Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν 7 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 9.6.7 ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. Μονάδες 7 A. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Κάθε συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο, είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.» α. Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής. (μονάδα ) β. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α. (μονάδες ) Μονάδες A. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες A. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων f : και g :, αν lim f () και lim g(), τότε lim f () g(). β) Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού A, B αντίστοιχα, τότε η g f ορίζεται αν f (A). γ) Για κάθε συνάρτηση f : που είναι παραγωγίσιμη και δεν παρουσιάζει ακρότατα, ισχύει f () για κάθε. δ) Αν α, τότε lim ε) Η εικόνα f(δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα. Μονάδες ΘΕΜΑ Β Δίνονται οι συναρτήσεις f () n, και g(),. B. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση f g. Μονάδες 5 B. Αν h() (f g)() n, (,), να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της. Μονάδες 6 B. Αν () h (),, να μελετήσετε τη συνάρτηση φ ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα, την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. Μονάδες 7 B. Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης φ και να τη σχεδιάσετε. (Η γραφική παράσταση να σχεδιαστεί με στυλό.) Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f (), [, ], και το σημείο A,. Γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς δύο εφαπτόμενες ( ), ( ) της γραφικής παράστασης της f που άγονται από το Α, τις οποίες και να βρείτε. Μονάδες 8 Γ. Αν ( ) : y, και ( ) : y είναι οι ευθείες του ερωτήματος Γ, τότε να σχεδιάσετε τις ( ), ( ) και τη γραφική παράσταση της f, και να αποδείξετε ότι E, όπου: E 8 E είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τις ευθείες ( ), ( ), και E είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τον άξονα '.. Μονάδες 6 Γ. f () Να υπολογίσετε το όριο lim f (). Μονάδες (f () Γ. Να αποδείξετε ότι d. Μονάδες 7
ΘΕΜΑ Δ [, ) Δίνεται συνάρτηση f (), [, ] Δ. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα, και να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της. Μονάδες 5 Δ. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα, και να βρείτε το σύνολο τιμών της. Μονάδες 6 Δ. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τη γραφική παράσταση της g, με 5 g(),, τον άξονα y ' y και την ευθεία. Μονάδες 6 Δ. Να λύσετε την εξίσωση 6 f () ( ) 8. Μονάδες 8 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 5 Α. α) ψ β) Ο παραπάνω ισχυρισμός είναι ψευδής αφού για παράδειγμα για τη συνάρτηση f () όμως: f () f () lim f () f () lim Δηλαδή η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο. Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 7 Α. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ η οποία είναι συνεχής στο ΘΕΜΑ Β Β. Πεδίο ορισμού της (f g)() άρα A fog (,) και είναι A g / g() Af ή (f g)() f (g()) ln / όμως (,) Β. Β. h() (f g)() ln, (,). Η h είναι παραγωγίσιμη ως σύνθεση παραγωγισίμων με h (), (,). h () για (,) άρα h() είναι γνησίως αύξουσα άρα - επομένως αντιστρέφεται. Η h έχει σύνολο τιμών το lim h(), lim h(),όμως lim ln, lim ln Θέτουμε ln y ( ), άρα σύνολο τιμών το,. Επομένως το πεδίο ορισμού της αντίστροφης είναι το. y y y y y y y άρα h (),. y ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) () για κάθε, άρα η φ γνησίως αύξουσα στο και δεν έχει ακρότατα. y y ( )
() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). () + Φ() Η φ() είναι κυρτή στο (,] και κοίλη στο [, ) και παρουσιάζει σημείο καμπής για με (). Β. lim () lim lim lim () lim Άρα η C έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο την y = και στο την y =. y y= / y ΘΕΜΑ Γ Γ. H f () είναι παραγωγίσιμη στο [, π] με f (). Έστω M(,f ( )) το σημείο επαφής, η εφαπτόμενη της C f στο Μ είναι, : y f ( ) f ( ) ( ) y ( ). Η (ε) διέρχεται από το A, όταν:. Θεωρούμε συνάρτηση h() με [, ]. Η h () ( ). Η h () ή ή ή. Ακόμη για (, ) είναι ημ > και. Το πρόσημο της h και η μονοτονία της h φαίνονται στον πίνακα:
π/ π h h + ΤΜ Ε TM Είναι, h() h( ) h( ) Άρα οι, είναι οι μοναδικές ρίζες της h() =. Επομένως οι ζητούμενες εφαπτομένες είναι στα σημεία με και. Άρα O(,f ()) ή O(,) και (,f ( )) ή (,) Γ. Η εφαπτομένη της C f στο O είναι, : y f () f () ( ) y και στο Μ είναι : y f ( ) f ( ) ( ) y Είναι, f () d d τ.μ. Το εμβαδόν του 8 ( ) ( ) ( ) τ.μ. άρα. Οπότε, είναι
Γ. Η f είναι κυρτή και η y = -π εφαπτομένη της C f άρα f (), για κάθε. Έχουμε f () f (), f () lim f () lim f (), lim f () και lim f () άρα Γ. Από τη C f η f είναι κυρτή στο [,π] άρα η εφαπτομένη της C f στο Μ είναι κάτω από τη C f εκτός του σημείου επαφής. Άρα f () f () f () για κάθε [, ) είναι f () άρα d d d n f () d ΘΕΜΑ Δ Δ. Η f είναι συνεχής στο [-,) ως σύνθεση συνεχών. Είναι συνεχής στο (,π] ως γινόμενο συνεχών. Στο : lim f () lim. lim f () lim ==f(). Άρα η f συνεχής στο, συνεπώς η f είναι συνεχής στο[-,π]. f () ( ), Για [,), είναι παραγωγίσιμη ως σύνθεση παραγωγίσιμων με f '() ( ), άρα η f δεν έχει κρίσιμα σημεία στο [-,). Για (, ], είναι f (), παραγωγίσιμη ως γινόμενο παραγωγίσιμων με f '() + = ( ). Για κάθε (, ) έχουμε,. Στο : f () f () ( ) f '() +συν= =-. Άρα η f παρουσιάζει κρίσιμο σημείο στο lim lim lim lim ( ). ( ) f () f () lim lim lim ( ). f () f () f () f () Άρα lim lim, οπότε η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο, συνεπώς το είναι κρίσιμο σημείο της f. Τελικά η f έχει κρίσιμα σημεία στο και στο. Δ. Για [, ) (, ] είναι f '() f '() για κάθε [,). ( ), [,) ( +συν), (, ] Για (, ) είναι f '() και f ' συνεχής ως γινόμενο συνεχών, άρα η f ' διατηρεί πρόσημο στο (, ). Ακόμη, f '( ), άρα f '(), για κάθε (, ). Για (, ) είναι f '() και f ' συνεχής ως γινόμενο συνεχών, άρα η f ' διατηρεί πρόσημο στο (, ]. Ακόμη, 5 5 5 6 6 f '( ) ( ) ( ), άρα f '() για κάθε (, ]. 6 6 6 Οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, ] και γνησίως φθίνουσα στο [,] και στο [, ]. Η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο = - και στο με τιμές f ( ) f( ) αντίστοιχα. Η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο
= και στο =π με τιμές f () f( ) αντίστοιχα. Τελικά, η μέγιστη τιμή της f είναι τιμή f () f ( ). Συνεπώς f (A) [, ]. και ελάχιστη f ( ) - π f f() + Δ. Έχουμε, ( ) f () g() d όμως, για [, ] είναι f () g() ( - ) για είναι και, όποτε ). Άρα, συνεπώς f () g( 5 5 5 5 ] I ( ) I, όπου E( )= f () g() d g() f ()d ( )d= d d=[ 5 5 Άρα I d=[ ημ] d=-[ ] d=+ I. 5. τμ 5 E( )= ( ) I I I. Τελικά, Δ. Η εξίσωση ορίζεται για κάθε [, ] οπότε ( ) 6 f () ( ) 8 6f () ( ) 8 f () 6 f () f () f () f () f () Παρατηρούμε ότι προφανής ρίζα είναι η.για κάθε. Έχουμε ότι f () f. Αν υπάρχει και δεύτερη ρίζα () τότε f ( ) f f f άτοπο. ΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΝΔΑΛΑΚΗΣ ΓΡΗΓΟΡΗΣ ΚΥΡΙΑΚΑΚΗΣ ΜΑΝΟΛΗΣ ΑΘΑΝΑΣΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΑΛΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΚΑΡΑΤΖΙΑΣ ΝΙΚΟΣ ΣΤΑΥΡΟΥΛΑΚΗΣ ΣΤΑΥΡΟΣ ΓΕΡΜΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΒΑΝΑ ΚΑΤΣΟΥΛΗ ΣΩΚΡΑΤΗΣ ΜΑΚΡΑΚΗΣ ΚΩΣΤΑΣ ΑΣΦΕΝΤΑΓΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΠΕΤΑΝΑΚΗΣ ΜΑΝΟΛΗΣ ΠΑΠΑΔΑΚΗΣ ΝΙΚΟΣ ΣΠΛΗΝΗΣ ΜΑΡΙΑ ΤΕΡΖΑΚΗ ΜΑΡΙΑ ΧΡΙΣΤΟΦΑΚΗ