Conursul Gzet Mtemtiă și ViitoriOlimpii.ro Prolem 1. Fie D un punt moil pe ltur (BC) triunghiului ABC. În triunghiurile ABD şi ACD se însriu erurile C 1, respetiv C. Tngent omună exterioră (lt deât BC) elor două eruri interseteză segmentul [AD] în puntul M. Găsiţi loul geometri l puntului M. prelurre unei proleme lui I. Shryghin, (Turneul Orşelor, 199) Soluţie: Vom folosi următore Lemă: Dă A, B, C sunt puntele de tngenţă le erului însris în triunghiul ABC u lturile (BC), (CA), (AB), tuni AB = AC = p, BA = BC = p, CA = CB = p, unde = BC, = CA, = AB, ir p =. Demonstrţie: Se ştie ă lungimile tngentelor duse dintr-un punt exterior unui er l el er sunt egle, stfel ă vem AB = AC = x, BA = BC = y, CA = CB = z. În plus, AB B C = AC şi nlogele ondu l relţiile x y =, y z =, z x = ( ). Adunând este relţii şi împărţind l găsim x y z = p. Săzând pe rând âte un din relţiile ( ) se oţine onluzi. Revenind l rezolvre prolemei, fie E, F puntele de tngenţă le dreptei BC u erurile C 1, respetiv C, G, H puntele în re elltă tngentă omună exterioră interseteză erurile C 1, respetiv C, ir I, J puntele de tngenţă le dreptei AD u ele două eruri (I C 1, J C ). Atuni vem: AM = (AI MI) (AJ MJ) = (AI MG) (AJ MH) = AI AJ GH, diă AM = AI AJ EF. Apliând lem de mi sus în triunghiurile ABD şi ACD vem 1 Conursul Gzet Mtemtiă și ViitoriOlimpii.ro
AI = 1 (AB AD BD) şi AJ = 1 (AC AD CD). Prin urmre, AM = 1 (AB AC BC) AD EF = 1 (AB AC BC) AD DE DF. Folosind din nou lem, DE = 1 (AD BD AB), ir DF = 1 (AD CD AC), dei AM = 1 (AB AC BC) AD 1 (AD BD AB) 1 (AD CD AC) = AB AC BC. Cu notţiile stndrd în triunghi, m oţinut şdr ă AM = p, diă distnţ de l M l A este onstntă, ee e însemnă ă M prţine erului de entru A şi rză p, şi st pentru orie poziţie puntului D. În plus, puntul M se flă în interiorul unghiului BAC, dei loul geometri ăutt, G, este inlus în mulţime C (A, p ) int( BAC). În ontinure vom răt inluziune inversă. Considerăm M un punt orere l mulţimii C (A, p ) int( BAC). Fie D puntul în re semidrept (AM interseteză ltur [BC]. Considerăm erurile însrise în triunghiurile ABD şi ACD, tngent omună exterioră estor (diferită de BC) şi M puntul în re estă tngentă interseteză segmentul [AD]. Din ele de mi sus, AM = p = AM, dei M oinide u M, prin urmre M prţine loului geometri. În onluzie, loul geometri ăutt este mulţime C (A, p ) int( BAC), mrtă u roşu în figur de mi jos.
Oservţie: Loul geometri este uşor de ghiit legând âtev poziţii prtiulre le lui D. Din păte, în zurile,,limită, D = B şi D = C puntul M nu este uni definit (AD şi tngent GH oinid), deşi puntele în re erul C (A, p ) interseteză lturile [AB] şi [AC] le triunghiului sunt tomi puntele de tngenţă le erului însris în triunghiul ABC u ele două lturi. O forte sugestivă nimţie în Geoger pe re ne- trimis Ştefn-Alexndru Od. O puteţi vizion pe youtue. Prolem. Arătţi ă pentru orie,, (0, ) u = 3 re lo ineglitte 3. Soluţie: Vom demonstr ă, în generl, dă,, (0, ) tuni, Alexndru Mihlu de unde, ţinând ont de ondiţi = 3, onluzi v rezult imedit. Împărţind u > 0, ineglitte de mi sus se srie ehivlent ( )( ) Folosind ineglitte mediilor, vem ă ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) şi nlogele, dei ( )( ) ( )( ) 3 3 3. Este tuni sufiient să demonstrăm ă 3 3 ( )( ) 1. = 3 ( )( ) 3 1. Aestă ineglitte se demonstreză lsi: se mplifiă fiere din frţiile din memrul stâng u numitorul ei pentru oţine un pătrt, poi se pliă ineglitte Cuhy-Bunikowsky-Shwrz (CBS), form Bergström: 3 3 3 3 =
3 3 3 CBS ( ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) = ( ) ( ) = 1. Cu est, ineglitte este demonstrtă. Pentru ve eglitte, este neesr (printre ltele), să vem eglitte în ineglitte mediilor, diă = şi nlogele. De ii rezultă ă, pentru eglitte, treuie = =. Aestă ondiţie este şi sufiientă pentru ineglitte pe re ne-m propus s-o demonstrăm. Pentru e din enunţ, treuie, în plus, = = = 1. Prolem 3. Fie triunghiul ABC şi numărul rel k stfel înât k este mi mre deât pătrtele lungimilor lturilor triunghiului. Considerăm mulţime M = {X BC XB XC = k}. Anlog definim mulţimile N şi P reltiv l dreptele AC şi respetiv AB. ) Determinţi rdinlul mulţimii T = M N P. ) Demonstrţi ă puntele din mulţime T sunt onilie. Leonrd Giugiu Soluţie: ) Vom răt ă mulţime M onţine două elemente. Anlog se rtă ă N şi P onţin âte două elemente, diferite de vârfurile triunghiului. Atuni mulţimile M, N, P sunt disjunte două âte două, prin urmre reuniune lor re 6 elemente. Dă X [BC], r treui XB (BC XB) = k > BC, de unde BC BC XB XB < 0, diă (BC XB) < 0, surd. Prin urmre niiun punt l segmentului [BC] nu prţine lui M. Dă X BC \ [BC, tuni XB XC = XB (XB BC) = k, diă XB ( XB BC ) = k BC. De XB BC BC = k BC, ee e revine l ii rezultă XB BC = k BC şi, în finl XB = k BC BC > 0. Evident, există un uni semene punt pe semidrept opusă lui [BC. Anlog se rtă ă există un uni punt pe semidrept opusă lui [CB re să prţină mulţimii M. Prin urmre, mulţime M re ext două punte, ir mulţime T re şse elemente. ) Fie C (O, R) erul irumsris triunghiului ABC. Condiţi X T impliă fptul ă putere puntului X fţă de erul C este eglă u k. Avem, dei, k = ρ(x) = XO R, X T, de unde XO = k R, X T. Rezultă ă tote ele 6 punte din mulţime T sunt situte l eeşi distnţă, R = k R,
de puntul O, diă sunt situte pe erul de entru O şi rză R. Oservţie: Dă k = BC, tuni mulţime M re trei elemente: mijloul lui [BC] şi âte un punt în exteriorul segmentului [BC], de o prte şi de elltă estui. ) Pentru k (0, BC, mulţime M re elemente (două pe segmentul [BC] şi două în exterior, âte unul de fiere prte). Evident, în este zuri firmţi de l puntul ) l prolemei nu mi rămâne devărtă. Prolem. Pe un er sunt plste 01 monede, tote u,,stem în sus. Sunt permise două tipuri de mutări: 1. se pot întore monede onseutive;. se pot întore monede dispuse XXOXX, unde X desemneză poziţiile monedelor re vor fi întorse, ir O este poziţi unei monede re nu v fi miştă. Este posiil, după un număr finit de mutări, tote monedele să fie u,,nul în sus? 5 Turneul Orşelor, 199
Soluţie: Vopsim monedele, lterntiv, u roşu şi lstru (orire două monede veine vor fi vopsite u ulori diferite). Îniţil, sunt 1007 monede roşii u,,stem în sus. L orie mutre sunt întorse două monede lstre şi două monede roşii. Ne uităm l efetul unei mutări supr elor două monede roşii. Dă eru două u,,stem în sus, după mutre vor fi mele u,,nul în sus, dei numărul totl l monedelor roşii re u,,stem în sus v săde u. Dă ext un dintre ele două monede roşii er u,,stem în sus, tuni şi după efture mutării vom ve tot ă un din ele două monede roşii implite în mutre este u,,stem în sus, nume elltă monedă deât e re er îninte efetuării mutării. Prin urmre, în est z numărul totl l monedelor roşii re u,,stem în sus nu se shimă. În fine, dă îninte mutării, ele două monede roşii implite în mutre eru u,,nul în sus, după mutre ele vor ve,,stem în sus, dei numărul totl de monede roşii re u,,stem în sus reşte u. În onluzie, orire r fi mutre, pritte numărului de monede roşii re u,,stem în sus nu se shimă, diă este un invrint. Îniţil, estă sumă er 1007, diă impră. Prin urmre, în tote poziţiile ulteriore, estă sumă rămâne impră. L finl, dă r fi posiil să jungem în poziţi în re tote monedele (în prtiulr tote monedele roşii) să fie u,,nul în sus, m ve sum eglă u 0, diă pră, ee e nu este posiil. Prin urmre nu putem fe tote monedele să fie u,,nul în sus. 6