Sadržaj: Dierecijali raču Taea a krivulju Deiicija derivacije Derivacija i eprekiuos Osova pravila deriviraja Derivacija složee ukcije i iverze ukcije Derivacija elemeari ukcija Tablica derivacija elemeari ukcija Derivacije implicio zadae ukcije Derivacije paramearski zadae ukcije
Taea a krivulju Pojam aiba ili smjera pravca u ravii čii se sasvim jasa. Iso ako je jaso da pravac u svakoj svojoj očki zadržava isi smjer. Taj smjer je odreñe kuem koji pravac zavara s poziivim dijelom osi. Ako je α spomeui ku, oda je koeicije smjera pravca upravo jedak α. k α Slika: Koeicije smjera pravca
Očio je i pozao da je α, dje je priras ordiae pravca asao radi prirasa apscise za. Ako je za isi priras veći, oda je pravac srmiji, a ako je maji oda je pravac položeiji. Prirodo je pojam smjera prošiii a krivulje. Očio je da smjer u ovom slučaju eće bii isi u svakoj očki. Kad ovorimo o aibu krivulje u ekoj očki, oda zapravo ovorimo o kuu koji aea a u krivulju zavara s poziivim dijelom osi. Neka je daa ukcija : D R i eka je D. Ako žeo dobii pravac koji dira aira krivulju u očki,, oda reba ajprije promarai pravac koji siječe krivulju u očkama, i,. Taj pravac zovemo sekaa. Broj zovemo priras varijable, a priras ukcije. Očio je priras ukcije koji je asao radi prirasa varijable za jedak:. Broj zovemo kvocije dierecija u očki uz priras ili prosječi priras ukcije a iervalu [, ].
Koeicije smjera sekae upravo je jedak kvocijeu dierecija: k s β. Ako pusimo da očka, klizi po krivulji prema očki,, ada sekaa prelazi u pravac koji se zove aea. Slika: Priras ukcije i prosječi priras Slika: Sekaa i aea a krivulju
Točka, će klizii po krivulji prema očki, ako pusimo da. Tada će koeicije smjera sekae ežii koeicijeu smjera aee, šo zači da je: k α. Ako es e posoji, oda e posoji aea u očki,. Primjer : Odredimo jedadžbu aee a krivulju u očki T,4. Ako je T očka a krivulji koja ima koordiae T,, oda je koeicije 4 smjera sekae: k s β, a koeicije smjera aee dobijemo ako pusimo da se očka T, približi očki T,4: 4 4 4 4 k α 4. Slijedi jedadžba aee: -4 4-.
Primjer Primjer Primjer Primjer : Gibaje maerijale očke dao je ormulom s 3-5, kojom se opisuje ovisos pua s o vremeu. Naći prosječu sredju brziu v u očki u vremeskom iervalu i pravu brziu v u reuku. Prosječa brzia je: s s v 3 6 5 3 5 3, a prava brzia: 6 3 6 s s v. Ova dva primjera pokazuju da je važo posoji li es.
Deiicija derivacije Derivacija ukcije u očki: Neka je zadaa reala ukcija a ovoreom iervalu I R i eka je I. Ako posoji broj,, ada aj broj zovemo derivacijom ukcije u očki. Uočimo da je derivacija ukcije es kvocijea dierecija j. kvocijea promjee ukcije i promjee varijable. Osim orje ozake, za derivaciju se d korise i eke drue ozake, primjerice:. PAŽNJA - o ije razlomak, d eo samo ozaka za derivaciju. Pokaza će se da je a ozaka vrlo prakiča d za korišeje u ekim složeim račuima. Ova ozaka proizlazi iz d
ormule:. Za ukciju kažemo da je derivabila ili dierecijabila u ekoj očki, ako orji es posoji u oj očki. Sličo, za ukciju kažemo da je derivabila ili dierecijabila a ekom ovoreom iervalu, ako ima derivaciju u svakoj očki o iervala. Mouće je deiirai i pojam lijeve i dese derivacije ukcije u ekoj očki, pri čemu es ukcije u deiiciji derivacije zamijeimo s esom slijeva, odoso esom sdesa.
Poledajmo a ekoliko primjera kako izračuai derivaciju ukcije koriseći deiiciju. Primjer Primjer Primjer Primjer 3: Odredimo derivacije sljedeći ukcija:. si 6., 5., 4., 3.,.,. N R c c. Račuamo es.. Pomoću esa iz deiicije dobivamo
c c. Dakle, derivacija kosae ukcije je ula: 3. Koriseći biomu ormulu L dobivamo. L L c.
Dakle, derivacija ukcije N, je 4. Pomoću esa iz deiicije dobivamo. Primjeimo da ako u ormulu dobiveu u zadaku 3. savimo dobi ćemo upravo izvedeu ormulu. kasije ćemo dokazai da ormula - vrijedi e samo za prirode brojeve, već za sve reale brojeve. 5. Prema upravo rečeom vrijedi. Uvjerimo se u o direkim račuom:. -.
6. U račuaju derivacije siuse ukcije korisi ćemo ormulu za razliku siusa siα si β si i pozai es. Sada imamo Dakle, si si cos α β α β si cos si si cos. si cos cos
Primjer 4: Odredimo jedadžbu aee a ra ukcije. u očki T,,. 3 u očki T,, 3. u očki T,.. Prema preodom primjeru zamo da je, pa je derivacija u T, jedaka. Sada je jedadžba ražee aee, j...5.5.5.5.5 3
. Derivacija ukcije je, pa je derivacija u T, 3 3 beskoača. To zači da je aes kua koji aea zavara s osi beskoača, pa je o pravi ku. Zači da je aea u T, upravo os. Dakle, jedadžba ražee aee je. 3. Promarajući es iz deiicije derivacije, uočavamo da je ± ± 3 ± ±, jer je za > i - za <. Prema ome ova ukcija ema derivaciju u očki T,, pa e posoji ii aea u oj očki..5 - - -.5 -.5.5 - -
Za ukciju koja u ekoj očki ima derivaciju j. ima aeu, kažemo da je laka u oj očki. Derivacija i eprekiuos U posljedjem primjeru vidjeli smo da eprekiua ukcija e mora imai derivaciju u ekoj očki. Dakle, eprekiuos e povlači dierecijabilos. Piamo se vrijedi li obrao, j. da li dierecijabilos povlači eprekidos? Odovor je povrda: Teorem dovolja uvje eprekiuosi: Ako je ukcija dierecijabila u očki, oda je eprekiua u očki. Dokaz: Prema preposavci eorema posoji, pa
zaključujemo da vrijedi, illi apisao a drui ači, šo zapravo zači da je ukcija eprekiua u očki. Q.E.D. Zači pokazali smo da je laka j. dierecijabila ukcija eprekiua. Pokazali smo primjer ukcije koja je eprekiua a R i dierecijabila svuda osim u očki dje ima šiljak.
Osova pravila deriviraja Sljedeći važa eorem daje am osova pravila deriviraja. Teorem : Ako su i dierecijabile ukcije u očki, oda vrijedi,.,. 3. 4.,.,
Dokaz:... Dokazuje se a isi ači kao. 3.
. U orjem smo korisili eprekidos ukcije u očki :. 4. Dokazuje se a isi ači kao 3, dodajući i oduzimajući. Napomea: Koriseći ormulu 3. za derivaciju umoška ukcija iz Teorema. i da je C, lako dokazujemo da za bilo koju realu kosau C vrijedi:. C C Primjer Primjer Primjer Primjer 5: Primjeom pravila deriviraja dobivamo derivacije sljedeći ukcija.
. 4 3 5, 4, si cos si. si, cos, 3 3 3. si, si cos, 6 4 4. si si, 5 6 6 si cos. 4 5
Derivacija složee ukcije i iverze ukcije Kako derivirai složeu ukciju? Mouće je primjeom biome ormule, ali o ebismo preporučili. U dosadašjim primjerima ismo derivirali akve ukcije. Sljedeći važa eorem daje am pravilo deriviraja složee ukcije. Teorem 3: Neka je složea ukcija Î deiiraa u ekoj očki. Neka je ukcija dierecijabila u očki i eka je ukcija dierecijabila u očki. Tada ukcija Î ima derivaciju u i oa je daa ormulom o Dokaz: Uvedimo ozaku u. Po deiiciji derivacije imamo u u u u u. Ozačimo u u u u u ε u u u. Vrijedi u u u ε u u. u
Dijeljejem orje jedakosi s i djelovajem esom imamo: u u u u u u u u ε, dje smo korisili čijeicu da iz eprekidosi ukcije imamo implikaciju u. Dakle, u u u o. Q.E.D. Ako imamo kompoziciju ri ukcije, uzasopom primjeom Teorema 3 dobivamo ormulu: Ovo pravilo zovemo pravilom za deriviraje složee ukcije ili ili ili ili kompozicije ukcija kompozicije ukcija kompozicije ukcija kompozicije ukcija. Zovemo a i lačaim pravilom lačaim pravilom lačaim pravilom lačaim pravilom, jer je iuiivo jaso da aj aziv dobro opisuje oo šo svaro radimo. o o
Pravilo se može apisai a vrlo zoda ači koriseći zapis ozaku u pišemo: d d d u d du. d du d Izraz s dese srae izleda kao razlomak prošire s du, pa ćemo u budućosi ovorii da s d-ovima radimo kao s razlomcima.. Uz Primjer 6: Naći derivaciju ukcije Primjer kompozicija ukcija u pa je. Zbo u i 99 99.. Ova ukcija je. Dakle 99, u u i je Primjer 7: Fukciju možemo svaii kao kompoziciju dviju ukcija
u u a čija je derivacija u i. Korišejem pravila za derivaciju kompozicije ukcija imamo. Primjer Primjer Primjer Primjer 8: Pomoću preodo primjera možemo brzo dobii ormulu za derivaciju kvocijea dviju ukcija. Možemo ju svaii kao derivaciju produka: Fukciju. Koriseći pravilo za derivaciju umoška i Primjer 7 dobivamo.
Primjer 9: Odredi derivacije sljedeći ukcija.. si 5, cos 5 3,. si, 3 si cos,, si cos cos, 3. Pravilo za deriviraje iverze ukcije izvodi se iz pravila za deriviraje složee ukcije. Vrijedi o za svaki za koji je iverza ukcija deiiraa. Korišejem pravila za derivaciju kompozicije ukcija imamo:,
iz čea uz sadardu ozaku odma slijedi važa ormula za derivaciju iverze ukcije: Ovu ormulu možemo zapisai i u obliku: d ili d d d
Iz posljedje oblika poovo se vidi već spomeuo svojsvo račuaja s d- ovima kao s razlomcima. Primjer : Naći derivaciju iverze ukcije od si, j. aći derivaciju ukcije arcsi. Uvršavajem u ormulu za derivaciju iverze ukcije svejedo u koji oblik ormule, dobivamo arcsi. si cos si Običo se varijabla zove, pa ormulu pamimo u obliku arcsi
Derivacije elemeari ukcija Koriseći sve ore izvedee ormule možemo aći derivacije elemeari bukcija. Derivacije alebarski ukcija Vidjeli smo da je derivacija kosae C, derivacija poecije za bilo koji prirodi. Koriseći ormule za deriviraje zbroja i razlike ukcija možemo derivirai poliome. Nadalje, koriseći primjer 7 za derivaciju dobivamo. Dakle, ormula vrijedi i za poecije s eaivim ekspoeom.
Iso pravilo deriviraja vrijedi i za ukciju, dje su m i cijeli brojevi. Dovoljo je aći derivaciju ukcije m. Oa je iverza ukcija od m, pa imamo: m m m m m m m m m m m m m, j. dakle, ormula vrijedi i za poeciju s racioa ekspoeom. m m. m Derivacije rascedei ukcija Derivacije rioomerijski i ciklomerijski ukcija Derivaciju ukcije sius izveli smo direko iz deiicije, a derivaciju jezie iverze ukcije izveli smo u Primjeru. Nañimo derivaciju ukcije kosius. Koriseći pozau vezu ukcije sius i
kosius i ormulu za derivaciju složee ukcije, dobivamo: cos si π cos π π si, j. cos si Nañimo derivaciju ukcije aes. si cos cos cos si cos si cos, j. cos Na isi ači dokazuje se da je c si
arccos arc arc c Derivacije loariamske i ekspoecijale ukcije Derivaciju ukcije l izves ćemo izravo iz deiicije: l l l l l e. l l l Prema ome, l
Iverza ukcija loariamske ukcije Njea derivacija je: l je e, j. e. l e, šo zači da je derivacija ukcije e jedaka joj samoj: e e Nañimo derivaciju ukcije lo : a l lo a l a l a l l. a Prema ome, lo a l a
Nañimo derivaciju ukcije a s bazom a>, a. Ako loarimiramo ovu ukciju dobivamo l la, pa primjeom ormule za deriviraje složee ukcije dobivamo: l la la la, j. a a la Derivacije iperbolički i area ukcija Lako možemo direko aći derivacije iperbolički i area ukcijazajući e e e e s jiove deiicije: s, c,, c c c, s
ars l, arc l, ar l Dobivamo: za -,, arc l za -,-,. s c ar s c s ar c c c ar s ar c
Derivacija opće poecije c Derivaciju opće poecije, dje je c bilo koja reala kosaa, dobi ćemo koriseći derivaciju ekspoecijale ukcije. Ova meoda je pozaa pod azivom LOGARITAMSKA DERIVACIJA IJA. Vrijedi: c c l l l l l c c c c c c e e c Dakle, Primjer : Naći derivaciju ukcije.. ači: l l l l l c c l. j l l. ači: l l e l c l. j l e.
Tablica derivacija elemeari ukcija si cos arc si cos si arc cos c cos arc arc c si c e a l lo a c e c a l a la
s c ar s c s ar c c c ar s ar c
Poovimo: Derivacija implicio zadae ukcije Skup svi ureñei parova reali brojeva koji zadovoljavaju jedadžbu oblika F, odreñuje eki podskup od R pr. kružica, elipsa,, ali općeio e mora bii ra eke ukcije. Ako posoji ukcija akva da je F,, kažemo da je ukcija zadaa implicio sa F,. Derivaciju akve ukcije možemo odredii bez da eksplicio odreñujemo ukciju, j. F, F F, dje je F F F F derivirao po derivirao po,.
Primjer: Primjer: Primjer: Primjer: Naći derivaciju d d ukcije zadae implicio:.,, d d F ili /', '. Moli smo račuai i direko:.,
Derivacija paramearski zadae ukcije Poovimo: Neka su zadae reale ukcije: ϕ, ψ, I R. Za svaku vrijedos varijable paramera I dobivamo ureñe par brojeva ϕ, ψ koji predsavlja očku u ravii. Ako posoji ϕ -, oda je ϕ - i ψ ψϕ -. Ako su ϕ, ψ,derivabile ukcije a iervalu I R i eka je a I. Sada ije eško odredii derivaciju: ψϕ - /' d ' d ψ'ϕ - ϕ - ' ψ' ϕ &, & dϕ d dje smo korisili ozaku: d d ϕ &, ψ &. d d
d Primjer: Naći derivaciju d ukcije zadae paramerski: cos si si cos c.