7. Titranje, prigušeno titranje, harmonijsko titranje

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "7. Titranje, prigušeno titranje, harmonijsko titranje"

Transcript

1 7. itranje, prigušeno titranje, harmonijsko titranje IRANJE Općenito je titranje mijenjanje bilo koje mjerne veličine u nekom sustavu oko srednje vrijednosti. U tehnici titranje podrazumijeva takvo gibanje kod kojeg sustav opetovano prolazi kroz niz stanja. Nakon što jednom prođe sva stanja, obavio je jedan titraj ili oscilaciju. itranje počinje kad se tijelo izvede iz položaja ravnoteže. Kad se giba u jednom smjeru, na njega u suprotnom smjeru djeluje elastična sila F el koja ga vraća u položaj ravnoteže. Položaj tijela koje titra određen je udaljenošću od ravnotežnog položaja i naziva se elongacija x (ili y). Najveća elongacija je amplituda i označava se s A (ili x 0 ili y 0 ). Primjeri titranja: titranje opruge, gibanje klipa u cilindru motora, otkucavanje srca, disanje, promjene plime i oseke itd. itranje može biti slobodno i prinudno. Slobodno je izazvano samo jednim impulsom, a dalje je tijelo prepušteno samom sebi. Kod prinudnog titranja vanjska sila uzrokuje titranje. I slobodno i prinudno titranje može biti neprigušeno ili prigušeno. Neprigušeno ima stalno jednaku amplitudu, dok se kod prigušenog amplituda tijekom vremena smanjuje, kao što je prikazano na slici. Na tijelo koje prigušeno titra uz elastičnu silu djeluje i sila otpora ili trenja koja se odupire gibanju i tijelu oduzima energiju. Jednadžba gibanja prigušenog titranja je: d x m dt r dx dt k x 0 x(t) = A 0 e -β t sin(ω t),, čije je jedno rješenje: 95

2 iz čega se vidi da se amplituda vremenom smanjuje. Slobodno neprigušeno ili harmonijsko titranje je gibanje pod utjecajem sile koja je proporcionalna pomaku od položaja ravnoteže i usmjerena je prema položaju ravnoteže: F el k x, gdje su: k konstanta krutosti ili elastičnosti, N/m x pomak, elongacija ili udaljenost od položaja ravnoteže, m. x = l l 0 Ovdje je: l ukupna duljina opruge u stisnutom ili rastegnutom stanju, m l 0 ukupna duljina opruge u neopterećenom stanju, odnosno u ravnotežnom položaju, m. Predznak u formuli upućuje na to da je sila povratna, tj. orijentacija vektora sile suprotna je orijentaciji vektora pomaka. Pod harmonijskim titranjem smatra se gibanje kod kojeg je vremenska ovisnost položaja tijela sinusoidalna, dakle matematički se opisuje funkcijom sinus ili kosinus. Kod takvog gibanja tijelo u jednakim vremenskim intervalima u potpunosti ponavlja svoje stanje (položaj, brzinu i akceleraciju). Na donjoj je slici prikazana opruga, koja je u početnom položaju neopterećena i dugačka l 0, te je postavljena na glatku horizontalnu podlogu (bez trenja!). Ako se opruga silom F rastegne iz položaja ravnoteže za pomak x = s, u oprugi će se pojaviti sila F el = F OP. Kad se ukloni sila F, sila u oprugi će povući tijelo mase m prema položaju ravnoteže (kad je opruga dugačka l 0 ) i tijelo će početi harmonijski titrati. Rad izvršen za rastezanje (stezanje) opruge iz položaja ravnoteže za elongaciju s jednak je iscrtanoj površini trokuta u dijagramu F(s): W OPR F s k s 96

3 Prema drugom Newtonovom aksiomu može se napisati: F el k x m a, d x dt odnosno: m k x 0. Jedno rješenje ove diferencijalne jednadžbe je: x = A sin(ω t), gdje je: A amplituda titranja, najveća elongacija, m ω kružna brzina, rad/s Kako je gibanje tijela, koje na ovaj način harmonijski titra, pravocrtno, njegova brzina i ubrzanje se mogu odrediti iz jednadžbi za pravocrtno gibanje: v a dx dt dv dt A cos( t) A sin( t) x Ove jednadžbe vrijede samo ako je titranje počelo iz položaja ravnoteže. No, ako tijelo počinje titranje iz nekog drugog položaja, određenog početnim faznim kutom φ 0, tada je: x = A sin(ω t + φ 0 ), v A A cos( t 0 ), a A t x 4 sin( 0) x. Kružna se brzina može izračunati prema: f, gdje je: period ili vrijeme jednog titraja, s 97

4 f frekvencija titranja ili broj titraja u sekundi, Hz Odnos između perioda i frekvencije je: 1 f Najveća brzina pri titranju je: v v A A 0 M, 4 A a najveća akceleracija: a0 am A. Kako je elastična sila koja uzrokuje titranje: F el to je konstanta krutosti opruge: 4 m k x m a x 4 m k, a vrijeme jednog titraja tijela mase m na opruzi konstante krutosti k: m. k Zakonitosti koje vrijede pri harmonijskom titranju mogu se izvesti promatrajući gibanje točke po kružnici konstantnom brzinom. Projekcija točke B na vertikalnu os harmonijski titra (vidjeti sliku!)., 98

5 x B x O v a N r v x a Bx Na prikazanoj slici točka B je projekcija točke B na vertikalnu os x. Položaj ravnoteže je u trenutku kad se točke O i B poklapaju, a elongacija točke B je njezina udaljenost od točke O. Ako se gibanje promatra iz položaja kad je duljina OB horizontalna (položaj ravnoteže), početni je kut φ = φ 0 = 0. Na slici su svi označeni kutovi jednaki φ. Pri gibanju točke B po kružnici, njezina se projekcija B giba gore-dolje po osi x. Za gibanje po kružnici konstantnom brzinom i kutna je brzina konstantna, a kut je određen jednadžbom: φ = ω t U pravokutnom trokutu OBB vrijedi: pa je: x = r sinφ. x sin, r Najveći pomak točke B od položaja ravnoteže je amplituda i upravo je jednak polumjeru kružnice: r = A. Ovisnost elongacija točke B od vremena je: x A sin t A sin t 99

6 U gornjem pravokutnom trokutu vrijedi: cos, v odnosno: v x = v cosφ, gdje je: v = ω r brzina točke B po kružnici, m/s v x brzina točke B po osi x, m/s. Ovisnost brzine točke B od vremena je: A v x r cos t U donjem pravokutnom trokutu vrijedi: v x cos t a x sin. an Kako je akceleracija orijentirana u negativnom smjeru osi x, mora imati negativan predznak: a x = - a N sinφ, gdje je: a N 4 A r - normalno ubrzanje točke B, m/s Ovisnost ubrzanja točke B od vremena je: 4 A a x sin t 100

7 Riješeni primjeri: 7.1. Uteg mase 1 kg visi na elastičnoj opruzi i harmonijski titra gore-dolje po stazi dugoj 0 cm. Period titranja je 4 sekunde. reba odrediti: a) Brzinu i ubrzanje utega u trenutku kad prolazi položajem ravnoteže. b) Najveću elastičnu silu. c) Najveću kinetičku energiju utega. m = 1 kg l = 0, m = 4 s a) v =? ; a =? u trenutku prolaska kroz položaj ravnoteže b) F M =? c) E KM =? ravnotežni položaj l A m Na slici je prikazana staza po kojoj se giba uteg mase m. Duljina staze jednaka je dvije duljine amplitude, pa je amplituda: l A 1m 0, a) U trenutku prolaska kroz ravnotežni položaj brzina je najveća, a akceleracija je jednaka nuli (a = 0). A v v0 0,157m / s b) Najveća je sila u trenutku kad je tijelo najudaljenije od ravnotežnog položaja (x = A = 0,1 m). 4 m F M x 0, 5N Negativni predznak znači da je orijentacija elastične sile suprotna od elongacije. 101

8 c) Najveća je kinetička energija u trenutku kad je najveća brzina: m v E KM 0 0, 013J 7.. Kako glasi jednadžba gibanja čestice koja harmonijski titra amplitudom 7 cm i u jednoj minuti načini 10 titraja? Početni fazni kut je Skicirati i kotirati ovisnost elongacije od vremena, x = x(t)! A = 7 cm = 0,07 m rad 0, kut mora biti u radijanima! Frekvencija je broj titraja u jedinici vremena: f Hz 1min 60s 1 0, 5s f x = x(t) =? x Asin t 0 7 sin t 0,5 x 7 sin4 t, cm Ovdje je vrijeme u sekundama. Općenito je jednadžba sinusoide (analogno i kosinusoide!): y = A sin(b x + C), gdje su: A amplituda (najveća i najmanja vrijednost) P - period B C - pomak po osi apscisa. B U ovom su primjeru: P 0, 5s - već izračunati period ili vrijeme jednog titraja. B 4 C 1 0,15s B pomak sinusoide po osi apscisa u lijevo. 10

9 Period 0,5 s podijeli se na osi apscisa na četiri intervala, svaki po 0,15 s, počevši od ishodišta. Cijeli period se pomakne u lijevo za 0,15 s, tako da je period od 0,15 s do 0,375 s i u taj period ulazi cijela sinusoida s amplitudom 7 cm. Na slici je prikazana tražena sinusoida, s tim da negativne vrijednosti vremena realno nemaju smisla. x / cm t / s 0, 5s 7.3. Na oprugu je obješen uteg mase 5 kg. Koliko je vrijeme jednog titraja opruge, ako se ona pod djelovanjem sile 15 N produlji za 3 cm? Koliki rad treba utrošiti da bi se opruga rastegnula za 3 cm iz neopterećenog stanja? m = 5 kg F = 15 N x = 3 cm = 0,03 m =? ; W OPR =? Prvo treba izračunati konstantu krutosti opruge: F = k x 15 = k 0,03 k = 500 N/m Vrijeme jednog titraja je: m 5 0, 68s k

10 Rad koji treba utrošiti da bi se opruga rastegnula iz neopterećenog stanja izračuna se prema: k x WOPR 500 0,03 WOPR 0,5J Rad je negativan jer je utrošen na rastezanje opruge! 7.4. ijelo mase 1kg harmonijski titra prema jednadžbi x = 0,3 sin(7,4 t), m, vrijeme u sekundama. reba odrediti: a) amplitudu titranja b) frekvenciju titranja c) kinetičku i potencijalnu energiju tijela u trenutku kad je ono udaljeno 0,6 m od ravnotežnog položaja. m = 1 kg x = 0,3 sin(7,4 t), m, t u s a) A =? b) f =? c) E K =? i E P =? za x = 0,6 m a) Amplituda se očita i iznosi: A = 0,3 m b) Period titranja je: 0,8486s B 7,4 1 f 1,178Hz i frekvencija je: c) Potencijalna je energija: E P k x Prvo treba izračunati konstantu krutosti: 54,766 0,6 E P 1, 851J 4 m 4 1 k 54,766N / m 0,

11 Najveća je potencijalna energija u trenutku kad je brzina jednaka nuli, a to je kad je x = A = 0,3 m. ada je kinetička energija jednaka nuli, a ukupna je energija E UK = E PM : k A 54,766 0,3 E PM, 804J Ukupna mehanička energija tijekom titranja je nepromijenjena, pa je kinetička energija za x = 0,6 m: E K = E UK E P =,804 1,851 = 0,953 J 7.5. Zadan je dijagram harmonijskog titranja nakog tijela. Napisati jednadžbu titranja x = x(t), te jednadžbe ovisnosti brzine i ubrzanja od vremena, v = v(t) i a = a(t). x / cm 0 t / s Iz zadanog je dijagrama vidljivo da krivulja odgovara kosinusoidi (bez pomaka po osi apscisa): priodična je i u trenutku t = 0 je jedan njezin ekstrem maksimum. Dakle, može se napisati u obliku: x A cos( t) A cos t Potrebno je odrediti amplitudu A i vrijeme jednog titraja (period). Iz dijagrama je vidljivo da je amplituda cm. Period je vremenski interval koji sadrži jedan dol i jedan brijeg kosinusoide: od trenutka 0,05 s do 0,5 s, što iznosi 0, s. Sada je: x cos t cos10 t, cm, vrijeme u s. 0, 105

12 Brzina tijela je promjena položaja u vremenu, tj. prva derivacija položaja (elongacije): dx v sin10 t10 0 sin10 t,cm/s, vrijeme u s. dt Akceleracija je promjena brzine u vremenu, tj. prva derivacija brzine: dv a 0 cos10 t10 00 cos10 t, cm/s, vrijeme dt u s Na elastičnu oprugu obješen je uteg koji titra amplitudom 10 cm. Kolika je konstanta krutosti opruge, ako je najveća kinetička energija utega 1 J? A = 10 cm = 0,1 m E KM = 1 J Najveća je kinetička energija utega mase m u trenutku kad ima najveću brzinu (u trenutku prolaska položajem ravnoteže), v M : m vm EKM Uvrštavanjem poznate vrijednosti kinetičke energije dobije se jedna jednadžba s dvije nepoznanice: 1) m vm Najveća je brzina utega pri harmonijskom titranju: A v M 0, ) v M Ovdje je nova, treća, nepoznanica. Izraz za konstantu krutosti opruge glasi: 4 m 3) k, gdje su nepoznanice k, m i. Postavljene su tri jednadžbe s četiri nepoznanice! Druga se jednadžba ubaci u prvu: 0,04 ) u 1) m i izrazi se: m, što se ubaci u treću jednadžbu i dobije se rješenje: 0,04 106

13 4 k 00 0,04 N m 7.7. ijelo mase 1 kg pričvršćeno je na horizontalno položenu oprugu konstante krutosti 10 N/m. U trenutku t = 0 na tijelo djeluje impuls tako da se opruga sabije. Početna brzina tijela je 3 m/s. Zanemarivši trenje treba odrediti: a) period i frekvenciju, b) amplitudu, c) najveću akceleraciju, d) ukupnu energiju. m = 1 kg k = 10 N/m v 0 = v M = 3 m/s (početna je brzina ujedno i najveća!) a), f =?, b) A =?, c) a M =?, d) E UK =? a) Izraz za period: m 1 0, 573s, k 10 a frekvencija je: f 1 1 1, Hz 0, b) Amplituda se dobije iz jednadžbe za najveću brzinu: A v M A 3 0,573 A = 0,74 m c) Najveća akceleracija je u trenutku kad je brzina jednaka nuli, odnosno kad je elongacija jednaka amplitudi: 4 A 4 0,74 a M 3,9m / s 0,573 d) Ukupna energija tijela jednaka je kinetičkoj energiji u trenutku prolaska kroz ravnotežni položaj ili potencijalnoj na najdaljem položaju tijela: m vm EUK EKM 4, 5J 1 EUK EPM k A 0,5 10 0,74 4, 5J 107

14 7.8. Čestica harmonijski titra amplitudom 5 cm. Period titranja je 5 s, a početni fazni kut nula. Kolika je brzina čestice u trenutku kad je njezina elongacija 3 cm? A = 5 cm = 0,05 m = 5 s φ 0 = 0 v =? kad je x = 3 cm = 0,03 m Prvo je potrebno napisati jednadžbu ovisnosti elongacije od vremena. Iz nje se dobije trenutak kad je elongacija jednaka 0,03 m. x A sin t 0 0,05 sin t 0,05 sin 5 t 0,03 0,05sin 0,4 t 0,6 sin0,4 0,4 t arcsin 0,6 t 0,5134s Brzina čestice je promjena njezina položaja u vremenu: dx v 0,05 cos0,4 t 0,4 0,0 cos0,4 t dt v 0,5134 0,0 cos 0,4 0,5134 0,0503m / s 0,4 t 108

15 Zadaci za rješavanje: 7.9. ijelo titra tako da načini 1 titraja u 40 s. Koliki je period titranja, a kolika frekvencija? Čestica titra prema jednadžbi: x = 5 cos(3 t), cm, vrijeme u sekundama. kolika je frekvencija titranja? Kolika je elongacija čestice u trenutku t = 0,15 s? Napisati izraz za elongaciju harmonijskog oscilatora koji titra frekvencijom 60 Hz. Amplituda titranja je 10 cm, a početni fazni kut π/4 rad. Kolika je elongacija u početnom trenutku (t = 0)? 7.1. Odrediti izraz za brzinu čestice koja harmonijski titra, ako je jednadžba njezinog položaja: x = sin(7 t + π), mm, vrijeme u sekundama Čestica mase 10 g harmonijski titra amplitudom 8 cm. Vrijeme jednog titraja je s, a početni fazni kut φ 0 = 0. a) Napisati jednadžbu titranja. b) Odrediti elongacije u trenucima t 1 = 0,5 s, t = 1 s i t 3 = 1,6 s. c) Kolika je najveća brzina čestice? d) Kolika je najveća sila koja djeluje na česticu? očka harmonijski titra tako da joj se elongacija, odnosno otklon od ravnotežnog položaja, mijenja ovisno o vremenu prema jednadžbi: x = 8 sin(4 t), cm, vrijeme u sekundama. Kolika je najveća brzina čestice? Kolika je njezina elongacija u trenutku t = s od početka titranja? Čestica harmonijski titra prema jednadžbi: x 4 sin t, cm, 4 vrijeme u sekundama. Kolika je njezina najveća brzina? Kolika joj je elongacija nakon 4 s titranja? Čestica mase g harmonijski titra frekvencijom 0 Hz. Kolika je najveća kinetička energija čestice, ako je amplituda titranja 3 cm? 109

16 7.17. Pod djelovanjem sile 0 N opruga se produlji za 0 cm. Koliki je period titranja utega mase 10 kg na toj opruzi? 7.18 Na opruzi harmonijski titra uteg amplitudom cm. Pri tom mu je titranju najveća kinetička energija 4 J. Kolika je konstanta krutosti opruge? Nerastegnuta (neopterećena) opruga ima duljinu 10 cm. Kad na njoj mirno visi uteg mase 50 g, njezina je duljina 1,5 cm. Kolikom će frekvencijom titrati taj uteg ako ga se izvuče iz položaja ravnoteže? 7.0. Kada je na oprugu obješen uteg mase m ona titra frekvencijom 0,8 Hz. Ako toj masi dodamo drugi uteg mase 0,5 kg tada opruga titra frekvencijom 0,4 Hz. Koliki je iznos mase prvog utega, m? 7.1. ijelo harmonijski titra tako da mu treba 0,5 sekundi da prijeđe od mjesta gdje mu je brzina jednaka nuli do drugog takvog mjesta na suprotnoj strani od ravnotežnog položaja. a dva mjesta udaljena su 36 cm. Odrediti: a) period titranja b) frekvenciju titranja c) amplitudu titranja. 7.. Jednadžba gibanja točke je: x = 0,1 sin(0,5π t), m, vrijeme u sekundama. Za koliko najmanje vremena ta točka prijeđe put od ravnotežnog položaja do položaja koji je najviše udaljen od ravnotežnog? 7.3. Amplituda titranja tijela koje harmonijski titra je cm, a njegova najveća energija je J. Na kolikoj udaljenosti od ravnotežnog položaja na tijelo djeluje sila, N? 7.4. Opruga s utegom titra tako da načini 90 titraja u jednoj minuti. Koliko je puta potrebno povećati masu utega kako bi sustav titrao sa 10 titraja u minuti? 110

17 7.5. očka harmonijski titra prema jednadžbi: x sin t, cm, vrijeme u 3 6 sekundama. Skicirati i kotirati dijagram ovisnosti elongacije od vremena x(t). Kolika je akceleracija točke u trenutku t = 4 s? 7.6. očka harmonijski titra prema jednadžbi: x 4 sin t, cm, vrijeme u 6 sekundama. Skicirati i kotirati dijagram ovisnosti elongacije od vremena x(t). Kolika je akceleracija točke u trenutku t = s? 7.7. očka harmonijski titra prema jednadžbi: x 4 sin t, cm, vrijeme u 4 sekundama. Nacrtati dijagram ovisnosti brzine točke od vremena v(t). Kolika je akceleracija točke u trenutku t = 1 s? 7.8. očka harmonijski titra prema jednadžbi: x 5 sin t, cm, vrijeme u 4 sekundama. Nacrtati dijagram ovisnosti brzine točke od vremena v(t). Kolika je akceleracija točke u trenutku t = 4 s? 7.9. očka harmonijski titra prema jednadžbi: x 4 sin t, cm, 4 vrijeme u sekundama. Nacrtati dijagram ovisnosti akceleracije točke od vremena a(t) Čestica mase grama harmonijski titra prema jednadžbi: x = sin( t 0,5), cm, vrijeme u sekundama. a) Kolika je elongacija čestice u trenutku t = 0? b) Kolika je brzina čestice u trenutku t = 0? c) Kolika je najveća brzina čestice? d) Kolika je najveća sila koja djeluje na česticu? Čestica mase 4 grama harmonijski titra prema jednadžbi: x = 5 sin(0,5 t 1), cm, vrijeme u sekundama. a) Kolika je elongacija čestice u trenutku t = 0? b) Kolika je brzina čestice u trenutku t = 0? c) Kolika je najveća brzina čestice? d) Kolika je najveća sila koja djeluje na česticu? 111

18 7.3. Pod djelovanjem sile 10 N opruga se produlji za 5 cm. Koliki rad treba utrošiti da bi se opruga produljila za 1 cm iz neopterećenog stanja? Koliko je vrijeme jednog titraja opruge, ako je na nju obješen uteg mase kg? Pod djelovanjem sile 0 N opruga se produlji za 4 cm. Za koliko će se opruga produljiti ako je na nju obješen uteg mase 8 kg? Koliko će tada iznositi vrijeme jednog titraja? Čestica harmonijski titra prema jednadžbi: x = sin(4 t), cm, vrijeme u sekundama. Kolika je brzina čestice u trenutku t = s? Skicirati i kotirati dijagram ovisnosti akceleracije od vremena Čestica harmonijski titra prema jednadžbi: x = 4 cos( t), cm, vrijeme u sekundama. Kolika je brzina čestice u trenutku t = 8 s? Skicirati i kotirati dijagram ovisnosti akceleracije od vremena. 11

19 Rješenja zadataka: 7.9. = 3,333 s ; f = 0,3 Hz f = 3,7 Hz ; x(0,15) = - 4,764 cm x 10 sin10 t, cm, t u s ; x(0) = 7,07 cm v = 14 cos(7 t + π), mm/s, vrijeme u sekundama a) x = 0,08 sin(πt), m b) x (0,5) = 0,08 m, x (1) = 0, x (1,6) = - 0,0761 m c) v M = 0,51 m/s d) F M = - 0,0079 N v M = 0,3 m/s ; x() = 7,915 cm v M = π cm/s ; x(4) = 4 cm E KM = 0,014 J = 1,987 s k = N/m f = 3,15 Hz 7.0. m = 0,17 kg 7.1. a) = 0,5 s ; b) f = Hz ; c) A = 18 cm 7.. t min = 1 s 7.3. x = 1, m puta 7.5. x / cm 0,5 0 t / s a(4) = 0,019 m/s 113

20 7.6. x / cm 0 t / s a() = - 0, m/s 7.7. v /( cm / s) 0 t / s a(1) = - 0,0174 m/s 114

21 7.8. v /( cm / s) 0 t / s a(4) = a /( cm / s ) 0 t / s x(0) = - 0,9589 cm ; v(0) = 3,51 cm/s ; v M = 4 cm/s ; F M = - 0,00016 N = - 1, N x(0) = - 4,07 cm ; v(0) = 1,351 cm/s ; v M =,5 cm/s ; F M = - 0,00005 N = N 7.3. W = 1,44 J ; = 0,68 s x = 0,157 m ; = 0,7944 s 115

22 7.34. v() = - 1,164 cm/s a /( cm / s ) 0 t / s v(8) =,303 cm/s a /( cm / s ) 0 t / s 116

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1

Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1 Zadatak, Štap B duljine i mase m pridržan užetom u točki B, miruje u vertikalnoj ravnini kako je prikazano na skii. reba odrediti reakiju u ležaju u trenutku kad se presječe uže u točki B. B Rješenje:

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Rad, energija i snaga

Rad, energija i snaga Rad, energija i snaga Željan Kutleša Sandra Bodrožić Rad Rad je skalarna fizikalna veličina koja opisuje djelovanje sile F na tijelo duž pomaka x. = = cos Oznaka za rad je W, a mjerna jedinica J (džul).

Διαβάστε περισσότερα

Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika

Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika 1. Kinematika Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika Kinematika (grč. kinein = gibati) je dio mehanike koji

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

šupanijsko natjecanje iz zike 2017/2018 Srednje ²kole 1. grupa Rje²enja i smjernice za bodovanje 1. zadatak (11 bodova)

šupanijsko natjecanje iz zike 2017/2018 Srednje ²kole 1. grupa Rje²enja i smjernice za bodovanje 1. zadatak (11 bodova) šupanijsko natjecanje iz zike 017/018 Srednje ²kole 1. grupa Rje²enja i smjernice za bodovanje 1. zadatak (11 bodova) U prvom vremenskom intervalu t 1 = 7 s automobil se giba jednoliko ubrzano ubrzanjem

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa

Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa Claudius Ptolemeus (100-170) - geocentrični sustav Nikola Kopernik (1473-1543) - heliocentrični sustav Tycho Brahe (1546-1601) precizno bilježio putanje nebeskih tijela 1600. Johannes Kepler (1571-1630)

Διαβάστε περισσότερα

Repetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE):

Repetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE): Repetitorij-Dinamika Dinamika materijalne točke Sila: F p = m a = lim t 0 t = d p dt m a = i F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j i p ix = j p jx te i p iy = j p jy u 2D sustavu Zakon očuvanja

Διαβάστε περισσότερα

F = k x. Uloga povratne sile. Terminologija titranja

F = k x. Uloga povratne sile. Terminologija titranja Titranje_intro Periodičko gibanje i mehaničko titranje, uloga povratne sile, terminologija titranja, grafički prikazi titranja, odnos između akceleracije i elongacije, vlastita frekvencija i energija harmoničkog

Διαβάστε περισσότερα

2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku.

2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku. . Na brojevnoj kružnici označi točke: A (05π), A 2 ( 007π 2 ), A 3 ( 553π 3 ) i A 4 ( 40 o ). 2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u.zadatku. 3.

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II 1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

Masa, Centar mase & Moment tromosti

Masa, Centar mase & Moment tromosti FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad, snaga, energija Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad i energija Da bi rad bio izvršen neophodno je postojanje sile. Sila vrši rad: Pri pomjeranju tijela sa jednog mjesta na drugo Pri

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Rad, energija i snaga

Rad, energija i snaga Rad, energija i snaga 1. Koliko se puta promijeni kinetička energija automobila kada se njegova brzina poveća tri puta? A. Poveća se 3 puta. B. Poveća se 6 puta. C. Poveća se 9 puta. D. Poveća se 12 puta.

Διαβάστε περισσότερα

Pitanja iz izmjenične struje i titranja

Pitanja iz izmjenične struje i titranja Pitanja iz izmjenične struje i titranja 1. Objasni inducirani napon na krajevima ravnog vodiča. 2. Kada će se u vodiču koji se nalazi u magnetskom polju inducirati napon? 3. Što je elektromagnetska indukcija?

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Algebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske

Algebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske Algebra Vektora 1 Algebra vektora 1.1 Definicija vektora pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske veličine za opis skalarne veličine trebamo zadati samo njezin iznos (npr.

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Rotacija krutog tijela

Rotacija krutog tijela Rotacija krutog tijela 6. Rotacija krutog tijela Djelovanje sile na tijelo promjena oblika tijela (deformacija) promjena stanja gibanja tijela Kruto tijelo pod djelovanjem vanjskih sila ne mijenja svoj

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

5. Rad, snaga, energija, Zakon očuvanja mehaničke energije, Zakon kinetičke energije

5. Rad, snaga, energija, Zakon očuvanja mehaničke energije, Zakon kinetičke energije 5. Rad, naga, energija, Zakon očuvanja mehaničke energije, Zakon kinetičke energije RAD SILE Rad je djelovanje ile na putu. Diferencijal rada jednak je kalarnom produktu ile i diferencijala pomaka vektora

Διαβάστε περισσότερα

Izradio: Željan Kutleša, mag.educ.phys. Srednja tehnička prometna škola Split

Izradio: Željan Kutleša, mag.educ.phys. Srednja tehnička prometna škola Split DINAMIKA Izradio: Željan Kutleša, mag.educ.phys. Srednja tehnička prometna škola Split Ova knjižica prvenstveno je namijenjena učenicima Srednje tehničke prometne škole Split. U knjižici su korišteni zadaci

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Nastavna jedinica. Gibanje tijela je... tijela u... Položaj točke u prostoru opisujemo pomoću... prostor, brzina, koordinatni sustav,

Nastavna jedinica. Gibanje tijela je... tijela u... Položaj točke u prostoru opisujemo pomoću... prostor, brzina, koordinatni sustav, 1. UVOD 1. * Odgovorite na sljedeća pitanja tako da dopunite tvrdnje. 1.1 Što je gibanje tijela? Gibanje tijela je... tijela u... 1.2 Osnovni parametri u kinematici su... i... 1.3 Na koji način opisujemo

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II. tjedan

Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II. tjedan Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II tjedan Periodičnost signala Koji su od sljedećih kontinuiranih signala periodički? Za one koji jesu, izračunajte temeljni period a cos ( t ), b cos( π μ(, c j t

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

(12.j.) 11. Dva paralelna vodiča nalaze se u vakuumu. Kroz njih prolaze struje I1 i I2, kako je prikazano na crteţu.

(12.j.) 11. Dva paralelna vodiča nalaze se u vakuumu. Kroz njih prolaze struje I1 i I2, kako je prikazano na crteţu. MAGNETIZAM (ispitni katalog) 11. Tri jednaka ravna magneta spojimo u jednu cjelinu, kao što je prikazano na slikama. Koji crteţ ispravno prikazuje razmještaj polova magneta nastalog nakon spajanja? (08.)

Διαβάστε περισσότερα

Rad, snaga i energija zadatci

Rad, snaga i energija zadatci Rad, snaga i energija zadatci 1. Tijelo mase 400 g klizi niz glatku kosinu visine 50 cm i duljine 1 m. a) Koliki rad na tijelu obavi komponenta težine paralelna kosini kada tijelo s vrha kosine stigne

Διαβάστε περισσότερα

Prostorni spojeni sistemi

Prostorni spojeni sistemi Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ FIZIKE GRADEVINSKI FAKULTET U OSIJEKU. ilukacevic/

VJEŽBE IZ FIZIKE GRADEVINSKI FAKULTET U OSIJEKU.  ilukacevic/ VJEŽBE IZ FIZIKE GRADEVINSKI FAKULTET U OSIJEKU www.fizika.unios.hr/ ilukacevic/ ilukacevic@fizika.unios.hr Igor Lukačević Odjel za fiziku Trg Ljudevita Gaja 6 1. kat, soba 6 9. listopada 7. LITERATURA

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Fizika 1. Auditorne vježbe 5. Dunja Polić. Dinamika: Newtonovi zakoni. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva

Fizika 1. Auditorne vježbe 5. Dunja Polić. Dinamika: Newtonovi zakoni. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva Školska godina 2006/2007 Fizika 1 Auditorne vježbe 5 Dinamika: Newtonovi zakoni 12. prosinca 2008. Dunja Polić (dunja.polic@fesb.hr)

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak Rješenje: skica problema O R b φ a. Dinamika gibanja krutog tijela. Kinetička energija krutog tijela. E-L jednadžbe

Zadatak Rješenje: skica problema O R b φ a. Dinamika gibanja krutog tijela. Kinetička energija krutog tijela. E-L jednadžbe Homogeni štap mase M i duljine 2a kreće se bez trenja u sfernom udubljenju polumjera R tako da stalno ostaje u okomitoj ravnini koja prolazi kroz centar sfere. Na dite kinetičku energiju štapa. Rješenje:

Διαβάστε περισσότερα

Vektorska analiza doc. dr. Edin Berberović.

Vektorska analiza doc. dr. Edin Berberović. Vektorska analiza doc. dr. Edin Berberović eberberovic@mf.unze.ba Vektorska analiza Vektorska algebra (ponavljanje) Vektorske funkcije (funkcije sa vektorima) Jednostavna analiza (diferenciranje) Učenje

Διαβάστε περισσότερα

6 Primjena trigonometrije u planimetriji

6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

ISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)

ISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi

Διαβάστε περισσότερα

Ampèreova i Lorentzova sila zadatci za vježbu

Ampèreova i Lorentzova sila zadatci za vježbu Ampèreova i Lorentzova sila zadatci za vježbu Sila na vodič kojim prolazi električna struja 1. Kroz horizontalno položen štap duljine 0,2 m prolazi električna struja jakosti 15 A. Štap se nalazi u horizontalnom

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. kolokviji. Sadržaj

Matematika 1. kolokviji. Sadržaj Matematika kolokviji Sadržaj. kolokvij, 2..2004.............................................. 2. kolokvij, 2..2004.............................................. 3 2. kolokvij, 7.2.2004..............................................

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11. Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

RAD, SNAGA I ENERGIJA

RAD, SNAGA I ENERGIJA RAD, SNAGA I ENERGIJA SADRŢAJ 1. MEHANIĈKI RAD SILE 2. SNAGA 3. MEHANIĈKA ENERGIJA a) Kinetiĉka energija b) Potencijalna energija c) Ukupna energija d) Rad kao mera za promenu energije 4. ZAKON ODRŢANJA

Διαβάστε περισσότερα

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

Zdaci iz trigonometrije trokuta Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih:

Zdaci iz trigonometrije trokuta Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih: Zdaci iz trigonometrije trokuta... 1. Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih: a) a = 1 cm, α = 66, β = 5 ; b) a = 7.3 cm, β =86, γ = 51 ; c) b = 13. cm, α =1 48`, β =13 4`; d) b = 44.5 cm, α

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Ekstremi funkcije jedne varijable

Ekstremi funkcije jedne varijable maksimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) < f(x 0 ) (1) za po volji male vrijednosti h minimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) > f(x

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Impuls i količina gibanja

Impuls i količina gibanja FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba 4 Impuls i količina gibanja Ime i prezime prosinac 2008. MEHANIKA

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens

Διαβάστε περισσότερα

I. Zadatci višestrukoga izbora

I. Zadatci višestrukoga izbora I. Zadatci višestrukoga izbora U sljedećim zadatcima od više ponuđenih odgovora samo je jedan točan. Točne odgovore morate označiti znakom X na listu za odgovore kemijskom olovkom. Svaki točan odgovor

Διαβάστε περισσότερα

1. KINEMATIKA MATERIJALNE TOČKE

1. KINEMATIKA MATERIJALNE TOČKE 1 1. KINEMATIKA MATERIJALNE TOČKE 1. Automobil prvu trećinu puta vozi brzinom 50km/h, a preostali dio puta brzinom 20km/h. Kolika je srednja (prosječna) brzina tijekom putovanja? R: 25 km/h 2. Biciklista

Διαβάστε περισσότερα

Obrada signala

Obrada signala Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5

Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5 Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα