Α3. Θεωρία(Ορισμός Σελ. 73 σχολικού βιβλίου) Δεν είναι απαραίτητο για να είναι η f συνεχής στο [α, β] να είναι η f συνεχής στο α και στο β.

Απαντήσεις ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία(Σελ. σχολικού βιβλίου) Α. Θεωρία(Σελ. σχολικού βιβλίου) Α3. Θεωρία(Ορισμός Σελ. 73 σχολικού βιβλίου) Δεν είναι απαραίτητο για να είναι η f συνεχής στο [α, β] να είναι η f συνεχής στο α και στο β. y Για να είναι η f συνεχής στο [α, β] θα πρέπει η f να είναι συνεχής στο (α, β) και επιπλέον να ισχύει ότι. lim α + f = f ( α) και lim f = f ( β) β O [ ] a β (β) Α. α Λ β Λ Γ Σ δ Σ ε Λ ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΛΕΣ

ΘΕΜΑ B Β. Αφού η f είναι συνεχής στο R θα είναι και συνεχής στο, οπότε θα ισχύει ότι e 3 lim f()= lim f()=f() e +(m-) = - ++m m= + - e αν > f() = 3 + + αν, οπότε Β. α)για < ισχύει ότι f ()=(e ) =e, ενώ για >, ισχύει ότι f ()=( 3 ++) =3 +. lim (e -)= και lim = θα ισχύει ότι + + f()-f() e - ( e-' ) e lim = lim = lim = lim = e = + + + + Επειδή Επειδή - ' lim ( 3 - ++)= και lim = θα ισχύει ότι 3 3 3 -+ 3 f()-f() - ++- - + -+ ' lim = lim = lim = lim = - ' lim = Πήραμε κανόνα De L Hospital αφού lim ( 3 - +)= και lim = f()-f() f()-f() Επειδή lim = lim = θα ισχύει ότι f ()=. - + - e αν > Άρα f'() = 3 + αν β) Για > ισχύει ότι f ()=e >, οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ). Για < έχουμε ότι f ()=3 +. Έχουμε ότι Δ=( ) 3 =6 =, οπότε έχουμε για το τριώνυμο δύο ρίζες τις = 3 και =. Επειδή < ισχύει ότι 3 +> δηλαδή ότι f ()>, οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (, ]. Επομένως η f θα είναι γνησίως αύξουσα στο R. γ)επειδή f γνησίως αύξουσα στο R θα ισχύει ότι f(r)=( limf(), limf() ) 3 3 limf() = lim ++ = lim = Επειδή και + + + + 3 3 limf() = lim ++ = lim =+, θα ισχύει ότι f(r)=(, + )=R Β3. Επειδή g ()> για κάθε (, ) και g ()< για κάθε (, + ) και η g είναι συνεχής στο R αφού παραγωγίζεται στο R, θα ισχύει ότι, η g είναι γνησίως αύξουσα στο (, ] και γνησίως φθίνουσα στο [, + ).Επομένως η g θα παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο το g()=. Επειδή η g είναι γνησίως φθίνουσα στο R η g είναι κοίλη στο R.. ΤΕΛΟΣ 6 ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΛΕΣ

Β.Έχουμε ότι f()= οπότε η εξίσωση f(g())= γίνεται f(g())=f() και επειδή η f είναι αφού είναι γνησίως αύξουσα θα ισχύει ότι g()=, οπότε =, αφού γνωρίζουμε ότι g()= και για <, επειδή η g είναι γνησίως αύξουσα στο (, ] θα ισχύει ότι g()<g(), δηλαδή g()<, ενώ για >, επειδή η g είναι γνησίως φθίνουσα στο [, + ) θα ισχύει ότι g()< g(), δηλαδή g()<. Β.Έχουμε ότι η g και η f είναι συνεχείς συναρτήσεις στο R. Οπότε για το όριο lim ( f ( g() ) ) ακολουθούμε την εξής διαδικασία Θέτω g()=u, οπότε limu=limg() = g() =.Έτσι θα έχουμε ότι ( ) ( ) u lim f g() = lim f u = f() = = και επειδή lim = με δεδομένο ότι οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο R και οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς στο R θα ισχύει ότι f( g() ) ( f( g() ) )' ' lim = lim = lim f' g() g'() = f'(g()) g'() = f'() = = ΤΕΛΟΣ 7 ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΛΕΣ

ΘΕΜΑ Γ Γ. f'() Θέτουμε = g() κοντά στο, οπότε f'() = g() ημ και επομένως ημ limf'() = limημ g() =, επειδή limg() = και limημ= Επειδή η f είναι συνεχής αφού η f παραγωγίζεται δύο φορές θα ισχύει ότι f'()=limf'() =. f'() f'() g()ημ ημ Επίσης lim = lim = lim g() = =. Επομένως f ()=. Γ. Επειδή f (+ h) f () lim = για κάθε R θα ισχύει ότι f ()= για κάθε R. h h Έτσι θα έχουμε f ()= +c (), για κάθε R. Επειδή f ()= +c και f ()=, θα έχουμε ότι c= και επομένως θα ισχύει f ()=, για κάθε R, οπότε f ()= 3 +c, για κάθε R, και επειδή f ()=, θα ισχύει ότι f ()= 3, για κάθε R. Έτσι τελικά θα έχουμε ότι f()= +c, για κάθε R. Επειδή ισχύει f()d = θα έχουμε + c d =, δηλαδή d+ cd =, οπότε + c = + c = c = Άρα f()=, για κάθε R. Γ3. Έχουμε ότι A(, ), B(, ) και Μ(, f()). uuur uur Για να δείξουμε ότι τα σημεία Α, Β και Μ σχηματίζουνε τρίγωνο αρκεί να δείξουμε ότι det(aμ,ab) uuur uur Έχουμε ότι AΜ = (,f() + ) = (, ( )) = (, ( )) και AΒ = (, ( )) = (,), οπότε uuur uur + det(aμ,ab) = = ( + ) = + Θέτουμε g()= + για κάθε R. Τότε g ()= 3. g () 3 3 3 3 3 αφού η συνάρτηση h()= 3 είναι γνησίως αύξουσα στο R. Επομένως - + g () + g() - ma - + ΤΕΛΟΣ 8 ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΛΕΣ

Άρα η g παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο, το g()=, οπότε g() g()= < uuur uur Επειδή g()< για κάθε R η ορίζουσα det(aμ,ab) και επομένως τα σημεία Α, Β και Μ είναι μη συνευθειακά και σχηματίζουνε τρίγωνο. Τώρα το εμβαδόν του τριγώνου θα είναι uuur uur (ΑΜΒ) = det(aμ,ab) = + = ( ( + ) ), αφού + <, οπότε (ΑΜΒ) = ( + ). Γ. Αφού Ε = θα ισχύει ότι ( + ) =, οπότε θα έχουμε ότι += +3= που γίνεται 3+3= ( 3 ) 3( )= ( )( ++) 3( )= ( )( 3 + + 3)= ( )( 3 + + )= ( )[ ( )( ++)+( )(+)+( )]= ( )( )( +++++)= ( ) ( ++3)= = ή ++3= που είναι αδύνατη. Η παραπάνω εξίσωση λύνεται και με τη βοήθεια του σχήματος Horner. Άρα =, οπότε M(, ), δηλαδή Μ(, ). Η εφαπτομένη της C f στο Μ(, ) είναι η y f()=f ()( ), δηλαδή η y =( ) που τελικά γίνεται y= 3. Με τη βοήθεια του διπλανού σχήματος έχουμε για το εμβαδόν Ε(Ω) του γραμμοσκιασμένου χωρίου Ω που σχηματίζεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα και την εφαπτομένη της C f στο σημείο Μ. Ε(Ω) = f()d (ΓΒΜ) και επειδή f() για κάθε R θα ισχύει ότι: 3 3 Ε(Ω) = f()d (ΓΒ) (ΒΜ)= = = = 8 τ.μ. ΤΕΛΟΣ 9 ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΛΕΣ

ΘΕΜΑ Δ Δ. Για να αποδείξουμε το ζητούμενο θέτουμε =u και επομένως = u. Για =, έχουμε u= και για =, έχουμε u=. Επίσης ( ) d=du, δηλαδή d=du, οπότε ισχύει f( )d = f(u)du= f()d Δ. Για κάθε >, ισχύει ότι g() = ( ln ( + )ln( + ) ) = ln + ln( + ) = ln < + αφού < < και άρα η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα. + Δ3. Είναι f() ( ) = () + = = + ( ) = + ( ) ( ) = + ( ) ( ) = + f() f /+ ο + ο + Να σημειώσουμε ότι ο είναι περιττός και ο είναι άρτιος. Είναι προφανές ότι + < < + > n> Προφανές Η f παρουσιάζει και ένα τοπικό ελάχιστο, το f() = και ένα τοπικό μέγιστο το f + = = + + + + () = = + ( + ) + () ln + e + = = e ln() ln(+ ) (+ ) ln() (+ )ln(+ ) = e = e g() Δ. Έχουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο + lim f() = lim =. Άρα θα, και () ισχύει ότι f, = lim f(),f =, + που περιέχει το 8 και επειδή η + + ( + ) συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα, + η εξίσωση f()= 8, θα έχει σ αυτό μοναδική ρίζα. Επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, + θα ισχύει ότι ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΛΕΣ

() f, = f(),f =, + + + ( + ) που δεν περιέχει το 8 και επομένως η εξίσωση f()= 8, στο διάστημα, + δεν έχει ρίζα. Επίσης η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ), οπότε θα ισχύει ότι f ([, + )) = f(), lim f() ) = [, + ) + που δεν περιέχει το 8 και επομένως η εξίσωση f()= 8, στο διάστημα[, + ) δεν έχει ρίζα. Σύμφωνα με τα παραπάνω η εξίσωση f()= 8, θα έχει μοναδική ρίζα η οποία θα βρίσκεται στο διάστημα, + Δ. α)έχουμε ότι η f παρουσιάζει ακρότατα το f()= και το f + με, οπότε θα ισχύει f =eg() Θέλουμε να έχουμε ακρότατο ίσο + =, δηλαδή g() ln g() e = που ισοδύναμα γίνεται e = e. Επειδή g()=ln ln=ln ln g() g() = ln, θα έχουμε ότι e = e, δηλαδή g()=g()και επειδή η g είναι γνησίως φθίνουσα θα ισχύει ότι =, οπότε n=. β)στο Δ. ερώτημα αποδείξαμε ότι f() d = f( ) d. Επομένως θα ισχύει ότι f() d = f( ) d = 3 3 ( ) d = 3 + 3 d = n + 6n 8 = n= + + = + + 3 = + + 3 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΛΕΣ