UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A TATISTIKY

UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A TATISTIKY ANALÝZA TOBINOVHO MODELU S COBBOVOU DOUGLASOVOU PRODUK NOU FUNKCIOU Diplomová práa B. Miroslav Foltin 9.1.9 Aplikovaná matematika Ekonomiká a nan ná matematika Vedúi diplomovej práe: do. RNDr. Peter Guba, PhD. Bratislava 2011 7f8aef7-6-4b21-803b-fe77bdb6abdd

Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky ZADANIE ZÁVEREČNEJ PRÁCE Meno a priezvisko študenta: B. Miroslav Foltin Študijný program: ekonomiká a finančná matematika (Jednoodborové štúdium, magisterský II. st., denná forma) Študijný odbor: 9.1.9. aplikovaná matematika Typ záverečnej práe: diplomová Jazyk záverečnej práe: slovenský Názov : Cieľ : Vedúi : Analýza Tobinovho modelu s Cobbovou--Douglasovou produkčnou funkiou Cieľom diplomovej práe bude analýza dynamiky Tobinovho modelu v monetárnej teórii s Cobbovou--Douglasovou produkčnou funkiou. do. RNDr. Peter Guba, PhD. Dátum zadania: 28.01.2010 Dátum shválenia: 07.04.2011 prof. RNDr. Daniel Ševčovič, CS. garant študijného programu študent vedúi práe Dátum potvrdenia finálnej verzie práe, súhlas s jej odovzdaním (vrátane spôsobu sprístupnenia) vedúi práe

Abstrakt Práa sa zaoberá analýzou makroekonomikého dynamikého modelu zov²eobeneného Tobinovho modelu. Ide o neoklasiký rastový model s roz²írením o peniaze, v ktorom bohatstvo môºe by reprezentované formou kapitálu alebo pe azí. Model je ur ený tromi parametrizovanými difereniálnymi rovniami, ktoré popisujú dynamiku vývoja premennýh kapitálu, pe azí a ináie. Analýza zah a h adanie pevnýh bodov, ih lokálnyh stabilitnýh vlastností a h adanie bodov lokálnyh bifurkáií. V modeli je pouºitá ²peiká forma produk nej funkie, tzv. Cobbova-Douglasova produk ná funkia, a ²peiká forma funkie dopytu po peniazoh. V krátkodobom horizonte, kedy je kapitál a ve kos populáie kon²tantá, sa pôvodný trojrozmerný model redukuje na dvojrozmerný. Podstatná as práe sa venuje práve tomuto limitnému prípadu, pri om je prevedený dôkaz, ºe za vhodnýh podmienok systém podlieha Andronovovej Hopfovej bifurkáii. Expliitným výpo tom je ur ený aj typ AndronovovejHopfovej bifurkáie. al²ím enným výsledkom je asymptotiká forma pre periódu osila nýh rie²ení, ktorá indikuje, ºe v kontexte krátkodobého modelu perióda osiláií nezávisí od rýhlosti, ktorou sa udia vedia prispôsobi o akávaniam. K ú ové slová: Tobinov model makroekonomiký model dynamiké systémy bifurka ná analýza AndronovovaHopfova bifurkáia Abstrat This thesis deals with the analysis of maroeonomi dynamial model the generalized Tobin model. It is a neolassial growth model with the presene of paper urreny, in whih wealth may be held in either of the two forms: money or apital good. The model onsists of three parametrized dierential equations that desribe the behavior of variables apital, money and ination. The aim of the analysis is to nd the ritial points and their loal stability properties and loal bifuration points. In the model we assume a spei CobbDouglas form of the prodution funtion and a spei form of the demand funtion for money. In the short run, with apital and population xed the original threedimensional model is redued to twodimensional model. A signiant proportion of the thesis deals with this limit ase furthermore; it is demonstrated that under ertain onditions the AndronovHopf bifuration arises. An expliit omputation type of AndronovHopf bifuration is set. Another result is the asymptotial form of the period of osillation solutions, whih shows that the period doesn't depend on the speed of adjustment of expetations. Keywords: Tobin model moroeonomi model dynamial systems bifuration analysis AndronovHopf bifuration

ƒestné prehlásenie Vyhlasujem, ºe som diplomovú práu vypraoval samostatne s pouºitím uvedenej odbornej literatúry. Bratislava 26. 4. 2011........................... Vlastnoru ný podpis

Po akovanie akujem svojmu ²kolite ovi do. RNDr. Petrovi Gubovi, PhD. za odborné rady, poskytnutú literatúru a starostlivé vedenie pri vypraovaní diplomovej práe. Takisto akujem svojím rodi om za v²estrannú podporu po as elého ²túdia.

Obsah Úvod 7 1 Preh ad literatúry 10 2 Ciele diplomovej práe 11 3 Formuláia problému 12 4 Metódy analýzy 14 4.1 Linearizáia a stabilita pevnýh bodov.................. 14 4.2 Klasikáia pevnýh bodov v planárnyh systémoh........... 16 4.3 AndronovovaHopfova bifurkáia v planárnyh systémoh........ 16 5 Analýza zov²eobeneného Tobinovho modelu: 2D redukia pre krátkodobú limitu 21 5.1 Pevné body krátkodobého modelu..................... 21 5.2 Linearizáia na okolí pevného bodu, stabilita pevného bodu...... 22 5.3 Dôkaz existenie limitného yklu v krátkodobom modeli......... 27 5.4 Transformáia krátkodobého modelu na kánoniký tvar, ur enie typu AndronovovejHopfovej bifurkáie..................... 28 5.5 Perióda yklikého rie²enia......................... 35 6 Analýza zov²eobeneného Tobinovho modelu: úplný (3D) prípad 37 6.1 Pevné body modelu............................. 37 6.2 Linearizáia na okolí pevného bodu, stabilita pevného bodu...... 39 Záver 43 Literatúra 44 6

Úvod V poslednýh rokoh sa v ekonomikom modelovaní zvy²uje záujem o vyuºitie modelov so spojitou variáiou asu. Pri popisovaní správania sa ekonomikýh proesov sa vyuºívajú parametrizovné systémy difereniálnyh rovní. Napriek ih zloºitosti je asto moºné preskúma ²ktrukturálne a kvalitatívne vlastnosti danýh ekonomikýh modelov. Pri analýze dynamikého modelu ako prvé h adáme ekvilibrium-pevný bod a zaoberáme sa otázkou jeho stability. Vo ne povedané, pevný bod povaºujeme za stabilný, ak ubovo né rie²enie za ínajúe v jeho blízkosti konverguje k pevnému bodu pre as idúi do nekone na. Naopak, pevný bod je nestabilný, ak ubovo né rie²enie za ínajúe v jeho blízkosti k nemu nekonverguje. Skúmanie stability je dôleºité pre pohopenie vlastností dynamiky ekonomikého systému a zistenie vplyvu parametrov na tieto vlastnosti. al²ím krokom v analýze dynamikého modelu je skúmanie bifurkáií (vetvenia rie- ²ení). Pod bifurkáiou rozumieme kvalitatívnu zmenu systému pri prekro ení ur itej kritikej hodnoty parametra. Bifurka ná analýza poskytuje informáie, ako sa môºe napríklad stabilný systém zmeni na nestabilný alebo haotiký pri spojitej zmene parametra systému. Ak je dynamiký model popísaný troj alebo via-rozmerným systémom nelineárnyh difereniálnyh rovní systém môºe vykazova tzv. haotiké správanie. Hoi je systém determinitiký- bez náhodnýh faktorov, asové rady (rie²enia) majú stohastiký harakter (výzor). V takom prípade je model ve mi itlivý na zmenu po iato nýh podmienok (malá zmena na po iatku vedie k ve kým zmenám v neskor²om ase) a ani deterministikos modelu nám negarantuje shopnos predpovede správania sa rie²ení. V diplomovej prái je analyzovaný zov²eobenený Tobinov model - neoklasiký rastový model s roz²írením o peniaze, v ktorom bohatstvo môºe by reprezentované vo forme pe azí alebo kapitálu. Pri odvodzovaní zov²eobeneného Tobinovho modelu (rovnie (3.1) (3.4)) sa predpokladá, ºe na produk nej strane je pouºitá neoklasiká produk ná funkia Y = F (K, N), kde Y predstavuje reprezentatívny homogénny produkt, ktorý je produkovaný kapitálom K a práou N. Funkia F je dvakrát diferenovate ná, lineárne homogénna, má 7

kladnú a klesajúu marginálnu produktivitu oboh faktorov a faktory nie sú navzájom substituovate né. Ak ozna íme y Y/N, k K/N, za predo²lýh predpokladov môºeme produk nú funkiu transformova na tvar: y = f(k), pri om: f(k) > 0, f (k) > 0, f (k) < 0, lim f (k) =, lim f (k) = 0. k 0 k alej sa v modeli predpokladá, ºe udia ²etria as s istého príjmu Y + (M /p), kde M je nominálne mnoºstvo pe azí a p enová úrove. Bodka nad premennou zna í asovú deriváiu. Aktuálna akumuláia kapitálu sa rovná miere úspor spolo nosti: K = s[y + (M /p)] (M /p), (1) pri om výraz s[y + (M /p)] predstavuje privátne úspory a výraz s[y + (M /p)] (M /p) úspory spolo nosti. Vláda vytvára peniaze z rozpo tového deitu, a tak (M /p) vyjadruje erpanie úspor vládou. Navy²e vláda kontroluje iba mieru zmeny nominálneho mnoºstva pe azí Ṁ/M θ. Za predpokladu, ºe populáia (praovná sila) rastie exponeniálne, mierou n = Ṅ/N, dá sa rovnia (1) vyjadri v tvare per apita: k = sf(k) (1 s)(θ q)m nk, (2) kde m M je reálny objem pe azí per apita a q je o akávaná miera ináie. Rovnia pn (2) sa nazýva Tobinova fundamentálna rovnia. Diferenovaním rovnie m M pod a asu dostávame: pn ṁ = m(θ ṗ/p n). (3) O akávaná miera ináie q sa mení propor ne s rozdielom medzi aktuálne realizovanou mierou ináie ṗ/p a o akávanou mierou ináie q: q = γ(ṗ/p q). (4) Ak je aktuálna miera ináie vy²²ia ako o akávaná, o akávaná miera ináie vzrastá a naopak. Koeient γ-rýhlos prispôsobenia sa o akávaniam sa nazýva aj koeientom o akávania. 1/γ vyjadruje as potrebný na vyrovnaie rozdielu medzi aktuálnou a o akávanou mierou ináie. Pre γ máme dokonalú shopnos predpovede, kedy sa aktuálna miera ináie rovná o akávanej ṗ/p = q. alej sa v modeli predpokladá, ºe zmena ien môºe by vyvolaná prebytkom dopytu pe azí, alebo prebytkom ponuky pe azí na pe aºnom trhu. Zmenu ien môºe vyvola aj o akávanie ináie. Mehanizmus zmeny ien popisuje nasledovná rovnia: ṗ/p = ε[m L(.)] + q, (5) kde ε je rýhlos prispôsobenia sa enovej úrovni. 1/ε vyjadruje as potrebný na vyrovnanie rozdielu medzi ponukou a dopytom zásoby hotovosti. Pre okamºité vyrovnanie rozdielu máme ε. L(.) je funkiou dopytu po peniazoh. 8

Dopyt po peniazoh môºe by vyvolaný za ú elom transakie a za ú elom vlatnenia aktíva a je ²peikovaný nasledovne: L = L (f(k), f (k) + q). Argument f(k) je zástupa pre dopyt po transakiáh, argument f (k) + q predstavuje náklady vyplývajúe z vlastnenia pe azí. Dopyt po peniazoh je teda funkiou kapitálu per apita a o akávanej miere ináie: L = L(k, q). Sumárne je teda zov²eobenený Tobinov model popísaný difereniálnymi rovniami (2), (3), (4), (5): k = sf(k) (1 s)(θ q)m nk, ṁ = m(θ ṗ/p n), q = γ(ṗ/p q), ṗ/p = ε[m L(k, q)] + q. Po formálnej stránke je práa rozdelená do piatih kapitol. Prvá kapitola obsahuje preh ad literatúry zaoberajúou sa analýzou zov²eobeneného Tobinovho modelu. V druhej kapitole sú uvedené iele diplomovej práe. V tretej kapitole uvádzame stru né zhrnutie základnýh výsledkov teórie dynamikýh systémov, ktoré sme aplikovali pri analýze modelu. tvrtá kapitola sa zaoberá analýzou krátkodobého (dvojrozmerného) modelu. Sú v nej uvedené parametriké zívislosti pevnýh bodov a ih stabilitné vlastnosti. alej je v nej uvedený entrálny výsledok tejto práe, konkrétne dôkaz existenie AndronovovejHopfovej bifurkáie v modeli. Transformáiou modelu na kánoniký tvar a expliitným výpo tom prvého Liapunovho exponentu je ur ený typ AndronovovejHopfovej bifurkáie. Piata kapitola sa venuje analýze úplného (trojrozmerného) modelu. Sú v nej vypo ítané pevné body a uvedené nutné a posta ujúe podmienky pre stabilný pevný bod pomoou RouthovhoHurwitzovho kritéria. Tieto stabilitné podmienky porovnávame s výsledkami uvedenýh v lánku Benhabib & Miyao (1981). 9

Kapitola 1 Preh ad literatúry Tobin (1965) roz²íril základný model ekonomikého rastu o peniaze a skúmal vplyv miery monetárnej expanzie na kapitálovú intenzitu v ekonomike. ƒoskoro sa v²ak ukázalo, ºe model je nestabilný, a preto nevhodný pre aplikáiu do reálnej ekonomiky. V roku 1971 Hadjimihalakis (1971a, 1971b) zov²eobenil Tobinov model za ú elom odstránenia nestability. V lánkoh Hadjimihalakis (1971a, 1971b), Hadjimihalakis & Okuguhi (1978) autori odvádzajú posta ujúe podmienky pre stabilitu ekvilibria, a nutné a posta ujúe podmienky pre stabilitu ekvilibria v krátkodobom modeli 1. V týhto lánkoh sa predpokladá aktuálna miera ináie v tvare ˆq = ε[m L(k, q)], resp., ºe dopyt po peniazoh je vyvolaný iba za ú elom vlastnenia aktíva. V prái Benhabib & Miyao (1981) autori odvodili posta ujúu podmienku pre lokálnu stabilitu ekvilibria zov²eobeneného Tobinovho modelu. Navy²e ukázali, ºe za vhodnýh podmienok systém podlieha AndronovovejHopfovej bifurkáií, a teda v systéme existujú pravidelné osiláie. Udri³te & Cianio (2004) vo svojej prái ²tudovali vplyv EuklidovskoLagrangeovej ²truktúry stavového priestoru na dynamiku zov²eobeneného Tobinovho modelu, pri- om dokázali existeniu optimálnyh ekonomikýh uktuáií. 1 V tomto modeli sa prepokladá, ºe kapitál k = k je kon²tatný a miera rastu populáie n = 0. Pôvodný trojrozmerný model sa vtedy redukuje na dvojrozmerný. 10

Kapitola 2 Ciele diplomovej práe Cie om tejto práe je analýza dynamiky zov²eobeneného Tobinovho modelu v monetárnej teórií. V predhádzajúej prái Benhabib & Miyao (1981) bol ²tudovaný zov²eobenený Tobinov model pre relatívne ²irokú triedu produk nýh funkií f a triedu funkií dopytu po peniazoh L. Na²a po iato ná snaha o zreprodukovanie týhto výsledkov v²ak ukázala, ºe tieto výsledky nie sú konzistentné s RouthovýmHurwitzovým stabilitným polynomiálnym kritériom, a teda nesprávne. Z toho dôvodu sme sa rozhodli pre analýzu zov²eobeneného Tobinovho modelu pre (i) konkrétnu triedu produk nýh funkií CobbDouglasovho typu (pozri rovniu (3.5)) a (ii) triedu konkrétnyh fukií dopytu po peniazoh (pozri rovniu (3.6)). Analýza spo íva v ur ení parametrikýh závislostí pevnýh bodov modelu, ur ení ih lokálnej stability v závislosti od hodnoty parametrov a h adaní podmienok pre vznik lokálnyh bifurkáií. Objektom analýzy je úplný (trojrozmerný) Tobinov model a jeho krátkodobá (dvojrozmerná) limita. 11

Kapitola 3 Formuláia problému V prái je analyzovaný zov²eobenený Tobinov model, ako ho formuloval Benhabib & Miyao (1981): k = sf(k) (1 s)(θ q)m nk, (3.1) ṁ = m(θ ˆp n), (3.2) kde nasledujúe endogénne premenné vyjadrujú: k R + - pomer kapitálpráa q = γ(ˆp q), (3.3) ˆp = ε[m L(k, q)] + q, (3.4) m R + - objem reálnyh pe azí per apita q R - o akávaná miera ináie ˆp = ṗ/p R - aktuálna miera ináie a parametre: s (0, 1) - sklon k úspore θ R - miera pe aºného roz²irovania n R - miera rastu populáie γ > 0 - rýhlos prispôsobenia sa o akávaniam, ε > 0 - rýhlos prispôsobenia sa enovej úrovni Produk ná funkia f(k) má nasledujúe vlastnosti: f(k) > 0, f (k) > 0, f (k) < 0, lim f (k) =, lim f (k) = 0. V prái je pouºitá CobbovaDouglasová funkia k 0 k kde ρ (0, 1). f(k) := k ρ, (3.5) 12

L je funkiou dopytu po peniazoh. L = L (f(k), f (k) + q), resp. L = L(k, q), s vlastnos ami: L k = L k > 0 a L q = L q < 0. V prái sa uvaºuje funkia dopytu po peniazoh v tvare L(k, q) := L 0 k α (q + q D ) β, (3.6) kde α, β (0, 1), α+β = 1, L 0 = onst > 0, q D > 0 dostato ne ve ké. Takto denovaná funkia sp a predpoklady funkie po peniazoh: L k = αl 0 k α 1 (q +q D ) β = αl/k > 0, L q = βl 0 k α (q + q D ) β 1 = βl/(q + q D ) < 0. Parameter q D zaru uje, ºe funkia L je denovaná aj pre malé záporné hodnoty o akávanej ináie q, teda pri o akávaní deáie. Parameter α vyjadruje zmenu rýhlosti nárastu dopytu po peniazoh L pri náraste mnoºstva kapitálu k. β vyjadruje zmenu rýhlosti poklesu dopytu po peniazoh L pri náraste ináie q. 13

Kapitola 4 Metódy analýzy V tejto kapitole uvádzame stru né zhrnutie základnýh výsledkov teórie dynamikýh systémov, ktoré budeme aplikova pri analýze úplného Tobinovho modelu a jeho krátkodobej limity. V tejto limite sa Tobinov model redukuje na planárny dynamiký systém. Uvádzame tu metódu linearizáie a RouthHurwitzove podmienky stability ekvilibria (Veta 4.1.2), ako aj klasikáiu pevnýh bodoh v dvojrozmernýh dynamikýh systémoh. V podkapitole 5.3, 5.4 budeme analyzova periodiké rie²enia krátkodobého modelu, generované prostrednítvom tzv. AndronovovejHopfovej bifurkáie. Podmienky pre existeniu a lineárnu stabilitu periodikýh rie²ení dvojrozmerného dynamikého systému sú zhrnuté vo vete 4.3.1. 4.1 Linearizáia a stabilita pevnýh bodov Uvaºujme nrozmerný systém oby ajnýh difereniálnyh rovní: ẋ = f(x) : U R n R n. (4.1) Bod x, pre ktorý platí f(x ) = 0 nazývame pevným bodom, resp. kritikým bodom alebo ekvilibriom. Taylorovým rozvojom funie f okolo pevného bodu x (uvaºujme pre zjednodu²enie x = 0) dostávame nasledovný systém: kde A Df(x ) Df(x) x=x ẋ = Ax + ϕ(x), f 1 / x 1 f 1 / x n. f n / x 1 f n / x n. a 11 a 1n. a n1 a nn ϕ(x) sa nazýva Jaobiho matia a pre ϕ(x) platí: lim x 0 x = 0. Systém ẋ = Ax sa nazýva linearizovaný systém, resp. linearizáia systému (4.1).. 14

Rie²enie x dynamikého systému nazývame stabilné, ak iné rie²enie ²tartujúe v jeho blízkosti zostáva v jeho blízkosti aj pre nasledujúe asy. Rie²enie je asymptotiky stabilné, ak iné rie²enie za ínajúe v jeho blízkosti k nemu konverguje pre as idúi do nekone na. Formálnej²ie v nasledujúej deníií. Deníia 1. Rie²enie x dynamikého systému (4.1) je stabilné (Liapunovsky stabilné), ak pre dané ε > 0 existuje δ(ε) > 0 také, ºe pre ubovo né iné rie²enie y(t) platí, ak x(0) y(0) < δ, potom x(t) y(t) < ε t > 0. Rie²enie sa nazýva asymptotiky stabilné, ak je Liapunovsky stabilné a navy²e platí, ak x(0) y(0) < δ, potom lim x(t) y(t) = 0. Rie²enie je nestabilné, ak nie je stabilné. t Nasledujúe vety, itované z knihy Zhang(2005), resp. Tu(1994), nám dávajú nutné a posta ujúe podmienky stability pevného bodu. Veta 4.1.1. Ak majú v²etky vlastné hodnoty Jakobiho matie A zápornú reálnu as, potom je ekvilibrium x difereniálnej rovnie ẋ = f(x) asymptotiky stabilné. Ak má aspo jedna vlastná hodnota matie A kladnú reálnu as, ekvilibrium je nestabilné. Veta 4.1.2 (Roughtovo-Hurwitzovo kritérium). Uvaºujme harakteristikú rovniu Jakobiho matie: λ n + 1 λ n 1 + 2 λ n 2 + + n 1 λ + n = 0, kde 1, 2, n R. Nutnou a posta ujúou podmienkou pre kladnú reálnu as v²etnýh vlastnýh ísel λ je: 1 > 0, 2 > 0,, n > 0, 1 1 1 1 0 1 1 0 kde 1 = 1, 2 = 3 2, 2 = 3 2 1,, n = 3 2 0 5 4 3.....,. 2n 1 2n 2 n i = 0 i > n. V prípade, ºe n = 2, 1 = (a 11 + a 22 ) = tr(a), 2 = (a 11 a 22 a 12 a 21 ) = det(a). Vlastné ísla λ majú zápornú reálnu as práve vtedy, ke platia nasledovné podmienky: V prípade, ºe n = 3, 1 > 0, 2 > 0. 1 = (a 11 + a 22 + a 33 ) = tr(a), a 11 a 12 2 = a 21 a 22 + a 11 a 13 a 31 a 33 + 3 = det(a). a 22 a 23 a 32 a 33, 15

Vlastné ísla λ majú zápornú reálnu as a pevný bod x je asymptotiky stabilný práve vtedy, ke platia nasledovné podmienky: 1 > 0, 3 > 0, 1 2 3 > 0. 4.2 Klasikáia pevnýh bodov v planárnyh systémoh Uvaºujme dvojrozmerný nelineárny systém ẋ = f(x) : Jaobiho matie A majú tvar: R 2 R 2. Vlastné ísla λ λ 1,2 = 1 2 (τ ± D1/2 ), kde τ = tr(a), = det(a), D = τ 2 4. Pomoou parametrov τ,, D dostávame klasikáiu pevnýh bodov linearizáie (pozri tabu ku 4.1). Ak τ 0 0 sedlo < 0 D > 0; stabilný uzol τ < 0 > 0 D > 0 stabilná ²pirála τ < 0 > 0 D < 0 nestabilný uzol τ > 0 > 0 D > 0 nestabilná ²pirála τ > 0 > 0 D < 0 entrum τ = 0 > 0 D < 0 degenerovaný stabilný uzol τ < 0 > 0 D = 0 degenerovaný nestabilný uzol τ > 0 > 0 D = 0 neizolované pevné body = 0 Tabu ka 4.1: Klasikáia pevnýh bodov linearizáie pre dvojrozmerný model D 0 hovoríme o tzv. nedegenerovanýh prípadoh dynamikýh systémoh. Inak o degenerovanýh. V prípade, ºe linearizáia nelineárneho systému je nedegenerovaná, potom fázový portrét na okolí pevného bodu je zahovaný aj v nelineárnom reºime. Ak je linearizáia degenerovaná, potom linearizovaný fázový portrét nie je ²trukturálne stabilný a na základe linearizáie nevieme rozhodnú o type pevného bodu (Jordan & Smith (2007)). 4.3 AndronovovaHopfova bifurkáia v planárnyh systémoh AndronovovaHopfova bifurkáia vzniká, ke pár komplexnýh vlastnýh ísel pretne imaginárnu os nenulovou rýhlos ou. Uvaºujme dynamiký systém závislý od parametra µ: ẋ = f(x, µ) : R 3 R 2. alej uvaºujme, ºe existuje izolované ekvilibrium x = x (µ) závislé od parametra µ. Linearizovaný systém má Jakobiho matiu A(µ) = D x f(x, µ) závislú od µ a vy íslenú 16

v pevnom bode x. Uvaºujme, ºe vlastné ísla λ matie A sú diferenovate né v µ a komplexné : λ(µ) = α(µ) ± iβ(µ) a pretínajú imaginárnu os v bode µ = µ 0 nenulovou rýhlos ou: α(µ 0 ) = 0 dα(µ 0) a dµ β 0. Potom v blízkosti bodu µ 0 ekvilibrium bifurkuje do limitného yklu. Majme systém vyjadrený v Jordanovej normálovej forme: ẋ = J(µ)x, ( ) ( ) α(µ) β(µ) 0 β(µ 0 ) kde J(µ) ; J(µ 0 ). Pre doplnenie, ekvilibrium β(µ) α(µ) β(µ 0 ) 0 je typu stabilná ²pirála pre α(µ 1 ) < 0, typu nestabilná ²pirála pre α(µ 2 ) > 0 a entrum pre α(µ 0 ) = 0, µ 1 < µ 0 < µ 2. V normálovej forme môºe by AndronovovaHopfova bifurkáia vyjadrená v tvare: ẋ = J(µ 0 )x + h(x), (4.2) kde funkia h(x) predstavuje leny vy²²ieho rádu. Alebo môºme AndronovovuHopfovu bifurkáiu vyjadri v plnom tvare: ( ) ( ) ( ) ( x 1 0 β x 1 = + (x 2 1 + x 2 a 2) x 2 β 0 x 2 b ) ( b a x 1 x 2 ) ( ) k 1 (x 1, x 2 ) +, k 2 (4.3) (x 1, x 2 ) kde β = detj(µ 0 ), a, b R sa týkajú lenov tretieho rádu v Taylorovom rozvoji, funkie k 1, k 2 obsahujú leny ²tvrtého a vy²²íh rádov. Rovniu (4.3) môºeme v polárnyh súradniiah vyjadri nasledovne: ṙ = α(µ)r + a(µ)r 3 + O(r 5 ), (4.4) θ = β(µ) + b(µ)r 2 + O(r 4 ), (4.5) o pri rozvinutí do Taylorovho rozvoja v okolí µ = µ 0 (pre zjednodu²enie sa uvaºuje µ 0 = 0) dáva: ṙ = α (0)µr + a(0)r 3 + O(µ 2 r, µr 3, r 5 ), (4.6) θ = β(0) + β (0)µ + b(0)r 2 + O(µ 2, µr 2, r 4 ), (4.7) kde α (0) dα dµ µ 0 =0, β (0) dβ dµ µ 0 =0. Zanedbaním lenov vy²²ieho rádu a zjednodu²ením zápisu a(0) = a, β(0) = β, b(0) = b, β (0), α (0) d môºeme písa : ṙ = dµr + ar 3, (4.8) θ = β + µ + br 2. (4.9) A tak pre periodiké rie²enie systému rovní (4.9)(4.9), pre < µd < 0 a a µ dostato ne malé dostávame: [ ( [r(t), θ(t)] = µd ) 1/2 ( (, β + bd ) ) ] µ t + θ 0. (4.10) a a 17

Obrázok 4.1: Bifurka ný diagram v priestore (µ, r, θ) pre prípad a > 0, d > 0. Periodiké orbita je stabilná (pri ahuje k sebe krivky rie²ení zvonka aj zvnútra) pre a < 0 a nestabilná (odpudzujúa krivky od seba) pre a > 0, nezávisle od toho, i vlastné íslo pretne imaginárnu os z ava doprava (α (0) d > 0) alebo zprava do ava (d < 0). Môºu tak vzniknú nasledovné prípady. Ak a > 0, d > 0 (Obrázok 4.1), pevný bod je typu nestabilná ²pirála pre µ > 0 a typu stabilná ²pirála pre µ < 0, pri om vzniká nestabilný limitný yklus pre µ < 0. Ide o subkritiký typ bifurkáie. Ak a > 0, d < 0 (Obrázok 4.2), pevný bod je typu nestabilná ²pirála pre µ < 0 a typu stabilná ²pirála pre µ > 0 s nestabilným limitným yklom pre µ > 0. Ide o subkritiký typ bifurkáie. Ak a < 0, d > 0 (Obrázok 4.3), v tomto prípade je pevný bod typu stabilná ²pirála pre µ < 0 a typu nestabilná ²pirála pre µ > 0, pri om vzniká stabilný limitný yklus pre µ > 0. Ide o superkritiký typ bifurkáie. Ak a < 0, d < 0 (Obrázok 4.4), v tomto prípade je pevný bod typu stabilná ²pirála pre µ > 0 a typu nestabilná ²pirála pre µ < 0 so stabilným limitným yklom pre µ < 0. Ide o superkritiký typ bifurkáie. Symbol a sa nazýva aj prvým Liapunovým exponentom. Gukenheimer a Holmes (Tu (1994)) odvodili expliitnú formulu na jeho výpo et, s nasledovným tvarom: a 1 16 (h1 xxx+h 1 xyy+h 2 xxy+h 2 yyy)+ 1 [ ] h 1 16ω xy (h 1 xx + h 1 yy) h 2 xy(h 2 xx + h 2 yy) h 1 xxh 2 xx + h 1 yyh 2 yy, 0 (4.11) kde funkia h pohádza z rovnie (4.2) a vyjadruje leny vy²²íh rádov normálnej formy AndronovovejHopfovej bifurkáie. Dolný index reprezentuje pariálnu deriváiu pod a príslu²nej nezávislej premennej, napr. h 1 12 = 2 h 1 x 1 x 2. Predo²lé úvahy môºeme zhrnú v nasledovnej vete (Tu (1994)). 18

Obrázok 4.2: Bifurka ný diagram v priestore (µ, r, θ) pre prípad a > 0, d < 0. Obrázok 4.3: Bifurka ný diagram v priestore (µ, r, θ) pre prípad a < 0, d > 0. Obrázok 4.4: Bifurka ný diagram v priestore (µ, r, θ) pre prípad a < 0, d < 0. 19

Veta 4.3.1 (Veta o AndronovovejHopfovej bifurkáií). Neh systém ẋ = f(x, µ) : R 3 R 2 má pevný bod (x, µ 0 ) = (0, 0) a Jakobiho matia A(µ) D x f(x, µ 0 ) má rýdzo-imaginárne vlastné ísla λ(µ 0 ) = ±iβ(µ 0 ) také, ºe α(µ 0 ) = 0 β(µ 0 ) a pár vlastnýh ísel pretína imaginárnu os nenulovou rýhlos ou: d dα(µ 0 )/dµ 0. Potom 1. µ = µ 0 je bodom bifurkáie. 2. Pri prehode bodom bifurkáie existuje paraboloid s polomerom r = µd/a umiestnený v po iatku (x 0, µ 0 ) = (0, 0). Periodiké orbity sú stabilné (pri ahujúe) pre a < 0 a nestabilné (odpudzujúe) pre a > 0, nezávisle od toho, i pár rýdzo-imaginárnyh vlastnýh ísel pre al imaginárnu os z ava (d > 0), alebo zprava (d < 0). 20

Kapitola 5 Analýza zov²eobeneného Tobinovho modelu: 2D redukia pre krátkodobú limitu Za predpokladu, ºe kapitál je kon²tatný k = k a ve kos populáie je kon²tantná, resp. miera rastu populáie n = 0, sa pôvodný trojrozmerný systém redukuje na dvojrozmerný systém, ktorý budeme nazýva krátkodobým modelom. Krátkodobý model je teda reprezentovaný rovniami (3.2),(3.3) a rovniou (3.4). Elimináiou ˆp z rovní (3.2) a (3.3) pomoou rovnie (3.4) máme ṁ = m{θ ε[m L( k, q)] q}, (5.1) q = γε[m L( k, q)]. (5.2) Fixovaný kapitál k je v krátkodobom modeli parametrom. 5.1 Pevné body krátkodobého modelu Pre pevný bod platí q = 0, ṁ = 0 a teda: q = 0 m = L( k, q) ṁ = 0 m = 0 (θ ε[m L( k, q)] q) = 0 m = 0 θ q = 0 Za predpokladu, ºe m R + dostávame jeden netriviálny pevný bod dvojrozmerného dynamikého systému: [m, q ] = [L( k, θ), θ] = [L 0 kα (θ + q D ) β, θ]. V ekvilibriu sa o akávaná miera ináie rovná aktuálnej miere ináie (priamo z rovnie (3.4)) a dosahuje hodnoty miery pe aºného roz²irovania. Objem pe azí per apita sa v ekvilibriu vyrovná s dopytom po peniazoh. 21

Ak ozna íme x = [m, q ], potom x = x (θ, k, α, β, L 0, q D ). Pozíia pevného bodu je závislá od ve kosti kapitálu, miery pe aºného roz²irovania a parametrov vyskytujúih sa vo funkií dopytu po peniazoh. Naopak, rýhlos prispôsobenia sa enovej úrovni (parameter ε), rýhlos prispôsobenia sa o akávaniam (parameter γ) neovplyv- ujú pozíiu pevného bodu v dvojrozmernom fázovom priestore (m, q). 5.2 Linearizáia na okolí pevného bodu, stabilita pevného bodu Jakobiho matia dynamikého systému má nasledovný tvar: ( ) θ 2εm + εl( k, q) q m[εl q ( k, q) 1] A(m, q) =. γε γεl q ( k, q) Vy íslením matie v pevnom bode [m, q ] dostávame: ( ) A(m, q εl( k, θ) L( k, θ)[εl q ( k, θ) 1] ) =. γε γεl q ( k, θ) Kvôli preh adnosti alej ozna íme L L( k, θ), L q L q ( k, θ). Vypo ítame si nasledujúe harakteristiky: τ = tr(a) = εl γεl q = ε[l + γ( β)l /(θ + q D )] = εl [1 γβ/(θ + q D )], = det(a) = εγl (γl q γl q + 1) = εγl, D = τ 2 4 = ε 2 L 2 (1 γβ/(θ + q D )) 2 4εγL [ ( = ε 2 L 2 1 γβ ) ] 2 4γ. θ + q D εl > 0 determinant Jakobiho matie je kladný, o nám zaru uje, ºe pevný bod nemôºe by typu sedlo. Pre stopu τ < 0 pôjde o stabilný pevný bod, τ > 0 spôsobuje nestabilitu. τ = 0 je degenerovaný prípad, v ktorom linearizáia nie je dostato ná na ur enie typu a stability pevného bodu pôvodného nelineárneho systému. Analýzou parametrikej závislosti τ zis ujeme, ºe Ak ozna íme kritikú hodnotu τ < 0 [1 γβ/(θ + q D )] > 0 (θ + q D )/β > γ. γ = γ (θ, β, q D ) (θ + q D )/β, 22

potom pre 0 < γ < γ máme stabilný pevný bod, pre γ > γ nestabilný. Je vidie, ºe pri vy²²íh hodnotáh parametrov β, γ resp. nízkyh hodnotáh parametrov θ, q D je pevný bod nestabilný. Naopak pevný bod je stabilný pri niº²íh hodnotáh parametrov β, γ resp. pri vy²²íh hodnotáh parametrov θ, q D. To, i pôjde o stabilný (nastabilný) uzol, alebo stabilnú (nastabilnú) ²pirálu rozhodne kladnos (zápornos ) diskriminantu D. Analýzou parametrikej závislosti D zis ujeme, ºe: D = 0 [ ( 1 γβ θ + q D β 2 (θ + q D ) 2 γ2 γ +, γ = ( ) 2 4γ ] εl ( 2β + 4 θ + q D εl 2β θ+q D + 4 γ +, γ = θ + q D β γ +, γ = θ + q D β εl ) ± γ +, γ = γ + 2γ2 εl( k, θ) = 0 1 2γβ + γ2 β 2 θ + q D (θ + q D ) 4γ 2 εl = 0 ) γ + 1 = 0 ( 2β θ+q D + 4 εl ) 2 4 β 2 (θ+q D ) 2 2 β 2 (θ+q D ) 2 + 2(θ + q D) 2 ± (θ + q D) 2 16 β 2 εl 2β 2 ε 2 L 2 ( + 2(θ + q D) 2 βεl 1 ± + 1 β 2 εl θ + q D 1 ± εl( k, θ) + 1 γ ( ) βεl + 1 θ + q D ) Výraz εl( k, θ)/γ > 0, a teda εl( k, θ)/γ + 1 > 1. alej platí, ºe 0 < γ < γ a γ < γ +. Dostávame tak nasledovnú klasikáiu pevnýh bodov pre linearizovaný systém a pôvodný nelineárny systém (pozri Tabu ku 5.1 a Obrázok 5.1). Treba si uvedomi, ºe pre v prípade okamºitého prispôsobenia sa enovej úrovni, teda pre ε, γ +, γ γ, môºu nasta iba dva nedegenerované prípady: Linearizovaný systém Nelineárny systém γ (0, γ ) stabilný uzol stabilný uzol γ = γ stabilná hviezda γ (γ, γ ) stabilná ²pirála stabilná ²pirála γ = γ entrum γ (γ, γ + ) nestabilná ²pirála nestabilná ²pirála γ = γ + nestabilná hviezda γ (γ +, ) nestabilný uzol nestabilný uzol Tabu ka 5.1: Klasikáia pevnýh bodov pre dvojrozmerný model 23

Obrázok 5.1: Simuláia trajektórií dvojrozmerného modelu s parametrami: k = 1, θ = 1.5, α = 0.5, β = 0.5, ε = 1, L 0 = 1, q D = 1. Pre ²peikú vo bu parametra γ dostávame nasledovné typy pevnýh bodov: (a) stabilný uzol pre γ = 0.05, (b) stabilná ²pirála pre γ = 4, () entrum (v lin. prípade) pre γ = γ = 5, (d) nestabilná ²pirála pre γ = 10, (e) nestabilný uzol pre γ = 170. 24

Obrázok 5.2: Stabilitný diagram linearizovného systému. Znázornenie typu pevného bodu v rovine (γ, γ) pri hodnote parametrov k = 1, α = 0.5, β = 0.5, L 0 = 1, q D = 5 a parametra ε 1 = 50 (a), ε 2 = 500 (b). stabilný uzol pre γ < γ nestabilný uzol pre γ > γ Na Obrázku 5.2 krivky γ = γ, γ = γ +, γ = γ rozde ujú rovinu (γ, γ) na ²tyri oblasti s rôznymi typmi pevného bodu. Krivky sú vykreslené pri xovanej hodnote parametrov k, α, β, L 0, q D, ε, pre dve rôzne hodnoty ε. Pre vy²²iu hodnotu ε (Obrázok 5.2b) je vidie konvergenia kriviek γ = γ +, γ = γ k priamke γ = γ. Na obrázku 5.3 môºme sledova asový vývoj premennýh m, q, p, L( k, q) pre takú vo bu parametrov, pri ktorýh je pevný bod typu stabilná ²pirála. Ak za íname z výhodzieho bodu [m 0, q 0 ] o akávaná ináia q, ako aj reálna ináia p narastá, o má za následok vytes ovanie pe azí z ekonomiky - zniºuje sa dopyt po peniazoh L( k, q) a m klesá. Ak sa mnoºstvo pe azí vyrovná s dopytom po peniazoh, rast o akávanej ináie sa zastaví. Nasleduje obdobie, kedy e²te vysoká ináia vytlá a peniaze z obehu, av²ak ináia klesá. Klesajúa ináia obnovuje v ekonomike záujem o drºanie hotovosti - dopyt po peniazoh narastá. Pri zníºení ináie pod istú úrove sa mnoºstvo pe azí v ekonomike za ne znova zvy²ova. Zvy²uje sa, kým sa nevyrovná s dopytom po peniazoh. Vtedy sa klesanie o akávanej ináie zastaví. Nasleduje obdobie prosperity ekonomiky, kedy peniaze na trhu prevy²ujú dopyt po peniazoh, o zvy²uje ina né tlaky. Zvy²ovanie ináie zniºuje záujem o drºanie hotovosti - dopyt po peniazoh klesá. Ekonomika je na alej presýtená peniazmi, aº kým vysoká ináia neza ne znova vytesnova peniaze. V ekonomike sú teda prítomné osiláie okolo rovnováºneho stavu, pri om amplitúda v²etkýh spomínanýh premennýh m, L( k, q), q, p je utlmovaná. Osila ný harakter je zahovaný aj pri pevnom bode typu nestabilná ²pirála a entrum 25

Obrázok 5.3: ƒasový priebeh premennýh m, L( k, q), q, p pre hodnoty parametrov: k = 1, θ = 1.5, α = 0.5, β = 0.5, ε = 1, L 0 = 1, q D = 1, γ = 4 a po iato ný stav [m 0, q 0 ] = [0.9, 1.5]. Obrázok 5.4: ƒasový priebeh premennýh m, L( k, q), q, p pre hodnoty parametrov: k = 1, θ = 1.5, α = 0.5, β = 0.5, ε = 1, L 0 = 1, q D = 1,γ = 0.05 a po iato ný stav [m 0, q 0 ] = [0.74, 1.7]. (v linearizovanom prípade), iba s tým rozdielom, ºe pri nestabilnej ²pirále amplitúdy premennýh narastajú s asom. Na obrázku 5.4 je vývoj premennýh v ase v prípade, ke je pevný bod typu stabilný uzol. Po prvotnom ²oku spôsobenom nadmerným mnoºstvom pe azí a vysokou ináiou majú rie²enia tenteniu konvergova k pevnému bodu. V prípade nestabilného uzla rie²enia divergujú od pevného bodu. Pre γ {γ +, γ, γ } je linearizáia degenerovaná a fázový portrét na okolí pevného bodu nie je vo v²eobenosti ²trukturálne stabilný. V linearizovanom systéme pri hodnote parametra γ = γ je pevný bod typu entrum. Vzniká preto otázka, i aj v nelineárnom reºime existujú uzavreté orbity. Odpove môºe poskytnú Veta o AndronovovejHopfovej bifurkáií (Veta 4.3.1), ktorej aplikáiu na dvojrozmerný model uvádzame v nasledovnej podkapitole. 26

5.3 Dôkaz existenie limitného yklu v krátkodobom modeli Existeniu limitného yklu dokáºeme tak, ºe ukáºeme, ºe pri kritikej hodnote parametra γ = γ pár komplexne zdruºenýh vlastnýh ísel Jakobiho matie pretína imaginárnu os nenulovou rýhlos ou. Pri aplikáií Vety o AndronovovejHopfovej bifurkáii (Veta 4.3.1) je vhodné, aby bol uvaºovaný pevný bod dynamikého systému umiestnený v po iatku súradniovej sústavy. To dosiahneme posunutím m = m m, q = q q, resp. m = m L( k, θ), q = q θ. Potom systém rovní (5.1), (5.2) nadobúda tvar: m = [ m + L( k, θ)]{θ ε[ m + L( k, θ) L( k, q + θ)] q θ}, (5.3) q = γε[ m + L( k, θ) L( k, q + θ)]. (5.4) Kvôli preh adnosti denujme L( q) L( k, q +θ) = L 0 kα ( q +θ +q D ) β, L q = L q. Potom dostávame nasledovný systém: m = f 1 ( m, q) = [ m + L(0)]{ ε[ m + L(0) L( q)] q}, (5.5) q = f 2 ( m, q) = εγ[ m + L(0) L( q)]. (5.6) Pevný bod je teda [ m, q ] = [0, 0]. Uvaºujme teraz, ºe v²etky parametre okrem parametra γ sú xované. Potom môºme Jakobiho matiu systému rovní (5.5), (5.6) vy íslenú v pevnom bode [ m, q ] vyjadri ako funkiu parametra γ: ( ) εl(0) L(0)[εL q (0) 1] A(γ) =. γε γεl q (0) ( ) ) Stopa matie τ = εl(0) 1 γβ θ+q D = εl(0) (1 γγ a determinat = εγl(0). Vlastné ísla Jakobiho matie λ = 1 2 (τ ± τ 2 4 ) môºme vyjadri v závislosti od parametra γ nasledovne: λ(γ) = 1 ) ( εl(0) (1 γγ ± εl(0) 1 γ ) 2 4γ. 2 εl(0) Bifurkáia nastáva pri kritikej hodnote parametra γ = γ, kedy má Jakobiho matia rýdzo imaginárne vlastné ísla (Reλ = 0): γ λ(γ ) = ±iεl(0) εl(0) = ±i γ εl(0). Navy²e vidíme, ºe γ d dγ Reλ = 1 εl(0) > 0, (5.7) 2 γ takºe pár komplexne zdruºenýh vlastnýh ísel pretína imaginármu os pri raste γ v kritikej hodnote γ = γ nenulovou rýhlos ou, a preto v malom okolí parametra γ ekvilibrium bifurkuje do limitného yklu. 27

To, i pôjde o superkritiký, alebo subkritiký prípad AndronovovejHopfovej bifurkáie, resp. i limitný yklus je stabilný alebo nestabilný, je determinované znamienkom prvého Liapunovho koeientu dynamikého systému blízko ekvilibria. 5.4 Transformáia krátkodobého modelu na kánoniký tvar, ur- enie typu AndronovovejHopfovej bifurkáie O type AndronovovejHopfovej bifurkáie rozhodujú leny druhého a tretieho rádu v Taylorovom rozvoji dynamikého systému, vy íslené v kritikej hodnote parametra γ = γ. Av²ak Veta o AndronovovejHopfovej bifurkáií (Veta 4.3.1) predpokladá, ( ºe Jakobiho matia dynamikého systému je v Jordanovej kánonikej forme J =. ) 0 ω ω 0 To si vyºaduje úpravu matie A na Jordanov ( kánoniký ) tvar, resp. nájdenie takej matie P, pre ktorú platí: P 1 0 ω A(γ )P =. ω 0 Pri kritikej hodnote parametra γ = γ má Jakobiho matia dynamikého systému nasledujúi tvar: ( ) ( ) εl(0) L(0)[εL q (0) 1] εl(0) L(0)[ εβ θ+q A γ A(γ ) = = D L(0) 1] γ γ ε γ εl q (0) γ ε εβ = θ+q D L(0) ( ) εl(0) L(0)[ ε γ = L(0) + 1]. γ ε εl(0) K vlastnému íslu λ = i γ εl(0) môºme vypo íta prislúhajúi vlastný vektor v. Pre zjednodu²enie denujme a εl(0). ( a + i ) ( γ a L(0)[ a γ A γ λi = + 1] γ ε a + i a + i ) γ a L(0)[ a γ + 1] γ a 0 0 ( ) aγ + iγ γ a L(0)[a + γ ]. 0 0 Dostávame tak vlastný vektor ( ) ( ) ( ) v = L(0)[a + γ ] L(0)[a + γ ] 0 = + i aγ + iγ γ a aγ γ γ a ( ) ( L(0)[a + γ ] 0 a matiu P =, pri om platí: P 1 0 ) γ a A γ P =. aγ γ γ a γ a 0 alej si vypo ítame inverznú matiu P 1 : ( ) T P 1 1 P 22 P 21 = = det(p ) P 12 P 11 1 L(0)[a + γ ]γ γ a 28 ( γ γ a 0 aγ L(0)[a + γ ] ) =

1 = L(0)[a + γ ] γ a γ L(0)[a + γ ] 0 γ a. γ 2 a Ak rozvinieme funkie f 1 ( m, q), f 2 ( m, q) do Taylorového radu, môºme dynamiký systém popísaný rovniami (5.5), (5.6) vyjadri v blízkosti pevného bodu [ m, q ] = [0, 0] nasledovne: ( ) ( ) ( ) m m g 1 ( m, q) = A γ +. q q g 2 (5.8) ( m, q) Funkie g 1 ( m, q), g 2 ( m, q) predstavú leny druhého, tretieho a vy²²ieho rádu Taylorového rozvoja: g l ( m, q) = 1 2! 0 i,j 2 i+j=2 2 f l ( m, q) m i q j m=0 q=0 + 1 3! 0 i,j 3 i+j=3 3 f l ( m, q) m i q j m=0 q=0 +o( m, q 4 ), pre l = 1, 2. ( ) ( ) (5.9) m x Zave me teraz substitúiu = P. Rovnia (5.8) sa tak transformuje na tvar: q y ( ) ( ) ( ) ẋ x g 1 (x, y) P = A γ P +. ẏ y g 2 (5.10) (x, y) Prenásobením rovnie inverznou matiou P 1 z ava dostaneme: ( ) ( ) ( ) ( ẋ = P 1 x A γ P + P 1 g 1 (x, y) 0 ) ( ) ( ) γ a x h(x, y) = ẏ y g 2 +, (x, y) γ a 0 y k(x, y) (5.11) Dynamiký systém máme teda vyjadrený v normálnej forme. Prvý Liapunov exponent vyrátame pod a teórie (rovnia 4.11) nasledovne: l 1 = 1 16 (h xxx+h xyy +k xxy +k yyy )+ 1 16ω 0 [h xy (h xx + h yy ) k xy (k xx + k yy ) h xx k xx + h yy k yy ], pri om v na²om prípade ω 0 = γ a. Preto je potrebné vypo íta príslu²né pariálne deriváie funkií ( ) h, k, vy íslené ( ) v bode [ m, q ] = [0, 0]. h Ke ºe = P 1 g 1 k g 2, vypo ítajme najprv leny druhého a tretieho rádu Taylorového rozvoja dynamikého systému popísaného rovniou (5.8). Uº pri výpo te Jakobiho matie sme vyuºili: f 1 m = 2ε m + 2εL(0) + εl( q) q, f 1 q = [ m L(0)][εL q( q) 1], f 2 m = εγ, f 2 q = εγ L q ( q). alej po ítame: 29

2 f 1 m = 2 2ε, 2 f 1 m q = 2 f 1 q m = εl q( q) 2 f 1 1, q = εl q q( q)[ m + 2 L(0)], 2 f 2 m = 2 0, 2 f 2 m q = 2 f 2 q m = 0, 2 f 2 q = εγ 2 L q q ( q). Deriváie tretieho rádu: 3 f 1 m = 3 0, 3 f 1 m 2 q = 3 f 1 m q m = 3 f 1 q m = 2 0, 3 f 1 m q = 3 f 1 2 q m q = 3 f 1 q 2 m = εl q q( q), 3 f 1 q = εl q q q( q)[ m + 3 L(0)], 3 f 2 m = 3 0, 3 f 2 m 2 q = 3 f 2 m q m = 3 f 2 q m = 2 0, 3 f 1 m q = 3 f 2 2 q m q = 3 f 2 q 2 m = 0, 3 f 2 q = εγ 3 L q q q ( q). A tak môºme funkie g 1 ( m, q), g 2 ( m, q) z rovnie (5.9) pri zanedbaní ²tvrtého a vy²²ieho rádu (vy íslené v pevnom bode [ m, q ] = [0, 0]) vyjadri nasledovne: g 1 ( m, q) = ε m 2 +[εl q (0) 1] m q+ 1 2 εl q q(0)l(0) q 2 + 1 6 3εL q q(0) m q 2 + 1 6 εl q q q(0)l(0) q 3, (5.12) g 2 ( m, q) = 1 2 εγ L q q (0) q 2 1 6 εγ L q q q (0) q 3. (5.13) Platí: L q (0) = L(0), L q q (0) = L2 (0) γ γ 2, L q q q (0) = L3 (0) γ 3. Pre zjednodu²enie budeme v nasledujúom texte písa L namiesto L(0). Rovnie (5.12), (5.13) môºme teda vyjadri v nasledujúom tvare: g 1 ( m, q) = ε m 2 ε L γ m q m q + 1 2 εl3 γ 2 q 2 + 1 2 εl2 γ 2 m q 2 1 6 εl4 γ 3 q 3, (5.14) g 2 ( m, q) = 1 2 εl2 q 2 + 1 γ 6 εl3 q 3. γ 2 (5.15) Zavedieme teraz substitúiu: ( ) ( ) ( ) ( ) m x L(a + γ )x x = P = = q y aγ x + γ γ ay γ ( ax +, γ ay) kde a εl, L(a + γ ). Rovnie (5.14), (5.15) sa zmenia na tvar: g 1 (x, y) = ε 2 x 2 ax( ax + γ ay) γ x( ax + γ ay) + + 1 2 al2 ( ax + γ ay) 2 + 1 2 alx( ax + γ ay) 2 1 6 al3 ( ax + γ ay) 3, g 2 (x, y) = 1 2 alγ ( ax + γ ay) 2 + 1 6 al2 γ ( ax + γ ay) 3. 30

( ) ( h A ke ºe platí = P 1 k k nasledovne: h(x, y) = k(x, y) = g 1 g 2 1 L[a + γ ] g1 (x, y) = 1 g1 (x, y), γ a γ a γ L[a + γ ] g1 (x, y) + γ 2 a g2 (x, y) = ), zo znalosti tvaru matie P 1 vyjadríme funkie h, γ a γ ( 1 g1 (x, y) + 1 ) γ a g2 (x, y). Znalos presného tvaru funkií h, k nám uº umoº uje priamo vypo íta prvý Liapunov exponent. Po ítaním príslu²nýh pariálnyh deriváií (vy íslenýh v pevnom bode [ m, q ] = [0, 0]) vyskytujúih sa v Liapunovom exponente postupne dostávame: h xx = 2ε + 2a 2 + 2γ a 2 + 1 a3 L 2 = a3 L 2, h xy = a γ a γ γ a 1 a2 L 2 γ a = ) γ a (a + γ + a2 L 2, h yy = γ a 2 L 2, ( γ a k xx = 2ε + 2a 2 + 2γ a + 1 ) ( ) γ a3 L 2 a 2 γ a al L = a 2 L γ 1 = a2 L 2 γ a, ( γ a k xy = a γ a γ γ a 1 γ a2 L 2 γ a + al ) γ a = a 2 γ a + γ a 2 L 2, ( ) γ a 1 k yy = γ γ a 2 L 2 γ al = γ al 2 γ a, h xxx = 3a 3 L + a4 L 3, h xyy = γ a 2 L + γ a 3 L 3, [ γ a k xxy = 2a 2 L γ a 6a γ 6 L3 (a 2 γ a) + 6 6 al2 (a 2 ] γ a) = 2a 3 L a4 L 3 +a 3 L 2, [ γ a k yyy = 1 γ γ a 2 L 3 γ a + 6 6a γ a 2 L 3 ] γ a = γ a 3 L 3 + γ a 2 L 2. alej po ítame: h xxx + h xyy + k xxy + k yyy = 3a 3 L + a4 L 3 + γ a 2 L + γ a 3 L 3 2a 3 L a4 L 3 + a 3 L 2 γ a 3 L 3 + γ a 2 L 2 = = a 3 L + γ a 2 L + a 3 L 2 + γ a 2 L 2 = a 2 L(a + γ ) + a 2 L 2 (a + γ ) = = a 2 (1 + L), 31

( ) ( 1 γ a h γ a xy(h xx + h yy ) = a + γ + a2 L a 3 L 2 γ a ) = a 2 L (a + γ + a2 L 2, 1 γ a k 1 xy(k xx + k yy ) = ( a 2 γ a + γ a 2 L 2 γ a = a 2 L ( a γ + γ al 2 1 γ a h xxk xx = a5 L 4 2, 1 γ a h yyk yy = γ2 a 3 L 4. 2 A teda prvý Liapunov exponent je rovný: ), + γ ) a 2 L 2 = ) ( a2 L 2 γ a γ al 2 ) γ a = l 1 = 1 16 (h xxx + h xyy + k xxy + k yyy )+ + 1 16 γ a [h xy(h xx + h yy ) k xy (k xx + k yy ) h xx k xx + h yy k yy ] = = 1 16 a2 (1 + L) + 1 [ a 3 L γ a 2 L a4 L 3 a 3 L γ a 2 L + γ a 3 L 3 16 ] + a5 L 4 γ2 a 3 L 4 = 2 2 = 1 16 a2 (1 + L)+ + 1 [ 2a 3 L 2γ a 2 L a5 L 4 γ a 4 L 4 + γ ] a 4 L 4 + γ2 a 3 L 4 + a5 L 4 γ2 a 3 L 4 = 16 2 2 2 2 2 2 = 1 16 a2 (1 + L) + 1 16 [ 2a2 ] = = 1 16 a2 (L 1). Ke ºe a = εl > 0, = L(a + γ ) > 0, kladnos / zápornos Liapunovho exponentu závisí od znamienka výrazu L 1 = L( k, θ) 1. Teda závisí od toho, i dopyt po peniazoh v ekvilibriu je vä ²í, alebo men²í ako hodnota jedna, resp. i objem pe azí v ekvilibriu m je vä ²í, alebo men²í ako jedna. Z výrazu (5.7) vidíme, ºe pár zdruºenýh vlastnýh ísel pretína imaginárnu os pri raste γ v kritikej hodnote γ = γ kladnou rýhlos ou. V prípade, ºe Liapunov exponent je kladný, a teda L( k, θ) > 1, ekvilibrium je typu nestabilná ²pirála pre parameter γ > γ a typu stabilná ²pirála, pre γ < γ, pri om vzniká nestabilný limitný yklus pre γ < γ. V tomto prípade ide o subkritiký typ AndronovejHopfovej bifurkáie (pozri Obrázok 5.5). V prípade, ºe Liapunov exponent je záporný, a teda L( k, θ) < 1, ekvilibrium je typu stabilná ²pirála pre parameter γ < γ a typu nestabilná ²pirála, pre γ > γ, pri om vzniká stabilný limitný yklus pre γ > γ. AndronovovejHopfovej bifurkáie. V tomto prípade ide o superkritiký typ Uvaºujme teraz, ºe dopyt po peniazoh v ekvilibriu je rovný jednej: L( k, θ) = L 0 kα (θ + q D ) β = L 0 kα (θ + q D ) α 1 = 1. 32

Obrázok 5.5: Subkritiký prípad AndronovejHopfovej bifurkáie. Pre vo bu parametrov k = 1, θ = 1.5, α = 0.4, β = 0.6, ε = 0.4, L 0 = 1.67, q D = 0.5. Pre ²peikú vo bu parametra γ dostávame: (a) nestabilná periodiká orbita pre γ = 3 < γ. Modrá a zelená trajektória sa odvíja od nestabilnej orbity. (b) nestabilná ²pirála pre γ = 3.33, () nestabilná ²pirála pre γ = 4 > γ. 33

Obrázok 5.6: Graf závislosti kritikej hodnoty parametra α od parametra θ. L 0 = 1, q D = 1, k = 2 sú xované. Hodnoty parametrov Pri om sme vyuºili, ºe α + β = 1. Z predo²lej rovnie teraz môºme vyjadri parameter α ako funkiu závislú od ostatnýh parametrov L 0, k, θ, q D nasledovne: α = α (L 0, k, θ, q D ) = ln(θ + q D) lnl 0 ln(θ + q D ) + ln k. Takto vyjadrené kritiké hodnoty parametra α nám denujú krivku, na ktorej je dopyt po peniazoh rovný jednej. Na obrázku 5.6 je vyjadrená závislos α od parametra θ, pri om zvy²né parametre L 0, q D, k sú xované. Krivka α je rastúa. Vy²²ie hodnoty α a niº²ie hodnoty parametra θ vytvárajú v modeli pri vhodnej hodnote γ subritiký typ AndronovovejHopfovej bifurkáie, resp. vzniká nestabilný limitný yklus. Naopak, men²ie hodnoty α a vä ²ie hodnoty θ dávajú moºnos pre vznik stabilného limitného ykla v modeli. Obrázok 5.7 vyjadruje závislos α od parametra k, pri om zvy²né parametre L 0, q D, θ sú xované. Krivka α je klesajúa. Vy²²ie hodnoty k spolu s vy²²ími hodnotami parametra α nám v modeli pri vhodnej vo be γ vytvárajú nestabilný limitný yklus. Naopak niº²ie hodnoty kapitálu s men²ou zmenou rýhlosti nárastu dopytu po peniazoh L pri náraste mnoºstva kapitálu k (s niº²ími hodnotami α) nám stabilizujú model a formuje sa stabilná limitná periodiká orbita. 34

Obrázok 5.7: Graf závislosti kritikej hodnoty parametra α od parametra k. L 0 = 2, q D = 1, θ = 3 sú xované. Hodnoty parametrov 5.5 Perióda yklikého rie²enia Krátkodobý model nadobúda v Jordanovej kánonikej forme nasledujúi tvar (pozri rovniu (5.11)): ( ) ( ẋ 0 ) ( ) ( ) γ εl( k, θ) x h(x, y) = +. (5.16) ẏ γ εl( k, θ) 0 y k(x, y) Pri zanedbaní lenov vy²²íh rádov moºno vyjadri rovniu v linearizovanej forme nasledovne: ( ) ( ẋ 0 ) ( ) γ εl( k, θ) x =. (5.17) ẏ γ εl( k, θ) 0 y To nám umoº uje vyjadri expliitné rie²enia premennýh x(t), y(t): ( ) x(t) = Re[(a + ib)ve αt (os(bt) + isin(bt))], y(t) kde λ = a + ib je vlastné íslo a v vlastný vektor Jordanovej matie. V na²om prípade a = 0, b = γ εl( k, θ). Expliitná forma periodikýh rie²ení sa teda dá vyjadri ako lineárna kombináia os(βt), sin(βt), pri om perióda T osiláií má tvar: T = 2π γ εl( k, θ) = 2π = θ + qd εl β 0 kα (θ + q D ) β 2π 1 α εl0 [ k(θ + q D )] α. Perióda závisí nepriamoúmerne od rýhlosti prispôsobenia sa enovej úrovni - parameter ε. Zvä ²ovanie ε - zvý²enie prispôsobivosti na enovú úrove zniºuje dobu hospodárskeho yklu. Podobný vplyv na d ºku hospodárskeho yklu má kapitál k, miera pe aºného 35

roz²irovania θ a zmena rýhlosti nárastu dopytu po peniazoh L pri náraste mnoºstva kapitálu k (parameter α). Zvý²enie k, θ, α vedie k zrýhleniu osiláií v ekonomike. Rýhlos prispôsobenia sa o akávaniam - parameter γ v²ak nemá vplyv na ve kos periódy T. Teda perióda T je nezávislá od toho, ako rýhlo sa vedia udia prispôsobi o akávaniu ináie. 36

Kapitola 6 Analýza zov²eobeneného Tobinovho modelu: úplný (3D) prípad V tejto kapitole budeme analyzova model, ako bol denovaný v Kapitole 3. Elimináiou ˆp z rovní (3.2) a (3.3) pomoou rovnie (3.4) máme: k = sf(k) (1 s)(θ q)m nk, (6.1) ṁ = m{θ ε[m L( k, q)] q n}, (6.2) q = γε[m L( k, q)]. (6.3) 6.1 Pevné body modelu Pre pevný bod platí k = 0, vyplýva: ṁ = 0, q = 0, a teda z rovní (6.2), (6.3) priamo q = θ n, m = L(k, q ) = L(k, θ n). V ekvilibriu sa o akávaná miera ináie rovná aktuálnej miere ináie (z rovnie (3.4)) a dosahuje hodnoty miery pe aºného roz²irovania zníºeného o mieru rastu obyvate stva. Kým v krátkodobom modeli sa o akávaná miera ináie rovnala miere zmeny nominálneho mnoºstva pe azí, v dlhodobom horizonte rast obyvate stva potlá a efekt ináie spôsobenej roz²irovaním pe azí. Objem pe azí per apita sa v ekvilibriu vyrovná s dopytom po peniazoh. alej z rovnie (6.1) má plati : sf(k ) (1 s)(θ q )m nk = 0. (6.4) Pri uvaºovaní konkrétnyh funkií f(k), L(k, q) dostávame algebraikú rovniu s neznámou k: sk ρ (1 s)nl 0 k α (θ n + q D ) β nk = 0. 37

Predelíme rovniu kapitálom k > 0 a mierou úspor s > 0: k ρ 1 = n s (1 s)l 0(θ n + q D ) β k α 1 + n s. Po transformáií x = k ρ 1 môºme predo²lú rovniu vyjadri v tvare: }{{} x = bx } a {{ + }, (6.5) f 1 (x) f 2 (x;a,b,) kde a α 1 ρ 1 > 0, b n s (1 s)l 0(θ n + q D ) β > 0 a = n > 0. A teda pri h adaní s pevného bodu k, resp. x môºu nasta nasledovné situáie: 1. Pre a < 1 (α > ρ) dostávame jeden pevný bod x pre ubovo né b,. Vo v²eobenosti ho moºno nájs iba numeriky (pozri Obrázok 6.1). 2. Pre a = 1 (α = ρ) sú dve moºnosti (pozri Obrázok 6.2): (a) Pre b < 1 máme jeden pevný bod: x = 1 b, vyjadrený v pôvodnej premennej a parametroh: n 1 ρ 1 [ k = s 1 n n(θ n + qd ) β s (1 s)l = 0(θ n + q D ) β s + n(s 1)L 0 ] 1 ρ 1 (6.6) (b) b 1 neexistuje pevný bod. 3. Pre a > 1 (α < ρ) máme tri moºnosti (pozri Obrázok 6.3): (a) > k, kedy priamka f 1 leºí pod krivkou f 2 a neexistuje pevný bod. (b) = k, kedy sa priamka f 1 dotýka s krivkou f 2 v pevnom bode, pri om platí podmienka transverzality: df 1 dx = df 2 dx 1 = abxa 1 x = (ab) 1 1 a. Kapitál v ekvilibriu má teda nasledovný tvar: [ (α 1)n(1 k s)l0 = (ρ 1)s(θ n + q D ) β Kritikú hodnotu k pritom môºme tieº expliitne vyjadri : k = x bx a = (ab) 1 1 a b(ab) a 1 a, a teda v tomto prípade platí podmienka: [ ] ρ 1 n (α 1)n(1 s = s)l0 ρ α n(1 s)l 0 + (ρ 1)s(θ n + q D ) β s(θ n + q D ) β ] 1 ρ α. (6.7) [ (α 1)n(1 s)l0 (ρ 1)s(θ n + q D ) β () < k, priamka f 1 pretína krivku f 2 v dvoh pevnýh bodoh x 1, x 2, ktoré moºno nájs numeriky. ] α 1 ρ α. 38

Obrázok 6.1: Vzájomná pozíia grafov f 1 (x) = x, f 2 (x) = bx a +, pri om a < 1, b, sú ubovo né. Obrázok 6.2: Vzájomná pozíia grafov f 1 (x) = x, f 2 (x) = bx a +, pri om a = 1, je ubovo né, (a) b < 1, (b) b 1. 6.2 Linearizáia na okolí pevného bodu, stabilita pevného bodu Jakobiho matia dynamikého systému má nasledovný tvar: sf k (k) n [1 s][θ q] [1 s]m A(k, m, q) = εml k (k, q) θ 2εm + εl(k, q) q n m[εl q (k, q) 1]. γεl k (k, q) γε γεl q (k, q) Kvôli preh adnosti alej ozna íme f f(k ), f k f k (k ), L L(k, θ n), L k L k(k, θ n), L q L q (k, θ n). Vy íslením matie v pevnom bode [k, m, q ] dostávame: sfk n [1 s]n [1 s]l A(k, m, q) = εl L k εl L [εl q 1]. γεl k γε γεl q 39

Obrázok 6.3: Vzájomná pozíia grafov f 1 (x) = x, f 2 (x) = bx a +, pri om a > 1, b je ubovo né, (a) > k, (b) = k, () < k. Vypo ítame si nasledujúe harakteristiky: 1 = tra = (sfk n εl γεl q) = (sf k s f ) + (1 s)nl k k εl γεl q = s f (1 ρ) (1 s)nl k k + βl εl γε, θ n + q D pri om sme vyuºili, ºe n = f k (1 s)nl k (z rovnie 6.4). 40

2 = sfk n εl L k (1 s)n εl + εl L (εl q 1) γε γεl + sfk n q γεl k (1 s)l γεl q = (sf n)εl + (1 s)nεl L k + εl γεl q γεl (εl q 1) (sf n)γεl q + (1 s)l γεl k = (sf n)(εl + γεl q) + (1 s)εl L k(n + γ) + γεl = (sf k s f ) + (1 s)nl (εl + γεl k k q)+ + (1 s)εl L k(n + γ) + γεl = s f ( ) k (1 ρ)(εl + γεl q) + (1 s)nε L n + γ k n L kk L γl q + γεl = s f ( ) ( ) βγ (1 ρ)εl 1 + (1 s)nε L 2 n + γ k θ n + q D k n α 1 + βγ + γεl, θ n + q D 3 = det(a) = [(sf k n)εl γεl q + (1 s)nl (εl q 1)γεL k + (1 s)l εl L kγε (1 s)l εl γεl k (sf k n)l (εl q 1)γε (1 s)nεl L kγεl q] = (1 s)nl (εl q 1)γεL k + (1 s)nεl L kγεl q [sf k s f ] + (1 s)nl L γε k k ( ) f = s k f k L γε + (1 s)nγε L k (L kk L ) = s f k (1 ρ)l γε (1 s)nγε L 2 k (1 α). Pod a RouthovhoHurwitzovho kritéria nutnou a posta ujúou podmienkou pre lokálnu stabilitu linearizovaného systému je: 1 > 0, 3 > 0, 1 2 3 > 0. Teda, ekvilibrium [k, m, q ] je stabilné, práve vtedy, ke platia nasledovné podmienky: [ (. sf (1 ρ) 1 s f (1 ρ) (1 s)nl k k + βl εl γε > 0, (6.8) θ n + q D sf (1 ρ) (1 s)nl (1 α) > 0, (6.9) [s f ] (1 ρ) (1 s)nl k k + βl εl γε. θ n + q ) ( ) D ] βγ n + γ + (1 s)nl n α 1 + βγ + γk θ n + q D θ n + q D [sf (1 ρ)γ (1 s)nγl (1 α)] > 0. (6.10) 41

Tieto výsledky moºno porovna s výsledkami práe Benhabib & Miyao (1981), kde autori uvaºovali trojrozmerný Tobinov model pre relatívne ²irokú triedu funkií f a L. Autori pritom uvádzajú nasledovnú nutnú a posta ujúu podmienku stability pevného bodu: 1 > 0, 2 > 0, 1 2 3 > 0, Poznamenajme, ºe tieto podmienky nie sú v súlade s RouthovýmHurwitzovým kritériom pre lokálnu stabilitu linearizovaného systému, a teda nesprávne. 42

Záver V prái sme analyzovali zov²eobenený Tobinov model pre konkrétnu triedu produk nýh funkií a konkrétnu triedu funkií dopytu po peniazoh. Pre krátkodobý model sme na²li izolované pevné body. Identikovali sme podmienky, pri ktorýh dohádza k primárnej bifurkáií linearizovanýh rie²ení. Pomoou al²íh dvoh kritikýh parametrov γ, γ+ môºme klasikova, i je pevný bod typu stabilná/nestabilná ²pirála, alebo stabilný/nestabilný uzol. alej sme ukázali, ºe pri kritikej hodnote γ = γ pár komplexne zdruºenýh vlastnýh ísel pretína imaginárnu os pri raste γ nenulovou rýhlos ou, a teda na malom okolí parametra γ ekvilibrium bifurkuje do limitného yklu, resp. v dynamikom systéme dohádza ku AndronovovejHopfovej bifurkáii. Po transformáií krátkodobého modelu na kánoniký tvar a výpo te prvého Liapunovho exponentu sa nám podarilo ur i typ AndronovovejHopfovej bifurkáie. Typ bifurkáie závisí od toho, i dopyt po peniazoh v ekvilibriu L( k, θ), resp. objem pe azí v ekvilibriu m, je vä ²í alebo men²í ako hodnota jedna. V prípade, ºe dopyt po peniazoh je men²í, v modeli vzniká stabilný limitný yklus (superkritiký typ bifurkáie). Naopak, ak hodnota dopytu po peniazoh v ekvilibriu je vä ²ia vzniká nestabilná limitná periodiká orbita (subkritiký typ bifurkáie). al²ím výsledkom je asymptotiká forma pre periódu osila nýh rie²ení. Pre úplný trojrozmerný model sme odvodili vz ahy medzi parametrami, pri ktorýh v modeli existuje jeden alebo dva izolované pevné body, resp. ºiaden pevný bod. alej sme odvodili nutné a posta ujúe podmienky pre stabilitu pevného bodu. 43