Ε Διαφορικός λογισμός Καόες παραγώγισης Σελίδα από Πότε μια συάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της ; Μια συάρτηση λέμε ότι είαι παραγωγίσιμη σ έα σημείο του πεδίου ορισμού της, α και μόο α υπάρχει το και είαι πραγματικός αριθμός Το όριο αυτό οομάζεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται με Δηλαδή: Σχόλια α Α, τώρα, στη ισότητα θέσουμε h h h h, τότε έχουμε β Α το είαι εσωτερικό σημείο εός διαστήματος του πεδίου ορισμού της, τότε: Η είαι παραγωγίσιμη στο, α και μόο α υπάρχου στο R τα όρια και είαι ίσα, Α η συάρτηση είαι παραγωγίσιμη στο σημείο o, α γράψετε τη εξίσωση της εφαπτομέης της C στο σημείο της A, Η εξίσωση της ε φ α π τ ο μ έ η ς ε της C στο σημείο της A, είαι: Σχόλιο Τη κλίση της εφαπτομέης ε στο A, θα τη λέμε και κλίση της C στο Α ή κλίση της στο Θεώρημα 3 Α μια συάρτηση είαι παραγωγίσιμη σ έα σημείο, τότε είαι και συεχής στο σημείο αυτό Απόδειξη Πηγή: lisariblogspotcom/ 3//4
Σελίδα από Για έχουμε οπότε θα είαι :, [ ], αφού η είαι παραγωγίσιμη στο Επομέως,, δηλαδή η είαι συεχής στο Σχόλιο Το ατίστροφο του παραπάω θεωρήματος δε ισχύει Ισχύει όμως ότι : Α μια συάρτηση δε είαι συεχής σ έα σημείο, τότε, σύμφωα με το προηγούμεο θεώρημα, δε μπορεί α είαι παραγωγίσιμη στο Ορισμός 4 Πότε μια συάρτηση λέγεται : α Παραγωγίσιμη στο σύολο Α β Παραγωγίσιμη στο αοικτό διάστημα α, β γ Παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα [ α, β] Έστω μια συάρτηση με πεδίο ορισμού έα σύολο Α Θα λέμε ότι: α H είαι παραγωγίσιμη στο Α ή, απλά, παραγωγίσιμη, ότα είαι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο A β Η είαι παραγωγίσιμη σε έα αοικτό διάστημα α, β του πεδίου ορισμού της, ότα είαι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο α, β γ Η είαι παραγωγίσιμη σε έα κλειστό διάστημα [ α, β] του πεδίου ορισμού της, ότα είαι παραγωγίσιμη στο α, β και επιπλέο ισχύει R και R 5 Να αποδείξετε ότι : α Α c, τότε β Α, τότε γ Α, με N {,}, τότε δ Α, τότε, Πηγή: lisariblogspotcom/ 3//4
Σελίδα 3 από Πηγή: lisariblogspotcom/ 3//4 Απόδειξη α Για ισχύει: c c Επομέως,, δηλαδή c β Για ισχύει ότι : Επομέως,, δηλαδή γ Α είαι έα σημείο του, τότε για ισχύει:, Επομέως :, δηλαδή δ Α είαι έα σημείο του,, τότε για ισχύει:, οπότε :, δηλαδή Σχόλια Τύποι Έστω συάρτηση ημ Η συάρτηση είαι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει συ, δηλαδή ημ συ Έστω η συάρτηση συ Η συάρτηση είαι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει ημ, δηλαδή συ ημ Έστω η συάρτηση e Αποδεικύεται ότι η είαι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει e, δηλαδή e e
Σελίδα 4 από Έστω η συάρτηση ln Αποδεικύεται ότι η είαι παραγωγίσιμη στο, και ισχύει, δηλαδή ln 6 Θεώρημα Α οι συαρτήσεις στο και ισχύει: Απόδειξη Για, ισχύει:, g είαι παραγωγίσιμες στο, τότε η συάρτηση g g g είαι παραγωγίσιμη g Επειδή οι συαρτήσεις g g g g g, g είαι παραγωγίσιμες στο, έχουμε: g g g g g, δηλαδή g g Σχόλια Τύποι Α Α οι συαρτήσεις, g είαι παραγωγίσιμες στο, τότε και η συάρτηση παραγωγίσιμη στο και ισχύει: g είαι Ισχύει επομέως ότι : g g g - Α οι συαρτήσεις, g είαι παραγωγίσιμες σ έα διάστημα Δ, τότε για κάθε Δ ισχύει: g g g - Α είαι παραγωγίσιμη συάρτηση σ έα διάστημα Δ και c R, επειδή c, σύμφωα με το θεώρημα έχουμε: c c Β Α οι συαρτήσεις, g είαι παραγωγίσιμες στο και g είαι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: Ισχύει επομέως ότι : g g [ g ] g, τότε και η συάρτηση g Α οι συαρτήσεις, g είαι παραγωγίσιμες σ έα διάστημα Δ και για κάθε Δ ισχύει g, τότε για κάθε Δ έχουμε: Πηγή: lisariblogspotcom/ 3//4
Σελίδα 5 από g g [ g ] g Γ Έστω η συάρτηση, ισχύει, δηλαδή Απόδειξη Πράγματι, για κάθε N * έχουμε: * N Η συάρτηση είαι παραγωγίσιμη στο R* και Δ Έστω η συάρτηση εφ Η συάρτηση είαι παραγωγίσιμη στο R { συ } και ισχύει συ, δηλαδή εφ συ Απόδειξη Πράγματι, για κάθε R { συ } έχουμε: εφ ημ ημ συ ημσυ συσυ ημημ συ συ συ συ ημ συ συ Έστω η συάρτηση και ισχύει σφ Η συάρτηση είαι παραγωγίσιμη στο R { ημ } ημ, δηλαδή σφ ημ 7 Θεώρημα Α η συάρτηση g είαι παραγωγίσιμη στο και η είαι παραγωγίσιμη στο g, τότε η συάρτηση g είαι παραγωγίσιμη στο και ισχύει Σχόλια g g g Γεικά, α μια συάρτηση g είαι παραγωγίσιμη σε έα διάστημα Δ και η είαι παραγωγίσιμη στο g Δ, τότε η συάρτηση g είαι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει Δηλαδή, α u g, τότε g g g u u u Με το συμβολισμό του Leibniz, α u και u g, έχουμε το τύπο Πηγή: lisariblogspotcom/ 3//4
Σελίδα 6 από d d που είαι γωστός ως καόας της αλυσίδας d du du d 8Θεώρημα Να αποδείξετε ότι : α Η συάρτηση, R Q είαι παραγωγίσιμη στο, και ισχύει β Η συάρτηση,, α είαι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει ln γ Η συάρτηση ln, R * είαι παραγωγίσιμη στο R * και ισχύει Απόδειξη α Πράγματι, α β Πράγματι, α γ Πράγματι α, τότε α και άρα ln ln e και θέσουμε u ln, τότε έχουμε u u ln e e u e ln e και θέσουμε u ln, τότε έχουμε u u ln e e u e ln ln ln ln, εώ u e Επομέως, u e Επομέως,, τότε ln ln, οπότε, α θέσουμε ln και u, έχουμε ln u Επομέως, ln ln u u u Πηγή: lisariblogspotcom/ 3//4
Σελίδα 7 από Ε Διαφορικός λογισμός Βασικά θεωρήματα-συέπειες ΘΜΤ - Μοοτοία 9 Τι λέμε ρυθμό μεταβολής του μεγέθους ως προς το μέγεθος για, α είαι παραγωγίσιμη συάρτηση ; Α δύο μεταβλητά μεγέθη, συδέοται με τη σχέση, ότα είαι μια συάρτηση παραγωγίσιμη στο, τότε οομάζουμε ρυθμό μεταβολής του ως προς το στο σημείο τη παράγωγο Να διατυπώσετε τι θεώρημα του Rolle και α δώσετε τη γεωμετρική ερμηεία Το θεώρημα του Rolle διατυπώεται ως εξής : Α μια συάρτηση είαι: 8 συεχής στο κλειστό διάστημα [ α, β] παραγωγίσιμη στο αοικτό διάστημα α, β και Μξ,ξ Αα,α Ββ,β α β τότε υπάρχει έα, τουλάχιστο, ξ α, β τέτοιο, ώστε ξ Γεωμετρικά, αυτό σημαίει ότι υπάρχει έα, τουλάχιστο, ξ α, β τέτοιο, ώστε η εφαπτομέη της C στο M ξ, ξ α είαι παράλληλη στο άξοα τω O α ξ ξ β Να διατυπώσετε το θεώρημα της μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού και α δώσετε τη γεωμετρική του ερμηεία Το θεώρημα της μέσης τιμής διατυπώεται ως εξής : Α μια συάρτηση είαι: συεχής στο κλειστό διάστημα [ α, β] και παραγωγίσιμη στο αοικτό διάστημα α, β τότε υπάρχει έα, τουλάχιστο, ξ α, β τέτοιο, ώστε: Ο Mξ,ξ Aa,a Ββ,β a ξ ξ β ξ β β α α Γεωμετρικά, αυτό σημαίει ότι υπάρχει έα, τουλάχιστο, ξ α, β τέτοιο, ώστε η εφαπτομέη της γραφικής παράστασης της στο σημείο M ξ, ξ α είαι παράλληλη της ευθείας ΑΒ Θεώρημα Έστω μια συάρτηση ορισμέη σε έα διάστημα Δ Α Πηγή: lisariblogspotcom/ 3//4
η είαι συεχής στο Δ και για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είαι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ Αρκεί α αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε Α, τότε προφαώς, Δ ισχύει Πράγματι Σελίδα 8 από Α, τότε στο διάστημα [, ] η ικαοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής Επομέως, υπάρχει ξ, τέτοιο, ώστε ξ Επειδή το ξ είαι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει ξ,οπότε, λόγω της, είαι Α, τότε ομοίως αποδεικύεται ότι Σε όλες, λοιπό, τις περιπτώσεις είαι 3 θεώρημα Έστω δυο συαρτήσεις οι, g είαι συεχείς στο Δ και, g ορισμέες σε έα διάστημα Δ Α g για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε Δ α ισχύει: g Η συάρτηση g είαι συεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο Δ ισχύει g g Επομέως, σύμφωα με το παραπάω θεώρημα, η συάρτηση g είαι σταθερή στο Δ Άρα, υπάρχει σταθερά C τέτοια, ώστε για κάθε Δ α ισχύει g c, οπότε g c Σχόλιο Τα παραπάω θεωρήματα 3 και 4 ισχύου σε διάστημα και όχι σε έωση διαστημάτω 4Πρότασηχωρίς απόδειξη Α για μια συάρτηση ισχύει ότι τότε για κάθε R, ce για κάθε RΑτί του R μπορούμε α έχουμε τυχαίο διάστημα Δ c =g+c =g O Πηγή: lisariblogspotcom/ 3//4
5 θεώρημα Έστω μια συάρτηση, η οποία είαι σ υ ε χ ή ς σε έα διάστημα Δ Σελίδα 9 από Α σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είαι γησίως αύξουσα σε όλο το Δ Α σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είαι γησίως φθίουσα σε όλο το Δ Αποδεικύουμε το θεώρημα στη περίπτωση που είαι Έστω, Δ με Θα δείξουμε ότι Πράγματι, στο διάστημα [, ] η ικαοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ Επομέως, υπάρχει ξ, τέτοιο, ώστε ξ, οπότε έχουμε ξ Επειδή ξ και, έχουμε, οπότε Στη περίπτωση που είαι εργαζόμαστε ααλόγως Σχόλιο Το ατίστροφο του παραπάω θεωρήματος δε ισχύει Δηλαδή, α η είαι γησίως αύξουσα ατιστοίχως γησίως φθίουσα στο Δ, η παράγωγός της δε είαι υποχρεωτικά θετική ατιστοίχως αρητική στο εσωτερικό του Δ Ε 3 Διαφορικός λογισμός ακρότατα- σημεία καμπής ασύμπτωτες- καόες de L Hospital 6 Πότε μια συάρτηση με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει στο A τοπικό μέγιστο και πότε τοπικό ελάχιστο ; α Μια συάρτηση, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο A τοπικό μέγιστο, ότα υπάρχει δ, τέτοιο ώστε : για κάθε A δ, δ Το λέγεται θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, εώ το τοπικό μέγιστο της β Μία συάρτηση, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο A τοπικό ελάχιστο, ότα υπάρχει δ, τέτοιο ώστε :, για κάθε A δ, δ Το λέγεται θέση ή σημείο τοπικού ελαχίστου, εώ το τοπικό ελάχιστο της Σχόλιο Πηγή: lisariblogspotcom/ 3//4
Σελίδα από Α μια συάρτηση παρουσιάζει μέγιστο, τότε αυτό θα είαι το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα, εώ α παρουσιάζει, ελάχιστο, τότε αυτό θα είαι το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα Το μεγαλύτερο όμως από τα τοπικά μέγιστα μίας συάρτησης δε είαι πάτοτε μέγιστο αυτής Επίσης το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα μίας συάρτησης δε είαι πάτοτε ελάχιστο της συάρτησης Θεώρημα Fermat 7 Έστω μια συάρτηση ορισμέη σ έα διάστημα Δ και έα εσωτερικό σημείο του Δ Α η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είαι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, α αποδείξετε ότι : Απόδειξη Ας υποθέσουμε ότι η παρουσιάζει στο τοπικό μέγιστο Επειδή το είαι εσωτερικό σημείο του Δ και η παρουσιάζει σ αυτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει δ τέτοιο, ώστε δ, δ Δ και, για κάθε δ, δ Επειδή, επιπλέο, η είαι παραγωγίσιμη στο, ισχύει Επομέως, α δ,, τότε, λόγω της, θα είαι, οπότε θα έχουμε α,, τότε, λόγω της, θα είαι, οπότε θα έχουμε δ 3 O 33 δ +δ Έτσι, από τις και 3 έχουμε Η απόδειξη για τοπικό ελάχιστο είαι αάλογη 8 α Ποια λέγοται κρίσιμα σημεία μιας συάρτησης σε έα διάστημα Δ ; β Ποιες είαι οι πιθαές θέσεις ακροτάτω μιας συάρτησης σε έα διάστημα Δ ; α Κρίσιμα σημεία της στο διάστημα Δ λέγοται τα ε σ ω τ ε ρ ι κ ά σημεία του Δ, στα οποία η δε παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είαι ίση με το μηδέ β Οι π ι θ α έ ς θ έ σ ε ι ς τ ω τ ο π ι κ ώ α κ ρ ο τ ά τ ω μιας συάρτησης σ έα διάστημα Δ είαι: Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η παράγωγος της μηδείζεται Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η δε παραγωγίζεται Πηγή: lisariblogspotcom/ 3//4
Σελίδα από 3 Τα άκρα του Δ α αήκου στο πεδίο ορισμού της 9 Πώς βρίσκουμε τα ολικά ακρότατα σε μια συεχή συάρτηση σε έα κλειστό διάστημα ; Για τη εύρεση του μέγιστου και ελάχιστου της συάρτησης σε έα κλειστό διάστημα εργαζόμαστε ως εξής: Βρίσκουμε τα κρίσιμα σημεία της Υπολογίζουμε τις τιμές της στα σημεία αυτά και στα άκρα τω διαστημάτω 3 Από αυτές τις τιμές η μεγαλύτερη είαι το μέγιστο και η μικρότερη το ελάχιστο της Θεώρημα Έστω μια συάρτηση παραγωγίσιμη σ έα διάστημα α, β, με εξαίρεση ίσως έα σημείο του, στο οποίο όμως η είαι συεχής i Α στο α, και στο, β, τότε το είαι τοπικό μέγιστο της ii A η διατηρεί πρόσημο στο α,, β, τότε το δε είαι τοπικό ακρότατο και η είαι γησίως μοότοη στο α, β Απόδειξη i Επειδή για κάθε α, και η είαι συεχής στο, η είαι γησίως αύξουσα στο α, ] Έτσι έχουμε, για κάθε α, ] Επειδή για κάθε, β και η είαι συεχής στο, η είαι γησίως φθίουσα στο [, β Έτσι έχουμε:, για κάθε [, β > < > < 35a O a β O a β Επομέως, λόγω τω και, ισχύει:, για κάθε α, β, που σημαίει ότι το είαι μέγιστο της στο α, β και άρα τοπικό μέγιστο αυτής ii Έστω ότι, για κάθε α,, β Πηγή: lisariblogspotcom/ 3//4
Σελίδα από > > 35γ > > O a β O a β Επειδή η είαι συεχής στο θα είαι γησίως αύξουσα σε κάθε έα από τα διαστήματα α, ] και [, β Επομέως, για ισχύει Άρα το δε είαι τοπικό ακρότατο της Θα δείξουμε, τώρα, ότι η είαι γησίως αύξουσα στο α, β Πράγματι, έστω, α, β με Α α, ], επειδή η είαι γησίως αύξουσα στο α, ], θα ισχύει, Α [,, επειδή η είαι γησίως αύξουσα στο [, β, θα ισχύει, β Τέλος, α, τότε όπως είδαμε Επομέως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει, οπότε η είαι γησίως αύξουσα στο α, β Ομοίως, α για κάθε α,, β Πότε μια συάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε έα διάστημα Δ ; Η συάρτηση λέγεται κυρτή ή ότι στρέφει τα κοίλα άω σ έα διάστημα Δ ότα είαι συεχής στο Δ και η είαι γησίως αύξουσα στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Η συάρτηση λέγεται κοίλη ή ότι στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στο Δ, α είαι συεχής στο Δ και η είαι γησίως φθίουσα στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Να διατυπώσετε το θεώρημα που αφορά τα κοίλα και το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου της Ισχύει το παρακάτω θεώρημα : Έστω μια συάρτηση σ υ ε χ ή ς σ έα διάστημα Δ και δυο φορές παραγωγίσιμη στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Α για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είαι κυρτή στο Δ Α για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είαι κοίλη στο Δ 3 Πότε το σημείο A, λέγεται σημείο καμπής μιας συάρτησης ; Το σημείο A, οομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της, ότα : η είαι κυρτή στο α, και κοίλη στο, β, ή ατιστρόφως, και Πηγή: lisariblogspotcom/ 3//4
Σελίδα 3 από η C έχει εφαπτομέη στο σημείο, A Σχόλιο Ότα το A, είαι σημείο καμπής της C, τότε λέμε ότι η παρουσιάζει στο καμπή και το λέγεται θέση σημείου καμπής 4 Ποιο θεώρημα αφορά τα σημεία καμπής μιας δυο φορές παραγωγίσιμης συάρτησης ; Για τα σημεία καμπής ισχύει το επόμεο θεώρημα : Α το A, είαι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της και η είαι δυο φορές παραγωγίσιμη, τότε Ερώτηση : Ποιες είαι οι πιθαές θέσεις σημείω καμπής μιας συάρτησης σε έα διάστημα ; Οι π ι θ α έ ς θ έ σ ε ι ς σ η μ ε ί ω κ α μ π ή ς μιας συάρτησης σ έα διάστημα Δ είαι: i Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η μηδείζεται ii Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία δε υπάρχει η Μέθοδος Κριτήριο : Έστω μια συάρτηση oρισμέη σ έα διάστημα α, β και α, β Α η αλλάζει πρόσημο εκατέρωθε του και ορίζεται εφαπτομέη της C στο A,, τότε το A, είαι σημείο καμπής της C 5 Πότε λέμε ότι η ευθεία είαι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C ; Η ευθεία λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της, α έα τουλάχιστο από τα όρια, είαι ή 6 Πότε λέμε ότι η ευθεία λέγεται οριζότια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο ατιστοίχως στο Η ευθεία λέγεται οριζότια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο ατιστοίχως στο, ότα ατιστοίχως 7 Πότε η ευθεία β λ λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο, ατιστοίχως στο ; Πηγή: lisariblogspotcom/ 3//4
Σελίδα 4 από Η ευθεία λ β λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο, ατιστοίχως στο, α [ λ β], ατιστοίχως α [ λ β] 8 Με ποιες σχέσειςτύπους βρίσκουμε τις ασύμπτωτες της μορφής λ β ; Ισχύει το παρακάτω θεώρημα : Η ευθεία λ β είαι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο, ατιστοίχως στο R και [ ] R, R και [ ] R, α και μόο α ατιστοίχως : Χρήσιμα σχόλια Αποδεικύεται ότι: Οι πολυωυμικές συαρτήσεις βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του δε έχου ασύμπτωτες Οι ρητές συαρτήσεις P Q, με βαθμό του αριθμητή P μεγαλύτερο τουλάχιστο κατά δύο του βαθμού του παροομαστή, δε έχου πλάγιες ασύμπτωτες Σύμφωα με τους παραπάω ορισμούς, ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συάρτησης ααζητούμε: Στα άκρα τω διαστημάτω του πεδίου ορισμού της στα οποία η δε ορίζεται Στα σημεία του πεδίου ορισμού της, στα οποία η δε είαι συεχής Στο,, εφόσο η συάρτηση είαι ορισμέη σε διάστημα της μορφής, ατιστοίχως, α α, 9 Να διατυπώσετε τους καόες de L Hospital oς Καόας Α ίσως το, o και υπάρχει το g, R {, },g' σε περιοχή του o με εξαίρεση g πεπερασμέο ή άπειρο, τότε: g g oς Καόας Α, g εξαίρεση ίσως το o και υπάρχει το, R {, },g' σε περιοχή του o με g πεπερασμέο ή άπειρο, τότε: Πηγή: lisariblogspotcom/ 3//4
Σελίδα 5 από g g Σχόλιο : α Οι παραπάω τύποι απαιτού προσοχή κατά τη εφαρμογή τους Να συζητηθού στη τάξη οι λεπτομέρειες β Στις υποθέσεις είαι απαραίτητο α συμπληρώσουμε τη g' σε μια περιοχή του o, με εξαίρεση ίσως το o β Οι άλλες απροσδιόριστες μορφές α συζητηθού στη τάξη με το καθηγητή σας Πηγή: lisariblogspotcom/ 3//4
Σελίδα 6 από ΣΤ Ολοκληρωτικός λογισμός Τι οομάζουμε αρχική μιας συάρτησης σε έα διάστημα Δ ; Αρχική συάρτηση ή παράγουσα της στο Δ οομάζουμε κάθε συάρτηση F που είαι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει Θεώρημα F', για κάθε Έστω μια συάρτηση ορισμέη σε έα διάστημα Δ Α F είαι μια παράγουσα της στο Δ, α αποδείξετε ότι : Όλες οι συαρτήσεις της μορφής είαι παράγουσες της στο Δ G F c, c R, Κάθε άλλη παράγουσα G της στο Δ παίρει τη μορφή G F c, c R Κάθε συάρτηση της μορφής G F c, όπου c R, είαι μια παράγουσα της στο Δ, αφού G' F c' F ', για κάθε Έστω G είαι μια άλλη παράγουσα της στο Δ Τότε, για κάθε ισχύου οι σχέσεις F και G, οπότε : Άρα υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε G' F', για κάθε G F c, για κάθε 3* Να δώσετε το ορισμό του ορισμέου ολοκληρώματος μιας συεχούς συάρτησης σε έα κλειστό διάστημα [, ] Έστω μια συάρτηση σ υ ε χ ή ς στο [ α, β] Με τα σημεία α β χωρίζουμε το διάστημα [ α, β] σε ισομήκη υποδιαστήματα μήκους Δ β α Στη συέχεια επιλέγουμε αυθαίρετα έα ξ, ], για κάθε κ {,,, }, και κ [ κ κ O a= ξ = ξ k v- ξ v v =β ξ Πηγή: lisariblogspotcom/ 3//4
Σελίδα 7 από σχηματίζουμε το άθροισμα S το οποίο συμβολίζεται, σύτομα, ως εξής: Τα ο όριο του αθροίσματος S, δηλαδή το τη επιλογή τω εδιάμεσω σημείω S ξ Δ υπάρχει στο R και είαι αεξάρτητο από κ Το παραπάω όριο οομάζεται ορισμέο ολοκλήρωμα της συεχούς συάρτησης από το α στο β, κ συμβολίζεται με d και διαβάζεται ολοκλήρωμα της από το α στο β Δηλαδή, d 4 Να γράψετε τις ιδιότητες του ολοκληρώματος d α Ισχύει ότι : d d d Α για κάθε [, ], τότε d β Έστω g, σ υ ε χ ε ί ς συαρτήσεις στο [ α, β] και λ, μ R Τότε ισχύου d d [ g]d d gd και γεικά [ g]d d gd γ Α η είαι σ υ ε χ ή ς σε διάστημα Δ και α β, γ Δ,, τότε ισχύει d d d δ Έστω μια σ υ ε χ ή ς συάρτηση σε έα διάστημα [, β] α Α για κάθε [ α, β] και η συάρτηση δε είαι πατού μηδέ στο διάστημα αυτό, τότε d Πηγή: lisariblogspotcom/ 3//4
Σελίδα 8 από 5 Να γράψετε τη παράγωγο της συάρτησης F d,, όπου είαι συεχής συάρτηση στο διάστημα Ισχύει ότι : Σχόλια a F' tdt, για κάθε α Γεικότερα έχουμε το εξής θεώρημα : Α είαι μια συεχής συάρτηση σε έα διάστημα Δ και α είαι έα σημείο του Δ, τότε η συάρτηση είαι μια παράγουσα της στο Δ Δηλαδή ισχύει: a F tdt, Δ, tdt, για κάθε β Από το παραπάω θεώρημα και το θεώρημα παραγώγισης σύθετης συά ρτησης προκύπτει ότι: a g tdt g g', με τη προϋπόθεση ότι τα χρησιμοποιούμεα σύμβολα έχου όημα Θεώρημα Θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού 5 Έστω μια συεχής συάρτηση σ έα διάστημα [ α, β] [ α, β], α αποδείξετε ότι : tdt G G Α G είαι μια παράγουσα της στο Απόδειξη Σύμφωα με γωστό θεώρημα, η συάρτηση F tdt είαι μια παράγουσα της στο [ α, β] Επειδή και η G είαι μια παράγουσα της στο [ α, β], θα υπάρχει c τέτοιο, ώστε G F c Από τη, για α, έχουμε G F c tdt c c, οπότε c Gα Επομέως, G F G, οπότε, για β, έχουμε και άρα tdt G G G F G tdt G Πηγή: lisariblogspotcom/ 3//4
Σελίδα 9 από 6 Να γράψετε τους τύπους της παραγοτικής ολοκλήρωσης κ αι της ατικατάστασης για το ορισμέο ολοκλήρωμα α Ισχύει ότι : g d [ g] gd, όπου, g είαι συεχείς συαρτήσεις στο [ α, β] β Ισχύει ότι : gg d u u udu, όπου, g είαι συεχείς συαρτήσεις, u g, du g d και u g, u g α β 7α Να γράψετε το τύπο που δίει το εμβαδό του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της, τις ευθείες [ α, β] και η συάρτηση είαι συεχής α, β και το άξοα,ότα για κάθε β Να αποδείξετε ότι α για τις συαρτήσεις,g είαι g για κάθε [ α, β], τότε το εμβαδό του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις τω, g και τις ευθείες α, β δίεται από το τύπο : E gd α Α μια συάρτηση είαι συεχής σε έα διάστημα [ α, β] και για κάθε [ α, β] τότε το εμβαδό του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της, τις ευθείες β και το άξοα είαι E d, α, β Επειδή οι συαρτήσεις, g είαι συεχείς στο [ α, β], θα υπάρχει αριθμός c R τέτοιος, ώστε c g c, για κάθε [ α, β] εμβαδό με το χωρίο Ω Είαι φαερό ότι το χωρίο Ω Σχ α έχει το ίδιο Πηγή: lisariblogspotcom/ 3//4
Σελίδα από =+c = Ω Ω =g+c α O β α O β =g α β Επομέως, σύμφωα με το τύπο, έχουμε: [ c g c]d gd Άρα Σχόλια E gd α Ότα η διαφορά g δε διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [ α, β], τότε το εμβαδό του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις τω, g και τις ευθείες α και β είαι ίσο με E g d β Το εμβαδό του χωρίου Ω που περικλείεται από το άξοα, τη γραφική παράσταση μιας συάρτησης g, με g για κάθε [ α, β] και τις ευθείες α και β είαι ίσο με : E Ω g d α β O α β Απόδειξη Ω Πράγματι, επειδή ο άξοας συάρτησης, έχουμε είαι η γραφική παράσταση της E gd =g [ g]d gd Επομέως, α για μια συάρτηση g ισχύει g για κάθε [ α, β], τότε E gd Πηγή: lisariblogspotcom/ 3//4