ECUATII NELINIARE PE R

ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmi ECUATII NELINIARE PE R. CONSIDERATII GENERALE Se vor studia urmatoarele probleme:. Radaciile uei ecuatii eliiare de orma. Radaciile uei ecuatii eliiare de orma Notatie: O radacia se va ota cu,. METODA DE REZOLVARE Radaciile se vor asi pritr-u proces iterativ: se costruieste u sir,,..., coveret spre radacia cautata. Termeii acetui sir reprezita aproimatii ale radaciii si se vor umi iterate. Metoda cere ua sau mai multe aproimatii iitiale ale radaciii, aceste aproimatii se vor presupue cuoscute. Aceste aproimatii se asesc pri metode alebrice. De eemplu stabilid itervale care coti radaciile, pri ispectarea raicului uctiei.. Aaliza metodei Aaliza metodei trebuie sa dea raspus la urmatoarele probleme:. Daca procesul iterativ este coveret.. Daca iteratia covere, care este rapiditatea coveretei. 3. Care este eroarea radaciii calculate. 4. Aprecierea eicietei metodei. Detalieri: Problemele si : I majoritatea metodelor covereta este asiurata daca aproimatia iitiala este suiciet de apropiata de radacia, i putie cazuri iteratia covere idepedet de aproimatia iitiala.

ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmi 3 Presupuid ca iteratia covere, eroarea radaciii depide umai de precizia utilizata i calcule umarul de cire di reprezetaeea umerelor. Altel spus precizia radaciii este determiata de eroarea de rotujire ditr-u siur pas al iteratiei. 4 Eicieta se masoara i umarul de calcule pasi ecesare petru a obtie radacia cu o precizie data si aume: Petru metodele care cover idepedet de aproimatia iitiala, eicieta este data de rapiditatea coveretei. Petru metodele care depid de aproimatia iitiala, daca u se cuoaste o aproimatie bua a radaciii se aplica u procedeu care covere idepedet de aproimatia iitiala determiid astel o aproimatie iitiala, dupa care se trece la o metoda rapid covereta.. Ordi de covereta Deiitia : Fie sirul de iterate si presupuem ca sirul este coveret spre umarul,. Daca esista u umar real p, p R, p si eista u umar c pozitiv petru orice umar atural c >, astel icit: atuci se zice ca sirul rata coveretei. p c covere catre, cu ordiul p. Costata c se umeste I eeral ordiul p si rata c sut idicatori de viteza a coveretei sirului spre radacia. Observatie: Petru p,,3 covereta se zice liiara, patratica si cubica respectiv. Teorema: Cazul p. Covereta liiara Daca c, < c < astel icit atuci sirul c covere liiar catre umarul.

ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmi Demostratie: I baza relatiei avem succesiv petru,,,... c c... 3 c c Imultid membru cu membru i relatiile 3 obtiem: c 4 Cum < c < rezulta ca c si pri urmare sau. Observatii: Petru covereta coditia suicieta trebuie sa aiba loc cu c< strict. Aceasta u este ecesar petru p>. Daca c< sirul covere idepedet de, deci idepedet de. Aceasta u are loc petru p>. 3. RADACINILE UNEI ECUATII NELINIARE DE FORMA Petru metodele umerice ce urmeaza vom presupue ca este radacia simpla. Cazul radaciilor multiple se vor trata ulterior. 3. Metoda bisectiei Ipoteze Presupue ca uctia este cotiua pe itervalul compact [ a, b] si luid valori de seme opuse la capetele itervalului: a b < 5 I aceste coditii rezulta ca ecuatia are cel puti o radacia i a,b. Vom presupue i cotiuare ca eista o siura radacia i iteriorul acestui iterval a,b.

ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmi Metoda Metoda costa i ijumatatirea succesiva a itervalului si cosiderarea la iecare pas a sub-itervalului i care coditia 5 este idepliita. y b a c b a b-a/ Fi.. Metoda bisectiei Sub-itervalul, i care se ala radacia, este luat ca iterval "[a,b]" si procesul cotiua obtiid itervale de luime di ce i ce mai mica, care coti radacia. Procesul se opreste cid luimea itervalului este mai mica decit o tolerata data. Uzual se prescrie si u umar limita de iteratii. Aloritmul metodei -umele uctiei a,b capetele itervalului ε-tolerata de calcul lit-umarul limita e iteratiiitrare/umarul eectiv de iteratii iesire. rad-radacia calculata kod-cod icheiere a iteratiei. Iitializeaza cotorul de iteratii: iter. Icremeteaza cotorul: iteriter 3. Deieste cab/ 4. Testeaza umarul de iteratii: daca iter>lit, atuci pue radc, lititer, kod si IESIRE. 5. Daca b-c ε atuci: Pue radc, lititer, IESIRE. ALTFEL Daca sibc< atuci: pue ac ALTFEL bc 6. GOTO

ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmi Covereta Metoda costruieste sirul de iterate pucte c,c,..., c,... Fi.. y b -c a c c 3 c b a b-a/ Fi.. Studiul coveretei i metoda bisectiei. Observid ca la iecare pas iteratie avem: rezulta: c c... c b j a j c j 6 b a b a 7 b a b a Rezulta ca c sau ca c cid. Observatie: I coormitate cu deiitia, zicem ca bisectia covere liiar cu rata /. Di relatia 7 se poate deduce umarul de iteratii suuciet petru a avea o eroare absoluta mai mica decit o tolerata de calcul data ε. b a ε b a lo 8 ε Avataj: Eroarea descreste mooto cu iecare pas. Dezavataj: Covereta este iceata.

ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmi 3. Metoda alsei pozitii Reula FALSI Ipoteze: Aceleasi ca si i metoda bisectiei. Metoda Se ia ca aproimatie a radaciii, itersectia cu aa a dreptei care ueste puctele a,a, b,b. Se cosidera itervalul i care ia valori de seme opuse si se cotiua procedeul. y b a c c b a Formula metodei: Fi.3. Reula FALSI Itersectid dreapta de ecuatie: y b b a b b a 9 cu dreapta de ecuatie y aa si puid c rezulta: c b b b a b a Covereta: Metoda costruieste siul c,c,..., c,... Fi.3. Se arata ca: Metoda covere liiar, i ipoteza ca eista derivatele ' si '' cotiue pe [a,b]. Rata coveretei depide atit de cit si de aleerea itervalului [a,b].

ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmi Dezavataje: Sirul c i se apropie de ditr-o siura parte a sau b rami aceleasi la iecare pas. Testul de eroare poate i iadecvat: eroarea c se ilocuieste cu ci ci, care poate i mult mai mare sau mult mai mic decit eroarea. Observatie: Metoda ilocuieste raicul uctiei, i veciatatea radaciii cu o liie dreapta. 3.3 Metoda secatei Ipoteze Se cuosc doua aproimatii iitiale ale radaciii, si. Ele pot icadra radacia, sau pot i de aceeasi parte a radaciii. Metoda Graicul lui se ilocuieste cu o liie dreapta si aume secata pri puctele, si,. Itersectia secatei cu aa va i puctul. La pasul urmator se cotiua procesul, luid ca aproimatii si. Observatie: I ipoteza ca si icadreaza radacia, daca s-ar lua ca aproimatii si s-ar obtie reula FALSI. y 3 Fi.4. Metoda secatei.

ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmi Formula metodei Pritr-u calcul aalo cu cel de la reula FALSI cu a, b si c se obtie: sau i eeral:,,, date Covereta Metoda costruieste sirul de iterate,,,..., -,,,...Fi.4. Teorema Daca: Atuci. Fuctia este cotiua si eista derivatele de ordiul si ', '' cotiue pe o veciatate a lui,. ' 3. si sut suiciet de apropiate de, a Sirul 5 b Ordiul de covereta este p. 68 Demostratie: Demostratia se bazeaza pe urmatoarea evaluare: '' η 3 ' ξ i care ξ si η sut itr-o veciatate cureta a radaciii, care cotie pe - si. Fie aceasta veciatate si [ ε, ε ] Notam I. M eista coorm ipotezei. Rezulta atuci ca: ma '' I M 4 mi ' I

ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmi 5 M sau otid cu e avem: sau, imultid ambii termei cu M: e Me e 6 Me Me Me 7 Daca presupuem ca avem Me < si Me < rezulta pri iductie ca Me <. Relatia 7 arata cit de "aproape" de trebuie sa ie si si aume: < M 8 < M Observatii asupra metodei secatei: Avataje: metoda cere umai o evaluare a lui la u pas si aumke, itrucit - este calculat la pasul aterior si poate i stocat. Covereta este mult mai rapida decit a metodelor aterioare la care p. Trei pasi ai metodei secatei au u ordi de covereta de.68 3 4., adica echivaleta cu doi pasi ai uei metode patratice 4. Dezavataje: Metoda u covere daca si u sut suiciet de apropiati de. Fractiile pot da valori imprecise datorita pierderii de semiicatie la umarator si la umitor, petru mare, cid si - au valori apropiate. 3.4 Metoda Newto Ipoteze. cotiua, ','' cotiue pe o veciatate a radaciii cautate. Se presupue cuoscuta o aproimatie iitiala a radaciii. ' Metoda:

ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmi Graicul uctiei se ilocuieste cu taeta la raicul uctiei i aproimatia iitialapresupusa cuoscuta, itersectia taetei cu aa este luata ca aproimatie urmatoare a radaciii. Procedeul cotiua cu astel determiat. y Fi.5. Metoda Newto ' y y ' 9 Formula metodei Sirul de iterate Covereta se obtie i baza urmatoarei relatii de recureta: ',, cuoscut Dezvoltid i serie Taylor uctia i veciatatea radaciii cautate obtiem: ' '!! '' '' ξ ξ

ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmi Eplicitid pe di al II-lea terme se obtie: si pri eeralizare: ' ξ ' '' ' ξ < ' '', ξ < si tiid seama de relatia de recureta rezulta: ξ, < ' 3 '' ; ξ < 4 Observatie-Studiul de covereta: Relatia 4 eprima eroarea iteratiei de ordiul i uctie de eroarea iteratiei de ordi. Teorema Fie o radacia a ecuatiei Daca:..,','' sut uctii cotiue pe o veciatate a radaciii, I { < ε}. ' 3. aproimatia iitiala este aleasa suiciet de aproape de radacia cautata. Atuci: a Iteratele deiite de relatia se reasesc i I b Sirul covere spre c ordiul de covereta este p d lim '' ' Estimarea erorii Aplicid ormula cresterilor iite a lui Larae obtiem:

ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmi ' ξ ' ξ Astel petru "mare" apropiat de : ' 5 6 Pri urmare testul de covereta < ε poate i ilocuit cu < ε. Comparatia metodei Newto cu metoda secatei Criteriul de comparatie va i timpul de calcul ecesar petru asirea radaciii cu o tolerata data. Metoda Newto ace mai multe calcule pe u pas: se evalueaza si '. Metoda secatei evalueaza umai, presupuid ca este stocat. aterior Metoda Newto cere mai putie iteratii, ordiul ei este p N. Metoda secatei are ordiul de covereta p S.68 si trei pasi ai metodei sut echivaleti cu pasi ai metodei Newto. Se arata ca Isaacso&Keller daca timpul de calcul al lui ' este mai mare decit.44*timpul de calcul al lui metoda secatei este mai rapida. Observatie: Timpul de calcul u este uicul criteriu i aleerea metodei. Metoda Newto prezita avatajul simplitatii i aplicare. Daca u este cuoscuta eplicit de eemplu ea este solutia uei ecuatii dieretiale iterate umeric atuci derivata se calculeaza umeric. Daca luam urmatoarea epresie petru calculul umeric al derivatei: ' 7 atuci metoda Newto se reduce la metoda secatei. 4. RADACINILE UNEI ECUATII DE FORMA XGX. METODA PUNCTULUI FIX. Cosideram rezolvarea uei ecuatii de orma:

ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmi 8 Radacia a ecuatiei se umeste puctul i al aplicatiei :. Metoda puctului i iteratia de puct i costa i costruirea sirului: dat aproimatia iitiala a radaciii, ; 9 Daca uctia satisace coditiile:. aplica u compact C R i el isusi,. aplicatia este cotractata atuci petru orice C sirul C al aplicatiei. I plus, puctul i este uic i C. deiit de relatia 9 covere catre puctul i 4. Teoreme de puct i Teorema. Lema Fie : [ a, b] [ a, b], cotiua pe [ a, b]. Atuci are cel putib u puct i i [ b] Observatie: Coditia [ a, b] [ a, b] : este esetiala. Eplicit aceasta iseama: [ a, b], [ a, b] sau a b a,. 3 b y y y b a a a b Fi.6. Demostratie:

ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmi Se cosidera uctia cotiua I ipotezele teoremei avem: G G 3 a a a b b G b Rezula astel ca ecuatia G are cel puti o radacia i itervalul [a, b]. Observatie: Geometric, a rezolva ecuatia revie la a asi itersectia raicului uctiei cu prima bisectoare. 3 Teorema. Aplicatie cotractata. Daca. [ a, b] [ a, b] :, este cotiua pe [a, b].., < < astel icit: Atuci a Ecuatia, ' [ a, b], ' '. are o solutie uica [ a,b] b [ a, b] sirul covere catre, ordiul de covereta este p. c,. Observatie: Ipoteza iseama ca uctia veriica coditia lui Lipschitz cu costata <. Rezulta ca: adica aplicatia este cotractata. [ a, b], ' ', ' 33 Demostratie

ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmi a Coorm Teoremei, ecutia are cel puti o solutie i [a,b]. Demostram pri cotradictie ca solutia este uica. Presupuem ca eista doua solutii si β, β: Avem: β β β β 34 β 35 Cum β care cotrazice ipoteza <. b Aratam ca avem relatia: de ude cu, rezulta ca sau. 36 Itr-adevar, avem succesiv:... 37 Imultid membru cu membru rezulta relatia 36. Pe de alta parte relatia 37 arata ca ordiul de covereta este p si rata coveretei este. c Veriicam iealitatea petru. Tiid cot ca, avem: si 38 de ude rezulta: Avem apoi: petru : petru : 39 4

ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmi 4 Cocluzia c rezulta pri iductie. Cazul derivabila. Veriicarea coditiei Lipschitz este, i eeral, diicila. Vom cosidera i cotiuare cazul i care este derivabila pe [a,b]. I acest caz, teorema cresterilor iite coduce la: Daca derivata ' este mariita: rezulta ca ' ' ' ξ 4, [ a b] ', 43 ' ' Este suiciet sa avem < petru ca ipoteza sa ie realizata. 44 Teorema ' Daca. [ a, b] [ a, b] :, este cotiua pe [a, b]. '. [ a, b], ' < Atuci Cocluziile a, b si c di Teorema sut adevarate. Observatie asupra coditiei ' Daca costata di ' u este < u au loc cocluziile a-c. I particular, daca ' >, atuci avem pe o veciatate a lui : >, ρ, ρ I ' Cu I sirul NU CONVERGE. Itr-adevar cu I avem: ' ξ ude ξ este situat itre si. Coorm ipotezei rezulta: > >... >

ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmi I cosecita u putem avea < φ si deci u covere. 4.. Iterpretarea eometrica a metodei puctului i Geometric, rezolvarea ecuatiei revie la itersectia raicului lui, y cu prima bisectoare y. I iurile 7 si 8 este prezetat cazul coveretei ' <. I iurile 9 si este prezetat cazul divereetei ' >. y y y Fi. 7. Covereta: < ' < y y y Fi. 8. Covereta: < ' <

ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmi y y y Fi. 9. Divereta: ' < y y y Fi.. Divereta: ' > 4.3 Evaluarea erorii i metoda puctului i I eeral, eroarea iteratei, se eprima i uctie de, adica diereta ditre iterata cureta si iterata aetrioara. De eemplu i metoda Newto. I metoda puctului i, aceasta u mai este valabila. Cosideram

ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmi iteratia de puct i, i care uctia satisace coditiile di Teorema sau '. Avem urmatoarele evaluari: Apoi cu rezulta Astel petru a determia radacia cu o eroare ε prescrisa 45 46 47 ε este suiciet a lua: adica ε 48 XTOL 49 ε 4.4 Proceduri eplicite de puct i Deiirea problemei Se cere rezolvarea ecuatiei i itervalul [a,b], pri metoda puctului i, adica trasormarea ecuatiei itr-o ecuatie echivaleta de orma. O astel de trasormare va i umita procedura eplicita de puct i. 4.3. Proceduri Propozitia Fie Φ orice uctie deiita pe [a,b] cotiua si care u se auleaza pe [a,b]. Atuci deiid: Φ 5 ecuatia are aceleasi radacii ca si ecuatia si u are alte radacii i [a,b].

ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmi Propozitia Fie F orice uctie cotiua, cu proprietatile F si y Fy. Atuci deiid cocluzia di Propozitia are loc. F 5 Eempliicare Cea mai simpla aleere a lui Φ i propozitia este Φ Cu aceasta rezulta Presupuem ca este derivabila, avem: m, m costat: Φ 5 ' m 53 m ' 54 Coditia de covereta este ca itr-o veciatate a lui, sa avem: care coduce la Se va presupue ca ', rezulta ca. m trebuie sa aiba acelasi sem cu '.. Daca '> trebuie ca: 3. Daca '< trebuie ca Iterpretare eometrica ' < 55 < m ' < 56 < m < 57 ' > m > 58 ' Schema de iterare este: sau eeric m 59

ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmi m 6 este itersectia aei cu dreapta dusa pri puctul, de pata /m. Observatie: m-optim Petru o covereta mai rapisa vom cere ca ' ceea ce coduce la m 6 ' Itrucit u este cuoscut, vom lua m opt presupuid ca este apropiat de. ' y y/m y Fi.. Proceduri eplicite de pucte i. 5. EXTRAPOLAREA AITKEN Etrapolarea accelerarea Aitke este u procedeu petru accelerarea coveretei uui sir care covere liiar, oricare ar i procesul care eereaza sirul. Procedeul va i aplicat petru accelerarea coveretei iteratiei de puct i i cazul i care covereta este de ordiul.

ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmi Presupuem ca sirul covere catre si C lim, C este costata erorii asimptotice. I particular daca este derivabila si cu derivata cotiua, ' C. Presupuem atuci ca de la u aumit, de eemplu N avem:, N C Avem atuci urmatoarea relatie: 6 Rezolvam i raport cu, de eemplu pri sir de rapoarte eale: 63 64 de ude rezulta: 65 Asa, cum s-a remarcat ealitatea aterioara este aproimativa depizid de satisacerea relatiei 6. Notid:, a 66 rezulta ca, a este o aproimatie a radaciii, a. Procesul iterativ va i atuci urmatorul:, 3 3,5 6 4 5 3 4, 3 ; ;... ; ; ; ; a a a dat 67 Observatii:

ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmi. Aproimatia a, a radaciii, va i mult mai bua decit. Gradul de aproimatie a lui a, depide umai de radul de satisacere a relatiei 6. Nu si de marimea lui C.. Fie o uctie data pri tabelul valorilor i puctele k obisuit alese echdistate. Deiim diereta iaite a uctiei, i, pri: si diereta de ordiul pri: Puid k k rezulta: 68 69 Cu aceasta ormula 66 se scrie: a, 7 7