Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x 1, x 2,, x n a Y = y 1, y 2,, y n, potom ρ X, Y = y 1 x 1 2 + y 2 x 2 2 + + y n x n 2 Množina R n na ktorej je definovaná Euklidovská metrika sa nazýva n-rozmerný Euklidovský priestor E n. ρ X, Y vzdialenosť bodov X, Y Vlastnosti Euklidovskej metriky: 1. ρ X, Y 0, ρ X, Y = 0 X = Y 2. ρ X, Y = ρ Y, X 3. ρ X, Y ρ X, Z + ρ Z, Y Matematika 2-01 2
Reálna funkcia n premenných je zobrazenie f: E n R, ktoré Každému X Df E n priradí práve jedno f X R. Množinu Df nazývame definičný obor funkcie f. Množinu Hf = y R: existuje X Df, y = f X nazývame obor hodnôt funkcie f. Množina Gf = X, f X R n+1, kde X Df sa nazýva graf funkcie f. Matematika 2-01 3
Príklad 01: Zistite definičný obor funkcie f x, y = 2 + 4 2x 2 y 2 a nakreslite graf funkcie. Matematika 2-01 4
Nech X 0 εe n. Množina G X 0, r = X E n : ρ X 0, X < r sa nazýva otvorená guľa so stredomx 0 a polomerom r. Nech X 0 εe n. Množina O X 0 sa nazýva okolie bodu X 0, ak existuje G X 0, r O X 0. Množina O X 0 = O X 0 X 0 sa nazýva redukované okolie bodu X 0. Matematika 2-01 5
Nech f je funkcia n premenných. Hovoríme, že funkcia f má v bode X 0 E n limitu L ak ku každému číslu ε > 0 existuje také redukované okolie bodu O X 0, že pre všetky XεO X 0 platí: f X L < ε Matematika 2-01 6
Veta: Nech lim f X = l 1 X A lim g X = l 2 X A Potom platí: lim f X + g X = l 1 +l 2, X A lim f X g X = l 1 l 2, X A lim f X g X = l 1 l 2, X A f X = l 1, pre l g X l 2 0. 2 lim X A Matematika 2-01 7
Nech f je funkcia n premenných. Hovoríme, že funkcia f je spojitá v bode X 0 E n, ak platí: lim X X 0 f X = f X 0. Hovoríme, že funkcia f je spojitá na množine M, ak je spojitá v každom bode X M. Matematika 2-01 8
Nech f X = f x 1, x 2, x n je funkcia n premenných a bod A = a 1, a 2,, a n Df. Funkcia φ i x i = f a 1,, a i, x i, a i+1, a n sa nazýva i ta parciálna funkcia určená funkciou f a bodom A.(funkcia jednej premennej) Matematika 2-01 9
Nech má funkcia φ i x i v bode a i deriváciu. Potom táto derivácia sa nazýva parciálna derivácia v bode A podľa premennej x i a označuje sa f x i Platí: A alebo f x i A. f x i φ i x i φ i a i A = lim x i a i x i a i Matematika 2-01 10
Nech M je množina všetkých bodov X E n v ktorých existuje parciálna derivácia f X. Potom funkcia s definičným x i oborom M ktorej hodnota v bode X je f x i parciálna derivácia funkcie f podľa premennej x i. Označujeme ju f x i alebo f xi. X sa nazýva Matematika 2-01 11
Nech f je funkcia n premenných, ktorá má parciálnu deriváciu f. Ak má funkcia f. v bode parciálnu deriváciu x i x i podľa premennej x j, potom sa táto parciálna derivácia nazýva druhá parciálna derivácia (alebo parciálna derivácia druhého rádu) funkcie f podľa x i a x j v bode A. Označujeme ju 2 f x i x j A. Matematika 2-01 12
Ak 2 f x i x j X existuje vo všetkých bodoch nejakej množiny M, potom funkcia definovaná na M, ktorá v bode X M nadobúda hodnotu 2 f x i x j derivácia funkcie f podľa x i a x j. Značí sa M, sa nazýva druhá parciálna 2 f x i x j alebo f xi x j. Matematika 2-01 13
Matematickou indukciou môžeme definovať parciálne derivácie vyšších rádov: ak je definovaná parciálna derivácia k 1 f g = rádu k 1, potom x i 1 x i2 x i k 1 je parciálna derivácia funkcie f rádu k. k f = g x i 1 x i2 x i k x i Matematika 2-01 14
Veta: Ak má funkcia f druhé parciálne derivácie ktoré sú spojité v bode A, potom platí 2 f x i x j = 2 f x i x j a 2 f x j x i. 2 f x j x i, Parciálne derivácie tejto vlastnosti nazývame zámenné Matematika 2-01 15
Nech f je funkcia n premenných, ktorá má v bode A = a 1, a 2,, a n spojité parciálne derivácie 1. rádu. Potom hovoríme, že funkcia f je diferencovateľná v bode A a df A, X = σn f i=1 A x x i a i sa nazýva totálny i diferenciál (skrátene diferenciál) funkcie f v bode A. Matematika 2-01 16
Nech funkcia f x, y má v bode A = a 1, a 2 diferenciál df A, x, y. Potom rovina s rovnicou z f A = df A, x, y sa nazýva dotyková rovina grafu funkcie f v bode T = a 1, a 2, f A. Matematika 2-01 17
Nech f je funkcia n premenných, ktorá má v bode A spojité všetky parciálne derivácie rádu k. Potom hovoríme, že funkcia f je v bode k-krát diferencovateľná a výraz k f A d k n f A, X = σ i=1 x i x i a i sa nazýva k-ty diferenciál (alebo diferenciál rádu k) funkcie f v bode A. Matematika 2-01 18
Príklad: Obzvlášť dôležitý je druhý diferenciál funkcie f v bode A, ktorý má tvar: n d 2 f A, X = i,j=1 2 f x i x j A x i a i x j a j Matematika 2-01 19
Dovidenia za týždeň Matematika 2-01 20