5. Rad, naga, energija, Zakon očuvanja mehaničke energije, Zakon kinetičke energije RAD SILE Rad je djelovanje ile na putu. Diferencijal rada jednak je kalarnom produktu ile i diferencijala pomaka vektora položaja: dw F dr dr d (diferencijal puta), rad ile na cijelom putu od Kako je početnog do konačnog položaja dobije e integriranjem: W F F d F co d, gdje je α kut između vektora ile i vektora diferencijala puta. Rad daje amo komponenta ile u mjeru tangente, odnono u mjeru puta: W F FT d F d F F T F F co Kako je poznato da jednotruki integral predtavlja površinu ipod krivulje, tako je rad ile jednak površini ipod dijagrama F = F(), odnono ipod dijagrama F T = F T (): 53
F T / N W 0 / m Ako je: F = kont. i α = kont. (ila i kut u talni - kontantni - na cijelom putu!), tada vrijedi: W F = F coα, J Rad konzervativnih ila ne ovii o putanji, nego amo o početnom i konačnom položaju četice ili tijela. Primjerice, konzervativne ile u gravitacijka ila teža i elatična ila u opruzi. Rad ile teže može e izračunati prema: W G = m g h, gdje je: m maa tijela, kg g ubrzanje ile teže; uz površinu Zemlje može e uzeti da je kontantno i da iznoi 9,8 m - h razlika nivoa težišta od položaja. do položaja., m. Rad ile teže je pozitivan, ako e težište putilo od položaja. do položaja., a negativan ako e diglo! Općenito: Rad je negativan ako e za avladavanje ile mora trošiti energija. Tada ila djeluje tako da manjuje brzinu i kinetičku energiju. 54
Rad opruge je: W OPR c x x gdje je: c kontanta krutoti (elatičnoti) opruge, Nm - x, x produljenje ili uženje opruge u položaju. ili., m Za ratezanje ili tikanje (kupljanje) opruge potrebna je ila: F = F OPR Sila u opruzi nije kontantna, nego je to veća što e opruga više rateže ili kuplja: F OPR = - c x, N Predznak (-) znači da je ila F OPR uprotne orijentacije od pomaka x. Rad opruge jednak je površini ipod dijagrama F OPR = F OPR (x): F OPR / N F OPR W 0 x x / m Ako e opruga rateže ili tišće iz neopterećenog tanja (x = 0): W OPR x F OPR x c x c x Radovi ile otpora i ile trenja klizanja uvijek u negativni, jer ove ile djeluju tako da manjuju brzinu. Ako u ile kontantne (F OTP = kont. i F TR = kont.), tada e njihovi radovi mogu odrediti iz izraza: W OTP = F OTP W TR = F TR 55
je: SNAGA Snaga je brzina kojom ila obavlja rad: P dw dt Kako je diferencijal rada: P F d dt dw F d F d co F v co dt, a brzina d v, naga dt Snaga je trenutna veličina! Samo ako u ila, brzina i kut ile prema putu kontantni (F = kont., v = kont. i α = kont.), naga je kontantna! ENERGIJA Energija je poobnot (mogućnot) vršenja rada. Uzrok je vih promjena u vemiru. Ne može e tvoriti ni iz čega, ali e pretvara iz jednog oblika u drugi. Prema Einteinu, maa i energija u ekvivalentne i uz određene uvjete maa može prijeći u energiju i obrnuto. Ova e pretvorba odvija prema poznatoj jednadžbi: E = m c, gdje je: E energija, J m maa, kg c brzina vjetloti u vakuumu, približno 3 0 8 m - Mehanička energija može biti kinetička i potencijalna. Kinetička je energija energija gibanja, a potencijalna je energija položaja. Mehanička potencijalna energija može biti gravitacijka i elatična. Kinetička energija četice i tijela koje tranlira može e odrediti prema: E K m v 56
Gravitacijka potencijalna energija: E GP = m g h, gdje je: h viina tijela iznad nekog referentnog nivoa, m: m m h h h 3 0 m 3 Elatična potencijalna energija (elatična tijela, opruge): E EP c x ZAKON OČUVANJA MEHANIČKE ENERGIJE Ako na četicu ili tijelo djeluju amo konzervativne ile, onda je zbroj kinetičke i potencijalne energije na vakom mjetu putanje jednak. E K + E P = E K + E P = E Ki + E Pi = kont. ZAKON KINETIČKE ENERGIJE (za četicu i tranlaciju) Iz drugog Newtonovog akioma dobije e Zakon kinetičke energije: m v m v F d, 57
m v m v W odnono:, ili: E K - E K = W - Zakon kinetičke energije izrečen riječima: Kinetičku energiju četice ili tijela od početnog položaja do konačnog položaja promijenio je rad vih ila od početnog do konačnog položaja! F je rezultanta vih ila koje djeluju pri gibanju, a W - je rad vih ila: W - = W F + W G + W OPR + W TR + W OTP Rad je pozitivan ako ila djeluje tako da povećava brzinu (a time i kinetičku energiju), a negativan je ako e na avladavanje ile mora trošiti energija čime e manjuje brzina. 58
Riješeni primjeri: 5.. Maa automobila je tone. Automehaničar ga gura iz mirovanja do brzine v, pri čemu obavi rad kj, a automobil e pomakne 5 m. Zanemarujući trenje i ve otpore, treba izračunati: konačnu brzinu vozila v i talnu vodoravnu ilu na vozilo. m = t = 000 kg v = 0 v = v W = kj = 000 J = 5 m v =? F T =? Promjenu kinetičke energije od položaja. do položaja. uzrokovao je rad vodoravne ile: E K E K = W Kako je početna brzina jednaka nuli i kinetička je energija tada jednaka nuli: m v W 000v 000 m km v 5,09 h Kako je ila talna i kut između nje i puta je nula, izraz za rad je: W = F 000 = F 5 F = 80 N 5.. Koliki rad obavi ila talnog iznoa 50 N koja djeluje na putu 5 m? Kut između vektora ile i vektora puta mijenja e na lijedeći način: - prva 4 m kut je 0 0 - idućih 5 m 60 0 - zadnjih 6 m kut je 90 0. 59
F = 50 N = kont. = 4 m; α = 0 0 = 5 m; α = 60 0 3 = 6 m; α 3 = 90 0 W =? Kako e mijenja kut između ile i puta, tako e mijenja i komponenta ile koja daje rad. Ta komponenta talna je amo u vakom zadanom intervalu gibanja. Ukupni rad na 5 m puta je zbroj radova u pojedinim intervalima: W = W + W + W 3 = F co α + F co α + F 3 co α 3 W = 50 4 co0 0 + 50 5 co60 0 + 50 6 co90 0 U prvom intervalu rad daje cijela ila F, jer je α = 0 0. Idućih 5 m rad daje komponenta ile F, dok je u zadnjem inervalu kut između ile i puta jednak 90 0 (ila je okomita na put), pa nema rada! W = 600 + 375 + 0 = 975 J 5.3. Sila paralelna putom počinje djelovati na predmet mae 6 kg, koji u početku miruje. Sila e mijenja ovino o putu prema zadanom dijagramu. Koliki rad obavi ila? Kolika je brzina predmeta nakon prijeđenih 0 m, ako je ila F jedina ila koja djeluje na predmet? F / N 0 0 0 0 / m α = 0 0 m = 6 kg 60
v = 0 W =? ; v =? nakon = 0 m Rad je jednak površini ipod dijagrama F(). Obavljeni rad ile nakon 0 m puta jednak je zbroju površine trokuta i pravokutnika u zadanom dijagramu: 0 0 W 0 0 50J Rad ile F uzrokovao je promjenu kinetičke energije E K = 0 na E K : E K m v v W 50 7.07 m 5.4. Dizač utega tla podigne uteg težine 400 N iznad voje glave, što odgovara viini m. Koliki rad obavi dizač utega i kolika mu je rednja naga, ako dizanje utega traje,5 ekundi? G = 400 N h = m t =,5 W =? ; P =? Dizač utega avladava ilu težu koja djeluje na uteg i ona iznoi 400 N. Put na kojem e avladava ila jednak je viini na koju je podignut uteg: W = G h = 400 = 800 J Snaga je brzina obavljanja rada: W 800 P 30W t,5 5.5. Koliko je energije izgubila kuglica mae 0 g u udaru horizontalnom podlogom, ako je na nju pala viine m bez početne brzine, a odbila e do viine,5 m? Otpor zraka zanemariti! 6
m = 0 g = 0,0 kg h = m v = 0 h =,5 m v = 0 ΔE =? Ukupna mehanička energija kuglice u položaju. jednaka je potencijalnoj energiji: E P = m g h Nakon udara kuglice ona e odbila u položaj., prema lici. Ukupna mehanička energija kuglice u položaju. jednaka je potencijalnoj energiji: E P = m g h Razlika ovih energija je gubitak energije u udaru: ΔE = E P - E P = m g h - m g h ΔE = - 0,098 J v 0 v 0 h h 5.6. S viine 5 m, početnom brzinom 4 m/, bačeno je tijelo mae 0, kg. Ako je tijelo na tlo palo brzinom 0 m/, koliko je energije utrošeno na otpor zraka? h = 5 m v = 4 m/ m = 0, kg v = 0 m/ ΔE = W OTP =? Zadatak e može riješiti primjenom Zakona kinetičke energije: 6
E K - E K = W - mv mv W G W OTP Kinetičku energiju tijela od položaja. do položaja. promijenili u radovi ile teže i ile otpora zraka. Rad ile teže je pozitivan, jer e težište putilo. Izgubljena energija tijela jednaka je radu utrošenom na avladavanje ile otpora. Taj je rad negativan! Rad ile teže je: W G = m g h = 49,05 J Nakon uvrštavanja zadanih vrijednoti dobije e: 0, 0 0, 4 W 0,65J OTP 49,05 W OTP h v v 5.7. Četica mae 4 kg počinje e gibati iz tanja mirovanja niz hrapavu koinu, prema lici! Ako na četicu djeluje kontantna ila F = 5 N, 63
izračunati brzinu četice nakon prijeđenog puta = 3 m. Na avladavanje ile trenja klizanja utrošeno je 0 J. Zadana je lika: m 0 30 F F 0 30 m = 4 kg v = 0 F = 5 N = kont. = 3 m W TR = 0 J v =? Zakon kinetičke energije za četicu: mv mv W Promjenu kinetičke energije uzrokovali u lijedeći radovi: - rad ile teže težište e putilo za h (rad je pozitivan) - rad kontantne ile F - rad utrošen za avladavanje ile trenja klizanja (rad je negativan). m v 0 W G W F W Radove ile teže i ile F treba izračunati, dok je W TR zadan: W G = m g h TR Razlika nivoa težišta (h) dobije e iz pravokutnog trokuta prema kici: 64
0 in 30 h,5m h Rad ile teže je: W G = 4 9,8,5 = 58,86 J Kako u ila i njezin kut prema putu kontantni, rad e izračuna prema: W F = F coα Prema kici e vidi da je α = 30 0. W F = 5 3 co30 0 = 38,97 J Dobivene e vrijednoti uvrte u Zakon kinetičke energije: 4v 0 58,86 38,97 0 v 6,38m h 0 30 F 3m 0 30 65
Zadaci za rješavanje: 5.8. Tijelo mae 600 g giba e brzinom m/. U nekom trenutku na njega počinje djelovati kontantna ila N u mjeru brzine. Kolika će biti kinetička energija tijela nakon 3 ekunde djelovanja ile? 5.9. Tijelo mae 600 g tranlatira tako da mu je kinetička energija jednaka 4 J. Kolika mu je količina gibanja? 5.0. Kontantna ila 0 N djeluje na tijelo mae 5 kg koje e giba po horizontalnoj podlozi. Koliki rad izvrši ta ila na putu = 6 m, ako djeluje pod kutom 0 0 prema horizontali? 5.. S viine 60 m, početnom brzinom 5 m/ prema dolje, bačeno je tijelo mae 4 kg. Kolikom je brzinom tijelo udarilo u tlo? Otpor zraka zanemariti! 5.. S viine 50 m, početnom brzinom 5 m/ prema dolje, bačeno je tijelo mae 4 kg. Ako je tijelo palo brzinom 3 m/, koliko je energije izgubilo zbog otpora zraka? 5.3. Na teret mae 00 kg, koji miruje na horizontalnoj hrapavoj podlozi, počinje djelovati kontantna ila F =,4 kn u mjeru puta. Kolika je brzina tereta nakon prijeđenog puta 5 m, ako je gubitak energije zbog trenja klizanja jednak 5 % rada koji izvrši ila F? 5.4. Kolika je rednja naga dizalice koja teret mae 00 kg digne na viinu 5 m za ekundi? 5.5. Tijelo mae kg giba e po horizontalnoj hrapavoj podlozi brzinom v = 4 m/. U nekom trenutku na tijelo počinje djelovati kontantna ila 0 N, pod kutom 40 0 u odnou na brzinu. Kolika je brzina tijela nakon prijeđenog puta m, ako je na rad ile trenja klizanja utrošeno 4 J? 66
5.6. Pri gibanju uz hrapavu koinu nagiba 30 0, u počenom trenutku tijelo mae m = 0 kg ima brzinu v 0 = 0 m/. Na putu = 4 m uz koinu na rad ile trenja klizanja utrošeno je 00 J. Nakon prijeđenog puta 4 m tijelo mae m udarilo je u tijelo mae m = kg, koje je mirovalo na koini. Ako je tijelo mae m nakon udara otalo mirovati, kolikom e brzinom c odbilo tijelo mae m? Obavezno popratiti kicom! 5.7. Tijelo mae 4 kg lobodno pada viine 0 m. Nakon pada zabije e u tlo 0 cm duboko. Kolika je rednja ila otpora probijanju tijela u tlo? Otpor zraka zanemariti! 5.8. Na tijelo mae m = kg, koje na početku miruje na glatkoj horizontalnoj podlozi, počinje djelovati kontantna ila F = 0 N pod kutom 30 0 prema horizontali. Nakon prijeđenog puta = m, tijelo mae m udari e tijelom mae m = 6 kg, koje miruje. Ako tijelo mae m nakon udara otaje mirovati, a ila F više ne djeluje, kolikom e brzinom odbije tijelo mae m? Trenje zanemariti! Obavezno popratiti kicom! 5.9. Kontantna ila 50 N na putu 5 m promjenila je kinetičku energiju tijela početnih 00 J na konačnih 40 J. Pod kojim je kutom u odnou na put djelovala ila? 5.0. Tijelo mae 4 kg miruje u podnožju glatke (μ = 0) koine nagiba 30 0. Na tijelo počinje djelovati kontantna horizontalna ila. Koliki je izno ile, ako je nakon prijeđenog puta 3 m uz koinu brzina tijela 4 m/? Obavezno popratiti kicom! 5.. Automobil mae,4 tone počinje jednoliko ubrzavati iz tanja mirovanja i tijekom četvrte i pete ekunde zajedno prijeđe 4 m. Kolika mu je količina gibanja, a kolika kinetička energija u trenutku t = 6 od početka ubrzavanja? 5.. Na tijelo mae kg, koje e giba brzinom 4 m/, počinje djelovati kontantna ila iznoa F = 0 N u mjeru puta. Kolika je kinetička energija 67
tijela 4 ekunde nakon početka djelovanja ile, ako je ila F jedina ila koja djeluje na tijelo? 5.3. Četica mae 4 kg giba e niz koinu nagiba 45 0 i viine m. Na vrhu koine četica ima početnu brzinu 4 m/, a njezina konačna brzina na dnu koine je 6,5 m/. Kolika je rednja ila otpora pri gibanju niz koinu? 5.4. Kontantna ila 70 N na putu 8 m povećala je kinetičku energiju tijela za 500 J. Pod kojim je kutom u odnou na put djelovala ila? 5.5. Na kolica mae 5 kg, koja miruju na horizontalnoj podlozi, počinje djelovati talna ila 0 N u mjeru puta. Pod utjecajem te ile kolica u prešla put 4 m bez otpora. Koliki je rad izvršila ila? Kolika je brzina kolica nakon prijeđena 4 m? Koliko je bilo ubrzanje kolica? 5.6. Kolika je težina tijela kojemu je talna ila 3 N promjenila početnu brzinu 50 cm/ na konačnu 3,5 m/ za vrijeme 3 ekunde? Kolika je akceleracija tijela? Kolika je konačna kinetička energija? 5.7. Na tijelo mae kg, koje e giba brzinom 4 m/, počinje djelovati kontantna ila iznoa F = 0 N u mjeru puta. Kolika je kinetička energija tijela 5 ekundi nakon početka djelovanja ile, ako uz ilu F djeluje i talna ila otpora iznoa N? 5.8. U katalogu piše da automobil mae 800 kg može iz mirovanja ubrzati do 00kmh - za 8. Koliku proječnu nagu tada razvija motor? Gubitke ulijed trenja i otpora zanemariti! 5.9. Automobil e giba po ceti talnom brzinom 7 km/h. Ako e iključi motor, automobil e zautavi za 0. Kolika je naga motora koja održava talnu brzinu 7 km/h, ako je maa automobila 600 kg? 5.30. Dijagramom je zadana ovinot ile o putu. Ako ila djeluje u mjeru puta, izračunati koliki je rad obavila na putu 4 m! 68
F / N 5 0 3 4 / m 5.3. Tijelo mae 4 kg lobodno pada i na viini 0 m ima brzinu 5 m/ prema dolje. Kolika mu je brzina na viini 5 m? Kolika mu je kinetička energija u trenutku neporedno prije pada na tlo? Otpor zraka zanemariti! 5.3. Dizalica je podigla tijelo mae 4,5 t na viinu 8 m. Koliko je trajalo dizanje tereta, ako je rednja naga dizalice 8,83 kw? 5.33. Kontantna horizontalna ila 0 N ubrzava tijelo mae kg duž puta 4 m po horizontalnoj podlozi bez trenja. Tijelo je prije toga mirovalo. Nakon prijeđena 4 m ila e manji na 0 N i djeluje duž iduća 4 m. Kolika je konačna kinetička energija tijela? Kolika mu je konačna brzina? 5.34. Kamion mae 3 t vozi brzinom 45 km/h. Koliko mora iznoiti rednja ila kočenja da e kamion zautavi na putu 50 m? 5.35. Koliko e vioko popne tijelo mae 0, kg kad ga e baci vertikalno u vi takvom brzinom da mu je kinetička energija 9,8 J? Otpor zraka zanemariti! 5.36. Tijelo mae,5 kg lobodno pada viine 00 m i zabije e u pijeak 5 cm duboko. Kolika je ila otpora tla uz pretpotavku da je kontantna? Otpor zraka zanemariti! 69
5.37. Automobil mae 000 kg jednoliko e ubrzava od brzine 8 km/h do 36 km/h na putu 50 m. Kolika je vučna ila potrebna za takvo ubrzavanje? Kolika je promjena kinetičke energije? Kolika je rednja naga? Zanemariti ve otpore pri gibanju! 5.38. Automobil mae t počinje jednoliko ubrzavati iz mirovanja tako da nakon 0 prijeđe 50 m. Kolika mu je kinetička energija u trenutku t = 4 od početka ubrzavanja? 5.39. Stalna ila 50 N djeluje na tijelo u mjeru brzine na putu 5 m. Ako je početna kinetička energija tijela (na početku djelovanja ile) 00 J, a ila djeluje pod kutom 45 0, kolika je konačna kinetička energija tijela? 5.40. Ako je za dizanje tereta mae t utrošen rad 0 kj, na koliku je viinu teret podignut? 5.4. Tijelo mae 0 kg bačeno je vertikalno u vi početnom brzinom 0 m/. Na viini m ima ukupnu energiju 500 J. Kolika je brzina tijela na toj viini? 5.4. Na teret mae 00 kg koji miruje na horizontalnoj hrapavoj podlozi počinje djelovati horizontalna kontantna ila F =,4 kn. Kolika je brzina tereta nakon prijeđenog puta 5 m, ako gubitak energije zbog trenja klizanja iznoi 5 % rada koji obavi ila F na itom putu? 5.43. U trenutku kad tijelo mae 4 kg ima brzinu v = m/ na njega počinje djelovati talna ila F = N, prema zadanoj lici. Kolika je brzina tijela nakon prijeđenog puta 5 m po glatkoj (μ = 0) horizontalnoj podlozi? Sve otpore gibanju zanemariti! 70
v v m 60 0 F 0 5 m F 5.44. Prvi automobil može jednoliko ubrzati iz mirovanja do brzine v od 0 do t. Drugi automobil, jednake mae, ubrzava od 0 do v za ito vrijeme. Koliko puta je naga drugog automobila veća od prvog? 5.45. Kolika je proječna naga potrebna čovjeku mae 70 kg, koji e penje na planinu, da bi avladao viinku razliku km u vremenu 00 min? Za koliko mu e pri tom penjanju poveća gravitacijka potencijalna energija? 7
Rješenja zadataka: 5.8. E K = 43, J 5.9. p = mv =,9 kgm/ 5.0. W F = 56,38 J 5.. v = 34,67 m/ 5.. E = W OTP = 954 J 5.3. v = 3,4 m/ 5.4. P = 87, W 5.5. v = 4,6 m/ 5.6. c =,9 m/ 5.7. F OTP = 3963 N 5.8. c =,96 m/ 5.9. α = 55,94 0 5.0. F = 34,97 N 5.. p = 5 00 kgm/; E K = 6 800 J 5.. E K = 576 J 5.3. F OTP = 9,87 N 5.4. α = 6,77 0 5.5. W = 80 J; v = 3,66 m/; a =,333 m/ 5.6. G =,943 N; a = 0 m/ ; E K = 48,8 J 5.7. E K = 576 J 5.8. P = 86.89 W = 86,8 kw 5.9. P = 3.000 W = 3 kw 5.30. W = 5 J 5.3. v =, m/; E K3 = 44,4 J 5.3. t = 40 5.33. E K = 0 J; v = 5,5 m/ 5.34. F K = 4687,5 N 5.35. h = 0 m 5.36. F OTP = 9834,5 N 5.37. F V = 750 N; ΔE K = 37.500 J; P = 565 W 5.38. E K = 44.000 J = 44 kj 5.39. E K = 76, 8 J 5.40. h =,0 m 5.4. v = 7,8 m/ 5.4. v = 3,4 m/ 5.43. v =,6 m/ 5.44. Snaga drugog automobila četiri je puta veća od nage prvog automobila! 5.45. P = 4,5 W; E P = 686.700 J = 686,7 kj 7