ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Ανάλυση Επικοινωνιακών Σημάτων κατά Fourier 2.2: Μετασχηματισμός Fourier (Fourier Transform, FT) 2.3: Ιδιότητες του FT 2.4: Αντίστροφη Σχέση Χρόνου/Συχνότητας 2.5: Συνάρτηση Dirac - Δέλτα 2.6: Μετασχηματισμός Περιοδικών Σημάτων Σειρές Fourier 2.7: Μετάδοση μέσω Γραμμικών Συστημάτων 2.8: Φίλτρα καθ. Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr www.netmode.ntua.gr Τρίτη 27/2/2018, Παρασκευή 2/3/2018
G f = g t exp j2πft dt ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα 2.2 Μετασχηματισμός Fourier (FT) (1/3) g t = G f exp j2πft df Οι ικανές (όχι αναγκαίες) συνθήκες Dirichlet για ύπαρξη FT: όπου f : συχνότητα σε Hertz (Hz, sec -1 ), ω = 2πf σε ακτίνια/sec (rad/sec) Μονότιμη g t με πεπερασμένο αριθμό μεγίστων/ελαχίστων & ασυνεχειών σε κάθε πεπερασμένο διάστημα Σήμα πεπερασμένης ενέργειας E = g t 2 dt = G f 2 df < Ο Μετασχηματισμός Fourier ή το φάσμα G f = G f exp[jθ f ] είναι μιγαδικός αριθμός με πλάτος G f και φάση θ(f): G f = Re G f + jim[g(f)], G f = (Re G f ) 2 +(Im G f ) 2 1 Im[G(f)], θ f = tan Re G f Αν η g t παίρνει πραγματικές τιμές G f = G f συζυγείς μιγαδικές συναρτήσεις και το πλάτος G f είναι άρτια συνάρτηση ενώ η φάση θ f περιττή συνάρτηση G f = G f, θ f = θ(f) Αν η g t παίρνει πραγματικές τιμές και g t = g t, πραγματική άρτια συνάρτηση G f πραγματική άρτια συνάρτηση, G f = G f = Re G f = 2 g t cos 2πft dt 0 Αν η g t παίρνει πραγματικές τιμές και g t = g t, πραγματική περιττή συνάρτηση G f φανταστική περιττή συνάρτηση, G f = G f = Im G f g(0) = G f df, G(0) = g(t)dt G f Τύπος του Euler θ(f) g(t) G(f) G(f) = F[g t ] g(t) = F 1 [G f ]
2.2 Μετασχηματισμός Fourier (FT) (2/3) sinc λ sin (πλ) πλ g t = A rect t T sin (πft) G f = 2 A cos 2πft dt = AT πft 0 T 2 = ATsinc(fT) Μικρή διάρκεια (-Τ/2, Τ/2) Μεγάλο εύρος συχνότητας (-1/Τ, 1/Τ)
2.2 Μετασχηματισμός Fourier (FT) (3/3) Μοναδιαία Βηματική Συνάρτηση (Unit Step Function, Heaviside Function) u t = 0, t < 0 1 2, t = 0 1, t > 0 Εκθετικός Παλμός Αποσβεννυόμενος: g t = exp at u t G f = exp t a + j2πf dt = 1 0 0 a+j2πf = a j2πf a 2 + 2πf 2 Ανερχόμενος: g t = exp at u t G f = exp [t a j2πf ]dt = 1 a j2πf
2.3 Ιδιότητες Μετασχηματισμού Fourier (FT) (1/5) (Time Shifting) (Modulation)
2.3 Ιδιότητες Μετασχηματισμού Fourier (FT) (2/5) Συνδυασμοί Εκθετικών Παλμών Συμμετρικός g t = exp a t = Γραμμικότητα G f = Αντισυμμετρικός 1 a + j2πf + 1 a j2πf = g t = exp a t )sgn(t = Γραμμικότητα G f = 1 a + j2πf 1 a j2πf = exp at, t < 0 1, t = 0 exp at, t > 0 2a a 2 + 2πf 2 exp at, t < 0 0, t = 0 exp at, t > 0 j4πf a 2 + 2πf 2 Συνάρτηση Προσήμου, Signum Function sgn t = 1, t < 0 0, t = 0 1, t > 0
Παλμός sinc ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα 2.3 Ιδιότητες Μετασχηματισμού Fourier (FT) (3/5) t g t = A rect G f = AT sinc(ft) T g t = A sinc(2wt) G f = A 2W rect f 2W (ιδιότητες δυαδικότητας, duality & αλλαγής κλίμακας χρόνου, time shifting, T = 1 2W ) Εύρος Ζώνης Συχνοτήτων, Bandwidth: W (Hertz)
2.3 Ιδιότητες Μετασχηματισμού Fourier (FT) (4/5) Παλμός Ραδιοσυχνότητας (Radio Frequency RF) g t = A rect t cos 2πf T ct G f = AT {sinc[t f f 2 c + sinc[t f + f c ]} ( cos 2πf c t = 1 [exp j2πf 2 ct + exp j2πf c t ] και ιδιότητα χρονικής ολίσθησης, modulation)
2.3 Ιδιότητες Μετασχηματισμού Fourier (FT) (5/5) Παλμός Gauss g t G f με αναλλοίωτη μορφή FT: g x = G x = exp πx 2 G f = g t exp j2πft dt, g t = G f exp j2πft df d G f = j2πt g t exp j2πft dt F 1 d G f = exp j2πft df df j2πt g t d G f ή 2πtg t j d G f (1) df df Έχουμε από την ιδιότητα παραγώγισης στο χρόνο, time differentiation d dt g t j2πfg(f) (2) j2πt g t exp j2πft dt df = j2πt g t d Προσθέτω (1) + (2): g t + 2πtg t j d G f + 2πfG f (3) dt df Αν υπάρχει συνάρτηση g t που να ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση d g t + 2πtg t = 0 πρέπει να dt ισχύει και η d G f + 2πfG f = 0, επειδή o Μετασχηματισμός Fourier της μηδενικής συνάρτησης df (0, t) είναι η μηδενική συνάρτηση (0, f) Άρα ισχύσει η ίδια εξίσωση για g t και G f Η λύση και των δύο εξισώσεων με αρχικές συνθήκες g 0 = G 0 = 1 δίνεται από g t = exp ( πt 2 ), G f = exp ( πf 2 ) που ορίζει τον ίδιο παλμό Gauss στο πεδίο του χρόνου και συχνότητας. Ο παλμός Gauss αποτελεί τη μοναδική μορφή σήματος με αναλλοίωτη μορφή Μετασχηματισμού Fourier
2.4 Η Αντίστροφη Σχέση Χρόνου & Συχνότητας (1/2) Ένα σήμα πεπερασμένης ενέργειας g t 2 dt = G f 2 df ταυτόχρονα time-limited & band-limited δεν μπορεί να είναι Ορισμός Bandwidth BW (Εύρος Ζώνης Διέλευσης): Ορίζεται σαν το σημαντικό τμήμα (ζώνη) θετικών συχνοτήτων (φασματική περιοχή) από πλευράς κατανομής ενέργειας αγνοώντας συχνότητες που δεν μεταφέρουν «σημαντική» ενέργεια Η χρονική διάρκεια σήματος (time duration) είναι αντιστρόφως ανάλογη με το εύρος της ζώνης διέλευσης (bandwidth). Το γινόμενό τους ορίζει την σταθερά Time-Bandwidth Product ή Bandwidth-Duration Product) Περίπτωση Baseband (Low-Pass) Ζώνη Διελεύσεως Bandwidth BW 1/T Περίπτωση Pass-Band (modulated σε φέρουσα συχνότητα f c 1/T ) Ζώνη Διελεύσεως - Bandwidth BW 2/T
2.4 Η Αντίστροφη Σχέση Χρόνου & Συχνότητας (2/2) Ορισμός 3-db Bandwidth 3db BW(Εύρος Ζώνης Διέλευσης): Ορίζεται σαν το τμήμα (ζώνη) θετικών συχνοτήτων (φασματική περιοχή) σήματος h t μέχρι τη συχνότητα όπου το πλάτος του φάσματος H f μειώνεται στο 1 της μεγίστης τιμή του 2 Decibels - db Τυπικό μέτρο σύγκρισης ισχύος P με ισχύ αναφοράς P 0 : P P db = 10log P 10 0 P 0 π.χ. P P 0 = 2, P P 0 db 3 db Baseband signal P P 0 = 10, P P 0 db = 10 db Αν P 0 = 1 miliwatt (mw) τότε η P δίνεται σε dbm Αν P 0 = 1 Watt (W) τότε η P δίνεται σε dbw Τυπικό μέτρο σύγκρισης πλάτους σήματος H f με σήμα αναφοράς H 0 f : Pass-Band (modulated) signal H f H 0 f db = 20log 10 H f H 0 f π.χ. H f H 0 f = 1 2, H f H 0 f db 3 db
2.5 Συνάρτηση Dirac (Δέλτα) (1/3) δ t = 0, t 0, δ t dt = 1 g t δ t t 0 dτ = g t 0 g τ δ t τ dτ = g t δ(t) = g t F δ t = δ t exp j2πft dt = 1 δ(t) 1 Η συνάρτηση δ t σαν όριο παλμού Gauss με μοναδιαία επιφάνεια g t = 1 τ exp πt2 τ 2, G f = exp ( πτ 2 f 2 ) δ t = lim τ 0 { 1 τ exp πt2 τ 2 }
2.5 Συνάρτηση Dirac (Δέλτα) (2/3) Εφαρμογές της συνάρτησης Dirac 1. δ t 1 και λόγω διαδικότητας, duality: 1 δ f = exp ( j2πft)dt (συνεχές σήμα, DC signal) 2. Λόγω ιδιότητας ολίσθησης συχνότητας, frequency-shifting: exp (j2πf c t) δ(f fc) 3. cos 2πf c t = 1 2 exp j2πf ct + exp j2πf c t cos 2πf c t 1 2 δ f f c + δ f + f c 4. sin 2πf c t = 1 2j exp j2πf ct exp j2πf c t sin 2πf c t 1 2j δ f f c δ f + f c
2.5 Συνάρτηση Dirac (Δέλτα) (3/3) 5. Συνάρτηση Προσήμου sgn(t) sgn t = 1, t < 0 0, t = 0 1, t > 0 sgn(t) = lim α 0 g(t), g t = exp (at), t < 0 0, t = 0 exp ( at), t > 0 G f = j4πf a 2 + 2πf 2 1/(jπf) sgn(t) 1 jπf 6. Step Function u t u t = 1 2 sgn t + 1 = 0, t < 0 1/2, t = 0 1, t > 0 u(t) 1 j2πf + δ(f)/2
2.6 Περιοδικά Σήματα (1/3) Σειρές Fourier Περιοδικού Σήματος g T t με περίοδο T = 1/f 0, f 0 : βασική συχνότητα Το περιοδικό σήμα μπορεί να θεωρηθεί πως αποτελείται από επαναλήψεις συνάρτησης τύπου παλμού (γεννήτριας συνάρτησης, generating function) g t = g T t, για T 2 t T 2 και 0 εκτός του διαστήματος ( T 2, T 2 ) c n = 1 T g T t = c n exp(j2πnf 0 t) = g(t mt) T/2 T/2 n= g T t exp ( j2πnf 0 t)dt m= = f 0 G nf 0 όπου g(t) G(f) g T t = g(t mt) m= = f 0 G nf 0 exp(j2πnf 0 t) n= (Poisson Sum Formula) Ο «Μετασχηματισμός Fourier» της περιοδική συνάρτησης g T t μπορεί να αποδοθεί σαν: m= g(t mt) f 0 G nf 0 δ(f nf 0 ) n=
2.6 Περιοδικά Σήματα (2/3) Ιδανική Συνάρτηση Δειγματοληψίας (Dirac comb) δ T t = δ(t mt) m= Μετασχηματισμός Fourier της δ T t : Ιδανική Συνάρτηση Δειγματοληψίας (Dirac comb) g t = δ t G f = 1 και δ(t mt) f 0 δ(f nf) m= n= Από τη Poisson sum formula και την ιδιότητα duality προκύπτει: δ t mt = f 0 exp j2πnf 0 t, exp j2πmft = f 0 δ(f f 0 ) m= n= m= m=
2.6 Περιοδικά Σήματα (3/3) Δειγματοληψία Παράσταση Διακριτού Χρόνου Σήμα συνεχούς χρόνου x(t) X(f) Σήμα x t με δείγματα του x(t) σε χρονικές στιγμές nt s και 0 στον υπόλοιπο χρόνο x t X f, T s : η περίοδος δειγματοληψίας (sampling period) x t = x(t) δ t mt S = 1 x t exp j2πnt m= X f = T n= S T S 1 T S k= X(f k/t S ) Σήμα διακριτού χρόνου x n με τιμές x nt s = x nt s Θεώρημα Δειγματοληψίας (Nyquist Sampling Theorem): Για την πιστή αναπαραγωγή από τα δείγματα x n του αρχικού αναλογικού σήματος x(t) με X(f) περιορισμένo σε { f 0, f 0 } Hz (bandwidth f 0 ) απαιτείται συχνότητα δειγματοληψίας F S = 1/T S τουλάχιστον ίση με 2f 0 Στον X f εμφανίζονται είδωλα (aliases) του X(f) ανά F S = 1/T S F S > 2f 0 για αποφυγή σφαλμάτων επικάλυψης (aliasing errors) Από «Ψηφιακές Επικοινωνίες», Ν. Μήτρου (www.kallipos.gr) DTFT: Discrete Time Fourier Transform
2.7 Μετάδοση Σημάτων μέσω Γραμμικών Συστημάτων (1/2) Γραμμική υπέρθεση (linear superposition) Εισόδων Εξόδων σε Γραμμικό Φίλτρο (Filter) ή Κανάλι (Channel) Κρουστική Απόκριση - Impulse Response Γραμμικού & Χρονικά Αμετάβλητου συστήματος h(t): x t = δ t y t = h(t) Απόκριση Χρόνου Γραμμικών Συστημάτων: Συνέλιξη, Convolution (Διέγερση, Excitation) x t = x τ δ t τ dτ y t = x τ h t τ dτ (Απόκριση, Response) y t = h t x t = x τ h t τ dτ = x t τ h τ dτ Απόκριση Συχνότητας Γραμμικών Συστημάτων x t X f, h t H f, y t Y f = H f X(F) H f : Συνάρτηση Μεταφοράς (Transfer Function) H f = H f exp[jβ f ] H f : amplitude response, β f : phase Αν h(t) πραγματική (real), τότε H f άρτια (even) & β f περιττή (odd) Αιτιατότητα (Causality) Σε ένα αιτιατό (υλοποιήσιμο) σύστημα η απόκριση y t εξαρτάται μόνο από παρελθούσες τιμές της διέγερσης x τ, τ t άρα ένα σύστημα είναι αιτιατό αν h t τ = 0, τ > t ή h(t) = 0, t < 0 t οπότε y t = x τ h t τ dτ 0 = x t τ h τ dτ
2.7 Μετάδοση Σημάτων μέσω Γραμμικών Συστημάτων (2/2) ln H(f) = α f + jβ(f), α f = ln H f, Κέρδος Gain (σε nepers), β f (σε radians) α f = 20log 10 H f (σε decibel), α f = 8.69a(f) Ορισμοί bandwidth συστήματος (φίλτρου, διαύλου) Low-pass System, B Band-pass System, 2B
Ορισμοί: Ζώνη Διέλευσης (passband) Ζώνη Αποκλεισμού (stopband) Βαθυπερατό (low-pass) Υψιπερατό (high-pass) Ζωνοπερατό (band-pass) Ζωνοφρακτικό (band-stop) B ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα 2.8 Φίλτρα h t = exp j2πf t t 0 df = 2 cos 2πf t t 0 df = B 0 B Ιδανικό Low-pass Filter Απόκριση Συχνότητας To φίλτρο δεν είναι αιτιατό (causal), αλλά με μεγάλο t 0 = 1/B έχουμε sinc 2B t t 0 1, t < 0 οπότε είναι προσεγγιστικά κατασκευάσιμο Απόκριση Ιδανικού Low-pass filter σε Μοναδιαίο Παλμό x t Διαρκείας T Κρουστική Απόκριση 2 sin 2πB t t 0 2π t t 0 = 2Bsinc[2B t t 0 ] Φαινόμενο Gibbs Θεωρούμε t 0 = 0: h t = 2Bsinc 2Bt, y t = x τ h t τ dτ = 2B T 2 T 2 sin [2πB t τ ] 2πB(t τ) dτ