ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (Ι) Η f παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ Αν: (ΙΙ) f () > 0 για κάθε σημείο εσωτερικό του διαστήματος Δ Τότε η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ (Δ=Διάστημα δηλ. ένα σύνολο της μορφής [α,β],[α,β),(α,β),(α,β],(α,+ ), [α,+ ),(, α), (,α],(,+ ) (Ι) Η f παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ Αν: (ΙΙ) f () < 0 για κάθε σημείο εσωτερικό του διαστήματος Δ Τότε η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ (Δ=Διάστημα δηλ. ένα σύνολο της μορφής [α,β],[α,β),(α,β),(α,β],(α,+ ), [α,+ ),(, α), (,α],(,+ ) Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ όταν για κάθε 1, 2 єδ με 1 < 2 θα έχω f( 1 ) < f ( 2 ) Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ όταν για κάθε 1, 2 єδ με 1 < 2 θα έχω f( 1 ) > f ( 2 ) Μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ όταν είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Αν f () > 0 για κάθε єδ τότε η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.Το αντίστροφο δεν ισχύει π.χ. η συνάρτηση f() = είναι γνησίως αύξουσα αλλά ισχύει f () 0 γιατί : Αν 1 < 2 1 < 2 f ( 1 )<f( 2 ).Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα Όμως f () =( ) = 2 0 Αν f () < 0 για κάθε єδ τότε η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ.Το αντίστροφο δεν ισχύει π.χ. η συνάρτηση f() = είναι γνησίως φθίνουσα αλλά ισχύει f () 0 γιατί : Αν 1 < 2 1 < 2 1 > 2 f ( 1 )>f( 2 ). Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα Όμως f () =( ) = 2 0 Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ και παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ θα ισχύει f () 0 για κάθε єδ Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ και παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ θα ισχύει f () 0 για κάθε єδ Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ και ισχύει f () 0 για κάθε єδ δεν έπεται ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ!!! Π.χ: Για την συνάρτηση f()=1 ισχύει η f είναι παραγωγίσιμη στο IR με f ()=0 0 χωρίς η f να είναι γνησίως αύξουσα στο IR

2 Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ και ισχύει f () 0 για κάθε єδ δεν έπεται ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ!!! Π.χ: Για την συνάρτηση f()=1 ισχύει η f είναι παραγωγίσιμη στο IR με f ()=0 0 χωρίς η f να είναι γνησίως φθίνουσα στο IR ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ (Ι) f () > 0 για κάθε є(α, 0 )U( 0,β) όπου 0 εσωτερικό σημείο του (α,β) Αν: (ΙΙ) f ( 0 )=0 Τότε η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (α, β) (Ι) f () < 0 για κάθε є(α, 0 )U( 0,β) όπου 0 εσωτερικό σημείο του (α,β) Αν: (ΙΙ) f ( 0 )=0 Τότε η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο (α, β) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 1. 15 Δίνεται η συνάρτηση f() = 2 + 18.Να μελετηθεί η 2 συνάρτηση f ως προς την μονοτονία ΑΠΟΔΕΙΞΗ 15 15 f () = ( 2 + 18 ) = ( ) ( 2 ) + (18 ) = 15 15 2 ( 2 ) + 18 () = 2 2 + 18 1 = 2 15 + 18 = = ( 2 5 + 6) [ f() + g() ] = f () + g () [ f() g() ] = f () g () [λ f() ] = λf () λ: Σταθερά ( c ) = 0, c : Σταθερά () = 1 ( α ) = α α 1 Θεωρώ την δευτεροβάθμια εξίσωση : 1 2 5 + 6 = 0 (1) α = 1 β = 5 γ = 6 Δ = β 2 4 α γ = ( 5) 2 4 1 6 = 25 24 = 1 > 0

Επειδή Δ > 0 η δευτεροβάθμια εξίσωση (1) έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες : 5 1 5 1 1,2 2 2 1 2 5 + 1 6 1 = = = 5 1 4 2 = = = 2 2 + 2 + 2 + 0 0 + 2 + f + 0 0 + f Έπειδη f () > 0 για κάθε є(,2) η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, 2) Έπειδη f () < 0 για κάθε є(2,) η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (2, ) Έπειδη f () > 0 για κάθε є(,+ ) η f είναι γνησίως αύξουσα στο (,+ ) 2. Δίνεται η συνάρτηση f : IR IR παραγωγίσιμη για κάθε κάθε єir που ικανοποιεί την σχέση : f () + f() = e + + Nα αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα [f () + f()] = ( e + + ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ

4 [f ()] + [ f()] = ( e ) + ( ) + ( ) f 2 () f () + f () = e + ( ) + ( ) f () [f 2 () + 1 ] = e + 2 + 1 [f 2 () + 1]f () e + 2 + 1 = [f 2 () + 1] [f 2 () + 1] e + 2 + 1 f () = [f 2 () + 1] [ f() + g() ] = f () + g () [λ f() ] = λf () λ: Σταθερά () = 1 ( α ) = α α 1 (e ) = e (f α ) = α f α 1 f 2 0 2 +1 1> 0 2 +1 > 0 2 +1 > 0 (+) e > 0 e + 2 + 1 >0 f 2 () 0 f 2 () +1 1> 0 f 2 () +1 > 0 [f 2 () + 1] > 0 Επειδή e + 2 + 1 >0 και [f 2 () + 1] > 0 από την σχέση (1) θα έχω f () > 0 για κάθε єιr. Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. Να μελετηθεί η συνάρτηση f() = ( 1 ) 2 ( + 2 ) ως προς την μονοτονία ΑΠΟΔΕΙΞΗ f () = [( 1 ) 2 ( + 2 ) ] =[( 1 ) 2 ] ( + 2) + ( 1 ) 2 [( + 2 ) ] = = 2( 1)( 1 ) ( + 2) +( 1 ) 2 ( + 2 ) ( + 2 ) = = 2( 1)[() (1) ]( + 2) + ( 1) 2 ( + 2 ) 2 [( ) +(2 ) ] =

5 = 2( 1)(1 0)( + 2) + ( 1) 2 ( + 2 ) 2 ( 1+ 0 ) = = 2( 1)( + 2) + ( 1) 2 ( + 2) 2 =( 1) ( + 2) 2 [ 2( + 2)+ ( 1) ] = = ( 1) ( + 2) 2 [ 2 + + +( 1) ] = = ( 1) ( + 2) 2 ( 2 + 4 + ) = ( 1) ( + 2) 2 ( 5 + 1) = = ( 1)( 5 + 1)( + 2) 2 [ f() g() ] = f () g() + f() g () (f α ) = α f α 1 f [ f() + g() ] = f () + g () [ f() g() ] = f () g () ( c ) = 0, c : Σταθερά () = 1 Θεωρώ την δευτεροβάθμια εξίσωση : 1 = 0 = 1 ( 1)( 5 + 1) = 0 ή ή 5 + 1 = 0 5 = 1 = 1 = 1 ή ή 5 1 1 = = 5 5 5 1/5 1 + ( 1)( 5 + 1) + 0 0 + ( + 2) 2 = 0 + 2 = 0 = 2 2 + ( + 2) 2 + 0 +

6 2 1/5 1 + ( 1)( 5 + 1) + + 0 0 + ( + 2) 2 + 0 + + + ( 1)(5+1)(+2) 2 + 0 + 0 0 + 2 1/5 2 + f + 0 + 0 0 + f Επειδη f () > 0 για κάθε є(, 2) η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (, 2) Επειδη f () > 0 για κάθε є( 2, 1/5) η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο ( 2, 1/5) Επειδη f () < 0 για κάθε є( 1/5, 2) η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα ( 1/5, 2) Επειδη f () > 0 για κάθε є(2,+ ) η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (2, + ) 4. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f 8, 0,8 Ι) Nα μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία ΙΙ) Να συγκρίνεται τους αριθμούς : a 2 6, 5 ΑΠΟΔΕΙΞΗ Ι) f 8 = 1/2 + ( 8 ) 1/2 με є(0,8) f ( ) = [ 1/2 + ( 8 ) 1/2 ] = ( 1/2 ) + [( 8 ) 1/2 ] =

7 1 1 = 1/2 1 + ( 8 ) 1/2 1 ( 8 ) = 1 1 = 1/2 2/2 + ( 8 ) 1/2 2/2 [( 8 ) ( ) ] = 1 1 = 1/2 ( 8 ) 1/2 = 1 1 1 1 = = 2 1/(8 ) 1/ 8 2 8 = = 8 2 8 2 8 2 8 f ( ) > 0 8 > 0 8 > 0< < 8 0< < 8 8 > > 8 2 > 8 0< < 8 0< < 8 0< < 8 2 8 < < 4 2 2 0< < 8 0< < 8 0< < 4 + 0 4 8

8 f ( ) = 0 8 = 0 8 0< < 8 0< < 8 = 8 = = 8 2 = 8 0< < 8 0< < 8 0< < 8 2 8 = = 4 2 2 0< < 8 0< < 8 = 4 f ( ) < 0 4< < 8 0 4 8 f + 0 f Επειδη f () > 0 για κάθε є(0,4) η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (0,4) Επειδη f () < 0 για κάθε є(4,8) η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (4, 8) ΙΙ) Επειδή 2,є(0,4) με 2< και η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (0,4) θα έχω : f(2) < f() 2 + 8 2 < + 8 2 + 6 < + 5 α < β 5. Να βρείτε τις τιμές του αєιr για τις οποίες η συνάρτηση f() =α + 2 + + 1 είναι γνησίως αύξουσα στο ΙR ΑΠΟΔΕΙΞΗ f () =(α + 2 + + 1) = (α ) + ( 2 ) +( ) + (1) = = α ( ) + ( 2 ) + 1 + 0 = α 2 + 2+ 1 = α 2 + 6+ 1

9 Επειδή η συνάρτηση f είναι γνησιώς αύξουσα στο ΙR θα πρέπει για κάθε єιr να ισχύει f () 0.Οπότε για κάθε єιr θα πρέπει να ισχύει α 2 + 6+ 1 0.Άρα θα έχω : α >0 α >0 α >0 Δ 0 β 2 4αγ 0 6 2 4 α 1 0 α >0 α >0 α >0 12α 6 6 12α 0 12α 6 12 12 α > 0 α α αє[, + ) + 0 Αν αє (, + ) θα έχω f () >0 για κάθε єιr.οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα Αν α= θα έχω: f ()=0 9 2 + 6+ 1=0 () 2 +2 1+1 2 =0 (+1) 2 =0 +1=0 (Ι) f () > 0 για κάθε є(, 1 1 (ΙΙ) f ( )=0 Οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα )U( 1 1, ) ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Για να ισχύει α 2 +β+γ 0 για κάθε єιr θα πρέπει να έχω α<0 και Δ 0(Δ:Διακρίνουσα, Δ = β 2 4αγ) Για να ισχύει α 2 +β+γ 0 για κάθε єιr θα πρέπει να έχω α>0 και Δ 0(Δ:Διακρίνουσα, Δ = β 2 4αγ)

10 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. 21 Δίνεται η συνάρτηση f() = 2 + 0.Να μελετηθεί η 2 συνάρτηση f ως προς την μονοτονία 2. Δίνεται η συνάρτηση f : IR IR παραγωγίσιμη για κάθε κάθε єir που ικανοποιεί την σχέση : f () + 4 f() = 4e + 7 + Nα αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. Να μελετηθεί η συνάρτηση f() = ( 2 ) 2 ( + ) ως προς την μονοτονία 4. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f 10, 0,10 Ι) Nα μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία ΙΙ) Να συγκρίνεται τους αριθμούς : a 2 8, 7 5. Να βρείτε τις τιμές του αєιr για τις οποίες η συνάρτηση f() = α + 2 + + 1 είναι γνησίως αύξουσα στο ΙR 6. Δίνεται η συνάρτηση f : (0, + ): IR παραγωγίσιμη για κάθε κάθε є(0, + ) που ικανοποιεί την σχέση : f (ln) + 5 f(ln) = ln + 19 +, є(0, + ) Nα αποδείξετε (Ι) f 19 () + 5 f() = + e + e, є(0, + ) (II) H f είναι γνησίως αύξουσα 7. Να μελετηθεί η συνάρτηση f() = ( λ ) 2 ( + 2λ ) ως προς την μονοτονία Υπόδειξη: f () =( λ ) ( + 2λ ) 2 ( 5 +λ ) Διακρίνω τις περιπτώσεις: (Ι) λ=0 (ΙΙ) λ>0( 0 2 ) (ΙΙ) λ<0( 0 2 ) 5 5

11 Πως θα μελετήσω τη συνάρτησης f ως προς την μονοτονία Θα βρώ το πεδίο ορισμού της f(συνήθως δίνεται το πεδίο ορισμού) Θα βρω την παράγωγο της συνάρτησης Λύνω την ανίσωση f () > 0(1) Λύνω την εξίσωση f () = 0(2) Λύση της ανίσωσης f ()<0 είναι όλα τα υπόλοιπα που η f είναι παραγωγίσιμη και δεν ικανοποιούν τις σχέσεις (1) και (2) Δημιουργώ τον πίνακα μεταβολής της συνάρτησης 1 2... κ 1 κ + f ή + ή +... ή + ή + f ή ή... ή ή Όπου 1,, κ είναι Ι) Είναι άκρα διαστήματος του πεδίου σημεία στα οποία : ορισμού της f ΙΙ) Δεν ορίζεται η f ΙΙΙ) Μηδενίζεται η f Όταν στο ν δεν : ν ν+1 + ορίζεται η f φέρνω διπλή γραμμη στο ν f ή + f ή Όταν στο ν ορίζεται ν ν+1 + η f αλλά δεν ορίζεται : η f φέρνω «διπλή γραμμη» στο f ή + ν μέχρι το υψος της πρώτης γραμμής. f ή Η «διπλή γραμμη δεν προεκτείνεται 1 η γραμμή» στην δεύτερη γραμμή 2 η γραμμή

12 Όταν στο ν μηδενίζει ν ν+1 + την f φέρνω ένα : «μηδέν» στο ν 0 Το «μηδέν» f ή + υπάρχει μόνο στην πρώτη γραμμή. f ή 1 η γραμμή Όταν για κάθε ν ν+1 + є( ν, ν+1 ) ισχύει : f () >0 αυτό f + σημαίνει ότι το τετραγωνάκι f ( ν, ν+1 ) είναι «θετικό».κάτω από το τετραγωνάκι ( ν, ν+1 ) γραφω Όταν για κάθε ν ν+1 + є( ν, ν+1 ) ισχύει : f () <0 αυτό f σημαίνει ότι το τετραγωνάκι f ( ν, ν+1 ) είναι «αρνητικό».κάτω από το τετραγωνάκι ( ν, ν+1 ) γραφω