2. KAMATNI RAČUN 2.1. POJAM KAMATE I KAMATNE STOPE

1 2. KAMATNI RAČUN 2.1. POJAM KAMATE I KAMATNE STOPE Pod pojmom kamata podrazumijeva se naknada koju dužnik plaća za posuđenu glavnicu. Pri tom se pod glavnicom najčešće podrazumijeva određena svota novca, iako glavnica šire shvaćeno može biti i nešto drugo. Kamate se uvijek obračunavaju za neki osnovni vremenski interval koji nazivamo razdoblje ukamaćivanja ili razdoblje kapitalizacije, što se propisuje zakonom ili definira u ugovoru. Razdoblje kapitalizacije najčešće je jedna godina, ali to može biti i mjesec, kvartal ili bilo koji drugi vremenski interval. Kamatna stopa ili kamatnjak je iznos koji se plaća za novčanih jedinica za neki osnovni vremenski interval. U skladu s tim je i najčešća oznaka za kamatnu stopu - p (percent). 2.2. DEKURZIVNI I ANTIIPATIVNI KAMATNI RAČUN Kamate se mogu obračunavati na početku ili na kraju razdoblja kapitalizacije. Ako se kamate obračunavaju na kraju razdoblja od vrijednosti glavnice s početka tog razdoblja govori se o dekurzivnom obračunu kamata. Ako se kamate obračunavaju na početku razdoblja od vrijednosti glavnice s kraja tog razdoblja govori se o anticipativnom obračunu kamata. Dakle: dekurzivno obračunati kamate znači izračunati kamate na posuđeni iznos i isplatiti ih ili pribrojiti početnom iznosu na kraju vremenskog razdoblja;

2 anticipativno obračunati kamate znači obračunati ih unaprijed za neko vremensko razdoblje, pri čemu se kamate obračunavaju na konačnu vrijednost zadanog iznosa. Dekurzivna kamatna stopa najčešće se označava slovom p, a anticipativna slovom q. Primjer 1. Ivo je posudio 8. kn na godinu dana, uz 1% kamata godišnje. Pogledajmo razliku između dekurzivnog i anticipativnog ukamaćivanja: a) dekurzivno ukamaćivanje: Ivo će odmah dobiti 8. kn i na kraju godine vratiti 8. kn + kamate. Kamate ćemo označiti slovom K (u literaturi ćete često naići i na oznaku I). K 8 1 8 kn. Dakle, Ivo će na kraju godine vratiti 8.8 kn. b) anticipativno ukamaćivanje: Ivi će se odmah odbiti kamata na ukupni iznos, tako da će Ivo odmah dobiti 7.2 kn (8-8), a na kraju godine će vratiti 8. kn. Primjer 2. Izračunajte na koju vrijednost naraste glavnica od 5. kn nakon jedne godine uz 8% kamata godišnje. Zadatak riješite primjenom: a) dekurzivnog b) anticipativnog ukamaćivanja.

3 5. kn p 8 (q 8) n 1 1? a) dekurzivna kapitalizacija p K 5 8 4 1 + K 5 + 4 5.4kn b) anticipativna kapitalizacija 1 q K 1 - K 5 1 q 1 1 8 1 5 5 1,8 1 5,92 1 5 / :,92 1 5.434,78 kn Uočite da je u slučaju anticipativnog ukamaćivanja kamata veća nego kod dekurzivnog ukamaćivanja.

4 2.3. JEDNOSTAVNI I SLOŽENI KAMATNI RAČUN U prethodnom primjeru obračunavali smo kamate samo za jedno vremensko razdoblje. Naravno da broj razdoblja može biti i veći. Tada se obračun kamata može provoditi na dva načina, jednostavan i složen. U slučaju jednostavnog ukamaćivanja kamate se računaju uvijek na početnu vrijednost glavnice ( ), dok se kod složenog ukamaćivanja kamate u svakom sljedećem razdoblju računaju na prethodnu vrijednost uvećanu za kamate, tj. računaju se i kamate na kamate. Primjer 1. Odredite konačnu vrijednost i ukupno obračunate kamate za glavnicu od 1. kn tri godine nakon ulaganja. Kapitalizacija je godišnja i dekurzivna, uz godišnji kamatnjak p 6. Usporedite rezultate u slučaju jednostavnog i složenog ukamaćivanja. a) jednostavni kamatni račun 1. kn n 3 godine p 6 3, K? p K 1 K 2 K 3 p p 6 6 1 + K 1 1.6 6 2 1 + K 2 11.2 6 3 2 + K 3 11.8 kn Budući da su kamate u svakom razdoblju jednake (K 1 K 2 K 3 K n ) mogli smo konačnu vrijednost izračunati i kao:

5 n + n K n 3 + 3 K n 1. + 3 6 11.8 kn K 3 11.8 1. 1.8 kn b) složeni kamatni račun Za prvo razdoblje obračun je potpuno isti kao i za jednostavni kamatni račun, tj.: 1 + p 1. + 6 1.6 Međutim, sljedeće kamate računaju se na početnu glavnicu uvećanu za kamate, tj. na 1, pa je: odnosno: i analogno: K p 16 6 1 2 636 2 1 + K 2 1.6 + 636 11.236 K 2 p 11236 6 3 674,16 3 2 + K 3 11.236 + 674,16 11.91,16 kn Ukupne kamate su očito veće, tj. K 3-11.91,16 1. 1.91,16 kn.

6 2.4. PRIMJENA JEDNOSTAVNOG DEKURZIVNOG KAMATNOG RAČUNA Jednostavni dekurzivni obračun kamata podrazumijeva: 1. Kamate se obračunavaju na početni iznos i isplaćuju se ili pribrajaju početnom iznosu na kraju vremenskog razdoblja. 2. Kamate se za svako vremensko razdoblje izračunavaju na početnu vrijednost glavnice. 2.4.1. Godišnji obračun kamata Uvedimo oznake: () početni iznos (glavnica); p (p(g)) godišnja dekurzivna kamatna stopa; n vrijeme izraženo u godinama; K ukupne kamate nakon n godina; n konačni iznos (početni iznos + kamate) nakon n godina. Vrijede relacije: K p n p K n K p n

7 n K p p n n + K + p n n (1+ ) Primjer 1. Koliko iznose ukupne kamate na glavnicu od 15. kn nakon 5 godina uz godišnju kamatnu stopu od 6%? Obračun kamata je godišnji, jednostavan i dekurzivan. 15. kn n 5 godina p 6% K? K p n 15 6 5 Ukupne kamate iznose 4.5 kn. 45

8 Primjer 2. Nakon 3 godine dužnik je platio 12. kn duga i 2.52 kn kamata. Koliko je iznosila godišnja kamatna stopa, ako je obračun kamata bio godišnji, jednostavan i dekurzivan? n 3 godine 12. kn K 2.52 kn p? p K n 252 12 3 7% Godišnja kamatna stopa iznosila je 7%. Primjer 3. Nakon 4 godine plaćene su kamate u iznosu od 4.8 kn. Koliko je iznosio ukupni dug, ako je obračun kamata bio jednostavan i dekurzivan uz godišnju kamatnu stopu od 6%? n 4 godine K 4.8 kn p 6%? K p n 48 6 4 2 Ukupni dug iznosio je 2. kn.

9 Primjer 4. Za koliko godina iznos od 3. kn uz godišnji kamatnjak od 8% donese 24. kn kamata. Obračun kamata je jednostavan, dekurzivan i godišnji. 3. kn p 8% K 24. kn n? K n p Za 1 godina. 24 3 8 1 Primjer 5. Mica je uložila u banku 5. kn. S kolikim iznosom će raspolagati nakon 5 godina, ako je obračun kamata jednostavan i dekurzivan uz godišnju kamatnu stopu od 6,5%? 5. kn n 5 godina p 6,5% n? n p n 6,5 5 (1+ ) 5(1+ ) Mica će nakon 5 godina imati 66.25 kn. 6625

1 2.4.2. Obračun kamata za kraća vremenska razdoblja U prethodnim primjerima smo za obračun kamata koristili godinu kao osnovno vremensko razdoblje. U praksi je ponekad potrebno obračunavati kamate i za kraća vremenska razdoblja, tj. mjesece ili dane. MJESEČNI OBRAČUN KAMATA Označimo sa m broj mjeseci u kojemu se obračunavaju kamate. U tom slučaju relacija za izračunavanje jednostavnih dekurzivnih kamata glasi: K p 12 m Relacije za ostale vrijednosti lako se izvedu iz prethodne. Primjer 6. Koliko jednostavnih dekurzivnih kamata donese glavnica od 5. kn za 7 mjeseci uz godišnju kamatnu stopu od 4,5%? 5. kn m 7 p 4,5% K? p m 5 4,5 7 K 131, 25kn 12 12

11 DNEVNI OBRAČUN KAMATA Kod dnevnog obračuna kamata, ovisno o određivanju broja dana u mjesecu i godini razlikujemo 3 metode: 1. Njemačka metoda računa se da godina ima 36, a svaki mjesec 3 dana. 2. Francuska metoda računa se da godina ima 36 dana, a dani u mjesecu određuju se prema kalendaru. Za obje ove metode jednostavne kamate izračunavaju se iz relacije (broj dana označavamo sa d): K p 36 d 3. Engleska metoda broj dana u godini i svakom mjesecu izračunava se prema kalendaru. Ova metoda je najpreciznija i kod nas se u praksi najčešće koristi. Jednostavne kamate uz ovu metodu izračunavaju se iz relacije: K p 365 d Napomena 1. Kod engleske metode se u nazivnik gornje relacije upisuje 366 u slučaju prestupne godine. Ukoliko se ne zna o kojoj godini se radi, koristi se vrijednost 365. Napomena 2. U sve 3 metode se prilikom obračunavanja broja dana 1. dan u promatranom razdoblju ne broji, ali se broji posljednji.

12 Primjer 7. Poduzeće X je podiglo kratkoročni kredit u iznosu od 3., kn uz 9% godišnjih kamata za vrijeme od 14.5. do 1.11.23. godine. Koliko iznose jednostavne kamate prema: a) njemačkoj metodi, b) francuskoj metodi, c) engleskoj metodi? 3., kn p 9% K? Radi preglednosti ćemo prvo u tablici obračunati ukupan broj dana za svaku od metoda: metoda - broj dana mjesec njemačka francuska engleska svibanj 16 17 17 lipanj 3 3 3 srpanj 3 31 31 kolovoz 3 31 31 rujan 3 3 3 listopad 3 31 31 studeni 1 1 1 Σ 176 18 18 a) njemačka metoda p d 3 9 176 K 13.2, kn 36 36 b) francuska metoda p d 3 9 18 K 13.5, kn 36 36

13 c) engleska metoda p d 3 9 18 K 13.315, 7kn 365 365 Primjer 8. Mica je na kunskoj knjižici u 24. godini imala sljedeće podatke: DATUM UPLATA ISPLATA STANJE 15.3. 8., 8., 14.6. 12.5, 2.5, 31.7. 1., 1.5, 2.1. 6., 16.5, Koliko će Mica dobiti jednostavnih dekurzivnih kamata na kraju 24. godine, ako je godišnja kamatna stopa 3% i koristi se engleska metoda? Obračunajmo prvo broj dana za svako od zatečenih stanja: 1 8. kn d 1 16 + 3 + 31 + 14 91 2 2.5 kn d 2 16 + 31 47 3 1.5 kn d 3 31 + 3 + 2 81 4 16.5 kn d 4 11 + 3 + 31 72 8 91 3 25 47 3 15 81 3 165 72 3 K + + + 35, 74kn 366 366 366 366 ili (8 91+ 25 47+ 15 81+ 165 72) 3 K 35, 74kn 366

14 Zadaci za vježbu: 1. Za koje vrijeme (u godinama, mjesecima i danima) se iznos od 6. kn, uz jednostavnu godišnju kamatnu stopu 7, poveća na 1. kn? 6. kn p 7% n 1. kn n? K n 1. 6. 4. n K p 4 6 7 9 godina, 6 mjeseci, 9 dana 9,5238 2. Za koje vrijeme (u godinama, mjesecima i danima) se uz jednostavnu kamatnu stopu 5,5 neki iznos poveća za %? p 5,5% K n? n K p 5,5 5,5 18,1818 18 godina, 2 mjeseca, 5 dana

15 3. Uz koju jednostavnu godišnju kamatnu stopu se neki iznos za 9 godina poveća za 6%? n 9 godina K,6 p? p K n,6 9 6,67% 4. Lujo je podigao kratkoročni kredit u iznosu od., kn uz 12% godišnjih kamata za vrijeme od 7.3. do 15.9.24. godine. Koliko iznose jednostavne kamate prema: d) njemačkoj metodi, e) francuskoj metodi, f) engleskoj metodi? metoda - broj dana mjesec njemačka francuska engleska ožujak 23 24 24 travanj 3 3 3 svibanj 3 31 31 lipanj 3 3 3 srpanj 3 31 31 kolovoz 3 31 31 rujan 15 15 15 Σ 188 192 192. kn p 12% K?

16 a) njemačka metoda p d 12 188 K 6.266, 67kn 36 36 b) francuska metoda p d 12 192 K 6.4, kn 36 36 c) engleska metoda p d 12 192 K 6.295, 8kn 366 366 5. Mara je na kunskoj knjižici u 23. godini imala sljedeće podatke: DATUM UPLATA ISPLATA STANJE 12.1. 6., 6., 14.5. 15., 21., 15.7. 12., 9., 15.11. 5., 4., Koliko će Mara dobiti jednostavnih dekurzivnih kamata na kraju 23. godine, ako je godišnja kamatna stopa 4% i koristi se engleska metoda? 1 6. kn d 1 19 + 28 + 31 + 3 + 14 122 2 21. kn d 2 17 + 3 + 15 62 3 9. kn d 3 16 + 31 + 3 + 31 + 15 123 4 4. kn d 4 15 + 31 46 (6 122+ 2 62+ 9 123+ 4 46) 4 K 364, 38kn 365

17 6. Koliko jednostavnih dekurzivnih kamata donese glavnica od 8. kn za 7 godina uz godišnju kamatnu stopu od 4,5%? (R: K 2.52 kn) 7. Za koje vrijeme (u godinama, mjesecima i danima) se iznos od 5. kn, uz jednostavnu godišnju kamatnu stopu od 6,5%, poveća na 8. kn? (R: 9 god., 2 mj., 23 dana ) 8. Za koje vrijeme (u godinama, mjesecima i danima) se uz jednostavnu godišnju kamatnu stopu 4,5 neki iznos poveća za 8%? (R: 17 god., 9 mj., 1 dana) 9. Poduzeće X podiglo je kratkoročni kredit za obrtna sredstva u iznosu od 1.. kn uz 8% godišnjih kamata za vrijeme od 13.1. do 16.9.25. godine. Obračuna kamata je dekurzivan i jednostavan. Koliko iznose kamate prema: a) njemačkoj, b) francuskoj, c) engleskoj metodi? (R: a) 54., kn; b) 54.666,67 kn; c) 53.917,8 kn) 1. Mica je na kunskoj knjižici u 24. godini imala sljedeće podatke: DATUM UPLATA ISPLATA STANJE 15.1. 6., 6., 13.5. 12., 31.7. 1., 25.1. 5., Koliko će Mica dobiti jednostavnih dekurzivnih kamata na kraju 24. godine, ako je godišnja kamatna stopa 4% i koristi se engleska metoda? (Rj.: K 43,83 kn)