Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded. Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond. 4. Leidke funktsiooni y = ln 5 + 4 + 5 määramispiirkond. 5. Leidke funktsiooni y = sin muutumispiirkond. 6. Leidke funktsiooni y = + muutumispiirkond. 7. Leidke funktsiooni y = pöördfunktsioon. 8. Leidke funktsiooni y = + pöördfunktsioon. 9. Leidke funktsiooni y = log( + e ) pöördfunktsioon.. Leidke funktsiooni y = 4 arcsin pöördfunktsioon.. Kas funktsioon y = 6 + 5 on paaris, paaritu või mitte kumbki?. Kas funktsioon y = (5 5 ) on paaris, paaritu või mitte kumbki?. Kas funktsioon y = 4 + on paaris, paaritu või mitte kumbki? 4. Kas funktsioon y = ln on paaris, paaritu või mitte kumbki? + ( ) + 5. Leidke f, kui f() = +. 6. Leida f{f[f()]}, kui f() =. 7. lim Ülesannetes. - 9. leidke piirväärtused. 4 6 5 + 8 8. lim 4 [ ] 9. lim ( ) + +. lim. lim 7 49
. lim h + h h. lim 4. lim ( + )( + ) + 5 5. lim 5 6. lim + 4 + 7. lim tan sin 5 cos 8. lim sin. ( 9. lim sin ) tan ( π ). lim π tan (. lim + 4 ) ( ) +. lim ( ). lim + 4. lim ( + ) 5. Tõestage tuletise definitsiooni abil, et ( ) = 6. Tõestage tuletise definitsiooni abil, et ( ) = ( ) 7. Tõestage tuletise definitsiooni abil, et = Ülesannetes 8. - 48. leidke funktsiooni tuletis ja võimaluse korral lihtsustage avaldis. 8. y = + 9. y = arcsin 4. y = + + arctan
4. y = log ( + + 4) 4. y = 4. y = ln ( + + ) + 44. y = 9 + 6 5 9 45. y = ln(e cos + e sin ) 46. y = ( ) + arcsin + 47. y = + ln + + arctan 48. y = sin + cot + cos + tan ( ) 49. Arvutage z (), kui z(t) = t + t 5. Arvutage f (), kui f() = cos 5. Arvutage g ( ), kui g() = arcsin 5. Rihmaratta pöördenurga α sõltuvus ajast on α = t + t 5. Leidke nurkkiirus ajahetkel t = 5. 5. Leidke joone y = 8a puutuja tõus punktis abstsissiga = a 4a + 54. Avaldage funktsiooni y = e diferentsiaal dy 55. Arvutage funktsiooni y = ln kui = ja =. + diferentsiaali ja muudu väärtused, 56. Arvutage funktsiooni diferentsiaali abil ligikaudu ln, 57. Arvutage funktsiooni diferentsiaali abil ligikaudu 4 6, 64 58. Leidke y, kui y = ln( + ) 59. Leidke y, kui y = + 6. Leidke y, kui y = (sin ln + cos ln ) 6. Leidke y, kui y = e 6. Arvutage f IV (), kui f() = 6 4 + 4 Ülesannetes 6. - 7. leidke piirväärtus L Hospitali reegli abil. 6. lim
e a e b 64. lim π arctan 65. lim ( ln + ) 66. lim e 67. lim ( ln 68. lim sin 69. lim ( ) 7. lim (e + ) ) ln 7. Leidke funktsiooni y = kasvamis- ja kahanemisvahemikud. 7. Leidke funktsiooni y = e kasvamis- ja kahanemisvahemikud. 7. Leidke funktsiooni y = ln kasvamis- ja kahanemisvahemikud. 74. Leidke funktsiooni y = ln( + ) lokaalsed ekstreemumid. 75. Leidke funktsiooni y = ( 5) ( + ) lokaalsed ekstreemumid. 76. Leidke funtsiooni y = ( ) kasvamis- ja kahanemisvahemikud ning lokaalsed ekstreemumid. 77. Leidke funktsiooni y = + suurim ja vähim väärtus lõigul [; 4]. 78. [ Leidke funktsiooni y = sin suurim ja vähim väärtus lõigul π ; π ]. 79. Leidke funktsiooni y = + ning käänupunktid. graafiku kumerus- ja nõgususpiirkonnad 8. Leidke funktsiooni y = ln(+ ) graafiku kumerus- ja nõgususpiirkonnad ning käänupunktid. 8. Leidke funktsiooni y = e graafiku kumerus- ja nõgususpiirkonnad ning käänupunktid. Ülesannetes 8. - 9. leidke antud funktsiooni osatuletised kõikide sõltumatute muutujate järgi. 8. z = y y 8. z = y + 4 y 4
84. z = ln tan y 85. z = e y 86. z = sin y cos y 87. z = ln( + + y ) 88. z = arctan y 89. z = y ln( + y). 9. w = ln(y + ln z) 9. w = tan( + y + z 4 ) 9. w = yz 9. Arvutage funktsiooni z = arcsin 94. z = cos y y cos z. Arvutage + sin + sin y osatuletised punktis (; ) + y ja z y, kui = y = 95. w = ln( + + y + z ). Leidke w + w y + w z punktis = y = z = 96. z = ln( y ); tõestage, et z + z y + y = 97. On antud funktsioon z = y + arctan y z. Tõestage, et + y z y = y + z. 98. Leidke funktsiooni z = arcsin y täisdiferentsiaali avaldis. 99. Leidke funktsiooni z = + y y täisdiferentsiaali avaldis.. Leidke funktsiooni z = sin(y) täisdiferentsiaali avaldis.. Leidke funktsiooni w = yz täisdiferentsiaali avaldis.. Arvutage funktsiooni z = y täisdiferentsiaali väärtus, kui =, y y =, =, ja y =,.. Arvutage funktsiooni z = + y y täismuudu z ja täisdiferentsiaali dz väärtused, kui =, y = 7, = ja y = 4. 4. Arvutage funktsiooni z = y + täismuudu z ja täisdiferentsiaali dz y väärtused, kui muutub väärtusest väärtuseni, 8 ja y väärtusest väärtuseni,. 5
5. Arvutage funktsiooni täisdiferentsiaali abil ligikaudu, 96, 5. 6. Arvutage funktsiooni täisdiferentsiaali abil ligikaudu 8 8. 7. Arvutage funktsiooni täisdiferentsiaali abil ligikaudu arcsin, 4, 4. 8. Arvutage funktsiooni täisdiferentsiaali abil ligikaudu ln ( 5, 98 + 4, 4 ). 9. Leidke dy, kui y 4 y 4 = a. Leidke dy, kui y + y+ln = ja arvutage selle väärtus, kui =. Leidke dy, kui y = ln y ja arvutage selle väärtus punktis (e ; e).. Leidke dy, kui y ln = ln y ja arvutage selle väärtus punktis (; ).. Leidke z ja z y, kui y + z 4 + z 5 =. 4. Leidke z z ja, kui z = cos y sin z ning arvutage nende väärtused ( y π ) punktis ; ;. 5. Leidke z z ja y, kui yz = ez ning arvutage nende väärtused punktis (e ; ; ). 6. Leidke funktsiooni z = 4 y + 9y + y lokaalsed ekstreemumid ja määrake nende liik. 7. Leidke funktsiooni z = y ( y) lokaalsed ekstreemumpunktid, mis rahuldavad tingimusi > ja y > ja määrake ekstreemumi liik. 8. Leidke funktsiooni z = + y + y + + y ja määrake nende liik. lokaalsed ekstreemumid 9. Leidke funktsiooni z = e ( + y ) lokaalsed ekstreemumid ja määrake nende liik.. Leidke funktsiooni z = +y y lokaalsed ekstreemumid ja määrake nende liik.. Leidke funktsiooni z = + y 4 + 8y suurim ja vähim väärtus ristkülikus külgedega =, y =, = ja y =.. Leidke funktsiooni z = y suurim ja vähim väärtus ringis +y 4. 6
. Leidke funktsiooni z = sin +sin y+sin(+y) suurim ja vähim väärtus ruudus π, y π. 4. Leidke funktsiooni z = + y + y =. ekstremaalsed väärtused lisatingimusel 5. Leidke funktsiooni z = a cos + b cos y ekstreemumpunkt lisatingimusel y = π 4. 6. Leidke paraboolil y = punkt, mis on lähim punktile P (; ) Ülesannetes 7. -. leidke määramata integraal 4 7. 8. 9..... 4. 5. 6. 7. 8. 9. 4. ( sin + cos ) e ( + e ) cot ( + ) ( + ) + cos + cos Ülesannetes. - 4. integreerige muutuja vahetusega 5 4 + tan sin 4 cos e e + ln 4 + ln 7
4. + 4. 4. 44. 45. 46. 47. Ülesannetes 4. - 47. integreerige ositi ( + ) sin ( ) cos e ln( + ) arccos Ülesannetes 48. - 57. arvutage määratud integraal 48. 49. 6 + 9 e 5. e + ln 5. 5. 5. 54. 55. 56. 57. π π π π 4 e + 4 + 5 + cos 5 sin sin sin ln( + ) + Ülesannetes 58. - 6. arvutage päratu integraal 8
58. 59. 6. 6. 6. e + + ( + ) sin Vastused. X = ( ; 5) ( 5; );. X = [ ; ];. X = [ 4; π] [; π]; 4. X = (4; 5) (6; ); 5. Y = [ ; ] 6. Y = [; ]; 7. y = + ; 8. y = log ; 9. y = ln ( );. y = ± cos ( π;. Paaritu;. Paaris;. Ei ole 4 kumbki; 4. Paaritu; 5. ; 6. ; 7. 4; 8. 7 ; 9. ;. ;. 56 ;. ;. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. 5 ; 8. 4 ; 9. ;. ;. e ;. e ;. e ; 4. e ; 8. ; 9. arcsin + ; 4. ( ) + 4. ( + ) ( + + 4) ln ; 4. ln + ; 4. ; 44. 54 5 4 (e + e )(cos sin ) + ( 55 9 + 6 5 ) ; 45. ; e cos + e sin 9 ; 47. 5 + 46. ; 48. cos ; 49. ; 5. 4 ( + ) ln ; 5. 5. rad s ; 5. ; 54. dy = e ( + ); 55. dy =,, y =, 44; 56., ; 57. 4 8, ; 58. ( + ) ; 59. ( + ) sin ln ; 6. ; + 6. e ( + ); 6. 6; 6. 6 ; 64. a b ; 65. ; 66. ; 67. ; 68. ; 69. ; 7. e ; 7. X = (; ), X = (; ); 7. X = (; ), X = ( ; ), X = (; ); 7. X = (e; ), X = (; ), X = (; e); 74. Kohal = lok. miinimum 75. Kohtadel = ja = 5 lok. miin. kohal =, 5 lok. maks. 76. X = ( ; ), X = (; ), X = ( ; ), X = (; ), kohal = lok. maksimum, kohtadel = ± lok. miinimum; 77. y min = y() =, y ma = y(4) = 5 ; 9
( 78. y ma = y π ) = π ( π ), y min = y = π ; 79. ˆX = ( ; ), ˆX = (; ), X = ( ; ), X = (; ), K (; ), K ( ; 9), K 4 (; 9) 8. 4 ˆX = ( ; ), ˆX = (; ), X = ( ; ), K ( ; ln ), K (; ln ) 8. ˆX = K ( ; ( ; ) e 4 y ; y ) (, X = ; ) (, X = ; ( ); K ; e ), 8. y y, y + y ; 8. y + 4y 4 y. 84. ;. 85. y sin y y sin y y y e y ; y e y. 86. y cos y sin y ; cos y+ sin y. 87. + y ; y ( + + y ) + y. 88. y ( + y ) ; + y. 89. y ln(+y)+ y + y ; ln(+y)+ y + y. 9. y y + ln z ; y + ln z ; z(y + ln z ). 9. cos ( + y + z 4 ) ; y cos ( + y + z 4 ) ; 4z cos ( + y + z 4 ). 9. y z yz ; yz ln zy z ; yz ln y z ln y; 9. 5 ; 5 ; 94. ; -. 95. y dy ; 98. dz = y y ; (dy y) 99. dz = ;. dz = (y + dy) cos(y);. ( ( y) ) yz dw = yz + z ln dy + y ln dz ;. ;. z = 6 9 9 ; dz = ; 4. z, 764; dz =, 5; 5. 59,84; 65 6 ; ) lokaalne miinimum z min = ; 6. 5 54 ; 7. π 6 ; 8.,6; 9. ( y ) y( y ) ;. ;. ;. ;. 4e z + ; y z + ; 4. + π ; π + π ; 5. e ( ;. 6. Punktis 7 ) 4 ; 7 lokaalne miinimum. 4 7. ( Punktis (6; 4) lokaalne maksimum z ma = 69. 8. Punktis 9. Punktis ( ; ) ekst- reemumit ei ole, punktis (; ) lokaalne miinimum;. Punktis (; ) ekstreemumit ei ole, punktis (; ) lokaalne miinimum;. z min = z(; ) = ; z ma = z(; ) = 7.. z min = z(; ) = z(; ) = 4; z ma = z(; ) = z( ; ) = 4;. ; min = z(; ) = ; z ma = ( π z ; π ) 7. 6 6 7 =. 4. z(; ) =. 5. 4 4 + C; 8. cos + C; 9. e + ( arctan b a ; π 4 arctan b a + C;. cot + C;. arctan + C; 98.. (tan + ) + C;. ( 5) 5 + C; 4. 4 + + C; 5. ln cos + C; ).
6. sin5 + C; 7. ln(e + ) + C; 8. ln ln + C; 9. 5 arctan + C; 4. arcsin ln + C; 4. arcsin + C; ( + ) cos sin 4. + +C; 4. ( ) sin + cos +C; 44. 4 e +C; 45. ln ln +C; 46. ln( +) + arctan +C; 47. arccos + C; 48. ; 49. e e; 5. ; 5. arctan arctan ; 5. ln 4 ; 5. 7 ; 54. π 6π; 55. π(9 4 ) + 6 ln ; 56. ; 57. π ; 58. ; 59. ; 6. π; 6. ; 6. hajub;