1 Evoluciona matrica sistema

Σχετικά έγγραφα
Elementi spektralne teorije matrica

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

1 Promjena baze vektora

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

Operacije s matricama

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

1.4 Tangenta i normala

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

IZVODI ZADACI (I deo)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

7 Algebarske jednadžbe

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

18. listopada listopada / 13

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Uvod u teoriju brojeva

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

Teorijske osnove informatike 1

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

1 Obične diferencijalne jednadžbe

MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE

Prikaz sustava u prostoru stanja

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Slučajni procesi Prvi kolokvij travnja 2015.

16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Norme vektora i matrica

Trigonometrijske nejednačine

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

4 Numeričko diferenciranje

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

PP-talasi sa torzijom

1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

LINEARNI PROSTORI

Dijagonalizacija operatora

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj

IZVODI ZADACI (I deo)

Matematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

k a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

Linearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1

MEHANIKA FLUIDA. Složeni cevovodi

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u okolini tocke, i aplikate, tocke, : Uvede li se zamjena: i dobije se:

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Zadaci iz Osnova matematike

numeričkih deskriptivnih mera.

Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi

Na grafiku bi to značilo :

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable

Sustavi diferencijalnih jednadžbi

5 Ispitivanje funkcija

Obične diferencijalne jednadžbe 2. reda

Transcript:

Evoluciona matrica sistema Promatramo sistem linearnih iferencijalnih jenažbi prvog rea Uz sistem () vežemo pripani homogeni sistem U = A(x) U + B(x). () x U = A(x) U. () x Promatrat ćemo i ogovarajući inicijalni problem; uz () onosno () zaajemo i početni uvjet U( ) = U 0. (3) Stanarne pretpostavke su A C(I ; M n (R)), B C(I ; R n ), I, U 0 R n, pri čemu je I otvoreni interval realnih brojeva. Taa ogovarajući inicijalni problem ima jeinstveno globalno rješenje za sve I i sve U 0 R n. Cilj ove točke je izvesti analogon formule za rješenje inicijalnog problema za skalarnu linearnu jenažbu prvog rea. Neka su (U,..., U n ) i (V,..., V n ) va funamentalna rješenja sistema (). Specijalno su (U,..., U n ) i (V,..., V n ) vije baze u vektorskom prostoru U skupa svih rješenja homogene jenažbe (). Znači a svaki V i, i {,..., n} možemo razviti po bazi (U,..., U n ): Matrični zapis je V = γ U +... + γ n U n, V n = γ n U +... + γ nn U n. [V,..., V n ] = [U γ +... + U n γ n,..., U γ n +... + U n γ nn ] γ... γ n... = [U,..., U n ]...... γ n... γ nn

Zapišimo ovu jenakost preglenije. Sa W u i W v označimo matrice Wronskog funkcija U,..., U n i V,..., V n, W u = [U,..., U n ], W v = [V,..., V n ]. U ovom kontekstu, ka su (U,..., U n ) i (V,..., V n ) funamentalna rješenja, njihove matrice Wronskog W u i W v zovemo funamentalne matrice. Naalje stavimo Γ = (γ ij ), pa gornja matrična jenakost glasi W v (x) = W u (x) Γ, x I. (4) Pri tome je Γ konstantna matrica koja je i regularna (jer su W u (x) i W v (x) regularne za sve x I ). Za proizvoljne x, y I obivamo iz (4): W v (x) (W v (y)) = (W u (x) Γ) (W u (y) Γ) = W u (x) (W u (y)). Uz funamentalno rješenje (U,..., U n ) vežimo matričnu funkciju E u, E u (x, y) = W u (x) (W u (y)), x, y I. Gornju jenakost možemo ona zapisati u obliku E u (x, y) = E v (x, y), x, y I. Znači a matrična funkcija E u ne ovisi o funamentalnom rješenju (U,..., U n ), pa ju u aljnjem označavamo samo sa E(x, y) i zovemo evoluciona matrica sistema (). Uočimo a evoluciona matrica E : I I M n (R) ovisi samo o matrici sistema A i to na vrlo kompliciran način. Jeno obrazloženje za naziv evoluciona je slijueeće. Neka je U U neko rješenje homogenog sistema (), U,..., U n funamentalno rješenje. Taa U možemo razviti po bazi (U,..., U n ), U = α U +... + α n U n = [U... U n ] U(x) = W u (x) α α n α α n, x I. = Wu α α n tj.

Zaključujemo a vektorska funkcija (W u (x)) U(x) ne ovisi o x I, tj. Specijalno ona vrijei (W u (x)) U(x) = (W u (y)) U(y), x, y I. U(y) = W u (y) (W u (x)) U(x) = E(y, x)u(x), x, y I. Naveimo neka svojstva evolucione matrice. Vrijei E(x, x) = I jeinina matrica, x I, E(x, y) E(y, z) = E(x, z), x, y, z I, E(x, y) = A(x) E(x, y), x, y I, x E(x, y) = E(x, y) A(y), x, y I. y Dokažimo ova svojstva. Neka je W proizvoljna funamentalna matrica; iz efinicije evolucione matrice omah izlaze prvo i rugo svojstvo. Provjerimo treće: E (x, y) = x x (E(x) W (y)) = E x (x) W (y) = A(x)W(x) W (y), što je i trebalo. Zanje svojstvo ostavljamo kao zaatak. Prelazimo sa na konstrukciju partikularnog rješenja sistema (). Imitiramo metou varijacije konstanti iz skalarnog slučaja. Neka je U,..., U n funamentalno rješenje sistema (). Partikularno rješenje U p tražimo u obliku U p (x) = W(x) C(x), x I; ovje je W = [U,..., U n ] funamentalna matrica a C : I R n treba oreiti tako a gornji U p bue rješenje sistema (). Imamo reom: A(x)U p (x) + B(x) = x U p(x) = W(x)C(x) + W(x) x x C(x) = A(x)W(x)C(x) + W(x) x C(x) = A(x)U p(x) + W(x) x C(x), tj. obivamo slijeeće uvjete na vektorsku funkciju C(x) = (C i (x)): x C(x) = W(x) B(x), x I. 3

Oavje integriranjem izlazi C(x) = W(y) B(y) y + D, x I. (5) Ovje je D R n proizvoljan konstantan vektor. Znači, našli smo bar jeno partikularno rješenje. Ovime je opis skupa svih rješenja R sistema () sveen na nalaženje jenog funamentalnog rješenja. Izveimo sa formulu za rješenje inicijalnog problema (), (3) uz pretpostavku poznavanja jenog funamentalnog rješenja W = [U,..., U n ]. Znamo a globalno rješenje postoji i jeinstveno je, označimo ga sa U C (I; R n ). Probamo ga zapisati u gornjoj formi partikularnog rješenja U(x) = W(x) C(x), x I, pri čemu funkcija C zaovoljava uvjet za partikularno rješenje i oatni uvjet x C(x) = W(x) B(x), x I, U( ) = U 0 = W( ) C( ) C( ) = W( ) U( ). Neka je u formuli (5) onja granica integracije jenaka ; taa je C(x) = C( ) + W(y) B(y) y, x I. Uvažavanjem ovih izraza u formuli za rješenje U inicijalnog problema obivamo U(x) = W(x)W( ) U 0 + onosno pomoću evolucione matrice U(x) = E(x, )U 0 + W(x)W(y) B(y) y, E(x, y)b(y) y, x I. (6) Ova formula ima istu formu kao i ogovarajuća formula za rješenje skalarnog inicijalnog problema. No glavni problem ostaje, to je nalaženje jenog funamentalnog rješenja. Općenito se funamentalno rješenje ne može naći eksplicitno tako a formula (6) ima uglavnom teorijsko značenje. No, u slučaju autonomnih sistema postoji metoa za konstrukciju jene funamentalne matrice; autonomnim sistemima se bavimo u slijeećoj točki. 4

Primjer. Nađimo rješenje inicijalnog problema x U = AU + B(x), U() = U 0, uz A =, B(x) = exp(x), = 0, U 0 =,. 4 Rješenje. Po teoremu o egzistenciji rješenja znamo a ovaj inicijalni problem ima jeinstveno rješenje na cijelom R. Naalje, o prije znamo a su funkcije U (x) = exp(3x), U (x) = exp( x) funamentalno rješenje. Ostaje nam primijeniti formulu (6) za rješenje. Nađimo evolucionu matricu. Imamo (oznake su kao u gornjem tekstu) [ exp(3x) exp( x) W(x) = W(x) = exp( 3x) exp( 3x) exp(3x) exp( x) 4 exp(x) exp(x) ]. Izraz za evolucionu matricu je E(x, y) = W(x)W(y) i ne trebamo ju izračunati. Prvi suman esne strane u formuli (6) u našem slučaju je [ E(x, )U 0 = W(x)W(0) U 0 = W(x) = exp(3x) 3 exp( x) 4 3 4 exp(3x) + 6 exp( x) ]. Računamo rugi suman esne strane u formuli (6): x E(x, y)b(y) y = W(x) W(y) exp( y) B(y) y = W(x) y 0 0 4 3 exp(y) = W(x) (exp( x) ) ovršite kao zaatak. 4 3(exp(x) ) Zaatak. (Liouvilleov teorem - također su zaslužni Abel, Ostrograski i Jacobi) Za matricu Wronskog W sustava x U = A(x) U 5

vrijei ( ) et W(x) = et W( ) exp tr A(s) s, x, I. Rješenje. Iz efinicije evolucione matrice E(y, z) = W(y)W(z) imamo W(y) = E(y, z)w(z) pa posebno vrijei W(x + ε) = E(x + ε, x)w(x), onosno, zbog Binet-Cauchyjeve formule et W(x + ε) = et E(x + ε, x) et W(x). (7) Kako je E iferencijabilna funkcija, vrijei E(x + ε, x) = E(x, x) + ε E(x, x) + o(ε) = I + εa(x) + o(ε), x o(ε) pri čemu je lim ε 0 = 0. Iz same efinicije eterminante zaključujemo ε n a je et E(x + ε, x) = et(i + εa(x) + o(ε)) = ( + εa ii (x)) + o(ε) = + ε tr A(x) + o(ε). Iz (7) imamo et W(x + ε) = et W(x) + ε tr A(x) et W(x) + o(ε). Dakle, za funkciju w = et W vrijei w = tr A(x) w, x a rješenje ove jenažbe prvog rea je w(x) = w( ) exp i= ( ) x tr A(s) s, što se i tvrilo. Zaatak. Dokažite a je evoluciona matrica E(x, y) matrični zapis (u kanonskoj bazi) evolucionog operatora E(x, y) : R n R n efiniranog s E(x, y) = K x Ky. Rješenje. Za fiksan i {,..., } efiniramo U = Ky e i C (I ; R n ). Drugim riječima, U je jeinstveno rješenje Cauchyjevog problema x U = A(x)U, U(y) = e i. Saa je E(x, y) e i = U(x). S ruge strane, znamo formulu za U: U(x) = E(x, y) e i, što okazuje tvrnju. 6