ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Πέμπτη, 9/6/6 ΘΕΜΑ ο Α. Θεωρία, στη σελίδα 6 του σχολικού βιβλίου (Θ. Fermat). Α. Θεωρία, στη σελίδα 69 του σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία-Ορισμός, στη σελίδα 8 του σχολικού βιβλίου. Α4. α. Λάθος. β. Λάθος. γ. Σωστό. δ. Λάθος. ε. Λάθος. ΘΕΜΑ ο Β. Το πεδίο ορισμού f D της συνάρτησης f είναι f,5 5, 9 Το σύνολο τιμών Α είναι A f D f,5 Β. Έχουμε: α) lim f ( ) lim f ( ) D. β) γ) lim f ( ) lim f ( ) (Δεν υπάρχει το lim f ( ) lim f ( ) lim f ( ) 5 5 5 lim f ( ) ) δ) ε) lim f ( ) 4 lim f ( ) (Δεν υπάρχει το lim f ( ) ) 7 7 lim f ( ) lim f ( ) 9 9 7
Β. α) Είναι:, διότι lim f ( ) και f ( ) ( ) lim,διότι lim f ( ) και f ( ) ( ) β) Είναι: lim 6 f ( ), διότι lim f ( ) και ( ) 6 f για κάθε, f για κάθε, f για κάθε 5,7 γ) θέτουμε f ( ) Επομένως έχουμε: 8 uu u5 u και έχουμε lim f ( ) u lim f ( ) lim f ( ) 5 u. lim f f ( ) lim f ( u) lim f ( u) 8 8 8 Β4. Η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στα σημεία και 7 αφού: lim f ( ) lim f ( ) (Δεν υπάρχει το lim f ( ) ) και lim f ( ) 4 lim f ( ) (Δεν υπάρχει το lim f ( ) ) 7 7 7 Β5. Τα σημεία στα οποία έχουμε f ( ) είναι 4 5 4 6, αφού από την παρατήρηση του δοσμένου σχήματος σε αυτά δέχεται οριζόντια εφαπτομένη παράλληλη με τον άξονα οπότε (και επειδή στα σημεία αυτά είναι συνεχής) θα έχουμε f ( ) f ( ) f ( ). ΘΕΜΑ ο 8 Γ. Έστω, με f ( ) f ( ). Έχουμε διαδοχικά: f ( ) f ( ) Άρα η συνάρτηση f είναι «-» και επομένως είναι αντιστρέψιμη. Για την εύρεση της αντίστροφης έχουμε:, y a y y f ( ) y y, a y Άρα:, a f, a
Γ. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (ως πολυωνυμική) με κάθε, και, στα διαστήματα, Θεωρούμε τη συνάρτηση και f ( ), για και αφού η f είναι συνεχής στο είναι γνησίως αύξουσα,, επομένως είναι γνησίως αύξουσα στο. g( ),, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο 6, ) με, (ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο g ( ), Η συνάρτηση g ( ) είναι παραγωγίσιμη στο, (ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο, ) με g ( ) για κάθε ( αφού για κάθε, η ισότητα ισχύει μόνο για ). Αρα η συνάρτηση g ( ) είναι γνησίως αύξουσα στο,. Άρα έχουμε: ( ) () ( ), δηλαδή η g είναι γνησίως αύξουσα στο, g g g g( ) g() g( ). Επομένως για κάθε και επειδή η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο έχουμε: g( ) f f 6 6 M ( t ), y( t ) το σημείο της καμπύλης στο οποίο την χρονική στιγμή t t Γ. Έστω έχουμε ( t) y ( t). Για κάθε t έχουμε y t t ( ) ( ). Παραγωγίζοντας τη σχέση αυτή για κάθε t έχουμε: Για t t έχουμε: y t t y t t t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y ( t) ( t) ( t) ( t) ( t) ( t) ( t) ( t) ( t) Άρα δεκτή τιμή η ( t), οπότε y( t ). Επομένως το ζητούμενο σημε ιο 9 της καμπύλης για το οποίο ( t) y ( t) είναι M, 9. Γ4. Για το ολοκήρωμα g( ) g( ) για κάθε, ( ) ( ) ( ) ( ) (αφού η g είναι άρτια I f g d f g d ) θέτουμε: Άρα έχουμε διαδοχικά: u u d du u u
I f g d f g d g d u g u du u g u du u g u du I ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Επομένως I I I I ΘΕΜΑ 4 ο Δ. Για κάθε, η συνάρτηση f είναι συνεχής (ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων στο, ). Για κάθε η συνάρτηση f είναι συνεχής (ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων στο, ). Θα εξετάσουμε τη συνέχεια της f στο. Έχουμε: ln ln lim f ( ) lim lim ln lim f ( ) lim ( D ' L) lim lim f () Άρα η f είναι συνεχής και στο,. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα, και άρα δεν έχει κατακόρυφες,επομένως είναι συνεχής και στο διάστημα ασύμπτωτες για. Θα εξετάσουμε αν έχει κατακόρυφη ασύμπτωστη στο.έχουμε: lim ln lim ln lim lim ln lim ln lim ln ln lim f ( ) lim lim Επομένως η ευθεία (δηλαδή ο άξονας y y ) είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη. Δ. Για, η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη (ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο, )με : ln ln f ( ),, Είναι: ln f ( ) ln e,
. Είναι f ( ) για κάθε Άρα f ( ),, Για η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη (ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο, με : ln ln ln ( ) f, Θεωρούμε τη συνάρτηση h( ) ln,, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο, ( (ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο, ) με : h ( ) (ln ) ln, h ( ) ln Έχουμε: h ( ), άρα η h( ) είναι γνησίως φθίνουσα στο, (αφού είναι και συνεχής στο, ) και άρα: h( ) h() h( ) για κάθε h( ) Επομένως h( ),, άρα f ( ),. Το μοναδικό πιθανό κρίσιμο σημείο ειναι το. Έχουμε: f ( ) f () ln lim lim lim lim ln f ( ) f () ln lim lim lim lim lim ( ) Άρα η f έχει μοναδικό κρίσιμο σημείο το. Δ. i) Αφού f ( ) για κάθε είναι συνεχής στο ). Άρα έχουμε: f, lim f ( ), f (), η f είναι γνησίως αύξουσα στο επειδή lim f ( ) και f ()., (αφού η f Αφού, η f θα έχει μία ρίζα η οποία θα είναι μοναδική αφού η f είναι»-» ως γνησίως αύξουσα στο, Αφού f ( ) για κάθε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο,, (αφού η f είναι συνεχής στο ). Άρα έχουμε: f, lim f ( ), f (), επειδή lim f ( ). Όμως, και άρα η f δεν έχει ρίζα στο,. Άρα η f έχει μοναδική ρίζα, ii) To Εμβαδόν του χωρίου είναι E f ( ) d,, Επειδή η είναι γνησίως αύξουσα στο, έχουμε:.
f ( ) f ( ) f ( ) Άρα : ln ln E f ( ) d ln d d d d I ln ln d ln ln ln d ln I ln I ln I ln E () Επειδή το είναι ρίζα της f έχουμε: ln ln f ( ) ln ln. Άρα από τη σχέση () έχουμε: E τ.μ. Δ4. Για κάθε έχουμε f ( ) F ( ). Η F είναι συνεχής στο,, αφού είναι συνεχής στο λόγω της αντίστοιχης συνέχειας της f. Άρα η F είναι γνησίως φθίνουσα στο,. Ισχύει:. Εφαρμόζουμε το Θεώρημα Μέσης Τιμής για την F στα διαδοχικά διαστήματα,,, στα οποία ικανοποιούνται οι προυποθέσεις (Η F είναι παραγωγίσιμη άρα και συνεχής στο,, οπότε και στα,,, Επομένως υπάρχουν αντίστοιχα, και, F με: F F() F( ) F( ) ). F Έχουμε διαδοχικά : F F() F( ) F( ) F F() F( ) F( ) F F ( ) F( ) F( ) () ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) F F F F F F F F F F F( ) F() F( ) Επιστημονική επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών