3 ECUAŢII γ k + k iar din (34 rezuă că a 4Aω δ k (k + + a + (k+ (k+ ω deci 4Aω δ k + a a (k + (k+ ω Conform (9 souţia probemei considerae va fi 4Aω a w ( sin( sin( k+ k+ + a k a (k+ (k+ ω 4Asinω + sin(k+ k a (k+ (k+ ω 33 Ecuaţia propagării cădurii Ecuaţia propagării cădurii ese o ecuaţie de ip paraboic Deşi ese o ecuaţie reaiv simpă ese înâniă şi în sudiu aor fenomene În panu Ou considerăm o bară reciinie omogenă şi izoropă conducăoare de cădură siuaă pe aa O Noăm cu u ( emperaura înr-un punc M ( a barei a momenu Fie ρ densiaea barei c cădura specifică a barei k coeficienu de conducţie ermică În viruea ipoezeor fizice acese mărimi sun consane nu depind de Fie de asemenea F( inensiaea sursei ermice în puncu M a momenu Cacuând bianţu ermic corespunzăor în inervau de imp [ + Δ ] şi ţinând seama de egea ui Fourier se poae arăa că funcţia u saisface ecuaţia u k + F cρ care se mai poae scrie sub forma u a + f( ( k F( unde a > şi f( Cazu f ( indică ipsa surseor ecuaţia cρ cρ corespunzăoare fiind sabiiă de Fourier în 8 Ca şi în cazu ecuaţiei undeor penru descrierea compeă a procesuui de propagare a cădurii rebuie să fie dae disribuţia iniţiaă a emperaurii în bară (condiţia iniţiaă şi regimu ermic a capeee barei (condiţii a imiă
3 Ecuaţii cu derivae parţiae de ordinu a doiea 33 33 Propagarea cădurii înr-o bară infiniă Considerăm o bară infiniă omogenă izoaă ermic idenificaă cu aa O care are a momenu iniţia emperaura ϕ ( Fie u ( emperaura barei în puncu de abscisă a momenu > Probema maemaică consă în deerminarea funcţiei u care saisface ecuaţia u a ( cu condiţia iniţiaă u ( ϕ( (3 Probema ( (3 se numeşe probema ui Cauchy penru ecuaţia cădurii Vom admie că im u ( im ( (4 Acese ipoeze nu conravin fenomenuui fizic Penru rezovarea probemei de mai sus vom foosi ransformaa Fourier Presupunem că funcţiie u şi ϕ sun suficien de neede penru a admie ransformaă Fourier Fie v( ω ransformaa Fourier a funcţiei u u( şi Φ ( ω ransformaa Fourier a funcţiei ϕ ϕ( deci i v( ω u( e ω d iω ( ω ϕ( e d Foosind formua de derivare a inegraei cu parameri rezuă iω ( ω ( d e Pe de aă pare inegrând de două ori prin părţi şi foosind (4 obţinem succesiv iω e iω v( ω u( + ( e d -iω iω iω e u iω ( + ( e d iω -iω iω Φ u i ( d e ω ( ω Aşadar avem reaţiie u i ( d ( e ω ω v
34 ECUAŢII iω ( e d ( Având în vedere că u verifică ecuaţia ( rezuă că u iω a e d a ω + v Am obţinu asfe o ecuaţie diferenţiaă a cărei souţie generaă ese a ω v( ω Ce Cum iω v( ω ϕ( e d ( ω Φ rezuă că a ω v( ω Φ( ω e (5 Pe de aă pare am sabii în cap 5 că ransformaa Fourier a funcţiei ω ω 4 α > ese e α a ω 4α a Noând α rezuă că e e deci ω e α 4a e ransformaa Fourier a funcţiei f( a a ω Aunci Φ( ω e ese ransformaa Fourier a produsuui de convouţie ( ξ e α ( ϕ f( ϕξ ( e dξ a Rezuă că ( ξ u ( ϕ( ξ e dξ a În consecinţă ( ξ u ( ϕ( ξ e d a ξ (6 formuă cunoscuă sub numee formua inegraă Poisson Să considerăm acum cazu dacă < ε ϕ( ε dacă ε deci ϕ se anuează în afara inervauui ( ε + ε iar în inerioru acesui inerva emperaura are vaoare consană Disribuţia emperaurii în bară a momenu ese daă de formua ui Poisson care în cazu de faţă devine + ε ( ξ ( e d u a ξ ε ε Foosind formua de medie rezuă că eisă ξ ( ε + ε asfe încâ ese
3 Ecuaţii cu derivae parţiae de ordinu a doiea 35 Aunci u ( ( ξ e ε a ε ( im u ( e G ( ε a Pe de aă pare observăm că dacă im ϕ( δ( ε dacă unde δ ese funcţia generaizaă a ui Dirac Din punc de vedere fizic aceasă siuaţie corespunde unei surse insananee de cădură în puncu Temperaura înr-un punc oarecare a barei a momenu ese daă de ( G ( e a În fig 3 reprezenăm grafic funcţia penru câeva vaori ae ui ( < < < G 3 Aceasă epresie dă disribuţia emperaurii în bară când a momenu iniţia apare în puncu o sursă insananee de cădură Vom puea spune că formua ui Poisson dă efecu oa a disribuţiei iniţiae de emperaură definiă de funcţia ϕ efec care rezuă din însumarea acţiunior unor surse insananee de cădură răspândie pe oaă bara Eempu Să presupunem acum că c dacă [ ] ϕ( dacă [ ] Din formua ui Poisson obţinem ( ξ u ( ce dξ a ξ Făcând schimbarea de variabiă μ rezuă că a a c (7 a u ( e μ dμ 3 O Fig 3
36 ECUAŢII Aceasă souţie se poae eprima cu ajuoru funcţiei ui Lapace Reaminim că funcţia ui Lapace se defineşe asfe L ( e d Se verifică imedia că funcţia L ese impară L ( şi L( Aceasă funcţie ese mu uiizaă în Teoria Probabiiăţior şi de aceea ese abeaă Cu ajuoru funcţiei ui Lapace souţia (7 se scrie c u ( L L a a 33 Propagarea cădurii în bara finiă Probema maemaică a care conduce sudiu propagării cădurii în bara finiă se poae formua în modu urmăor Să se deermine souţia ecuaţiei cu derivae parţiae u a ( cu condiţiie a imiă u( u( [ ( şi condiţia iniţiaă u ( ϕ( [ ] (3 Conform condiţiior a imiă ( emperaura în capeee barei ese nuă iar condiţia iniţiaă (3 indică fapu că a momenu iniţia de imp emperaura barei se eprimă prin funcţia ϕ Vom presupune că funcţia ϕ ese nenuă şi coninuă pe inervau [ ] Din ( şi (3 rezuă că funcţia ϕ rebuie să saisfacă egaiaea ϕ ( Ca şi în cazu coardei vibrane finie vom foosi meoda separării variabieor a ui Fourier însoţiă de principiu suprapunerii efeceor Căuăm souţii ae ecuaţiei ( de forma u ( X( T ( (4 Din condiţiie a imiă ( deducem X( T( X ( T ( penru orice > Aunci X( X( (5 deoarece în caz conrar ar rezua T ( penru orice > deci u ( ceea ce conravine condiţiior iniţiae Punând condiţia ca funcţia u daă de (4 să verifice ecuaţia ( obţinem X ( T ( a X ( T( [ ] [ sau
3 Ecuaţii cu derivae parţiae de ordinu a doiea 37 X ( T ( [ ] [ X ( a T( Aunci X ( T ( μ X( a T( unde μ ese o consană reaă Obţinem asfe două ecuaţii diferenţiae: X ( μ X( (6 T ( μa T( (7 Vom arăa că ecuaţia (7 are souţii nenue numai dacă μ < Înr-adevăr souţia generaă a acesei ecuaţii ese a T ( Ce μ Dacă μ > aunci T ( când deci pornind cu o anumiă disribuţie a emperaurii în bară când creşe vaoarea absouă a emperaurii ar puea depăşi orice vaoare poziivă fap inaccepabi din punc de vedere fizic Penru μ T s-ar reduce a o consană adică emperaura ar rămâne aceeaşi în orice punc a barei fap de asemenea inaccepabi Prin urmare μ λ < şi souţia generaă a ecuaţiei (7 devine a T ( Ce λ (8 Pe de aă pare în aces caz ecuaţia caracerisică a ecuaţiei diferenţiae (6 ese r + λ deci souţia generaă a acesei ecuaţii va fi X ( C cosλ+ D sinλ (9 Din (5 deducem C X( şi D sin λ X( Cum D penru că afe am ajunge a souţia nuă rezuă că sin λ deci λ n n În fina rezuă că ecuaţia (6 cu condiţiie a imiă (5 are o infiniae de souţii n X n( Dn sin n Penru fiecare n souţia corespunzăoare a ecuaţiei (7 ese a n T ( Cn e Noând An Cn Dn rezuă că funcţiie de forma (4 care verifică ecuaţia ( şi condiţiie a imiă ( sun a n un( Xn( Tn( An e sinn n Apicând principiu suprapunerii efeceor rezuă că a n u ( An e sinn ( n ese souţia ecuaţiei ( cu condiţiie a imiă ( Rămâne să deerminăm consanee A n din condiţia iniţiaă (3 Din aceasă condiţie rezuă că ϕ( u ( An sinn n
38 ECUAŢII Preungind prin impariae funcţia ϕ :[ ] pe inervau [ ] şi dezvoând aceasă preungire în serie de sinuşi obţinem An ( sin n d ϕ n ( Aşadar souţia probemei (-(3 ese furnizaă de ( unde coeficienţii A n sun daţi de ( 333 Bara neomogenă Probema maemaică care guvernează fenomenu ese descrisă de ecuaţia u a + F( ( cu condiţiie a imiă u( u( [ ( şi condiţia iniţiaă u ( f ( [ ] (3 Căuăm o souţie a ecuaţiei ( de forma u ( v ( + w ( (4 unde funcţia v saisface ecuaţia cu derivae parţiae omogenă v a (5 cu condiţiie a imiă v( v( [ (6 şi condiţia iniţiaă v ( f ( [ ] (7 iar funcţia w saisface ecuaţia cu derivae parţiae w w a + F( (8 cu condiţiie a imiă w( w( [ (9 şi condiţia iniţiaă w ( [ ] ( Deerminarea souţiei probemei (-(3 ese rezovaă o daă cu deerminarea funcţiior v şi w saisfăcând (5-(7 respeciv (8-( Înr-adevăr ( v+ w w v w + a + a + F( ( v+ w u a + F( a + F( şi