosti oboch výrokov. Okrem nej rozoznávame aj tzv. vylučujúcu disjunkciu, v slovenčine vyjadrenú slovným spojením buď..., alebo--- (namiesto bodiek a čiarok dosadzujeme konkrétne výroky) a značíme ju symbolom. Význam tejto spojky je určený nasledujúcou tabuľkou: Definícia vylučujúcej disjunkcie: α β α β 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Formula α β je pravdivá vtedy a len vtedy, keď formuly α a β majú rôzne pravdivostné hodnoty; formula α β je nepravdivá vtedy a len vtedy, keď formuly α a β majú tú istú pravdivostnú hodnotu (Tamže, 100). Kým pri nevylučujúcej disjunkcii platilo, že je pravdivá, ak aspoň jedna zo zložiek disjunkcie je pravdivá, pri vylučujúcej disjunkcii bude platiť, že je pravdivá vtedy a len vtedy, keď zložky disjunkcie majú rozdielnu pravdivostnú hodnotu. To znamená, že vylučujúca disjunkcia je na rozdiel od nevylučujúcej nepravdivá aj v prípade, ak obe zložky disjunkcie sú pravdivé. Príklad: Výrok Pavol je živý alebo mŕtvy nevyjadruje, že o Pavlovi je pravdivá aspoň jedna z vecí: teda, že 1.) je živý a 2.) je mŕtvy, pretože tieto dve veci sa vylučujú. Je zrejmé, že aj napriek tomu, že sa v tejto vete nenachádza vylučujúca spojka v jej explicitnej podobe (teda ako buď..., alebo--- ), práve takúto spojku obsahuje. Dôležité je, ako túto vetu interpretujeme, ale naša interpretácia sa však nijako netýka logiky. Logiku tu zaujíma len to, akú pravdivostnú hodnotu nadobudne výrok pri príslušnej interpretácii. Pri našej interpretácii predpokladáme, že o Pavlovi môže byť pravdivá iba jedna vec (totiž, že je buď živý alebo mŕtvy), preto tu ide o vylučujúcu disjunkciu. (Tamže, 100) Implikácia Implikácia je binárna výroková spojka, ktorú zachytávame symbolom a v slovenčine ju vyjadrujeme pomocou slovného spojenia ak..., tak---. Toto slovné spojenie však môže byť viacznačné, a preto je potrebné zdôrazniť, že implikáciou sa budeme zaoberať len v jej špecifickom význame. Budeme sa zaoberať len tzv. materiálnou implikáciou. 39 Podľa Tarskeho (1966, 39) dva jednoduché výroky spojené takouto implikáciou predstavujú zmysluplný výrok aj vtedy, keď neexistuje žiadna obsahová spojitosť (napr. príčinná väzba) medzi týmito výrokmi. Pravdivosť alebo nepravdivosť tejto implikácie teda v tomto zmysle závisí len od pravdivosti alebo nepravdivosti týchto dvoch zložiek implikácie. Existujú aj iné 38 V prípade, že pôjde o túto spojku, na jej vyjadrenie budeme naďalej používať len skrátený výraz disjunkcia (v prípade vylučujúcej disjunkcie jej názov nebudeme skracovať). 39 Ďalej len skrátene implikácia. 37

druhy implikácií, pri ktorých sa zohľadňuje obsahová súvislosť medzi jednotlivými výrokmi (tzv. striktná implikácia), ale nimi sa nebudeme zaoberať. Význam implikácie je určený nasledujúcou tabuľkou: Definícia implikácie: α β α β 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 Formula α β je pravdivá vtedy a len vtedy, keď formula α je nepravdivá alebo formula β je pravdivá; formula α β je nepravdivá vtedy a len vtedy, keď formula α je pravdivá a formula β je nepravdivá. (Tamže, 56) Implikácia je teda nepravdivá len v tom prípade, ak pravdivý výrok implikuje nepravdivý výrok. Implikáciu môžeme chápať aj ako určitú funkciu, ktorá usporiadaným dvojiciam pravdivostných hodnôt 1, 1, 0, 1, 0, 0 priraďuje hodnotu 1 a usporiadanej dvojici 1, 0 priraďuje hodnotu 0. Túto funkciu môžeme vyjadriť ako množinu usporiadaných dvojíc pravdivostných hodnôt { 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1 }, pričom prvý člen každej dvojice predstavuje vstupné hodnoty podformúl a druhý člen výstupnú hodnotu formuly. Vo formule α β sa α nazýva antecedent (implikácie) a β sa nazýva konzekvent (implikácie). (Tamže, 56-57) Príklad: Výrok Ak je drevo zo železa, tak v Prešove je zima je pravdivý (na základe materiálnej implikácie) vo všetkých tých prípadoch, v ktorých je prvý výrok nepravdivý alebo druhý výrok pravdivý. Aj keby sa intuitívne mohlo zdať, že tento výrok nemôže byť pravdivý pri žiadnych pravdivostných hodnotách, pri spomenutých ohodnoteniach však predsa len bude pravdivý, keďže v našom príklade sme použili na spojenie dvoch výrokov práve implikáciu v tom zmysle, ako sme ju vymedzili na začiatku pri jej definícii. Materiálna implikácia totiž nevyjadruje obsahovú súvislosť antecedentu a konzekventu implikácie a jej význam je jednoznačne určený len pravdivostnými hodnotami jej zložiek. Ekvivalencia Poslednou výrokovou spojkou je binárna spojka ekvivalencia, ktorú označujeme symbolom a v slovenčine ju môžeme vyjadriť slovným spojením...vtedy a len vtedy, keď---. Význam ekvivalencie je určený nasledovnou tabuľkou: α β α β 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 38

Definícia ekvivalencie: Formula α β je pravdivá vtedy a len vtedy, keď obe formuly α a β majú tú istú pravdivostnú hodnotu; formula α β je nepravdivá vtedy a len vtedy, keď formuly α a β majú rôzne pravdivostné hodnoty (Tamže, 59). To znamená, že ak dvom výrokom pripíšeme rovnakú pravdivostnú hodnotu a spojíme ich symbolom pre ekvivalenciu, výsledný výrok bude pravdivý. Nepravdivý by bol, keby sme dvom výrokom spojeným ekvivalenciou pripísali rôzne pravdivostné hodnoty. Význam ekvivalencie môžeme stotožniť s určitou funkciou, ktorá usporiadaným dvojiciam pravdivostných hodnôt 1, 1 a 0, 0 priraďuje hodnotu 1, a usporiadaným dvojiciam hodnôt 1, 0, 0, 1 priraďuje hodnotu 0. Túto funkciu môžeme vyjadriť ako množinu usporiadaných dvojíc pravdivostných hodnôt { 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1 }, pričom prvý člen každej dvojice predstavuje vstupné hodnoty podformúl a druhý člen výstupnú hodnotu formuly (Tamže, 60). Príklad: Výrok Zbierame hrozno vtedy a len vtedy, keď je už zrelé je pravdivý vtedy a len vtedy, keď sú oba výroky, z ktorých sa tento zložený výrok skladá, pravdivé; alebo vtedy a len vtedy, keď sú oba výroky nepravdivé. 39

3.1.4 Výrokovologické ohodnotenie (valuácia) V predchádzajúcej podkapitole sme definovali význam výrokových spojok a ukázali sme, že výrokové spojky sú pravdivostné funkcie. Sémantika jazyka výrokovej logiky sa buduje pomocou pravdivostných hodnôt (pravda 1, nepravda 0). To znamená, že významom výroku bude jeho pravdivostná hodnota. V sémantike VL sa ukazuje vzťah medzi formulami VL (ktoré sme utvorili pomocou pravidiel gramatiky pre VL) a pravdivostnými hodnotami. Preto je potrebné definovať funkciu, ktorá každej formule (teda správne utvorenému výrazu jazyka VL) priraďuje práve jednu z dvoch pravdivostných hodnôt. Túto funkciu budeme nazývať pravdivostné ohodnotenie. Pôjde teda o funkciu, ktorá jednotlivým prvkom z množiny formúl priraďuje prvky z množiny pravdivostných hodnôt {1, 0}. Takúto funkciu môžeme presnejšie (keďže ide o ohodnotenie vo VL) nazývať výrokovologické ohodnotenie (valuácia), pre ktoré budeme používať skratku VL-ohodnotenie. (Tamže, 64) Pod ohodnotením (valuáciou) nejakých formúl (resp. premenných) teda rozumieme priradenie pravdivostnej hodnoty 1 alebo 0 každej z týchto formúl, resp. premenných (Sochor 2011, 32). VL-ohodnotenie sa nedefinuje pre izolované formuly, ale vždy pre celú množinu formúl, do ktorej patria nielen atomárne, ale aj molekulárne formuly VL. Definícia výrokovologického ohodnotenia: Nech F je množina všetkých formúl výrokovej logiky a α a β sú prvkami F. Výrokovologické ohodnotenie je akákoľvek funkcia, ktorá každému prvku z F priraďuje práve jeden prvok z množiny {1, 0}a spĺňa podmienky: 1. ( α) = 1 vtt (α) = 0; ( α) = 0 vtt (α) = 1; 2. (α β) = 1 vtt (α) = (β) = 1; (α β) = 0 vtt (α) = 0 alebo (β) = 0; 3. (α β) = 1 vtt (α) = 1 alebo (β) = 1; (α β) = 0 vtt (α) = (β) = 0; 4. (α β) = 1 vtt (α) = 0 alebo (β) = 1; (α β) = 0 vtt (α) = 1 a (β) = 0; 5. (α β) = 1 vtt (α) = (β); (α β) = 0 vtt (α) (β). (Zouhar 2008, 64-65) Keď zohľadníme význam výrokových spojok pri VL-ohodnotení, môžeme napr. pri negácii povedať, že ( α) = 1 vtt (α) = 0 40. Keďže pri ohodnotení nejakých formúl nás nezaujíma celá množina formúl, vo vzťahu ku ktorým bolo VL-ohodnotenie definované, je užitočné zaviesť ďalší sémantický pojem pojem interpretácie formuly výrokovej logiky. Sémanticky interpretovať 41 formulu 40 Výraz čítame nasledovne: hodnota formuly α pri ohodnotení je pravdivostná hodnota pravda vtedy a len vtedy, keď hodnota formuly α pri ohodnotení je pravdivostná hodnota nepravda. 41 Pod interpretáciou sa všeobecne rozumie určenie významu výrazov nejakého jazyka (alebo nejakého symbolu, umeleckého diela a pod.) (Zouhar 2004, 9). Pod interpretáciou vo výrokovej logike však budeme rozumieť priradenie denotátov výrazom jazyka VL t. j. priradenie pravdivostných hodnôt (pretože klasická logika pracuje len s tzv. extenziou výrazov, ktorú predstavujú ich pravdivostné hodnoty). 40

výrokovej logiky znamená priradiť pravdivostnú hodnotu atomárnym podformulám tejto formuly. Definícia interpretácie formuly výrokovej logiky: Nech α je nejaká formula výrokovej logiky. Intepretácia formuly α je funkcia, ktorá každej výrokovej premennej, ktorá je atomárnou podformulou formuly α, priraďuje práve jeden prvok z množiny {1, 0}. (Zouhar 2008, 68) Takže interpretovať formulu α, ktorá je totožná s formulou p q, znamená priradiť nejakú pravdivostnú hodnotu obom atomárnym podformulám tejto formuly, teda premenným p a q. Počet možných interpretácií nejakej formuly sa dá vypočítať pomocou kombinatoriky. Pri dvoch premenných je to 2 2, teda 4 (počet pravdivostných hodnôt sa umocní počtom atomárnych podformúl danej formuly). Pri dvoch premenných potom dostávame nasledovné štyri interpretácie: I 1 (p) = 1 I 2 (p) = 1 I 3 (p) = 0 I 4 (p) = 0 I 1 (q) = 1 I 2 (q) = 0 I 3 (q) = 1 I 4 (q) = 0 Ak chceme interpretovať formulu s viacerými rôznymi premennými (napr. s tromi premennými: p, q, r), počet možných interpretácií bude 8 (2 3 ). Pri interpretácii nejakej formuly je jednoznačne určená pravdivostná hodnota celej formuly. To znamená, že pri tejto interpretácii je jednoznačne určené, akú pravdivostnú hodnotu danej formule môže priradiť ľubovoľné VL-ohodnotenie. Keď VL-ohodnotenia priradia danej formule hodnotu pravda, hovoríme, že formula je pravdivá pri danej interpretácii a ak jej priradia hodnotu nepravda, hovoríme, že daná formula je pri danej interpretácii nepravdivá. (Tamže, 68-69) V logike spravidla nestačí poznať len priradenia pravdivostných hodnôt jednej formule jazyka výrokovej logiky, ale viacerým formulám ako podmnožine množiny všetkých formúl jazyka výrokovej logiky. Keďže argumenty, ktorých platnosť logika skúma, tvoria množiny formúl, je dôležité si zaviesť ďalší sémantický pojem: interpretáciu množiny formúl výrokovej logiky. Definícia interpretácie množiny formúl výrokovej logiky: Nech G je množina formúl výrokovej logiky (pričom platí, že G F, kde F je množina všetkých formúl výrokovej logiky). Interpretácia množiny G je funkcia, ktorá každej výrokovej premennej, ktorá je atomárnou podformulou aspoň jednej formuly z G, priraďuje práve jeden prvok z množiny {1, 0}. (Tamže, 68) 41

3.1.5 Tabuľková metóda V tejto podkapitole sa budeme zaoberať tým, ako určiť, resp. vypočítať pravdivostnú hodnotu nejakej formuly. Pravdivostnú hodnotu každej formuly VL môžeme vzhľadom na príslušnú interpretáciu určiť pomocou tzv. tabuľkovej metódy, ktorej pôvodcom je nemecký logik Ernst Schröder (1841 1902) a neskôr ju rozpracoval Ludwig Wittgenstein (1889 1951) 42. Ide v nej v podstate o metódu opierajúcu sa o tabuľkové definície výrokových spojok, na základe ktorých vieme každej dvojici pravdivostných hodnôt zložiek formuly priradiť výslednú pravdivostnú hodnotu formuly, pričom postupujeme od podformúl danej formuly k zloženej formule až k východiskovej (teda pôvodnej) formule (Gahér 1998, 108). Pravdivostnú hodnotu molekulárnej formuly určujeme vždy vzhľadom k jej štruktúre, pri ktorej sme rozlíšili atomárne formuly, bezprostredné podformuly a podformuly formuly výrokovej logiky. Na to, aby sme vedeli určiť pravdivostnú hodnotu nejakej formuly VL, potrebujeme isté vstupné údaje, medzi ktoré patria: 1. funkcie vyjadrené výrokovými spojkami (tabuľky pre výrokové spojky, v ktorých je vyjadrený ich význam); 2. interpretácie atomárnych podformúl danej formuly; 3. štruktúra danej formuly. (Zouhar 2008, 69) Tabuľkovú metódu určovania pravdivostnej hodnoty formuly si ukážeme na tej istej formule (vzhľadom na jej príslušné interpretácie), ktorú sme uviedli pri formačnom strome. Táto tabuľka bude vyzerať nasledovne: p q p [q (p q)] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 Všimnime si, že v tejto formule sa nachádzajú iba dve premenné, a preto pre ňu existujú len štyri možné interpretácie (pripomeňme si, že celkový počet interpretácií nejakej formuly je daný počtom pravdivostných hodnôt umocnených počtom premenných). Hlavnou výrokovou spojkou je tu implikácia (v poradí prvá), ktorá rozdeľuje formulu na dve podformuly, z ktorých prvá formula je atomárna (p) a druhá je molekulárna ([q (p q)]). Táto podformula sa dá rozložiť na ďalšie dve jej bezprostredné podformuly: q a (p q). Pri určení pravdivostnej hodnoty výslednej (resp. východiskovej) formuly postupujeme tak, že pod jednotlivé premenné (ako atomárne formuly) najprv napíšeme pravdivostné hodnoty podľa príslušnej intepretácie (určili sme ich v jednotlivých riadkoch). Najprv určujeme pravdivostné hodnoty najjednoduchších (atomárnych) podformúl, potom zložitejších (molekulárnych), až napokon určíme pravdivostnú hodnotu východiskovej formuly. Pri určovaní pravdivostnej hodnoty formuly vlastne postupujeme opačným smerom než pri rozklade formuly pri formačnom strome. V uvedenom príklade nadobúda formula pri každej interpretácii pravdivostnú hodnotu pravda, a preto sa táto formula nazýva tautológia. Rozlišujeme tri druhy formúl: tautológie, kontradikcie a neutrálne formuly. Formula α je tautológia vtedy a len vtedy, keď je pri všetkých interpretáciách formuly α pravdivá. Formula α je kontradikcia vtedy a len vtedy, keď je pri všetkých 42 Túto metódu neformálne používali už stoici ako aj Gottlob Frege (Gahér 1998, 108). 42

interpretáciách formuly α nepravdivá. Formula α je neutrálna formula vtedy a len vtedy, keď nie je ani tautológiou, ani kontradikciou (t. j., keď je aspoň pri jednej interpretácii formuly α pravdivá a je aspoň pri jednej interpretácii formuly α nepravdivá). (Tamže, 72) Všimnime si, že negáciou tautológie je kontradikcia, negáciou kontradikcie je tautológia a negáciou neutrálnej formuly je opäť neutrálna formula. Pri tautológii sa pravdivostná hodnota nemení v závislosti od interpretácie. Pravdivosť tejto formuly závisí len od štruktúry (teda len od toho, aké výrokové spojky obsahuje a ako sú tieto spojky usporiadané). Kontradikcie sú zase nepravdivé na základe ich štruktúry. Hovoríme, že tautológie sú logicky pravdivé formuly (napr. logicky pravdivou je formula p p ) a kontradikcie sú logicky nepravdivé formuly. Neutrálne formuly sú niekedy pravdivé (vzhľadom na príslušnú interpretáciu) a niekedy zase nepravdivé, čo znamená, že nie sú pravdivé alebo nepravdivé iba na základe svojej formy (štruktúry). Hovoríme tiež, že neutrálne formuly sú empiricky pravdivé alebo empiricky nepravdivé, keďže závisia od faktického stavu sveta 43 (Tamže, 72-73). Keďže neutrálne formuly sú pravdivé aspoň pri jednej interpretácii danej formuly, hovoríme tiež, že takéto formuly sú splniteľné. Všetky atomárne formuly VL sú splniteľné, pretože obsahujú len výrokové premenné. Kontradikcie, ktoré nie sú pravdivé ani pri jednej interpretácii danej formuly, môžeme považovať za nesplniteľné (Lukasová 1995, 18). Naopak tautológie, ktoré sú pravdivé pri všetkých intepretáciách formuly, sa nazývajú všeobecne splniteľnými formulami a majú charakter zákonov 44 (Berka 1988, 27). 43 Faktický stav sveta by sme v tomto prípade mohli stotožniť s konkrétnou interpretáciou (Tamže, 73). 44 Máme na mysli zákony v zmysle logických téz, resp. logických pravidiel, ktoré sa využívajú pri dôkazoch. Tieto pravidlá sú formulované v metajazyku a budeme sa nimi zaoberať v kapitole venovanej prirodzenej dedukcii vo výrokovej logike. 43

3.1.6 Výrokovologické vyplývanie Pri zisťovaní platnosti argumentov vo výrokovej logike budeme pracovať s pojmom výrokovologického vyplývania (v skratke VL-vyplývania). Je doležité si uvedomiť, že vzťah vyplývania je sémantický vzťah a nie syntaktický, pretože v ňom nejde o spájanie premís so záverom na základe ich tvaru (formy), ale na základe ich pravdivostných podmienok 45 (Materna, Štěpán 2003, 14). Pri VL-vyplývaní sa budeme riadiť definíciou, ktorú uvádzame nižšie. Definícia VL-vyplývania: Nech α 1,..., α n a β sú formuly výrokovej logiky. Formula β výrokovologicky vyplýva z množiny formúl {α 1,..., α n } vtedy a len vtedy, keď neexistuje také VL-ohodnotenie υ, pri ktorom platí, že (α 1 ) =...= (α n ) = 1 a (β) = 0 (Zouhar 2008, 81). Na označenie výrokovologického vyplývania sa používa skratka VL (resp. bez dolného indexu VL, keďže v tomto dieli učebných textoch pracujeme len so systémom výrokovej logiky) a zápis argumentu nasledovnej schémy môžeme pomocou tohto symbolu reprezentovať nasledovne: α 1,..., α n VL β (resp. α 1,..., α n β). Tento zápis čítame takto: formula β výrokovologicky vyplýva z množiny formúl α 1,..., α n. α 1 α n β 45 Na rozdiel od vyplývania je dokázateľnosť syntaktickým vzťahom, pretože transformačné pravidlá sa aplikujú na tvary zápisov (pri dôkazoch) (Materna, Štěpán 2003, 14) a nie na pravdivostné podmienky (teda nie na to, čo výroky označujú). Medzi dokázateľnosťou a vyplývaním však existuje úzky vzťah, ktorý si objasníme pri kapitole o prirodzenej dedukcii vo VL. 44

3.2 Formálna reprezentácia výrokov z prirodzeného jazyka pomocou jazyka VL V tejto podkapitole sa budeme venovať vzájomným vzťahom medzi jazykom výrokovej logiky a prirodzeným jazykom. Predmetom tejto podkapitoly je formalizácia výrokov z prirodzeného jazyka, čo znamená, že sa budeme zaoberať tým, ako prepisovať (formalizovať) výroky z prirodzeného jazyka do formálneho jazyka VL. Na to, aby sme vedeli formalizovať tieto výroky z prirodzeného jazyka (pomocou jazyka VL 46 ), musíme poukázať na isté vzťahy medzi výrokovými spojkami a spojkami z prirodzeného jazyka. To, čo nás bude zaujímať pri formalizácii výrokov, je logická forma týchto výrokov, ktorú majú aj výroky prirodzeného jazyka. Z logickej formy nejakého výroku vieme prečítať jeho pravdivostné podmienky (t. j. podmienky, za ktorých je daný výrok pravdivý alebo nepravdivý). Prvým predpokladom k tomu, aby sme vedeli prepisovať výroky z prirodzeného jazyka do formálneho jazyka VL, je porozumenie významu výrokových spojok. Je potrebné zdôrazniť, že výrokové spojky nemôžeme stotožňovať so spojkami, ktoré bežne používame v slovenčine, teda so spojkami, ktoré poznáme z gramatiky slovenského jazyka. Napr. sme už spomínali, že výrokovou spojkou nebude výraz ktorý, ktorý poznáme ako spojku z gramatiky slovenského jazyka. Na druhej strane tiež platí, že niektoré výrokové spojky nie sú spojkami z gramatického hľadiska (napr. výrokové spojky vtedy a len vtedy, keď... a nie je pravda, že... nie sú spojkami z gramatického hľadiska). Práve kvôli týmto rozdielom medzi spojkami v prirodzenom jazyku a jazyku VL sa niekedy vo VL hovorí skôr o výrokových operátoroch. V súvislosti so spojkami z prirodzeného jazyka a výrokovými spojkami si všimnime nasledovné: 1. Každú z výrokových spojok môžeme vyjadriť pomocou niektorého výrazu prirodzeného jazyka, ale nie vždy ju vyjadríme pomocou výrazu alebo slovného spojenia, ktoré sa v gramatike slovenského jazyka považuje za spojku. (Zouhar 2008, 91) 2. Kým výrazy prirodzeného jazyka sú spravidla viacznačné, výroková spojka má vždy jednoznačný význam (Tamže, 91). Význam výrokových spojok je jednoznačný a viditeľný z tabuľky pre príslušnú výrokovú spojku (ten je určený pomocou pravdivostných hodnôt). 3. Viaceré výrazy z prirodzeného jazyka, ktoré používame na vyjadrenie výrokových spojok, sa dajú použiť aj na vyjadrenie v nevýrokových kontextoch (napr. spojku a používame v prirodzenom jazyku aj vo vetách jednoduchých príklad: Peter a Pavol sú súrodenci v tejto vete sa výraz a nedá považovať za výrokovú spojku). (Tamže, 91) 4. V niektorých vetách z prirodzeného jazyka sa spojka a ukazuje ako nevýroková iba na prvý pohľad, ale v skutočnosti v nich ide o výrokovú spojku. To znamená, že v niektorých prípadoch viet sa po hlbšom zvážení ukáže, že príslušná veta sa dá preformulovať tak, že sa z tejto spojky stane výroková spojka. Je tomu tak v nasledujúcom príklade vety: Peter spieva a tancuje, ktorú môžeme preformulovať nasledovne: Peter spieva a Peter tancuje. (Tamže, 91) 46 Aparát VL logiky je pomerne chudobným nástrojom na analýzu výrokov z prirodzeného jazyka - umožňuje formalizovať z prirodzeného jazyka len zložené výroky (no neumožňuje postihnúť aj vnútornú štruktúru jednoduchých výrokov) (Zouhar 2008, 93). 45

5. Podobne ako v prípade zo štvrtého bodu je to aj so spojkou alebo. Vetu Lukáš maľuje alebo hrá divadlo vieme upraviť nasledovne: Lukáš maľuje alebo Lukáš hrá divadlo, čo nám ukazuje, že aj v tejto vete sa spojka alebo vyskytuje ako výroková (čo by nám na prvý pohľad nemuselo byť také zrejmé). 6. Niektorý z výskytov spojky a sa nedá klasifikovať ako konjunkcia (napr. keby sme vetu Peter dokončil prácu a odišiel upravili na vetu Peter odišiel a dokončil prácu, pravdivostná hodnota druhej vety by bola odlišná od pravdivostnej hodnoty prvej vety (ktorá by sa mala pri výrokovej spojke a zachovať, aj keď zameníme poradie jednoduchých výrokov, ktoré sú pomocou nej spojené), čo potvrdzuje, že v tejto vete sa spojka a nevyskytuje ako konjunkcia (resp. konjunktor) 47. (Tamže, 92) Ak by sme výraz a identifikovali ako konjunkciu, stratila by sa časť implicitne vyjadrenej informácie, ktorú vyjadruje prirodzenejší zmysel tejto vety (totiž, že najprv Peter dokončil prácu a potom odišiel). 7. Rozdiely medzi výrokovými spojkami a spojkami z prirodzeného jazyka sa ukazujú aj pri používaní spojky ak..., tak---, ktorá sa v prirodzenom jazyku často používa na vyjadrenie príčinnej väzby medzi tvrdeniami (vieme, že materiálna implikácia takýto vzťah nevyjadruje). Podobne je to aj v prípade vety Ak Peter začne spievať, tak každý odíde z miestnosti, ktorá vyjadruje príčinnú väzbu medzi dvomi tvrdeniami (vyjadruje presnejšie to, že Petrov spev je príčinou druhej udalosti). Platí teda, že v žiadnom z prípadov, keď sa slovné spojenie ak, tak spája s nejakou príčinnou väzbou, nemôžeme toto spojenie považovať za implikáciu. (Tamže, 93) 47 Príklad ďalšej vety, v ktorej sa spojka a tiež nevyskytuje ako výroková: Peter začal spievať a každý z miestnosti odišiel. Táto veta by sa dala skôr interpretovať tak, že Petrov spev bol dôvodom toho, že každý z miestnosti odišiel, preto spojku a by sme mohli nahradiť skôr výrazom a preto, čo však nie je výrokovou spojkou, pretože konjunkcia nezachytáva dôvodovú, ani príčinnú väzbu medzi udalosťami. (Tamže, 92-93) Ako už vieme, ani materiálna implikácia takúto väzbu nezachytáva. 46

3.2.1 Identifikácia logickej formy výrokov V predchádzajúcej podkapitole sme povedali, že pri formalizácii výrokov z prirodzeného jazyka nám pôjde o odhalenie logickej formy výrokov a že práve logická forma výroku zachytáva jeho pravdivostné podmienky. V tejto kapitole ukážeme, ako identifikovať logickú formu zložených výrokov, teda ukážeme to, ako tieto výroky prepísať do jazyka VL. Formalizovaný jazyk sa ukazuje vo viacerých oblastiach ako užitočný. Takýto umelý jazyk sa nepoužíva len v logike a matematike, ale napr. aj v metodológii, vo výpočtovej technike, biológii, psychológii, fyzike, chémii ako aj všade tam, kde boli vybudované formalizované systémy. Formalizovaný jazyk sa taktiež používa pri vytváraní teoretických alebo praktických modelov, pri vytváraní správnych definícií a je užitočný všade tam, kde je potrebný jednoznačný a exaktný jazyk. (Mathé 2011, 72) Na druhej strane je však jazyk VL pre väčšinu (ak nie všetky) z formalizovaných systémov chudobný. Pri viacerých systémoch a teóriách sa využíva skôr jazyk predikátovej logiky prvého rádu, resp. ešte zložitejšie jazyky, ktoré však taktiež majú svoje hranice. Pri formalizácii niektorých zložených viet 48 nám však postačí aj jazyk výrokovej logiky. Samotná identifikácia logickej formy výrokov bude závisieť od toho, ako budeme jednotlivým vetám v prirodzenom jazyku rozumieť. To znamená, že v určitej miere je identifikácia logickej formy vety záležitosťou našej intepretácie, aj keď niektoré vety z prirodzeného jazyka by sme ťažko interpretovali viac ako jedným spôsobom. Napríklad vetu Peter je hladný alebo sýty je zmysluplné intepretovať tak, že Peter je buď hladný, alebo sýty, keďže tieto dve možnosti sa pochopiteľne vylučujú, preto vylučujúca disjunkcia sa javí ako jediná možná výroková spojka, ktorú vieme z hľadiska logickej formy v tejto vete identifikovať. Vieme si však predstaviť i prípad vety, v ktorej identifikácia jej logickej formy nie je taká jednoznačná. Napríklad veta Ak sa vyskytnú nejaké nejasnosti, obráťte sa na osobu A alebo osobu B by mohla pripúšťať dve možné intepretácie, ktorým budú zodpovedať i dve logické formy: v prvom prípade by sme túto vetu interpretovali tak, že sa dotyčný v prípade nejasností môže obrátiť na obidve osoby, v druhom prípade iba na jednu z nich. Naša prvá interpretácia vety tak identifikuje význam výrazu alebo, ktorý sa vyskytuje v tejto vete, ako zodpovedajúci významu nevylučujúcej disjunkcie, kým v druhej interpretácii je tento význam zodpovedajúci skôr vylučujúcej disjunkcii. Pri identifikácii logickej formy nejakého zloženého výroku budeme postupovať podľa Zouharovej metódy, ktorá by sa dala opísať pomocou nasledovných krokov: 1. je potrebné identifikovať jednoduché výroky, ktoré sú obsiahnuté v danom zloženom výroku; 2. je potrebné priradiť jednoduchým výrokom atomárne formuly 49 - tie budú dané výroky zastupovať vo formálnom jazyku; 3. je potrebné identifikovať výrokové spojky, ktoré sa v zloženom výroku (či už explicitne alebo implicitne) nachádzajú; 4. je potrebné identifikovať hierarchiu výrokových spojok (to znamená, že je potrebné zistiť, kde sa budú vo výslednej formule nachádzať zátvorky - či už hlavné alebo vedľajšie); 5. je potrebné nájsť vyhovujúcu (teda správnu 50 ) formulu VL. (Zouhar 2008, 94) 48 Ide teda o vety, ktoré je postačujúce formalizovať pomocou takého jazyka, ktorého najjednoduchšou jednotkou je jednoduchý výrok. 49 Pripomeňme si, že atomárne formuly sú tie, ktoré neobsahujú žiadnu výrokovú spojku. 50 Pri niektorých výrokoch existuje viacero možností zachytenia ich logickej formy, pričom identifikácia vyhovujúcej logickej formy daného výroku závisí od toho, ako tento výrok interpretujeme. Tento fakt 47

Postup identifikácie logickej formy konkrétneho výroku na základe opísaných krokov si ukážeme na niekoľkých príkladoch. Uvažujme o vete z prirodzeného jazyka: Ak pri viac ako dvoch absenciách na seminári študent preukáže alebo pošle nejaké primerané ospravedlnenie, neprítomnosť na danom seminári bude ospravedlnená. Najprv identifikujeme jednoduché výroky, ktoré sú obsiahnuté v tomto zloženom výroku. Tento zložený výrok sa skladá z troch jednoduchých výrokov, ktoré môžeme reprezentovať v jazyku VL pomocou premenných p, q a r a ktoré budú zároveň predstavovať atomárne formuly. V tomto príklade teda vieme identifikovať nasledovné tri jednoduché výroky: p: Pri viac ako dvoch absenciách na seminári študent preukáže nejaké primerané ospravedlnenie. q: Pri viac ako dvoch absenciách na seminári študent pošle nejaké primerané ospravedlnenie. r: Neprítomnosť na danom seminári bude ospravedlnená. Takto sme priradili jednoduchým výrokom atomárne formuly, keďže žiadny z týchto výrokov neobsahuje výrokovú spojku. Teraz identifikujeme výrokové spojky. Výsledná formula bude samozrejme predstavovať nejakú implikáciu 51. Vidíme, že v tomto zloženom výroku sa vyskytujú dve výrokové spojky (...alebo--- a ak..., tak--- ). Pri zisťovaní hierarchie týchto spojok môžeme konštatovať, že táto hierarchia nie je komplikovaná: vidíme, že antecedent implikácie bude mať tvar disjunkcie (p q), takže logickú formu tohto zloženého výroku z prirodzeného jazyka môžeme zachytiť nasledovne: (p q) r. Pomocou tabuľkovej metódy pre zisťovanie pravdivostnej hodnoty výrokov sa môžeme presvedčiť aj o tom, za akých podmienok je táto formula pravdivá. V niektorých formuláciách zložených výrokov sa výrokové spojky alebo ich hierarchia neukazujú na prvý pohľad ako zjavné. Preto je vhodnejšie tieto výroky preformulovať do takej podoby, v akej sa spomínané vzťahy zviditeľnia. Uveďme príklad: Kto neoprávnene prechováva pre vlastnú potrebu omamnú látku, psychotropnú látku, jed alebo prekurzor, potrestá sa odňatím slobody až na tri roky. (Zdroj: Trestný zákon, 171 ods. 1). Túto vetu najprv preformulujeme nasledovne: Ak niekto neoprávnene prechováva pre vlastnú potrebu omamnú látku, psychotropnú látku, jed alebo prekurzor, tak sa potrestá odňatím slobody až na tri roky. o možnosti viacerých logických foriem súvisí s tým, že niektoré vety z prirodzeného jazyka sú viacznačné, pričom konkrétna logická forma výroku, ktorú sme pre ňu uznali za vyhovujúcu, je už jednoznačná a zodpovedá našej konkrétnej interpretácii výroku. Práve kvôli tomu je v prípade takýchto výrokov užitočnejšie, ak výrok preformulujeme do takej podoby, v ktorej sa ukáže jednoznačným. 51 V tomto prípade nejde o žiadnu príčinnú väzbu medzi výrokmi. Väzba medzi jednotlivými výrokmi tohto príkladu je dôvodová. Pravdivostné podmienky tu reprezentujeme pomocou materiálnej implikácie. Materiálna implikácia však nedokáže spoľahlivo reprezentovať ani dôvodovú väzbu. Aj v prípadoch zachytenia logickej formy viet z prirodzeného jazyka, v ktorých ide o príčinnú väzbu, však musíme použiť opäť len materiálnu implikáciu, keďže výroková logika lepší nástroj neposkytuje. Časť informácií, ktoré vety prirodzeného jazyka vyjadrujú, sa teda stráca. 48