Capitolul 9. Geometrie analitică. 9.1 Repere

Capitolul 9 Geometrie analitică 9.1 Repere Vom considera spaţiile liniare (X, +,, R)în careelementelespaţiului X sunt vectorii de pe odreaptă, V 1, dintr-un plan, V sau din spaţiu, V 3 (adică X V 1 sau X V sau X V 3 ). Definiţia 9.1 Un reper în spaţiul (X, +,, R) este o pereche R (O; S), unde punctul O se numeşte originea reperului iar S este o bazăîn X. Exemplederepere: a) pe dreaptă reperul R (O; i )formatdinpunctulo R fixat pe dreaptă şi S ( i ), b) în planreperul R (O; u, v )formatdino R un punct din plan fixat, iar S ( u, v )obazăformată din doi vectori necoliniari Figura 9.1 (a) sau R (O; i, j ) unde O R este un punct din plan fixat, iar S ( i, j )obază ortonormată Figura9.1 (b). Figura 9.1 c) în spaţiu reperul R (O; i, j, k ) unde O R 3 este un punct din spaţiu fixat, iar S ( i, j, k )bază ortonormată. 133

134 CAPITOLUL 9. GEOMETRIE ANALITICĂ Figura 9. În cazul spaţiului s-a convenit: 1. axa Ox să fie determinată de punctul O şi să aibădirecţia dată devectorul i,. axa Oy determinată depunctulo şi să aibă direcţia dată de vectorul j, 3. iar axa Oz determinată depunctulo şi să aibă direcţia dată de vectorul k, 4. axele Ox, Oy, Oz se numesc axele reperului sau axedecoordonate. 5. planul xoy este determinat de punctul O şi conţine vectorii i, j, 6. planul xoz determinat de punctul O şi conţine vectorii i, k, 7. iar planul zoy determinat de punctul O şi conţine vectorii k, j.planele xoy, yoz, xoz se numesc planele reperului R sau planedecoordonate. Definiţia 9. Fie (X, +,, R) un spaţiu liniar, R (O; S) un reper şi M R i,i1,, 3. Vectorul OM este numit vectorul de poziţie al punctului M faţă dereperulr. Notăm r OM iar dacă există posibilitatedeconfuzie,notăm r M OM şi vom citi r M vector de poziţie a lui M sau M( r M ). Vectorul r se poate exprima în moduniccao combinaţie liniară devectoriibazei. Observaţia 9.1 a) Dacă M R 1, atunci OM r M x i ; b) dacă M R, atunci OM r M x i + y j ; c) dacă M R 3, atunci OM r M x i + y j + z k şi aceste reprezentări sunt unice. Dacă M( r )faţădereperulr atunci coordonatele lui r în raport cu baza S sunt numite coordonatele punctului M faţă de reperul R. În mod obişnuit dacă reperul este ortonormat, pentru a păstra tradiţia, vom utiliza notaţiile: a) dacă M R 1,M(x), unde x poartă denumirea de abscisa sau coordonata punctului M, b) dacă M R,M(x, y) undex poartă denumirea de abscisa, iar y ordonata punctului M, c) dacă M R 3, M(x, y, z) unde x poartă denumirea de abscisa, y ordonata şi z cota punctului M.

9.1. REPERE 135 Teorema 9.1 Dacă M 1 ( r 1 ),M ( r ) X, în raport cu un reper R (O; S) atunci M 1 M OM OM 1 şi dist(m 1,M )k r r 1 k. Dacă reperul este ortonormat, atunci a) dacă M 1 (x 1 ),M (x ) M 1 M OM OM 1 (x x 1 ) i,dist(m 1,M ) x x 1 ; b) dacă M 1 (x 1,y 1 ),M (x,y ) M 1 M OM OM 1 (x x 1 ) i +(y y 1 ) j, D dist(m 1,M )r (x x 1 ) i +(y y 1 ) j,(x x 1 ) i +(y y 1 ) E j q (x x 1 ) +(y y 1 ) ; c) dacă M 1 (x 1,y 1,z 1 ),M (x,y,z ) M 1 M OM OM 1 (x x 1 ) i +(y y 1 ) j + (z z 1 ) k, r dist(m 1,M ) D (x x 1 ) i +(y y 1 ) j +(z z 1 ) k,(x x 1 ) i +(y y 1 ) j +(z z 1 ) E k q (x x 1 ) +(y y 1 ) +(z z 1 ). 9.1.1 Repere polare în plan şi spaţiu Definiţia 9.3 Un reper polar în plan se defineşte printr-un punct fix numit pol şi o axă Ox de versor i,trecând prin pol, numită axă polară situate în plan. Figura 9.3 Poziţia unui punct este determinată dacă se cunosc: distanţa OM ρ, de la pol la punctul M coniderat şi unghiul θ făcut de sensul pozitiv al axei polare cu direcţia OM. Numerele ρ şi θ se numesc coordonatele polare ale lui M, M(ρ, θ). ρse numeşte raza vectoare sau modulul punctului M, iar θ se numeşte unghiul polar al punctului M. Să presupunem căînplanavemunreperortonormatr (O; i, j )cuorigineaînpolul O, i versorul axei polare şi j astfel ales încât baza ( i, j )să fie obază ortonormată orientată pozitiv. Dacă punctul M are în acest reper coordonatele (x, y), legătura între coordonatele sale polare şi coordonatele sale carteziene este dată de ½ x ρ cos θ y ρ sin θ (9.1) Legătura inversă se obţine rezolvând sistemul (9.1) în necunoscutele ρ şi ϕ,

136 CAPITOLUL 9. GEOMETRIE ANALITICĂ ( p ρ x + y tg θ y. x Dintre cele două soluţii ale ecuaţiei trigonometrice din intervalul [, π] se alege aceea pentru care sin θ are acelaşi semn cu y. Definiţia 9.4 Un reper polar în spaţiu se defineşte printr-un plan numit plan bază în care s-a ales un reper polar (cu polul O şi axă polară Ox de versor i ) şi o axă Oz, de versor k, perpendiculară peplanul(p ). Figura 9.4 Fie un punct oarecare M al spaţiului, nesituat pe axa Oy, P proiecţiasaortogonală pe planul de bază xoy, r OP. Notăm ρ k r k OM,ϕ( \ i, r ) [, π), θ ( \ r, k ) (,π). Aceste relaţii stabilesc o relaţie biunivocăîntre mulţimea punctelor din spaţiu,nesituate peaxaoz, şi mulţimea tripletelor ordonate de numere reale (r, ϕ, θ). Numerele astfel definite (ρ, ϕ, θ) se numesc coordonate polare în spaţiu ale punctului M şi scriem M(ρ, ϕ, θ). Legătura dintre coordonatele polare şi cele carteziene în spaţiu: presupunem căîn spaţiu avem un reper cartezian ortonormat R (O; i, j, k )cuorigineaîn polulo, i versorul axei polare, k versorul axei Oz şi j astfel ales încât baza ( i, j, k )să fieobazăortonor- mată orientată pozitiv. Dacă punctulm are în acest reper coordonatele (x, y, z), legătura între coordonatele sale polare şi coordonatele sale carteziene se obţine astfel: deoarece r este proiecţia pe planul xoz alui r, rezultă că r k r k sin θ, apoi D i E x, r r cos ϕ k r k sin θ cos ϕ, D j E y, r r sin ϕ k r k sin θ sin ϕ, D E k, r z k r k cos θ. Invers vom obţine pentru ρ, ϕ, θ : ρ p x + y + z, tg ϕ y x, cos θ x p x + y + z. Pentru ϕ se alege unghiul din intervalul [, π) acărui sinus are acelaşi semn cu y, iar pentr θ determinarea din intervalul [,π].

9.1. REPERE 137 Un punct M din spaţiu, nesituat pe axa Oz, poatefi precizat prin coordonatele semipolare (cilindrice) (r,ϕ,z). Pentru acestea avem x r cos ϕ, y k r k sin ϕ, z z şi invers ρ p x + y, tg ϕ y,z z. x 9.1. Schimbarea reperelor Problema: să studiemlegătura dintre coordonatele unui punct în reperul dat şi coordonatele aceluiaşi punct într-un alt reper a cărui poziţie estecunoscută. Fie R (O; S) şi R (O ; S )două repere carteziene ale planului sau spaţiului. O schimbare a reperului R în reperul R constăîn schimbarea bazei S cu baza S şi în exprimarea vectorului de poziţie a punctului O faţă dereperulr. O schimbare de reper care modifică doarorigineareperului,oo r,se numeşte translaţia reperului de vector r x i + y j. O schimbare de reper care modifică numai baza, adică numai direcţiile axelor, se numeşte rotaţie sau schimbare centro-afină dereper. O schimbare oarecare a reperului cartezian se obţine prin efectuarea succesivă aunei translaţii şi a unei rotaţii (în orice ordine). 9.1.3 Schimbarea reperelor ortonormate în plan Fie R (O; i, j ) un reper ortonormat drept şi R (O ; i, j ) un alt reper ortonormat la fel orientat sau invers orientat. Trecerea de la reperul R la reperul R este dată de translaţia OO x i + y j şi rotaţia ½ i a 11 i + a1 j j a 1 i + a j (9.) µ a11 a unde A 1,S( i, j )şi S a 1 a ( i, µ µ µ j x1 a11 a ); 1 x + µ y 1 a 1 a y x unde (x y 1,y 1 ) sunt coordonatele unui punct oarecare în reperulr iar (x,y )sunt coordonatele aceluiaşi punct în reperul R. În cazul schimbării de baze ortonormate matricea A este o matrice ortogonală, deci A T A AA T I, adică AA T µ µ a11 a 1 a11 a 1 a 1 a a 1 a µ a 11 + a 1 a 11 a 1 + a 1 a a 11 a 1 + a 1 a a 1 + a a 11 + a 1 1,a 11 a 1 + a 1 a,a 1 + a 1, µ 1 1 care arată că elementele matricei A se pot exprima în funcţie de un singur parametru.

138 CAPITOLUL 9. GEOMETRIE ANALITICĂ Fie α \ ( i, i ) [,π] unghiul format dintre versorii i şi i. Să presupunem mai întâi că reperulr este la fel orientat. Figura 9.5 ³ ³ i i Pentru a determina matricea de trecere de la baza, j la baza, j determinăm descompunerile vectorilor bazei, j după vectorii bazei, j. ³ ³ i i i cosα i +sinα j, j sin α i +cosα j. Deci µ cos α sin α C, sin α cos α cu det C 1. Relaţia dintre coordonatele unui punct M care are în reperul R coordonatele (x, y) iar în reperul µ R µ are coordonatele µ (x,y )este µ µ x cos α sin α x x x + x y sin α cos α y + cos α y sin α y y + x sin α + y cos α Să presupunem că reperulr este la fel invers orientat (Figura (b)). Atunci i i cos α j sin α, j i sin α + j cos α. Deci µ cos α sin α C sin α cos α cu det C 1şi i i cos α + j sin α, j i sin α j cos α. Relaţia dintre coordonatele unui punct M care are în reperul R coordonatele (x, y) iar în reperul R are coordonatele (x,y )este µ x y µ cos α sin α sin α cos α 9. Cercul în plan µ x y + µ x y, µ x + x cos α y sin α y + x sin α + y cos α 9..1 Cercul determinat de centru şi de raza sa Definiţia 9.5 Fie un plan (π) şi un reper ortonormat R (O; i, j ). Cercul este locul geometric al punctelor din plan care au proprietatea că sunt egal depărtate, de un punct fix. Punctul fix, M (x,y ) se numeşte centrul cercului iar distanţa de la punctele cercului la punctul fix R se numeşte raza cercului.

9.. CERCUL ÎN PLAN 139 Fie M(x, y) un punct oarecare al cercului. punctelor M respectiv M, atunci Dacă r şi r sunt vectorii de poziţie ai kr r k R p (x x ) +(y y ) R (x x ) +(y y ) R. (9.3) Dacă centrul cercului este în origine, atunci ecuaţia cercului va fi x + y R. Ecuaţia (9.3) se numeşte ecuaţia canonică a cercului. Dar kr r k R kr r k R Ecuaţia (9.4) se numeşte ecuaţia vectorială a cercului. 9.. Ecuaţia generală a unui cerc Teorema 9. Oecuaţiedeforma h(r r ), (r r )i R. (9.4) x + y + ax + by + c cu a 4 + b c> (9.5) 4 q reprezintă uncerccucentrulîn punctul( a, b) şi de rază R a + b c. 4 4 Demonstraţie. Putem scrie (x + a ) +(y + b ) + c a b,deci cu x 4 4 a, y b,r a + b c>obţinem (9.3). 4 4 Ecuaţia (9.5) se numeşte ecuaţia generală a cercului. În ecuaţia generală a cercului intervin trei parametrii a, b, c, deci un cerc este determinat de trei condiţii.

14 CAPITOLUL 9. GEOMETRIE ANALITICĂ 9..3 Cercul determinat de trei puncte necoliniare Teorema 9.3 Ecuaţia cercului care trece prin trei puncte necoliniare M i (x i,y i ),i1,, 3 este x + y x y 1 x 1 + y1 x 1 y 1 1 x + y x y 1. (9.6) x 3 + y3 x 3 y 3 1 Demonstraţie. DacăpuncteleM i (x i,y i ),i1,, 3segăsesc pe cerc, atunci coordonatele acestor puncte verifică ecuaţia generală a cercului. Considerăm un punct M(x, y) oarecare de pe cerc. Obţinem astfel un sistem de patru ecuaţiicutreinecunoscutea, b, c x + y + ax + by + c x 1 + y1 + ax 1 + by 1 + c x + y + ax + by + c x 3 + y3 + ax 3 + by 3 + c ax + by + c x y ax 1 + by 1 + c x 1 y1 ax + by + c x y ax 3 + by 3 + c x 3 y3 Matricea sistemului şi matricea sa există sunt: A x y 1 x 1 y 1 1 x y 1 x 3 y 3 1 şi A x y 1 x y x 1 y 1 1 x 1 y1 x y 1 x y x 3 y 3 1 x 3 y3 Observăm că un determinant principal este x 1 y 1 1 x y 1 x 3 y 3 1 6 care reprezintă condiţia de necoliniaritate a punctelor M i (x i,y i ),i1,, 3. Condiţia de compatibilitate a sistemului este ca determinantul caracteristic să fie nul, adică (9.6). Mai mult, rangul matricelor A şi A este egal cu numărul necunoscutelor sistemului, rezultă căsoluţia este unică. Deci există un singur cerc cu proprietăţile cerute. Exemplul 9.1 Să sescrieecuaţia cercului care treceprin punctele M 1 (1, ),M (1, 1) şi M 3 (, 1). Să seprecizezecentrulşi raza cercului. Verifică dacă punctele sunt necoliniare: x 1 y 1 1 x y 1 x 3 y 3 1 1 1 1 1 1 16. 1 1 Ecuaţia acestui cerc va fi.

9.. CERCUL ÎN PLAN 141 x + y x y 1 1 1 1 1 1 1 x + y y x x 1 + y 1 1. 1 1 1 Centrul cercului C 1, 1 şi raza 1. 9..4 Ecuaţiile parametrice ale cercului Ecuaţiile parametrice ale cercului: dacă centrul cercului este punctul M (x,y )şi raza½ R atunci x x + R cos t,t [, π). y y + R sin t ½Dacă cercul are centrul în origine obţinem parametrizarea: x R cos t,t [, π). y R sin t Exerciţiul 9.1 Să sescrieecuaţiile parametrice ale cercurilor: x 4y + y +6y 1, x + y 36. Pentru primul cerc determinăm centrul şi raza. x 4y+y +6y 1 (x 4y +4)+(y +6y +9) 4 9 1 (x ) +(y +3) 5 M (, 3),R5 ½ x +5cost Ecuaţiile parametrice,t [, π). y 3+5sint ½Al doilea cerc are centrul în origineşi raza 6, x 6cost,t [, π). y 6sint 9..5 Poziţia relativă a unei drepte faţă de cerc Fie dreapta (d) :Ax + By + C,A + B > şi cercul (C) :(x x ) +(y y ) R. Calculăm distanţa de la centrul cercului la dreapta:

14 CAPITOLUL 9. GEOMETRIE ANALITICĂ d Ax + By + C A + B. Dacă d>ratunci dreapta (d) nu intersectează cercul(c). Dacă d R atunci dreapta (d) intersectează cercul (C)într-un singur punct şi spunem că dreapta este tangentă la cerc. Coordonatele punctului de tangenţă se determină rezolvând sistemul ½ Ax + By + C (x x ) +(y y ) R. Acest sistem are o singură soluţie. Dacă d < R atunci dreapta (d) intersectează cercul (C) în două puncte şi spunem că dreapta este secantă cercului (C). Coordonatele punctelor de intersecţie se determină rezolvând sistemul ½ Ax + By + C (x x ) +(y y ) R. Acest sistem are două soluţii. Exerciţiul 9. Să se precizeze poziţia relativă a dreptelor (d 1 ):x + y 4, (d ): 3x +4y +6, (d 3 ):x y faţă de cercul (C) :x + y +x +4y +4. Să se determine punctele de intersecţie ale dreptelor cu cercul, dacă ele există. Determinăm raza şi centrul cercului găsind ecuaţia canonică acercului. (x +1) +(y +) 1. C ( 1, ),R1. Calculă distanţa de la centrul cercului la dreapta (d 1 ), 1 4 d (C, (d 1 )) 7 > 1 (raza) dreapta este exterioră cercului. 1 +1 Calculă distanţa de la centrul cercului la dreapta (d ), 3 8+6 d (C, (d )) 5 1(raza) dreapta este tangentă la cerc. Coordonatele 3 +4 5 punctului ½ de tangenţă seobţin rezolvând sistemul: 3x +4y +6 (x +1) +(y +) 1 x,y 6 5 5. Punctul de tangenţă T, 6 5 5. Calculă distanţa de la centrul cercului la dreapta (d 3 ), 3+4 d (C, (d 3 )) 1 5 < 1 (raza) dreapta (d3 ) intersectează cercul(c)în 1 + 5 două ½ puncte. Coordonatele punctelor de intersecţie seobţin rezolvând sistemul: x y (x +1) +(y +) 1 x,y 6 5 5, [x,y ]. Punctele de intersecţie ale dreptei ce cercul vor fi P 1, 6 5 5,P (, ).

9.. CERCUL ÎN PLAN 143 9..6 Probleme de tangenţă Tangenta la cerc într-un punct al cercului Dacă M(x, y) este un punct oarecare de pe tangentă, atunci vectorul M M 1 (x 1 x ) i +(y 1 y ) j este perpendicular pe vectorul M 1 M (x x 1 ) i +(y y 1 ) j,adică h M M 1, M 1 Mi (x 1 x )(x x 1 )+(y 1 y )(y y 1 ) (x 1 x )[(x x )+(x x 1 )] + (y 1 y )[(y y )+(y y 1 )] (x 1 x )(x x )+(y 1 y )(y y ) [(x 1 x ) +(y 1 y ) ] (x 1 x )(x x )+(y 1 y )(y y )R. (9.7) Ecuaţia (9.7) se numeşte ecuaţia tangentei la cerc dusă printr-un punct al cercului obţinută prindedublare. Exemplul 9. Să se deducă ecuaţia tangentei la cercul (x ) +(y 1) care trece prin punctul M (3, ). Observăm că punctul se află pe cerc. Ecuaţia tangentei:(x ) (3 ) + (y 1) ( 1) x + y 5. Tangenta la cerc printr-un punct exterior cercului Ştim că printr-un punct exterior unui cerc se pot duce două drepte tangente la cerc. Determinăm ecuaţiile acestor drepte. Fie cercul (C) :(x x ) +(y y ) R şi dreapta (d) din plan care trebuie să treacă prin punctul M (a, b) exterior cercului, adică d (M,C) >R. Ecuaţia dreptelor care trec prin M se poate scrie sub forma: y b m(x a). Dreapta este tangentă la cerc dacă şi numai dacă distanţa de la centrul cercului la dreaptă esteegalăcur,

144 CAPITOLUL 9. GEOMETRIE ANALITICĂ mx y + b ma m +1 R mx y + b ma R m +1 (mx y + b ma) R (m +1). Se obţine o ecuaţie de gradul doi în m. (x a) R m m (x a)(y b)+(y b) R. Dacă x a R, punctul M (a, b)segăseştepecercşi obţinem panta dreptei tangente. Dacă x a 6 R, Obţinem o ecuaţiedegraduldoiîn m, 4 (x a) (y b) (x a) R (y b) R 4R (x a) +(y b) R > deoarece punctul M (a, b) este exterior cercului. Exemplul 9.3 Să se determine ecuaţiile dreptelor tangente la cercul din plan x + y 4x y 4 care trec prin punctul M (, 3). Determinăm raza şi centrul cercului găsind ecuaţia canonică acercului. (x ) +(y 1) 9 C (, 1),R3 CM 4 + 5 > 3 punctul M este exterior cercului. Ecuaţia unei drepte care trece prin M (, 3) : (d) :y 3m (x +) Impunem condiţia ca dreapta să fie tangentă lacerc: m 1+m +3 d(m,(d)) 3 1+m (m 1+m +3) 9 m 1+m 1, 8 ± 3 7 7 11, ecuaţiile dreptelor vor fi y 3 8 3 7 7 11 (x +) y 3 8 + 3 7 7 11 (x +). Tangentele la cerc paralele cu o dreaptă dată Fie dreapta (d) :Ax + By + C,A + B > şi cercul (C) :(x x ) +(y y ) R. Căutăm ecuaţiile dreptelor (d ) tangente la cerc cu proprietatea (d) k (d ). Din condiţia (d) k (d )rezultăcăecuaţia dreptei (d )vafi de forma (d ):Ax + By + α,α R. Condiţia (d ) tangentă la cerc implică faptulcădistanţa de la centrul cercului la dreapta (d )trebuiesă fie egalăcurazacercului. d (C, (d Aa + Bb + α )) R Aa + Bb + α ±R A + B A + B α ±R A + B Aa Bb (d ):Ax + By ± R A + B Aa Bb.

9.. CERCUL ÎN PLAN 145 Exemplul 9.4 Să se determine ecuaţiile dreptelor tangente la cercul (C) :x + y x +6y +1 paralele cu dreapta x + y. Determinăm raza şi centrul cercului găsind ecuaţia canonică a cercului. (x 1) +(y +3) 9 C (1, 3),R3. (d) :x + y, (d ):x + y + α. d (C, (d 1 1+1 ( 3) + α )) 3 α 3 ±, (d ):x + y +3 ±.