ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 5/5/6 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη (όχι κατακόρυφη) της γραφικής παράστασης C f μίας συνάρτησης f στο σημείο της Α(, f( )); Απάντηση Έστω f μια συνάρτηση και Α(, f( )) ένα σημείο της C f Αν υπάρχει το lim f ( ) f ( ) και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της C f στο σημείο της Α, την ευθεία ε που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ Επομένως, η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο Α(, f( )) είναι: y f ( ) ( ), lim f ( ) f ( ) A Πότε δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες; Απάντηση Δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες όταν: έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε A ισχύει f ( ) g( ) Για να δηλώσουμε ότι δύο συναρτήσεις f και g είναι ίσες γράφουμε f g Α3 Έστω η συνάρτηση f() = ν, ν ϵ N-{, } Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ότι ισχύει: Απόδειξη, δηλαδή v f v Αν είναι ένα σημείο του, τότε για ισχύει :
Οπότε: Δηλαδή: ( ν ) = ν ν Α4 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη α Αν Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση lim f ( ) ή, τότε lim f ( ) Σωστό (πρόταση του σχολικού βιβλίου στη σελίδα 78) 4 β Αν f ( ) t dt, τότε f (3) Σωστό ( η παράγωγος της f είναι παντού αφού η f είναι σταθερή συνάρτηση, ως ορισμένο ολοκλήρωμα) γ Μια συνάρτηση f είναι «-», αν και μόνο αν κάθε οριζόντια ευθεία (παράλληλη στον ) τέμνει τη γραφική παράστασή της σε ένα τουλάχιστον σημείο Λάθος ( όχι σε ένα τουλάχιστον σημείο αλλά σε ένα το πολύ σημείο) δ Αν η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : f ( ) για κάθε είναι γνησίως αύξουσα τότε υποχρεωτικά Λάθος (δεν ισχύει υποχρεωτικά, αφού πχ η συνάρτηση 3 f ( ), είναι γνησίως αύξουσα στο ενώ f ( ) 3, δηλαδή μπορεί και να μηδενίζεται σε κάποια σημεία) ε Αν η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f έχει στο οριζόντια ασύμπτωτη, τότε δεν έχει πλάγια ασύμπτωτη στο Σωστό (Αν έχει οριζόντια ασύμπτωτη την y a θα είναι lim f ( ) a Τότε όμως f ( ) lim, οπότε ασύμπτωτη είναι πάλι η y a ) Εδώ προφανώς εννοεί «πλάγια ασύμπτωστη» ευθεία της μορφής y a με, όπως ορίζεται στο σχολικό βιβλίο στη σείδα 8
ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f : Β Να βρείτε το f (5) για την οποία ισχύει: fof ( ) f ( ) Β Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται Β3 Να βρείτε το f, για κάθε και f () 5 Β4 Να λύσετε την εξίσωση: ΛΥΣΗ f f 7 Β Η σχέση ισχύει για κάθε, οπότε για έχουμε: Β Έστω με, τότε έχουμε διαδοχικά: (επειδή η είναι συνάρτηση) και άρα: οπότε η είναι, και άρα αντιστρέφεται Β3 Θέτουμε όπου το και έχουμε: 3
Β4 Έχουμε: ΘΕΜΑ 3 ο ή Δίνονται οι συναρτήσεις, ισχύουν οι επόμενες σχέσεις: Γ Να δείξετε ότι α= Γ Αν g( ), να δείξετε ότι Γ3 Αν f g με g παραγωγίσμιμη στο, f ( ) ( a) με a, f ( ) για κάθε και g ( )ln g( ), για κάθε g( ) ln g( ) (ln ) σε όλο το διάστημα,, για κάθε,, για τις οποίες i) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδική τιμή, για την οποία η διαφορά f ( ) g( ) γίνεται ελάχιστη ii) Να αποδείξετε όι υπάρχει μοναδικό ζεύγος σημείων Μ, Ν με M, f ( ) γραφικής παράστασης C της f και N f, g( ) της g με,, στα οποία οι C και f σημεία Μ και Ν αντίστοιχα Γ4 i) Να υπολογίσετε το όριο lim σημείο της σημείο της γραφικής παράστασης C g C g δέχονται παράλληλες εφαπτομένες στα g( ) f ( ) 4
ii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις C και f ΛΥΣΗ C g των f και g αντίστοιχα και των ευθειών, Γ Έχουμε: f ( ) f ( ) f ( ) f (), για κάθε Άρα η συνάρτηση f παρουσιάζει ακρότατο (ολικό ελάχιστο) στο σημείο, το οποίο είναι εσωτερικό σημείο του Επιπλέον, η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο με f ( ) a, Επομένως, σύμφωνα με το Θεώρημα του Frmat, θα είναι: Γ Για κάθε, f () έχουμε διαδοχικά: g( ) g( ) g ( )ln g ( ) ln g ( ) ln ln g( ) g ( )ln ln g( ) g( ) ( ) ln ln ( ) 4 g g ln ln g( ) Επομένως, υπάρχει σταθερά c, ώστε να ισχύει c ln,, Για είναι: g( ) c c ln Επομένως: g( ) ln Γ3 i) Θεωρούμε τη συνάρτηση: g( ) ln,,, η οποία είναι συνεχής στο K( ) f ( ) g( ) ln,, Θα βρούμε το ελάχιστο της K( ), Η συνάρτηση K( ) είναι παραγωγίσιμη στο, (ώς άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο, ) με: Θεωρούμε, επίσης, τη συνάρτηση ln K ( ) ln, ( ) ln, η οποία είναι συνεχής στο, (Οι ρίζες και το πρόσημο της συνάρτησης K( ) είναι όμοια με τις ρίζες και το πρόσημο αντίστοιχα της συνάρτησης ( ) ) Η συνάρτηση ( ) είναι παραγωγίσιμη στο, (ώς 5
άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο, ) με, Άρα η συνάρτηση ( ) διάστημα,, οπότε: ( ), για κάθε είναι γνησίως αύξουσα στο, lim ( ), lim ( ),, αφού lim ( ) lim ln lim ( ) lim ln Επειδή,, υπάρχει, Έχουμε: Άρα η συνάρτηση Κ() είναι:,, άρα και στο τέτοιο, ώστε ( ) K ( ) ( ) ( ) ( ) K ( ) ( ) ( ) ( ) K ( ) Γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (, ] (στο είναι συνεχής) και Γνησίως αύξουσα στο διάστημα, Η μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης Κ φαίνονται στον επόμενο πίνακα μεταβολών K () - + K() Ολ Ελ Επομένως, η συνάρτηση K( ) f ( ) g( ) παρουσιάζει ένα μόνο ελάχιστο (ολικό) στο, ii) Αρκεί να αποδείξουμε ότι υπάρχει μοναδικό ξ, Η συνάρτηση K( ) f ( ) g( ) έχει ακρότατο στο,, (ως διαφορά παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο K ( ) f ( ) g ( ) τέτοιο, ώστε f ( ) g ( ), ) με:,, και είναι παραγωγίσιμη στο Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Frmat, θα είναι: K ( ) f ( ) g ( ) f ( ) g ( ) 6
Το είναι μοναδικό, ως μοναδική ρίζα της συνάρτησης του ερωτήματος (Γ3i) (αφού η είναι γνησίως αύξουσα στο, ), άρα και μοναδική ρίζα της συνάρτησης K Γ4 i) Έχουμε διαδοχικά: I lim lim lim g( ) ln ln f ( ) ( )( ) ln ( )( ) lim Θα βρούμε ξεχωριστά τα παραπάνω όρια Με χρήση του κανόνα του d l Hospital για τα παραπάνω όρια έχουμε: ( )ln( ) u lim lim lim, ό u ( ) ln( ) u u lim lim uu uu ln( ) lim ( ) ln( ) lim lim lim u lim lim ( ό u, ό u ) u u ln ln ln lim lim lim 3 ( )( ) 3 Επομένως: I lim( ) ln lim lim ( )( ) ii) Το εμβαδόν του ζητούμενου χωρίου Ω είναι:, όπου ( ) ( ) ( ) ( ) ln f g d K d K d d 3 4 d d ln d J J J ( V ) 3 3 3 3 3 3 3 J ln d Τώρα για το J έχουμε: 7
J ln d ln d ln ln d ln d ( ) ln d ln d d Επομένως, από τη σχέση (V), έχουμε τελικά:, δηλαδή ΘΕΜΑ 4 ο 3 3 3 3 3 4 3 4 3 4 3 6 6 J 3 3 3 3 3 6 τμ 3 Δίνεται μια συνάρτηση f ορισμένη στο, με συνεχή πρώτη παράγωγο για την οποία ισχύουν οι σχέσεις: f ( ) f ( ), για κάθε και f ( ), για κάθε Δ Να βρείτε την μοναδική ρίζα της εξίσωσης f ( ) Δ Να αποδείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο, ώστε Δ3 Έστω η συνάρτηση f ( ) g( ), f ( ) f ( ) f () Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g, στο σημείο στο οποίο αυτή τέμνει τον άξονα, σχηματίζει με αυτόν γωνία Δ4 i) Να αποδείξετε ότι Δίνεται επιπλέον ότι f ( ) d f ( ) d καθώς και ότι η συνάρτηση 45 f είναι συνεχής στο ii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν Ε(Ω) του χωρίου που περικλείεται παράσταση της f και τις ευθείες Δ5 i) Να υπολογίσετε την παράσταση: ii) Nα βρείτε το όριο:, f ( ), όπου K( ) f ( ) d f ( ) d από τη γραφική 8
ΛΥΣΗ lim K( ) ln f ( ) Δ Aφού η f είναι συνεχής και f ( ) για κάθε, η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο, δηλαδή f ( ) για κάθε ή f ( ) για κάθε Eπομένως η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα στο, αντίστοιχα Aπό την σχέση f ( ) f ( ), για Άρα ρίζα της εξίσωσης f ( ) είναι η f είναι γνησίως μονότονη άρα και «-» Δ Για τη συνάρτηση f ισχύουν: είναι συνεχής στο, και είναι παραγωγίσιμη στο, έχουμε: f f f f, η οποία είναι μοναδική διότι η συνάρτηση Άρα, από το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού, στο διάστημα, προκύπτει ότι υπάρχει, τέτοιο, ώστε: f () f () f ( ) f ( ) f () f () f ( ) f () f () f ( ) f () (γιατί για από την σχέση f ( ) f ( ) έχουμε f () f () f () f () ) ος τρόπος: Αποδεικνύεται και με την εφαρμογή του θεωρήματος του Roll για την συνάρτηση K( ) f ( ) f (),, προϋποθέσεις του Δ3 Για το σημείο, ( ), αφού στο διάστημα [,] πληρούνται οι A g στο οποίο η g τέμνει τον άξονα έχουμε: f ( ) g( ) f ( ) f ( ) f, αφού η f είναι συνάρτηση «-» ( ) Άρα f A, g 9
Για να αποδείξουμε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης C g της συνάρτησης g, στο σημείο A, g σχηματίζει με τον άξονα γωνία 45 πρέπει να αποδείξουμε ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο με g Έχουμε: f ( ) g( ) g f ( ) f ( ) f ( ) f () lim lim lim lim f ( ) f ( ) f ( ) f () lim lim f ( ) f f Αφού: f ( ) f () lim f ή f ( ) και f lim, δηλαδή f g Επομένως, g 45 Δ4 i) Έχουμε ότι:, όπου f ( ) f ( ) f ( ) d f ( ) d I I () I f ( ) d και ( ) Για το ολοκλήρωμα I f d I έχουμε: u u d du Θέτουμε:, οπότε έχουμε: u u I f ( ) d f ( u) du f ( u) du f ( ) d I Επομένως, από τη σχέση (), έχουμε: ii) Είναι I I I I I f ( ) d f ( ) d f () f () ( I ) από την σχέση f ( ) f ( ), για έχουμε f () f () ( II) Από τις σχέσεις (Ι) και (ΙΙ), προσθέτοντας κατά μέλη, έχουμε f () f () Η παραγώγιση της συνάρτησης g γενικά από τον τύπο της δεν είναι δυνατή, αφού αυτό απαιτεί η f να είναι δύο φορές παραγωγίσιμη, το οποίο όμως δεν είναι δεδομένο αλλά ούτε προκύπτει ως συνέπεια των δεδομένων
Το ζητούμενο εμβαδόν του χωρίου Ω είναι f ( ) d Θέτουμε: f ( ) u f ( u) d f ( u) du f ( u) f ( u) f () u f ( u) f ( u) f () u Επομένως, έχουμε διαδοχικά: (αφού η f είναι «-») f ( ) d u f ( u) du ( ) u f u du uf ( u) f ( u) du f (), δηλαδή τμ Δ5 i) Θέτουμε ξανά: και έχουμε: f u f u d ( ) ( ) f ( u) du u f u ύ f () ( ) f ( ) u f f ( ) u f ( ) K( ) f ( ) d f ( ) d f ( ) d uf ( u) du f ( ) d uf ( u) f ( u) du f ( ) f f ( ) f f ( ) ii) Με επαναλαμβανόμενη χρήση του κανόνα του d l Hospital έχουμε διαδοχικά: ( ) ln f ( ) ln ln ln lim lim lim lim lim lim f ( ) f ( ) Επεξεργασία λύσεων: wwwmathpgr Συντονιστής: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος