Kapitola III. FUNKCIE
|
|
- Φορτουνάτος Μιαούλης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Kapiola III. FUNKCIE DEFINÍCIA FUNKCIE Úvahy v omo odseku zanime preskúmaním dvoch známych vzorcov. Príklad. a) s = g b) P = πr Vzorec a) je dobre známy vzah pre voný pád udávajúci závislos prejdenej dráhy s od asu pri vonom páde. Každému asu je jednoznane priradená vekos prejdenej dráhy s. Napríklad pre asový údaj = s (ak berieme graviané zrýchlenie g = 0 m s ) je s = 0 m. Vzorec b) je zas dobre známy vzorec pre výpoe plošného obsahu kruhu, ak je daný jeho polomer r. Plošný obsah zrejme závisí od polomeru a pri danom r je P jednoznane urený. Závislosi akéhoo ypu ako sú uvedené v a), b) je v maemaike, v echnickej praxi, v biologických i ekonomických procesoch veké množsvo a hoci sú formou odlišné, majú spolonú maemaickú podsau. Vedú k pojmu funkcie alebo zobrazenia, korý sa aso zavádza ako: Definícia. Nech A, B sú dve množiny. Ak ku každému prvku x A priradíme práve jeden prvok y B hovoríme, že na množine A je definovaná funkcia nadobúdajúca hodnoy v množine B. Píšeme y = f (x) a hovoríme o funkcii f (niekedy iež o zobrazení f ). Zobrazenie definované na A s hodnoami v B oznaujeme iež ako: f : A B. Množinu A v definícii nazývame defininým oborom funkcie f. Množinu pozosávajúcu zo všekých ých prvkov y B, koré sú priradené prvkom x A nazývame oborom hodnô funkcie f. Prvky z defininého oboru nazývame aso vzormi, prvky z oboru hodnô obrazmi. Niekedy sa premenným x A hovorí nezávislé premenné a k nim priradeným premenným y B závislé premenné. Vidíme, že v definícii sa predpokladá, že na o, aby bola daná funkcia f, reba, aby boli dané množiny A, B a predpis priradenia. Aj ke je uvedená definícia funkcie jasná a jej osvojenie nerobí pravdepodobne nijaké ažkosi, je dobré si uvedomi, že rvalo dlhý as, kým sa od konkrénych príkladov funkcií daných isými výrazmi prišlo k ak formulovanému pojmu funkcie ako je o urobené v definícii. Približne akú definíciu podal Cauchy ( ). Definícia funkcie, ako sme ju u uviedli, je pre úvahy maemaickej analýzy a jej aplikácie úplne vyhovujúca. Pri presnom budovaní základov maemaiky reba poveda, že aj pri niekorých úvahách v samonej analýze je výhodné vyhnú sa neuriému výrazu priradenia, korý sa v definícii vyskyuje. Ke sa pozrieme na funkciu f ako hoovú vec, eda ke si uvedomíme, že každému x z defininého oboru bola nejaká vec y = f(x) priradená, môžeme funkciu chápa ako množinu ako získaných usporiadaných dvojíc [x, y], kde x je z defininého oboru. To vedie k akejo definícii funkcie. Definícia '. Nech je daná podmnožina f kareziánskeho súinu X Y, korá má úo vlasnos: Ak ku každému x X exisuje najviac jedno y Y ak, že [x, y] f, poom množinu f nazývame funkciou. Množinu A všekých ých x, ku korým aký prvok y, že [x, y] f skuone exisuje, nazývame defininým oborom ej funkcie. Ak [x, y] f, píšeme y = f(x). POZNÁMKA. Použiím kvanifikáorov je možné funkciu f : X Y charakerizova spomedzi osaných podmnožín kareziánskeho súinu X Y ako: 5
2 x X y Y y Y {[(y = f(x)) (y = f(x))] y = y } POZNÁMKA. Z definície ' vyplýva, že funkcia f : X Y je špeciálnym prípadom relácie medzi množinami X a Y. (Porovnaje s pojmom relácie zavedeným v kapiole, lánok 4). Príklad. Nech X = {,,, 3}, Y = {, 4, 3, 39, 47}. Nech f = {[, 4], [, 3], [3, ]}. Vidno, že f X Y. Ozname A = {,, 3}. Poom vidíme, že ku každému x A exisuje najviac jedno y Y, že [x, y] f. (K prvku je o 4, k prvku je o 3, k prvku 3 je o a k prvku aký prvok neexisuje.) f je eda funkcia. Defininý obor funkcie je u množina A = {,, 3}. Keby sme chceli funkciu v omo príklade inerpreova pomocou priradenia f, ak ako sme o zaviedli v definícii, bolo by o ako: Pre x = je f(x) = 4, pre x = je f(x) = 3 a pre x = 3 je f(x) =. POZNÁMKA 3. V súhlase s definíciou ' vychádza pre rovnos dvoch funkcií prirodzená podmienka (nevyhnuná a posaujúca): Dve funkcie f, g sa rovnajú vedy a len vedy, ak sa rovnajú ich defininé obory a ak pre každé x z defininého oboru je f (x) = g(x). Ak iae osáva pri definícii môže úo nevyhnunú a posaujúcu podmienku chápa ako definíciu dvoch funkcií. V definícii funkcie môže by defininý obor i obor hodnô akoukovek množinou. Vemi dôležiým ypom funkcie, korým sa budeme v ýcho skripách zaobera najasejšie, je reálna funkcia reálnej premennej. Definícia. Nech f je aká funkcia, korej oborom hodnô je nejaká množina reálnych ísel. Poom f sa nazýva reálnou funkciou. Ak je aj defininý obor aj obor hodnô funkcie f podmnožina reálnych ísel, hovoríme o reálnej funkcii reálnej premennej. POZNÁMKA 4. Výhodne je znázorova reálne funkcie reálnej premennej pomocou grafov v súradnicovej súsave v rovine. Používame u obvyklý sysém dvoch na seba kolmých orienovaných priamok x, y preínajúcich sa v poiaku O a znázornenie usporiadanej dvojice [x, y] reálnych ísel ak, ako je o naznaené na obr. 3. Priom používame dohodnué zobrazenie reálnych ísel na íselnej osi. Namieso názvu usporiadaná dvojica reálnych ísel používame aso názov bod (v rovine). Obr. 3 Pri znázorovaní funkcie posupujeme ak, že znázorníme body [x, f (x)], pre všeky x z defininého oboru. Tak napr. graf funkcie z príkladu je znázornený roma bodmi (obr. 4). 6
3 Obr. 4 POZNÁMKA 5. Skuonos, že pri definícii funkcie, prvku x z defininého oboru je priradený jediný prvok y, sa na grafe prejaví ak, že priamka rovnobežná s osou y neprene graf v dvoch rôznych bodoch. Teda o, o je na obr. 5 nemôže by grafom funkcie. Naproi omu obr. 6 spa našu predsavu o grafe. Obr. 5 Obr. 6 7
4 Príklad 4. Na vzah y = x (obr. 7) sa môžeme díva ako na funkciu s defininým oborom (, ), priom každému x priradíme hodnou x. Preože z analyickej geomerie vieme, že ide o priamku, saí nám zobrazi dva body. Napr. pre x = 0 dosaneme y = 0, eda bod [0, 0] a pre x =, y =, eda bod [, ] a nimi preložíme priamku. Dosaneme graf funkcie. Obr. 7 iaeovi je ise zrejmé, že graf funkcie sa nedá vždy ak jednoducho nakresli. Pri komplikovaných závislosiach budeme porebova veké množsvo bodov, koré sú na grafe a len ak si budeme môc (aj o nie vždy) uvori akýsi obraz o ej funkcii. Na o však exisujú v maemaickej analýze meódy, aby en obraz bol o najvernejší. O nich bude eše v ýcho skripách re. Treba sa zasavi eše pri pojme graf, korý sme u presne nedefinovali. Chápeme ho ako: Definícia 3. Grafom funkcie f definovanej na množine A rozumieme množinu všekých usporiadaných dvojíc [x, f(x)], kde x A. POZNÁMKA 6. Všimnime si, že prísup v definícii ' spoíva v om, že funkciu soožuje s jej grafom. POZNÁMKA 7. Kreslenie grafov je vemi dobrou názornou pomôckou. aso slúži ako moivácia i pre dôkazy. Nemôže však nahradi dôkaz. Treba si uvedomi, že graf mnohých funkcií nemôžeme nakresli. Takou nepríjemnou funkciou na kreslenie grafu je napr. funkcia, ak x je racionálne f ( x) = 0, ak x je iracionálne (Táo funkcia sa nazýva Dirichleova.) POZNÁMKA 8. Uvedieme eše jednu pripomienku k defininému oboru funkcií. aso sa sane, že funkcie zadávame nejakým vzahom a neudáme ich defininý obor. V akom prípade rozumieme pod defininým oborom množinu všekých ých prvkov, pre koré má daný vzah zmysel. Napríklad, ak uvažujeme reálnu funkciu reálnej premennej danú vzahom f ( x) = chápeme o ak, že jej x defininý obor sú všeky x, pre koré x a súasne 0, eda x >. x POZNÁMKA 9. aso oznaujeme funkciu ako f(x). Presne povedané, mali by sme ju oznaova len ako f, preože f(x) je hodnoa v bode x. Táo malá nedôslednos sa však aso oleruje, preože pri prvom oznaení sa zvýrazuje znak, akým oznaujeme nezávislé premenné. Chápe sa o ak, že x prebieha cez defininý obor. aso používanými ypmi funkcií sú funkcie, koré sú definované na množine N všekých prirodzených ísel. 8
5 Definícia 4. Funkciu f, korej defininým oborom je množina N všekých prirodzených ísel, nazývame posupnosou. Príklad 5. Priradíme každému prirodzenému íslu n íslo n. Dosaneme funkciu f definovanú na N ak, že f ( n) =. n V prípade posupnosi obyajne nepoužívame oznaenie f(n) pre hodnou v prirodzenom ísle n. Namieso f(n) obvykle píšeme a n. Prvok a n nazývame n-ým lenom posupnosi. Príslušnú posupnos oznaujeme poom znakom {a n } n=. Príklad 6. Na oznaenie posupnosi z príkladu 5. používame zápis. Iným príkladom posupnosi je posupnos definovaná ako: a n = l, ak n je párne, a n =, ak n je nepárne. Sruný zápis pre nn= akúo posupnos je {( ) n } n=. Jej oborom hodnô je množina {, }. Obor hodnô posupnosi {a n } n= aso nazývame množinou jej hodnô. aso sa používa konšrukcia indukciou. Spoíva v omo. Udáme prvý len a posupnosi. Poom ukážeme, že na základe skonšruovaných a, a,, a n lenov pre ubovoné n môžeme skonšruova len a n+. Tým považujeme posupnos za skonšruovanú. Cvienie. Nech f : R R je definovaná ako: f(x) = x + x. Nakreslie jej graf.. Každej neprázdnej podmnožine množiny N prirae jej prvý prvok; o je defininým oborom a o oborom hodnô ako získanej funkcie? 3. Je funkcia z cvienia reálna funkcia reálnej premennej? 4. Aké sú defininé obory nasledujúcich funkcií: y = 3 3x x, y =, x y = x, 5x + 6 x y = + x x 5. Pre funkciu f ( x) = nájdie f(x ), f. x + 3 x 6. Nakreslie graf funkcie y = [x]. o je oborom hodnô ejo funkcie? 7. Ku každému reálnemu íslu x prirame íslo min{(x n), (n + x)}, kde n je o celé íslo, pre koré n x < n +. Také íslo nazývame zlomkovou asou ísla x. Nakreslie graf príslušnej funkcie. OBRAZY A VZORY MNOŽÍN. TYPY ZOBRAZENÍ Predpokladajme, že je dané zobrazenie (funkcia) definované na množine A. Nech. hodnoy oho zobrazenia sú z množiny B. Ak zvolíme nejakú množinu E A, aso nás zaujíma množina všekých ých prvkov y, koré sú varu y = f(x), kde x E. Príklad. Nech f je funkcia definovaná na (, ) ako: f(x) = x. Zvome za E inerval,. Vidíme, že množina ých f(x), pre koré x, je inerval 0,. (Takú isú množinu by sme dosali aj vedy, keby sme za E zobrali napr., alebo 0,, prípadne celý rad iných množín.) Definícia. Nech f je funkcia definovaná na množine A nadobúdajúca hodnoy v množine B. Poom znakom f [E] oznaujeme množinu všekých ých prvkov f(x), pre koré x E a nazývame ju obrazom množiny E pri zobrazení f. 9
6 POZNÁMKA. Množinu f [E] môžeme srunejšie definova ako: f [E] = {y : (y = f(x)) (x E)} Analogicky, ak máme zobrazenie f : A B a množinu F B, môžeme sa zaujíma o množinu všekých ých x A, pre koré f(x) F. Príklad. Ak f je funkcia z príkladu a F = 0,, poom množina všekých ých x, pre koré f(x) 0, je inerval,. Definícia. Nech A, B sú množiny a f : A B zobrazenie. Nech F B. Poom znakom f [F] budeme oznaova množinu všekých x A, pre koré f(x) F a budeme ju nazýva vzorom množiny F pri zobrazení f. POZNÁMKA. Množinu f [F] môžeme jednoducho definova ako: f [F] = {x : (x A) (y F) (y = f(x))} Niekoko jednoduchých pravidiel pre narábanie s obrazmi a vzormi množín aso zjednoduší mnohé úvahy. Takéo pravidlá uvedieme v nasledujúcej vee. Vea. Nech je daná funkcia f : A B. Plaia nasledujúce vrdenia pre množiny A, A A a množiny B, B B: a) A A f [A ] f [A ], b) B B f [B ] f [B ], c) f [A A ] = f [A ] f [A ], d) f [B B ] = f [B ] f [B ], e) f [A A ] f [A ] f [A ], D ô k a z. Dokážeme a). (Osané vzahy si dokáže ako cvienie.) Nech y f [A ]. Máme eda y = f(x), kde x A. Poom však x A, preože A A. Teda y = f(x), kde x A, o znamená, že y f [A ]. Teda pre každé y f [A ] je y f [A ]. Vzah f [A ] f [A ] je dokázaný. V špeciálnom prípade, ak máme funkciu f : A B, môže sa sa, že f [A] = B. Príklad 3. Funkciu f(x) = x definovanú na (, ) môžeme chápa ako zobrazenie definované na A = (, ) s hodnoami v B = (, ). V omo prípade nie je f [A] = B, preože je f [A] = 0, ). Zrejme však je f [A] = C, kde C = 0, ). Definícia 3. Nech f : A B, je zobrazenie definované na množine A s hodnoami v množine B. Hovoríme, že f je zobrazením do množiny B. V špeciálnom prípade, ak f [A] = B hovoríme, že f je zobrazením na množinu B alebo, že f je surjekívnym zobrazením. Pri zobrazení f : A B vždy k danému x A je priradené jediné y = f(x). Môže sa však sa, že pre dve rôzne x x je f(x ) = f(x ) (pozri príklad ). aso sa zaujímame o aké zobrazenia, pri korých aký prípad nemôže nasa. Definícia 4. Zobrazenie f : A B nazývame prosým alebo injekívnym, ak pre každé x, x A, x x plaí f(x ) f(x ). x, x A ( x x ) f ( x ) f ( x ) Príklad 4. Nech f : (, ) (, ) je definované ako: f(x) = x + 3. Je o injekívne zobrazenie, preože pre x x je x x a eda x + 3 x + 3. Definícia 5. Zobrazenie f : A B, koré je injekívne a surjekívne, nazývame bijekívnym. Príklad 5. Zobrazenie z príkladu 4 je príkladom bijakívneho zobrazenia f : A B, kde A = (, ), B = (, ). (Overe si o!) 30
7 Uvedieme eraz niekoko dôležiých množín reálnych funkcií reálnej premennej, korých prvky sú injekívnymi, prípadne bijekívnymi zobrazeniami. Definícia 6. Nech A (, ). Reálnu funkciu f : A R budeme nazýva rasúcou (klesajúcou) na množine A, ak pre každé x, x A aké, že x < x plaí f(x ) < f(x ) (f(x ) > f(x )); ak plaí len f(x ) f(x ) (f(x ) f(x )), hovoríme o neklesajúcej (nerasúcej) funkcii na množine A. Rasúce, klesajúce, nerasúce a neklesajúce funkcie nazývame monoónnymi. Funkcie rasúce a klesajúce nazývame rýdzomonoónnymi. Príklad 6. Všimnie si, že funkcia z príkladu 4 je rasúca, Funkcia f(x) = x z príkladu rasúca nie je. Saí zobra x = l, x = 0 a vidíme, že f(x ) > f(x ), Pozor! Tá funkcia nie je ani klesajúca, preože ak zoberieme x = 0, x =, máme f(x ) = 0 < = f(x ). Teraz dokážeme súbený výsledok, Vea. Každá rýdzomonoónna funkcia f : A B je prosá. Urobme dôkaz pre rasúcu funkciu. D ô k a z. Nech x, x A, x x. Poom bu x < x alebo x < x. V prvom prípade je f(x ) < f(x ), v druhom f(x ) > f(x ). Teda f(x ) f(x ). POZNÁMKA 3. Sojí za povšimnuie, že prosá funkcia nemusí by rýdzomonoónna. (Všimnie si reálnu funkciu f ( x) = definovanú na R {0} (Obr. 8). x Obr. 8 POZNÁMKA 4. Pojem monoónnej funkcie sa prirodzeným spôsobom prenáša i na posupnosi. Tak napríklad posupnos {a n } n=, je rasúca, ak pre každé n N je a n < a n+. Prirodzeným spôsobom sa na posupnosi prenáša aj pojem prosej posupnosi. 3
8 Cvienia. Ukáže na príklade, že rovnos f [f [E]] = E vo všeobecnosi neplaí.. Pre funkciu f(x) = x nájdie f [, 4]. 3. Ukáže, že nemusí plai f[a A ] = f[a ] f[a ]. 4. Dokáže, že vždy plaí f [B B ] = f [B ] f [B ]. 5. Nech f(x) = x. Nájdie f [, 3]. 6. Ukáže, že pre prosé zobrazenie plaí f [f [E]] = E. 7. Udaje príklad funkcie definovanej na N ak, aby plailo f [N] = {0,,, }. 8. V cviení 7. zosroje f ak, aby a) bola prosá b) nebola prosá c) bola prosá, ale nie monoónna. 3 INVERZNÉ ZOBRAZENIE A ZLOŽENÉ ZOBRAZENIE Uvažujme o zobrazení f : A B. Nech je o surjekcia, eda nech f [A] = B. Ak zoberieme y B a uvoríme jednobodovú množinu {y}, ak vzor f [{y}] ejo množiny nemusí by jednobodová množina. Saí zobra známy príklad f : (, ) 0, ), kde f (x) = x (obr. 9). Obr. 9 V omo prípade, ak zoberieme y =, dosaneme f [{y}] = {, } Takáo siuácia nemôže nasa, ak f : A B je bijekívne zobrazenie. V omo prípade je oiž pre každé y B množina f [{y}] jednoprvková. Skuone, keby á množina obsahovala prvky x, x, x x muselo by plai poda definície f (x ) = f (x ) = y, a o nie je možné, preože f je prosé zobrazenie. To však znamená, že v prípade bijekívneho zobrazenia f : A B môžeme ku každému y B priradi aké x A, že f (x) = y. Teraz sformulujeme naše úvahy. Definícia. Nech f : A B je bijekcia. Poom funkciu f : B A definovanú ak, že f (y) je (jediný!) prvok x množiny f [{y}], nazývame inverznou funkciou k funkcii f. Všimnie si, že f (y) je jediný aký prvok x A, pre korý f (x) = y. 3
9 POZNÁMKA. Preože obvykle oznaujeme nezávislé premenné znakom x a závislé premenné znakom y, aj v prípade inverznej funkcie, budeme písa y = f (x) namieso x = f (y). Príklad. Nech f : R R je definovaná ako y = x + 3. Je o bijekcia a inverzná funkcia f (y) : R R má var x = y 3. Poda dohody urobenej v predchádzajúcej poznámke píšeme y = x 3. Z definície inverznej funkcie ahko vyplýva nasledujúce vrdenie. Vea. Nech je f : A B bijekcia. Nech f je k nej inverzná funkcia. Poom plaí: a) f je prosá funkcia f [B] = A, b) f (x) = f(x) pre každé x A, c) f [f(x)] = x pre každé x A, d) f[f (y)] = y pre každé y B. Pre reálne funkcie reálnej premennej sa v súvislosi s inverznou funkciou aso používa oo vrdenie. Vea. Ak f : M R je rasúca (klesajúca) funkcia s oborom hodnô M' = f[m], Poom k nej inverzná funkcia f je rasúca (klesajúca). D ô k a z. Dokážeme veu pre rasúcu funkciu. Nech y < y sú ubovoné ísla z M'. Nech x = f (y ) x = f (y ). Preože f je prosá, je x x. Nakoko f (x ) = y, f (x ) = y a f je rasúca, môže by len x < x. Teda f (y ) < f (y ). Teraz prejdeme k pojmu zloženého zobrazenia. Príklad. Nech g : (, ) 0, ) je zobrazenie definované ako: g(x) = x +. Nech f : 0, ) 0, ) je definované ak, že f(u) = u. Pomocou ýcho zobrazení možno urobi nové zobrazenie h : (, ) 0, ) ako: Najprv íslu x priradíme íslo u = g(x) = x +. Poom íslu u priradíme f(u) = u. Teda íslu x sme vlasne priradili h(x) = x +. Teda h(x) = f [g(x)]. Takýo spôsob vorenia novej funkcie pomocou dvoch daných funkcií je bežný. Pravdaže, aby sme ho mohli realizova, obor hodnô funkcie g musí isým spôsobom súvisie s defininým oborom funkcie f. Schemaicky je o narnué na obr. 0. Obr. 0 33
10 Upresníme o v nasledujúcej definícii. Definícia. Nech f : A B, g : C D sú dve zobrazenia. Nech D A. Poom zobrazenie h : C D definované ak, že pre každé x C je h(x) = f [g(x)] nazývame zloženým zobrazením uvoreným pomocou zobrazenia f a g. Zobrazenie g voláme vnúornou a f vonkajšou zložkou zloženého zobrazenia h. Vea 3. Nech f : A B, g : C A sú bijekcie. Poom zložené zobrazenie h : C B, kde h(x) = f [g(x)] pre x C je bijekcia. Dôkaz h[c] = f [g[c]] = f [A] = B, eda h : C B je surjekívne zobrazenie. Saí už len dokáza, že je prosé. Ak x, x C, x x máme g(x ) g(x ), preože g je prosé a eda h(x ) = f [g(x )] f [g(x )] = = h(x ) preože f je prosé. Z posledného vzahu je vidie, že h(x ) h(x ). Cvienie. Je zložená funkcia z dvoch rasúcich funkcií rasúca?. Je možné uvori zloženú funkciu ak, aby bola rasúca, ale niekoré z jej zložiek neboli rasúce? 3. Nájdie vnúorné a vonkajšie zložky, z korých možno dosa nasledujúce zložené funkcie a) y = x 3, b) y = x x + 3. Urie defininé obory a obory hodnô ých zložiek. 4. Nech h(x) = f [g(x)], kde f, g sú prosé funkcie. Nech f, ḡ sú k nim inverzné funkcie. Dá sa vyjadri inverzná funkcia h k funkcii h pomocou f a ḡ? Exisuje vôbec h? 5. Ak M (, ) je aká množina, že pre každé x M je aj x M, možno zavies pojem párnej a nepárnej funkcie ako: Funkciu f definovanú na M nazývame párnou (nepárnou), ak pre každé x M plaí f(x) = f( x) (f(x) = f( x)). a) Koré z nasledujúcich funkcií sú párne a koré nepárne: α) f(x) = x, β) f(x) = x n (n N), γ) f(x) = (n N). n x b) o môžeme poveda o grafe párnej (nepárnej) funkcie? c) Dokáže, že každú funkciu f(x) definovanú na inervale ( a, a) môžeme vyjadri ako súe párnej a nepárnej funkcie. 4 IARY DANÉ PARAMETRICKY 34 Zaneme známou fyzikálnou úvahou, korú uvedieme v nasledujúcom príklade. Príklad. Treba opísa pohyb hmoného bodu v rovine v asovom rozmedzí α a β. Úvahu možno vykona ako: Pre každý asový okamih, kde α β sú súradnice [x, y] bodu, v korom sa daný hmoný bod nachádza, závislé od a pre dané sú jednoznane urené usporiadanou dvojicou [ϕ(), ψ()]. Inými slovami pohyb daného hmoného bodu je urený dvojicou funkcií. Sú o funkcie x = ϕ(), y = ψ() definované na inervale α, β. Nezaškodí si uvedomi pri predchádzajúcom príklade úo vec. Pohyb hmoného bodu môže prebieha napríklad ak, ako je o znázornené na obrázku. Preo o zdôrazujeme? Robíme o preo, aby sme si ujasnili, že dvojica funkcií ϕ, ψ môže dáva iaru, korú vo všeobecnosi nemôžeme považova za graf nejakej funkcie f(x) definovanej na nejakom inervale [a, b] alebo na nejakej množine M (, ). Skuone o nie je možné, preože jednému x z ej množiny by museli by priradené niekedy dve hodnoy f(x). Siuácia by mohla by i znane komplikovanejšia, ako je na obr..
11 35 Obr. Definícia. Nech α, β je inerval a nech ϕ(), ψ() sú dve funkcie definované na α, β. Poom množinu všekých bodov [ϕ(), ψ()], kde α, β nazývame iarou alebo krivkou danou paramericky. Píšeme x = ϕ(), y = ψ() a hovoríme o paramerickom vyjadrení ej iary (krivky). Príklad. Nech α, β = 0,. Definujeme funkcie ϕ, ψ ako: < + = = 0 x pre pre ) ( ϕ < = = 3 0 y pre pre ) ( ψ Jednoduchým výpoom zisíme, že množina bodov [x, y], kde x = ϕ(), y = ψ() pre 0, dáva iaru znázornenú na obrázku. Obr.
12 Vidíme, že áo iara nie je grafom funkcie y = f(x), hoci funkcie ϕ, ψ boli pomerne jednoduché. Ak ϕ, ψ sú komplikované funkcie, môže iara nimi daná by vemi komplikovaná a nemusí sa na iaru vôbec podoba. Preo sa obyajne pri paramerickom vyjadrení dávajú na funkcie ϕ, ψ alšie predpoklady. S akými predpokladmi sa neskôr sreneme. Veké množsvo v maemaika i v praxi používaných kriviek býva zadané paramericky. Na dosaoné množsvo príkladov akéhoo druhu je porebné pozna dosaoné množsvo funkcií. Tým my zaia neoplývame. Na ilusráciu uvedieme v nasledujúcich dvoch príkladoch dve krivky dané paramericky. Použijeme u goniomerické funkcie, aj ke sme o nich eše nehovorili. V ichosi budeme v ýcho dvoch príkladoch používa sredoškolské vedomosi. Príklad 3. Uvažujme kružnicu s polomerom r > 0,. j. množinu všekých ých bodov [x, y] v rovine, pre koré plaí x + y = r. ahko zisíme (obr. 3), že x = r cos, y = r sin, kde 0, π. Obr. 3 Príklad 4. Nech a > 0, b > 0 sú reálne ísla. Uvažujeme množinu všekých ých bodov [x, y] v rovine, pre koré x = a cos, y = b sin, kde 0, π. Vidíme, že x a y + = cos + sin = b Uvedená množina bodov predsavuje eda dobre známu elipsu. Znovu pripomenieme, že ani krivku v príklade 3, ani krivku v príklade 4 nemôžeme vyjadri v vare y = f(x), kde f je funkcia definovaná na M (, ). Za isých predpokladov je však možné paramericky danú krivku vyjadri v vare y = f(x). Ukazuje o nasledujúca vea. Vea. Nech x = ϕ(), y = ψ() a, b je paramerický daná iara. Nech ϕ je prosá funkcia na a, b. poom exisuje funkcia f definovaná na M (, ), že množina bodov [x, y] = [ϕ(), ψ()] je grafom funkcie f. D ô k a z. Keže ϕ je prosá funkcia, exisuje inverzná funkcia = ϕ (x). Zložená funkcia f(x) = ϕ (x)] je hadanou funkciou f. POZNÁMKA. Funkciu y = f(x) urenú funkciami x = ϕ(), y = ψ(), ak aká exisuje, nazývame srune funkciou danou paramericky. POZNÁMKA. Je dobré si uvedomi, že funkciu y = f(x) definovanú na a, b môžeme považova za vyjadrenú paramericky. Saí položi x =, y = f(). 36
13 Cvienie. o je množina M, o korej sa hovorí vo vee?. Nájdie funkcie f(x), koré sú urené paramericky ako: a) x = ( ) y =, kde (, ) b) x = a cos, y = b sin, kde 0, π 3. Ukáže, že krivka daná paramericky v príklade sa dá vyjadri v vare x = g(y), kde y je vhodná funkcia definovaná na nejakom inervale. 4. Vyslove a dokáže veu analogickú vee s ým rozdielom, že sa v nej bude hovori o vyjadrení v vare x = g(y), kde g je vhodná funkcia. 5. Vymyslie aký príklad paramerického vyjadrenia krivky, aby ju nejaká priamka rovnobežná s osou y preínala vo viac ako dvoch bodoch. 5 POSTUPNOSTI A SPOÍTATENÉ MNOŽINY Popri mnohých aplikáciách pojmu posupnosi v maemaickej analýze je významný i jeho súvis so spoíaenými množinami. Niekoré výsledky o spoíaených množinách uvedieme v omo odseku. Popri posupnosiach, o sú ako vieme funkcie definované na N, budeme u hovori i o konených posupnosiach. Definícia. Nech n je prirodzené íslo. Konenou posupnosou (n-prvkovou posupnosou) nazývame funkciu f definovanú na množine {,, 3,, n}. Tak ako pri posupnosiach (nekonených) budeme namieso f(), f(),, f(n) písa a, a,, a n. Srune budeme oznaova n-prvkovú posupnos{a i } n i=. Príklad. Nech je daná množina A = {a, b, c}. Môžeme uvori konenú rojprvkovú posupnos ak, aby jej obor hodnô sa zhodoval a množinou A. Saí položi napr. a = a, a = b, a 3 = c. Úvaha z príkladu l nás vedie k možnosi zavies pojem konenej množiny a o ako: Definícia '. Množinu A budeme nazýva konenou, ak je bu prázdna, alebo je oborom hodnô nejakej konenej posupnosi. Množinu budeme nazýva nekonenou, ak nie je konená. V súvislosi s definíciou ' nás môže napadnú, i sa každá nekonená množina nedá zoradi do (nekonenej) posupnosi. Uvidíme, že o ak nie je. Jednako však majú veký význam aké nekonené množiny, koré sa ak zoradi dajú. Definícia. Budeme hovori, že množina A je nekonená spoíaená množina, ak je oborom hodnô nejakej prosej posupnosi. (Inými slovami A je nekonená spoíaená množina, ak exisuje bijekcia f : N A). Množinu nazývame kráko spoíaenou, ak je konená alebo ak je nekonene spoíaená. Príklad. a) Množina N je spoíaená, b) Množina {, 4, 6, } je spoíaená. Spoíaenos množiny N je zrejmá. Za bijekciu možno robi zobrazenie f(n) = n. Aj v prípade b) sa príslušná bijekcia ahko nájde. Saí zobra f(n) = n, eda uvori posupnos {n} n=. POZNÁMKA. Je zrejmé, že aj konené (n-prvkové) množiny možno nepísa v vare nekonenej posupnosi. Pravdaže á posupnos nebude prosá. Príklad 3. Ak A = {a, b} môžeme uvori posupnos {a n } n= ak, že položíme a n = a pre n nepárne a a n = b pre n párne. Množina hodnô posupnosi sa bude zhodova s množinou A. 37
14 POZNÁMKA. Úvahu z príkladu 3 možno aplikova na ubovonú konenú množinu. (Urobe o!) Vea. Množina A Ø je spoíaená vedy a len vedy, ak je oborom hodnô nejakej posupnosi {a n } n=. D ô k a z. Nech A je spoíaená. Poom je konená alebo nekonená. Ak je nekonená, je poda definície množinou hodnô dokonca prosej posupnosi, a eda nie o dokazova. Ak je konená, ak (pozri poznámku ) môžeme ju iež napísa ako množinu hodnô nejakej posupnosi. Obráene, nech A je množinou hodnô posupnosi {a n } n=. Ak A je konená, je spoíaená, a eda nie o dokazova. Ak A nie je konená, reba zosroji akú prosú posupnos {b n } n=, že jej množina hodnô sa zhoduje s množinou hodnô posupnosi {a n } n=, eda s množinou A. To sa urobí jednoduchou konšrukciou pomocou indukcie, korú u uvedieme. Položme b = a. alší krok indukcie bude akýo. Predpokladáme, že už sú skonšruované b, b,, b n, kde b i b j pre i j, i, j =,,, n a priom každé b j je niekorý z lenov posupnosi {a n } n=. Prvok b n+ zvolíme ako: Bude o aký prvok a k z posupnosi {a n } n= že ak a k b i pre i =,,, n a priom k bude najmenší aký index, pre korý nerovnosi a k b i, i =,,, n sú splnené. Tým je konšrukcia vykonaná. Nie je ažké ukáza, že exisujú množiny, koré nie sú spoíaené. Ukážeme, že akou množinou je aj množina R všekých reálnych ísel. Dokážeme, že dokonca inerval 0, je nespoíaená množina. Tým skôr (pozri cvienie ) je nespoíaená množina R. Na dôkaz budeme porebova dôležiú vlasnos množiny reálnych ísel zv. princíp do seba zapadajúcich inervalov. Vea. Nech {a n, b n } n= je aká posupnos uzavreých inervalov, že a n, b n a n+, b n+ pre n =,, Poom exisuje aké reálne íslo x, že x a n, b n pre n =,, D ô k a z. Nech A = {a n : n =,, } resp. B = {b n : n =,, } sú množiny, korých prvky sú avé, resp. pravé koncové body inervalov a n, b n. Preože a n, b n a, b pre n =,, sú množiny A, B ohraniené. Exisuje eda sup A = a a inf B = b. Zrejme plaí a b (dokáže o podrobne). Ak x je ubovoný aký prvok, že a x b, ak máme pre n =,, a n a x b b n, eda x a n, b n pre n =,,, o bolo reba dokáza. Vea 3. Inerval 0, je nespoíaená množina. D ô k a z. Nepriamo. Nech 0, je spoíaenou množinou. Poom exisuje posupnos {c n } n= ak, že 0, je množinou hodnô ej posupnosi. Rozdelíme inerval 0, na inervaly 0, 3, 3, 3, 3,. Zoberieme prvok c. Teno prvok neparí aspo do jedného z uvedených inervalov. Ten inerval oznaíme a, b. Rozdelíme eraz inerval a, b na ri inervaly a, a b a +, a b a +, 3 3 b a a b +, a a +, b. Zoberieme prvok c. Ten neparí aspo do jedného z posledných 3 3 roch inervalov. Ten inerval oznaíme a, b. Zrejme je a, b a, b. Tako skonšruujeme indukciou celú posupnos do seba zapadajúcich inervalov. Prvé dva sme už skonšruovali. Predpokladajme, že už sú skonšruované a, b a, b a n, b n ak, že c i a i, b i pre i =,,, n. Rozdeme eraz inerval a n, b n známym spôsobom na ri uzavreé inervaly a en z nich, do korého nepadne íslo c n+ oznaíme a n+, b n+. Tako je eda konšrukciou indukciou zaruené, že exisuje posupnos {a n, b n } n= do seba zapadajúcich inervalov, priom c n a n, b n n =,, Poda vey exisuje eda x 0, ak, že x a n, b n pre n =,, Keže x 0, a poda predpokladu je 0, oborom hodnô posupnosi {c n } n= plaí x = c n0 pre nejaké n 0. Na druhej srane však c n0 a n0, b n0 a o je spor s ým, že x a n, b n pre každé n. DÔSLEDOK. Množina R ja nespoíaená. V súvislosi s nespoíaenosou množiny R vzniká oázka, ako je o s nespoíaenosou množiny Q všekých racionálnych ísel. Dá sa ukáza (pozri cvienie 5), že áo množina je spoíaená. 38
15 Zakoníme eno odsek poznámkou o syséme množín. V omo odseku sme oiž so sysémom množín pracovali. Boli o sysémy inervalov. Išlo o špeciálny sysém inervalov {a n, b n : n =,, 3, }. Je však celkom dobre mysliené, že exisujú aj nespoíaené sysémy množín. Príklad 4. Ku každému x R priradíme ovorený inerval (x, x + ). Oznaíme aký inerval A x. Sysém všekých akých inervalov A x je vlasne sysém množín {A x : x R}. Teno sysém je nespo- íaený. Dokážeme o ahko. Uvedomme si, že funkcia f, korá každému x R prirauje inerval A x = (x, x + ) je bijekcia definovaná na R a oborom hodnô {A x : x R}. (Overe si o podrobne.) Z oho už ahko vyplýva, že {A x : x R}nemôže by spoíaený sysém (preo?). Vo všeobecnosi môžeme ma eda konené, spoíaené i nespoíaené sysémy množín. Konené sysémy môžeme napísa v vare A, A,, A n. Na nekonene spoíaený sysém množín sa môžeme díva ak, že jeho prvky sú lenmi nejakej posupnosi A, A,, A n,. Všeobecný prípad dosaneme ak, že indexy berieme z nejakej (ubovonej) danej množiny T. Prichádzame ak k pojmu indexovaný sysém množín. Definícia 3. Nech T je ubovoná (zv. indexová) množina. Nech f je funkcia, korá každému T priradí A. Poom hovoríme, že sysém {A : T} je indexovaný sysém množín. Namieso {A : T} píšeme niekedy {A } ( T). Prirodzeným spôsobom môžeme zavies zjednoenie, resp. prienik indexovaného sysému množín. Definícia 4. Nech {A } ( T) je indexovaný sysém množín. Množinu A nazývame zjednoením oho sysému a píšeme A =, ak je o množina všekých akých prvkov x, koré paria aspo do jednej množiny A, kde T. T A POZNÁMKA. Množina T A je eda definovaná ako: x T A ( T x A ) POZNÁMKA 3. Ak T = {,, }, píšeme A = A i namieso A = A. Ak T = {,,, n}, i= T píšeme A = n A i i= Definícia 5. Nech {A } ( T) je indexovaný sysém množín. Množinu A nazývame prienikom oho sysému a oznaujeme A =, ak je o množina všekých ých x, koré paria do každej množiny oho sysému. T A POZNÁMKA 4. Prienik indexovaného sysému množín je eda zavedený ako: x T A x A ) ( T POZNÁMKA 5. Pri T = {,, }, píšeme A = A n a ak T = {,,, n}, píšeme n A = A i. n= i= POZNÁMKA 6. Zjednoenie a prienik možno zavies pre ubovoný, nielen pre indexovaný sysém množín. 39
16 Cvienie. Ukáže, že ak A je spoíaená (nespoíaená) množina a f : A B je bijekcia, ak aj f [A] je spoíaená (nespoíaená) množina.. Ak A je spoíaená množina a B A, dokáže, že aj B je spoíaená množina. 3. Nech A, B sú spoíaené množiny. Ukáže, že A B je spoíaená množina. Návod: A je množinou hodnô posupnosi {a n } n=, B zase množinou hodnô posupnosi {b n } n= uvorme nasledujúcu abuku usporiadaných dvojíc. [a, b ], [a, b ], [a, b 3 ], [a, b ], [a, b ], [a, b 3 ], [a 3, b ], [a 3, b ], [a 3, b 3 ], [a n, b ], [a n, b ], [a n, b 3 ], Prvky danej abuky možno zaradi do posupnosi ak, ako o ukazujú šípky. Posup je aký, že najprv zoberieme dvojice, u korých súe indexov je, poom ie, u korých je súe indexov 3, a. 4. Množina Z všekých celých ísel je spoíaená. 5. Množina Q všekých racionálnych ísel je spoíaená. Návod: p Prirae racionálnemu íslu r = dvojicu [p, q]. q 6. ubovoný aký sysém inervalov {I } ( T) na íselnej osi, pre korý plaí I I = Ø, ak je spoíaený. 40
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραMatematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότερα9 Neurčitý integrál. 9.1 Primitívna funkcia a neurčitý integrál. sa nazýva primitívnou funkciou k funkcii f ( x) každé x ( a,
Hí, P Pokorný, M: Maemaika pre informaikov a prírodné vedy 9 Neurčiý inegrál 9 Primiívna funkia a neurčiý inegrál Funkia F sa nazýva primiívnou funkiou k funkii f na inervale ( b) každé ( a, b) plaí F
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότερα4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti
Reálna unkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Táto kapitola je venovaná štúdiu reálnej unkcie jednej reálnej premennej. Pojem unkcie patrí medzi základné pojmy v matematike. Je to vlastne matematický
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραTECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA 1. Funkcia jednej premennej a jej diferenciálny počet
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA časťa Funkcia jednej premennej a jej diferenciáln počet Dušan Knežo, Miriam Andrejiová, Zuzana Kimáková 200 RECENZOVALI: prof. RNDr. Jozef
Διαβάστε περισσότεραNUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný Táto publikácia vznikla za finančnej podpory
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότεραReálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραXVIII. ročník BRKOS 2011/2012. Pomocný text. Kde by bola matematika bez čísel? Čísla predstavujú jednu z prvých abstrakcií, ktorú
Pomocný text Číselné obory Číselné obory Kde by bola matematika bez čísel? Čísla predstavujú jednu z prvých abstrakcií, ktorú ľudia začali vnímať. Abstrakcia spočívala v tom, že množstvo, ktoré sa snažili
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραPrirodzené čísla. Kardinálne čísla
Prirodzené čísla Doteraz sme sa vždy uspokojili s tým, že sme pod množinou prirodzených čísel rozumeli množinu N = { 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10,11,12, } Túto množinu sme chápali intuitívne a presne sme ju
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότερα7. Dokážte, že z každej nekonečnej množiny môžeme vydeliť spočítateľnú podmnožinu.
Teória množín To, že medzi množinami A, B existuje bijektívne zobrazenie, budeme symbolicky označovať A B alebo A B. Vtedy hovoríme, že množiny A, B sú ekvivalentné. Hovoríme tiež, že také množiny A, B
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότερα23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότερα5 DIFERENCIÁLNY POČET FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH
5 DIFERENCIÁLNY POČET FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH 5. Oák Dfinj pojm fnkcia prmnných. Dfinj pojm hladinoá krika. Dfinj pojm parciáa driácia. Dfinj pojm úpý difrnciál. Dfinj pojm loká maimm fnkci prmnných.
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότερα4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE. Funkcia základné pojmy. Graf funkcie
FUNKCIE Funkcia základné pojm. Graf funkcie V prai sa často stretávame so skúmaním závislosti veľkosti niektorých veličín od veľkosti iných veličín, napríklad dĺžka kružnice l závisí od jej priemeru d
Διαβάστε περισσότερα1-MAT-220 Algebra februára 2012
1-MAT-220 Algebra 1 12. februára 2012 Obsah 1 Grupy 3 1.1 Binárne operácie.................................. 3 1.2 Cayleyho veta.................................... 3 2 Faktorizácia 5 2.1 Relácie ekvivalencie
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραFakulta matematiky, fyziky a informatiky. Univerzita Komenského
OBYČAJNÉ DIFERENCIÁLNE ROVNICE 2ročník Fakula maemaiky, fyziky a informaiky Univerzia Komenského Conens I Obyčajné diferenciálne rovnice a sysémy obyčajných diferenciálnych rovníc 2 II Vey o exisencii,
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότεραMetódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/28 Motivácia k metódam vol nej optimalizácie APLIKÁCIE p. 2/28 II 1. PRÍKLAD: Lineárna regresia - metóda najmenších štvorcov Na základe dostupných
Διαβάστε περισσότεραLineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus
1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie Fourierove rady
Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICKÁ ANALÝZA 1
UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta Ústav matematických vied Božena Mihalíková, Ján Ohriska MATEMATICKÁ ANALÝZA Vysokoškolský učebný text Košice, 202 202 doc. RNDr. Božena
Διαβάστε περισσότεραJán Buša Štefan Schrötter
Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako
Διαβάστε περισσότερα,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,
Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť
Διαβάστε περισσότεραZhodné zobrazenia (izometria)
Zobrazenie A, B R R (zobrazenie v rovine) usporiadaná dvojica bodov dva body v danom poradí (záleží na poradí) zápis: [a; b] alebo (a; b) karteziánsky (kartézsky) súčin množín množina všetkých usporiadaných
Διαβάστε περισσότεραSpojitosť a limity trochu inak
Spojitosť a limity trochu inak Štefan Tkačik Abstrakt Spojitosť funkcie alebo oblastí je základným stavebným kameňom matematickej analýzy. Pochopenie jej podstaty uľahčí chápanie diferenciálneho a integrálneho
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότεραDeliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότεραMetodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 Elementárny kalkulus
Matematika Elementárny kalkulus Úvod Prehl ad. Tieto poznámky obsahujú podklady k prednáške Matematika na špecializácii Aplikovaná informatika: jedná sa o 2 dvojhodinových prednášok doplnených dvojhodinovými
Διαβάστε περισσότεραDESKRIPTÍVNA GEOMETRIA
EKRIÍN GEERI meódy zobrzovni priesorových úvrov do roviny (premieni) mericé polohové vzťhy priesorových úvrov riešené v rovine bsh predmeu G Zobrzovcie meódy: olohové mericé úlohy: ongeov projeci Rezy
Διαβάστε περισσότεραPlanárne a rovinné grafy
Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότεραHypotézy a intervaly spoľahlivosti stručná teória a vzorce
Hypoézy a inervaly spoľahlivosi srčná eória a vzorce Obsah Úvod Základný a výberový súbor... Overovanie hypoéz... 3 Posp pri overovaní hypoézy... 4 súbor: Tes o rozpyle σ : Porovnanie σ s číslom... 6 súbor:
Διαβάστε περισσότερα1.1 Zobrazenia a funkcie
1 Teória vypočítateľnosti poznámky z prednášky #1 1.1 Zobrazenia a funkcie Definícia. Čiastočné (totálne) zobrazenie trojice (A, B, f) pre ktoré platí: f A B Ku každému vstupu a A existuje najviac jeden
Διαβάστε περισσότεραDefinícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Διαβάστε περισσότεραPrednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák
Prednáška 6 6.1. Fourierove rady Základná myšlienka: Nech x Haφ 1,φ 2,...,φ n,... je ortonormálny systém v H, dá sa tento prvok rozvinút do radu x=c 1 φ 1 + c 2 φ 2 +...,c n φ n +...? Ako nájdeme c i,
Διαβάστε περισσότεραSymbolická logika. Stanislav Krajči. Prírodovedecká fakulta
Symbolická logika Stanislav Krajči Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice 2008 Názov diela: Symbolická logika Autor: Doc. RNDr. Stanislav Krajči, PhD. Vydala: c UPJŠ Košice, 2008 Recenzovali: Doc. RNDr. Miroslav
Διαβάστε περισσότεραKompilátory. Cvičenie 6: LLVM. Peter Kostolányi. 21. novembra 2017
Kompilátory Cvičenie 6: LLVM Peter Kostolányi 21. novembra 2017 LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov Pôvodne Low Level Virtual Machine
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I. Základy diferenciálneho počtu. Návody k cvičeniam pre odbory VSVH a STOP. Andrea Stupňanová, Alexandra Šipošová
MATEMATIKA I. Základy diferenciálneho počtu Návody k cvičeniam pre odbory VSVH a STOP Andrea Stupňanová, Alexandra Šipošová MATEMATIKA I. Základy diferenciálneho počtu Návody k cvičeniam pre odbory VSVH
Διαβάστε περισσότερα16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh
16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh Kružnica k so stredom S a polomerom r nazývame množinou všetkých bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu S konštantnú vzdialenosť /SX/ = r, kde r (patri)
Διαβάστε περισσότεραVektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich
Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:
Διαβάστε περισσότερα1. Komplexné čísla. Doteraz ste pracovali s číslami, ktoré pochádzali z nasledovných množín:
1. Komplexné čísla Po preštudovaní danej kapitoly by ste mali byť shopní: poznať použitie a význam komplexnýh čísel v elektrikýh obvodoh rozumieť pojmom reálna a imaginárna časť, imaginárna jednotka, veľkosť,
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραG. Monoszová, Analytická geometria 2 - Kapitola III
text obsahuje znenia viet, ktoré budeme dokazovat na prednáškach text je doplnený aj o množstvo poznámok, ich ciel om je dopomôct študentom k lepšiemu pochopeniu pojmov aj súvislostí medzi nimi text je
Διαβάστε περισσότερα2. prednáška. Teória množín I. množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin
2. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Verzia: 27. 9. 2009 Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότεραZÁPISKY Z MATEMATICKEJ ANALÝZY 1
UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta Ústav matematických vied 4 3 4 n 6 4 3 2 3 2 4 3 6 5 6 7 3 4 2 3 3/5 /2 2/5 /3 /4 /5 /0 d 0/ /0 /5 /4 /3 2/5 6 3 2 3 2 6 5 6 7 3 4 2
Διαβάστε περισσότεραOhraničenosť funkcie
VaFu05-T List Ohraničenosť funkcie RNDr. Beáta Vavrinčíková U: V bežnom živote sa často stretávame s funkciami, ktorých hodnot sú určitým spôsobom obmedzené buď na celom definičnom obore D alebo len na
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότεραDIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c)
Prírodovedecká fakulta Univerzity P. J. Šafárika v Košiciach Božena Mihalíková, Ivan Mojsej Strana 1 z 43 DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c) 1 Obyčajné diferenciálne rovnice 3 1.1 Úlohy
Διαβάστε περισσότεραFunkcie komplexnej premennej
(prezentácia k prednáške FKP/10) doc. RNDr., PhD. 1 1 ondrej.hutnik@upjs.sk umv.science.upjs.sk/analyza Prednáška 1 16. februára 2016 Podmienky Obsah nepovinná účast (!prelínanie prednášok a cvičení!)
Διαβάστε περισσότερα1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia... 3
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 3 1.3 Základné označenia................................. 3 2 Množiny a zobrazenia
Διαβάστε περισσότεραVaFu18-T List 1. Mocninové funkcie. RNDr. Beáta Vavrinčíková
VaFu8-T List Mocninové funkcie RNDr. Beáta Vavrinčíková U: V tejto téme sa budeme zaoberať jednou celou skupinou funkcií. Pripomeňme si, že funkcia popisuje určitú závislosť medzi dvoma veličinami. Na
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické funkcie
Goniometrické funkcie Oblúková miera Goniometrické funkcie sú funkcie, ktoré sa používajú pri meraní uhlov (Goniometria Meranie Uhla). Pri týchto funkciách sa uvažuje o veľkostiach uhlov udaných v oblúkovej
Διαβάστε περισσότεραBANACHOVE A HILBERTOVE PRIESTORY
BANACHOVE A HILBERTOVE PRIESTORY 1. ZÁKLADNÉ POJMY Normovaným lineárnym priestorom (NLP) nazývame lineárny (= vektorový) priestor X nad telesom IK, na ktorom je daná nezáporná reálna funkcia : X IR + (norma)
Διαβάστε περισσότεραObyčajné diferenciálne rovnice
(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú
Διαβάστε περισσότεραDerivácia funkcie. Pravidlá derivovania výrazov obsahujúcich operácie. Derivácie elementárnych funkcií
Derivácia funkcie Derivácia funkcie je jeden z najužitočnejších nástrojov, ktoré používame v matematike a jej aplikáciách v ďalších odboroch. Stručne zhrnieme základné informácie o deriváciách. Podrobnejšie
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότεραVaFu02-T List 1. Graf funkcie. RNDr. Beáta Vavrinčíková
VaFu0-T List Graf funkcie RNDr. Beáta Vavrinčíková U: Vieme, že funkcia vjadruje určitú závislosť medzi dvoma veličinami. Akým spôsobom b mohla bť funkcia zadaná? Ž: Stretol som sa najmä srovnicami, napríklad
Διαβάστε περισσότεραALGEBRA. Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov
ALGEBRA Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov Definícia Množinu považujeme za určenú, ak vieme o ľubovoľnom objekte rozhodnúť, či je alebo nie je prvkom množiny. Množinu určujeme
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II. Zbierka riešených a neriešených úloh
Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II Zbierka riešených a neriešených úloh Anna Grinčová Jana Petrillová Košice 06 Technická univerzita v Košiciach Fakulta
Διαβάστε περισσότεραstereometria - študuje geometrické útvary v priestore.
Geometria Geometria (z gréckych slov Geo = zem a metro = miera, t.j. zememeračstvo) je disciplína matematiky prvýkrát spopularizovaná medzi starovekými grékmi Tálesom (okolo 624-547 pred Kr.), ktorý sa
Διαβάστε περισσότεραGramatická indukcia a jej využitie
a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότεραZáklady matematickej štatistiky
1. Náhodný výber, výberové momenty a odhad parametrov Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 6. mája 2015 1 Náhodný výber 2 Výberové momenty 3 Odhady parametrov
Διαβάστε περισσότεραTREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT. k predmetu Matematika pre
TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT k predmetu Matematika pre 2. ročník SOŠ v Strážskom, študijný odbor 3760 6 00 prevádzka a ekonomika dopravy Operačný program: Vzdelávanie Programové obdobie:
Διαβάστε περισσότεραzlomok poznatel nej časti skutočnosti. Robí tak prostredníctvom svojich pojmov (tento proces môžeme nazvat formalizácia), jej hlavnou úlohou je potom
0 Úvod 1 0 Úvod 0 Úvod 2 Matematika (a platí to vo všeobecnosti pre každú vedu) sa viac či menej úspešne pokúša zachytit istý zlomok poznatel nej časti skutočnosti. Robí tak prostredníctvom svojich pojmov
Διαβάστε περισσότεραviacrozmerných a nekonečnorozmerných priestoroch. A ako nasvedčuje jej názov, pôjde o rovnice nelineárne.
Nelineárna analýza 1. Úvod Na začiatok by bolo načim ako-tak vymedzit, čím sa nelineárna analýza zaoberá. Čitatel by už mal však mat dostatok skúseností, aby vedel, že je to dost t ažké u l ubovol nej
Διαβάστε περισσότεραSúradnicová sústava (karteziánska)
Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme
Διαβάστε περισσότεραPRÍPRAVNÝ KURZ ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ PRÍPRAVNÝ KURZ ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Strojnícka fakulta Andrea Feňovčíková Gabriela Ižaríková aaaa aaaa Táto
Διαβάστε περισσότεραChí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky
Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.
Διαβάστε περισσότεραCieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie,
Kapitola Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie, keď charakteritická rovnica má rôzne
Διαβάστε περισσότεραZložené funkcie a substitúcia
3. kapitola Zložené funkcie a substitúcia Doteraz sme sa pri funkciách stretli len so závislosťami medzi dvoma premennými. Napríklad vzťah y=x 2 nám hovoril, ako závisí premenná y od premennej x. V praxi
Διαβάστε περισσότεραZÁKLADY MATEMATIKY 1 UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED
UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED ZÁKLADY MATEMATIKY 1 Kitti Vidermanová, Júlia Záhorská Eva Barcíková, Michaela Klepancová NITRA 2013 Názov: Základy matematiky 1 Edícia Pírodovedec.
Διαβάστε περισσότερα1 Polynómy a racionálne funkcie Základy Polynómy Cvičenia Racionálne funkcie... 17
Obsah 1 Polynómy a racionálne funkcie 3 11 Základy 3 1 Polynómy 7 11 Cvičenia 13 13 Racionálne funkcie 17 131 Cvičenia 19 Lineárna algebra 3 1 Matice 3 11 Matice - základné vlastnosti 3 1 Cvičenia 6 Sústavy
Διαβάστε περισσότερα