DUALNOST Primjer. (P ) 4x 1 + x 2 + 3x 3 max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 1/9
DUALNOST Primjer. (P ) 4x 1 + x 2 + 3x 3 max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 1/9 (D) y 1 + 3y 2 min y 1 + 3y 2 4 4y 1 y 2 1 y 2 3 y 1 0, y 2 0
Općenito: (P ) z τ x max Ax b x 0 (D) b τ y min A τ y z y 0 2/9
Općenito: (P ) z τ x max Ax b x 0 (D) b τ y min A τ y z y 0 2/9 1. Tvrtka za proizvodnju umjetnih gnojiva ima dvije tvornice (I i II) koje proizvode tri vrste gnojiva (A, B i C). Dnevna količina proizvodnje (u tonama) i dnevni trošak proizvodnje dani su u tablici. Gnojivo A Gnojivo B Gnojivo C Trošak Tvornica I 10 T 5 T 7 T 14000 kn Tvornica II 8 T 7 T 3 T 12000 kn Tvrtka je dobila narudžbu za 380 T gnojiva A, 250 T gnojiva B i 200 T gnojiva C. Koliko dana treba raditi pojedina tvornica da bi se mogla zadovoljiti narudžba uz minimalni ukupni trošak proizvodnje?
2. Zadan je problem linearnog programiranja s tri slobodne varijable i tri uvjeta u obliku nejednakosti: z 1 x 1 + z 2 x 2 + z 3 x 3 max a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 b 3 3/9 Napišite ekvivalentan problem kojem su sve varijable vezane, a uvjeti zadani kao jednakosti.
2. Zadan je problem linearnog programiranja s tri slobodne varijable i tri uvjeta u obliku nejednakosti: z 1 x 1 + z 2 x 2 + z 3 x 3 max a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 b 3 3/9 Napišite ekvivalentan problem kojem su sve varijable vezane, a uvjeti zadani kao jednakosti. 3. Zadani su vektori z R n, b R m i matrica A R m n. Dokažite da je dual problema linearnog programiranja (P ) sa slobodnim varijablama problem (D) s jednakostima: (P ) z x max Ax b x R n (D) b y min A τ y = z y 0, y R m
4. Simpleks metodom riješite problem: x 1 + 2 x 2 + x 3 max x 1 + x 2 + x 3 = 5 x 1 + 2 x 2 3 x 3 5 x 1 + x 3 2 x 1 0, x 2 0, x 3 0 4/9 Zapišite dualan problem i iz konačne simpleks tablice očitajte njegovo rješenje.
5. Zadan je problem linearnog programiranja: x 1 2x 2 + 5x 3 7x 4 + 3x 5 max x 1 + x 2 3x 3 + x 4 x 5 10 2x 1 x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 6x 5 8 x 1 + 7x 3 2x 4 x 5 2 x 2 2x 3 6 x 1 0, x 2 0, x 3 0 5/9 (a) Zapišite dualan problem zadanog problema. (b) Dokažite da je (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = ( 33 7, 6, 0,, 3) rješenje 4 2 4 primarnog problema tako da nadete odgovarajuću točku dualnog problema i pokažete da se vrijednosti primarne i dualne funkcije cilja podudaraju.
6. Dvije tvornice namještaja opskrbljuju se drvom iz dvije pilane. Prva tvornica mjesečno treba barem 150 kubika drva, a druga barem 60. Prva pilana u stanju je proizvesti najviše 100 kubika drva mjesečno, a druga najviše 120. Troškovi transporta proporcionalni su količini drva koje se prevozi pomnoženoj s odgovarajućom udaljenosti iz sljedeće tablice....do prve tvornice:...do druge tvornice: Od prve pilane... 15 km 21 km Od druge pilane... 18 km 12 km 6/9 Treba sastaviti mjesečni plan opskrbe tvornica drvom za kojeg će ukupni troškovi transporta biti minimalni. (a) Postavite kao problem linearnog programiranja (napišite značenje varijabli, ciljnu funkciju i uvjete u obliku nejednakosti). Zapišite i dualni problem linearnog programiranja. (b) Pokušajte pogoditi rješenje problema. Dokažite optimalnost tako da izračunate odgovarajuće rješenje dualnog problema i pokažete da se vrijednosti primarne i dualne ciljne funkcije podudaraju.
7. Zadana je matrica A R m n i vektori z R n, b R m. Promatramo medusobno dualne probleme linearnog programiranja (P ) z τ x max Ax b x 0 (D) b τ y min A τ y z y 0 7/9 Dokažite direktno (bez pozivanja na teorem dualnosti): ako je funkcija cilja problema (D) neograničena odozdo, onda je problem (P ) kontradiktoran (tj. skup dopustivih rješenja je prazan). Primjerom pokažite da (P ) i (D) mogu oba biti kontradiktorni.
8. Zlatar A.U. proizvodi narukvice, ogrlice i naušnice od zlata, srebra i cirkona. Količine sirovina potrebne za izradu pojedinog proizvoda, profit od prodaje proizvoda i dostupne količine sirovina dane su u tablici. Koliko komada pojedinog proizvoda treba proizvesti od dostupnih sirovina da bi ukupan profit bio maksimalan? Postavite kao problem linearnog programiranja i riješite simpleks metodom! Zlato Srebro Cirkoni Profit Narukvica 5 g 8 g 2 kom. 150 kn Ogrlica 10 g 5 g 18 kom. 320 kn Naušnica 0 g 5 g 2 kom. 30 kn Zaliha 900 g 1200 g 1000 kom. 8/9
9. Filigran A.G. je ljuti konkurent zlatara iz prethodnog zadatka. Odlučio je napraviti ponudu koju A.U. neće moći odbiti. A.G. će otkupiti sve sirovine od A.U. po jediničnim cijenama c 1, c 2 i c 3 (redom za zlato, srebro i cirkone). Za svaki od proizvoda (narukvice, ogrlice i naušnice), zarada koju će A.U. imati od prodaje sirovina potrebnih za izradu jednog komada nije manja od jediničnog profita za taj proizvod. Koje cijene c 1, c 2 i c 3 A.G. treba ponuditi A.U. tako da mu ukupni trošak uništavanja konkurencije bude minimalan? 9/9