Aaliză I Curs Curs Şiruri de umere: D : Fie u şir de umere (a ), a. Spuem că dacă ( )M 0, a.î. a M. (a ) este mărgiit D : Spuem că (a ) coverge către l dacă ( )V (l), ( )N (V ) şi N (V ) a V. D 3 : a l dacă ε 0, ( )N ( ε ) a.î. N ( ε ) a l ε. Se scrie lim a l. Obs: D D x dacă ε 0, ( )N ( ε ) a.î. x ε ; x dacă ε, ( )N ( ε ) a.î. x ε ; D 3 : (a ) este şir Cauchy ε 0, ( )N ( ε ) a.î. (, m N ( ε )) a a m ε D 3 : (a ) este şir Cauchy este mărgiit (şir fudametal) dacă ε 0, ( )N ( ε ) a.î. (, p ) a p a ε P : Orice şir Cauchy este mărgiit D 3 Dem: Fie ε 0 (fixat) ( ) N ( ε ) a.î. şi p a p a ε a N p a N ε a N ε a N p a N ε petru p. Dar a N ε şi a N ε sut umere reale şi deci (a ) este mărgiit. P : Fie (a ) şir Cauchy şi fie u subşir (a k ). Dacă a k l a l Dem: Fie ε 0 ( ) ( ε ) a.î. N ( ε ) a l Dar a l a a a l k k k a l a a k a k l D 3 Dar (a ) este şir Cauchy ( ) N ( ) a.î. N ( ) p a p a N max( N, N ) a l a a k a k l. Fie Cum idicele k a a şi fie a l a l k
Aaliză I Curs D petru lim a l P 3 : U şir coverget este şir Cauchy Dem: Fie l lim a. Deoarece: a l a l p a a p P 3 : (Lema Cesaro) Orice şir mărgiit coţie u subşir coverget T 4 : (Criteriul lui Cauchy petru şiruri) Fie şirul (a ). Următoarele afirmaţii sut echivalete:. Şirul (a ) este coverget;. Şirul (a ) este Cauchy. Dem: () () rezultă di P 3 ; () () P Fie (a ) u şir Cauchy (a ) este mărgiit (Lema lui Cesaro) şirul (a ) coţie u subşir coverget (a k ) l P şirul (a ) este coverget şi (a ) l Ex : Fie (a ) si kx k. Să se studieze atura şirului. k si( ) x si( p) x a p a......... p p p p a a (, p ) T 4 p coverget. Serii de umere 0 (a ) este şir Cauchy (a ) este şir D 4 : Fie (u ), u. Se cosideră (S) U k U 0 U...U. Perechea U, S se umeşte serie de terme geeral u. (S ) este şirul sumelor parţiale asociate şirului iiţial (u ). k 0
Aaliză I Curs D 5 : Dacă şirul sumelor parţiale (S ) este coverget, spuem că seria dată (U, S ) este covergetă şi se scrie S lim S U şi S U se umeşte suma seriei. Dacă (S ) este diverget sau are limita, atuci se spue că seria este divergetă. P 5 : a) Dacă adăugăm sau extragem u umăr fiit de termii la o serie, atuci atura seriei u se schimbă; b) c) Ex : Fie Dacă U este covergetă U 0 ; 0 Dacă U 0 atuci seria U 0 ( ) U ( ) 0 este divergetă. S k k k ( ) T 6 : Criteriul lui Cauchy (Criteriul geeral al lui Cauchy petru serii) (E ecesar şi sufficiet) Fie () U, următoarele afirmaţii sut echivalete:. Seria () este covergetă;. 0, ( )N ( ) a.î. ( N, p ) U U... U p Dem: () este covergetă (S ) coverget T 4 S este şir Cauchy 0, ( )N ( ) a.î. ( N, p ) S p S Dar S p S U... U p S p S (S ) este şir Cauchy, {S } coverget U covergetă (q.e.d.) D 6 : 0 este a) Seria U este absolut covergetă dacă seria modulelor U 0 covergetă ; 0 este 3
Aaliză I Curs b) Fie U 0, 0, seria ( ) U U U...( ) U 0 se umeşte serie 0 alterată. T 7 : Criteriul lui Abel Fie U şi (a ), a 0, a ; 0 Dacă:. Şirul {S } 0 este mărgiit;. a 0 (mooto decrescător la 0) a U este covergetă. 0 Dem: (cu criteriul lui Cauchy) Fie 0,, p a U a U... a p U p a (S S ) a (S S )... a p (S p S p ) S a S (a a ) S (a a 3 )... S p (a p a p ) a p S p S a S (a a ) S (a a 3 )... S p (a p a p ) S p a p M (a a a a... ( a p ) a p Ma S M,, deoarece (S ) e mărgiit. Deci Ma p petru, p. a U... a p U p Dar a 0, a 0 ( )N ( ), N ( ) a a U... a U, ( N ( ), p ) M p p Corolar: (Criteriul lui Leibitz) (u se îţelege) Fie, ( ) S, şi petru şirul (U ), U 0. Dar S 0 T 7 Deci este mărgiit şi U 0 ( ) U este covergetă. Ex 3 : ( )... seria armoică alterată 3 Obs: Orice serie absolute covergetă este covergetă ( ) Dar ( ) ( ) covergetă Leib itz covergetă absolut covergetă 4
Aaliză I Curs Ex 4 : S S... seria armoică simplă, (S ) u este şir Cauchy (S ) u este coverget este divergetă. Obs: Există serii covergete. Ex 5 : ( ) este covergetă Dar ( ) este divergetă Aproximarea sumei uei serii alterate: P 8 : Se cosideră ( ) U, U 0 cu proprietatea că U 0. Atuci dacă 0 otăm cu S suma acestei serii avem: S S U,. Dem: S S U U (U U ) 0 0 Costatăm că S S S S U U 0 S S S S S S U () S S S S U (3) Di () şi (3) S S U,. Ex 5 : Fie ( ) S, 0. Să se determie valoarea, dacă se aproximează S S, adică astfel îcât S S < ε S S S S 00 99 00 00 S S... 00 00 lim U ) l a l T 4 ( U a a) dacă l e a a l covergetă; a a e 5
Aaliză I Curs b) dacă l e a a l divergetă; a a e l a l l e e e c) dacă a a l divergetă. Obs: Criteriul lui Raabe este idicat să fie aplicat câd lim U. U Şiruri de fucţii D : Fie f : A,. Se spue că ( f ) este simplu (puctual) coverget dacă x A f (x) este coverget. Î acest caz, otăm pri f : A,, f s f dacă 0 şi x A, ( )N (, x) a.î. N (, x) f (x) f (x). Obs: D D D : Fie f, f : A,. Spuem că ( f ), coverge uiform către f pe A dacă 0, ( )N ( ) a.î. N ( ) şi x A avem u f (x) f (x). Se scrie f f. Obs: Dacă f u f f s f (di D + D ) Ex 8 : f : 0,, x f x f 0 x f x... x Să se determie atura f f x Petru 0, fixat, lim f (x) 0 D f s 0, Fie f () f 0 (uiform) () D Pp. pri absurd că f u 0 Fie 4 ( )N ( ) a.î. N, x 0, f (x) 0 ()+() u corespude f 0 (uiform) () 6
Aaliză I Curs Curs D 0 : Fie u, u,, S u k. S şirul sumelor parţiale şi u termeul 0 geeral al seriei. Se spue că şi () u lim S 0 0 k u 0 suma seriei. este covergetă dacă S este şir coverget P 0 : Criteriul geeral al lui Cauchy petru serii (criteriu ecesar şi suficiet). Seria este covergetă 0, N a.î. N, p u 0 u u... u p. * D 0 : Fie u, u. Atuci u P 0 : Fie 0 u, u 0. Dacă u 0 0 se umeşte serie alterată. u 0 covergetă. Ex : este covergetă (seria armoică alterată). Ex : este divergetă (seria armoică simplă). S S u... u, S u este coverget Serii cu termei pozitivi divergetă. D : u este o serie cu termei pozitivi dacă u 0 petru. 0 T : (Criteriul comparaţiei) Fie u, v, u 0, v 0,. Presupuem că N a.î. N, () u v, 0 0 atuci:. Dacă seria. Dacă seria v 0 u 0 este covergetă u covergetă; 0 este divergetă v divergetă. Obs: Cele afirmaţii sut echivalete ) ). Dem:. Presupuem N 0. Deci u v,. Notăm Avem S T. Ştim că 0 T este coverget M 0 S u k, T v k. k k a.î. T M,
Aaliză I Curs S M,. Pe de altă parte, u este covergetă. 0. temă petru acasă. Ex 3: Fie. u,. S este crescător S coverget,. Dar este divergetă divergetă. lim lim deci u. 0 Corolar : Fie u, v, u 0, v 0 0 0 u v, atuci următoarele afirmaţii sut echivalete: u v. Dacă este covergetă. Dacă v 0 u 0 este divergetă u 0 v 0. Presupuem că N a.î. este covergetă; este divergetă. u u u u, v v v v 0 Dem: (3) (4) otăm 0 (margiea iferio u T u v (5). Dacă v covergetă u covergetă, şi v dacă T 0 u divergetă v divergetă. 0 0 Corolar : Fie u, v, u 0, 0 0 Atuci :. Dacă l 0 cele serii au aceeaşi atură;. Dacă l 0, atuci dacă 3. Dacă l atuci dacă v 0 u 0 v 0. Presupuem că lim l. 0 covergetă u covergetă; 0 divergetă v divergetă. u v Dem:. Fie l 0, şi a, b l o veciătate a lui l, a.î. 0 a l b. Atuci N a.î. să avem u a, b a u v v. Di (7) şi T u şi 0 0. şi 3. temă petru acasă. v 0 b (6) av u bv (7) petru au aceeaşi atură.
Aaliză I Curs Fie l, N a.î., v divergetă. 0 u v u v u divergetă 0 Ex 4: 7 lim 7 0 şi fie. lim 7 7 7 divergetă. T : (Criteriul rădăciii al lui Cauchy) Fie u, u 0 (serie cu termei pozitivi). Presupuem că lim u l. 0 Atuci:. covergetă;. Dacă l u 0 Dacă l u 0 divergetă. Dem:. Fie l şi a, b l a.î. 0 a l b N a.î. petru N a u b (8) u b, N. Cosider v b b covergetă 0 (serie geometrică cu raţia b ) u covergetă;. temă petru acasă; Ex 5: lim u seria este covergetă. 0 T 3 : (Criteriul raportului al lui D Alembert) Fie u o serie cu termei pozitivi. Presupuem că lim 0. Dacă l u covergetă; 0. Dacă l divergetă. Dem: u 0 0 u u l. Atuci:. Fie l şi a, b l a.î. b N a.î., u a, b a u b. u u 3
Aaliză I Curs u Presupuem că N 0 b u bu 0 u 0 u bu b u 0... Dar u 0b este covergetă (deoarece b ) 0 Di (9) şi T u covergetă; 0 Ex 6:! u lim lim! u T 4 : (Criteriul lui Raabe Duhamel)! 0 seria este covergetă. Fie u, u 0,. Presupuem că lim 0. Dacă l atuci u este covergetă; 0. Dacă l atuci u este divergetă. 0 u u l. Atuci: Dem:. Fie l şi veciătatea a, b l, a N a.î. N u (0) a u u au () u () u u au u a u Notăm x u (presupuem ). Di () x, x 0 x e coverget. Notăm v u u 0 şi fie v 0 S v k u u u 3u 3 3u 3 4u 4... u u k u u x x 0, S S x x 0 ; S mooto şi mărgiit de zero (0) S este covergetă. v covergetă (3) v a u,. 0 v 0 u 0 Dar covergetă covergetă. 4
Aaliză I Curs u u u u bu u. Fie l. N a.î. b, N u u 0 u u u u Notăm w u w (4). Dar w divergetă u divergetă. u w 0 0 Ex 7: Să se determie atura seriei: a l, a 0 u a l u a l u a l l a lim u u a l (T 3 u se poate aplica) l l u l a lim lim a lim l u l x Se ştie că lim a l a x 0, lim a x x l 0 l l Fie. x x 5
Aaliză I Curs 3 Curs 3 D 0 : Fie f : A,. Se spue că f este simplu(puctual) coverget pe A dacă: x A, f x este coverget. Dacă f este simplu coverget pe mulţimea A, defiim f : A a.î. x A f x lim f x şi se scrie. s f f D 0 : Se spue că şirul de fucţii f coverge uiform pe A dacă f : A a.î. 0, N a.î. N, x A f x f x. Se scrie f u f. T : (Criteriul Cauchy petru şiruri de fucţii) Fie f : A,. Sut echivalete următoarele afirmaţii:. f este uiform coverget;. 0, N a.î. N, x A, p f p x f x. Dem: ) ) D 0 Fie 0, f : A a.î. f u f N a.î. f x f x. Fie N, p, x A N, x A f p x f x f p x f x f x f x f p x f x x f x f x f x, x A, N, p. f p ) ) Pertu fiecare x A, fixat f x şir Cauchy lim f x. Notăm s f x lim f x, f : A f f. Fie 0, N a.î. N, x A, p * f p x f x. Trecem la limită după p i relaţia * petru fiecare x A f x f x f u f. T : (Trasfer de cotiuitate sau proprietatea de ereditate a cotiuităţii) Fie f, f : A,. Presupuem:. f sut cotiue pe A ;. f u f ; Atuci f este cotiuă pe A.
Aaliză I Curs 3 Dem: Fie a A. Fie 0 N a.î. N, x A f x f x. Î particular f x f x, x A. Dar N N 3 cotiuă î a A 0 a.î. x A, Fie x A a.î. x a f este x a () f x f a N N. 3 f x f a f x f f a f a N x f N x f N a N N 3 3 3 f x f a f este cotiuă î a A. Dar a A arbitrar f este cotiuă pe A. T 3 : (Teorema de trasfer de itegrabilitate) Fie f, f : a, b,. Presupuem: a) f sut itegrabile, ; b) f u f. Atuci:. f este de asemei itegrabilă; b. f x dx f x dx. a b a Dem:. Presupuem că f sut cotiue(petru simplificarea demosteraţiei) f cotiuă f itegrabilă;. Fie 0, f u f N a.î. N, x a,b f x f x. Fie b a b b b N f x dx f x dx f x f xdx a a a b a f x f x dx b f x dx f x dx. a b b a b a dx b a a b a T 4 : (Teorema de derivare terme cu terme a şirurilor de fucţii) Fie f, f, g : I,. Presupuem: a) f derivabile petru şi f cotiue petru ; b) f s f ; c) f u g.
Aaliză I Curs 3 Atuci:.. Dem: Fie f este derivabilă pe I ; f x g x, x I. a I fixat. Di teorema ()+c) g cotiuă. Defiim G : a, x x astfel: G x g t dt. ( G este o primitivă a lui g ) Gx g x, x I. a Fie x I. Aplicăm teorema T 3 şi c) î următorul cotext: x x x f (3) f, g : a, x f t dt t g t dt dt G x, I. a a a x x Pe de altă parte, f t dt f t f x f a x a a (4) f t dt f x f a. Di (3) + (5) G x f x f a (6), x I şi a G x derivabilă f a costată f este derivabilă şi f x Gx f a g x, x I f x g x Serii de fucţii D : Fie f : A,. Defiim S : A, S x f k x, x A. S f k. S şirul sumelor parţiale. Spuem că seria f, S este k 0 simplu (respective, uiform) covergetă dacă şirul S (respectiv uiform) coverget pe A. Dacă s a) S f f f ; 0 u b) S f f f. 0 Obs: f S f x S x, x A. 0 0 s u k 0 este simplu 3
Aaliză I Curs 3 T 5 : (Criteriul lui Cauchy petru serii de fucţii) Fie f : A, şi f. Următoarele afirmaţii sut echivalete: 0. f este uiform covergetă; 0. 0, N a.î. N, p, x f x f x... f p x. Dem: Seria f este uiform covergetă S este uiform 0 coverget 0, N a.î. N, p, x A S p x S x. T 6 : (Criteriul lui Weierstrass) Fie f : A, şi a, a 0,. Dacă:. N a.î. N, x A f x a ;. a este covergetă. 0 Atuci: este uiform covergetă. f 0 Dem: Fie 0, a 0 este covergetă N a.î. N, p a... a p. Notăm N max N, N. Fie N, p, x A f x... f p x f x... f p x a... a p f covergetă. 0 uiform Ex : * x dar x covergetă * uiform covergetă Mulţimi mărgiite. Margie superioară şi iferioară D : Fie A. Numărul real a se umeşte majorat dacă x A x a. Numărul real b se umeşte miorat dacă x A avem x b. Se spue că A este mărgiită dacă există mioraţi şi majoraţi petru A. D 3 : Fie A şi M. Se spue că M este margie superioară a lui A (cel mai mic majorat) dacă:. M este majorat; 4
Aaliză I Curs 3. 0, x A a.î. M x M. Se scrie M sup x sup A. x A Serii de puteri D 5 : Fie a, a ; f :, f x a x f 0 a 0, f a x,..., f a x... se umeşte serie de puteri şi a se umesc coeficieţii seriei. D 6 : Fie a fixat. Seria a x se umeşte serie Taylor î jurul a 0 puctului a fixat. Dacă otăm x a y. Seria Taylor devie: a x a a y (serie de puteri ale lui y ). 0 0 D 7 : Fie a x. Notăm C x / 0 covergeţă a seriei de puteri. Obs: 0 C deci C. Lemă: Presupuem că x 0 0, x 0 C x cu 0 absolut covergetă. Dem: Fie x cu proprietatea x x 0. x x x a x a x a x 0 M,. x 0 0 x 0 x 0 a x cov. C se umeşte muţimea de x x 0 a x este Dar este covergetă(seria geometrică cu q ) a x este 0 x x 0 covergetă a 0 x absolute covergetă. Obs: Dacă x 0 0 este pucte de covergeţă al seriei de puteri ( x 0 C ) ( a x 0 este covergetă) x 0, x 0 C. Dem: x x 0, x 0 x x 0 a este covergetă. 0 0 0 x este absolut covergetă 0 a x 5
Curs 4 T 0 : (Teorema de derivare terme cu terme a uui şir de fucţii) Fie f, f, g : I,. Presupuem: a) f C I derivabile şi cotiue; b) f s f ; c) f u g. Atuci:. f este drivabilă pe I ;. f x g x pe I x. P 0 : Fie a x, presupuem că x 0 a.î. x C (adică a este x 0 0 0 0 0 covergetă). Atuci x, x x 0 a x este absolute 0 covergetă(adică: a x este covergetă). 0 Obs: Dacă x 0 C, x 0 0 x x 0 x 0, x 0 x / x x 0 C C este itegrabilă. T : (Abel) Fie a x. Atuci R [0, ) uic determiat cu proprietăţile: 0. x, x R a c absolut covergetă;. 3. Dem:.. 3.. 0 x, x R a c divergetă; 0 0 r R a c uiform covergetă pe r, r. 0 C este mărgiită şi x 0 C, x 0 0 ; C 0 ; C u este mărgiită. Notăm cu R sup x R 0, x C Codiţii: a. Fie x cu x R. Di defiiţia margiii superioare(cel mai mic majorat) x 0 C x x 0 R şi a x a.î. este covergetă a covergetă; 0 0 x este covergetă a x este absolut
b. Fie x a.î. x R. Presupuem că a x Fie x a.î. R x x a x x C cotradicţie cu R sup x 0 x C 0 este covergetă. este absolut covergetă 0 a x este divergetă; c. Fie 0 r R. Fie x r, r a x a r a r a x este covergetă a 0 0 x uiform covergetă pe r, r.. C 0 R 0 verifică cele trei codiţii di T ; 3. Se demostrează că R, şi se verifică codiţiile ), ) şî 3). D : R stability î T se umeşte rază de covergeţă(cetrată î O ) a seriei a x. 0 Obs: Dacă R, C ; R R, R C. Uicitatea lui R.Presupuem că R, R, R R, care verifică ) şi ) di T. Di T (codiţia ) a x este divergetă 0 Di T (codiţia ) a x absolut covergetă R R. 0 T : (Cauchy Hadamard) Calculul razei de covergeţă cotradictie Fie seria seria de puteri a x. Presupuem că lim l. Atuci: 0. Dacă l 0, R ; l. Dacă l 0 R ; 3. Dacă l R 0. Dem: a. Presupuem 0 l. Arătăm că verifică codiţiile )+) di T. l Co di ţi a a
Fie x a.î. x. Aplicăm criteriul raportului(d Alambert) petru l a lim x a x a x lim x l x a lim x covergetă 0 a a x este absolut covergetă. 0. Fie x, x. Presupuem că a x este covergetă şi fie l 0 y, x covergetă. Pe de altă parte, folosid criteriul raportului l lim l l l a y divergetă a x divergetă l cotradicţie(petru că aceeaşi serie este şi covergetă şi divergetă) a x este divergetă. 0 3. temă petru acasă. x Ex:. Să se determie covergeţa sumei. 0 a l lim a 3 R, C Petru x avem seria umerică C. 0 3 0 care este divergetă şi deci Petru x avem care este covergetă C C (,]. 0 3 T 3 : (Torema de derivare şi itegrare terme cu terme a seriilor de puteri) Fie a x f x cu R raz de covergeţă. Fie a x g x cu R raza 0 0 de covergeţă. Atuci:.. 3. Dem:. u u a y a y R R R ; f este derivabilă şi f x g x petru x R, R ; a, b R, R a x dx f x dx. 0 a a Presupuem că lim b a A N a b l lim a a R R R R ;
. Fie S a k k k 0 k Fie x, x R, R. Se ia 0 r a.î. x r, r R, R. Se aplică T 0 x k, ka x k S s f şi u g. Dar S. u şirului S, f şi g pe I r, r S f pe r, r. Mai mult, S u g pe r, r. Se aplică T 0 î următoarul cotext: S, f, g : r, r f derivabilă şi f x g x, x R, R 3. Fie a, b r, r R, R. Se ştie că S u f pe a, b şi se aplică teorema de trasfer de itegrabilitate(t 0 ) petru şirul S x pe a, b. Ştim că S u f pe a, b r, r S x dx f x dx. Dar b b b b b S a x dx a xk dx f x dx a xk dx f x dx. k k k 0 a a k 0 a b a a b a Formula lui Taylor * D : Fie f : I, x 0 I,. Presupuem că f x. x x x x x x 0 0 0 T x f x f f 0 x 0 x 0... f x 0.!!! T se umeşte pliomul lui Taylor. Notăm pri R : I, R x f x T x () f x T x R x f x x x 0!! f x... x x 0 f x R x 0 0 0 () se umeşte formula lui Taylor, iar R se umeşte restul de ordiul al formulei Taylor. Obs: 0, 0 a.î. x I, x x 0 f x T x f x T x ; lim R x 0 T 4 : (Expresia lui R ) * Fie f : I, x 0 I şi, p fixate. Presupuem că f x, x I. p x c p Atuci x I, x 0 x, c x 0, x a.î. () R x x x 0 f c R x Dem: Notăm pri (3) k x x p 0! p 0
x x x x () 0 0 (4) f x f x 0 f x... f x 0 k x x 0 p 0.!! Itroducem : I, fucţia auxialiară x t x t (5) t f t f t... f t k x t p x f x,!! x 0 f x. Pe de altă parte, este derivabilă pe I este o fucţie Rolle pe x 0, x şi x 0 x c x 0, x a.î. c 0. Di (5) x t f t x t t f t f t x t f t... f t kp x t p x t (6) t f t kp x t p!!!! Dar c 0 x c f c kp x c p x c k (5) (7) R x x c p x x!! p 0 p f c! p. p R x se umeşte restul lui Cauchy;. p R x x x 0 f! p p f! c c se umeşte restul lui Lagrage x x 0 x x 0 x x () + (4) f x f x f x... f 0 x f 0 0 0!!! c.
Aaliza I Curs 5 Curs 5 D 0 : Fie f : I, x 0 I. Presupuem că f x 0,. x x x x 0 0 x x 0 f x T x f x 0 0 f x 0... f x 0 poliomul lui Taylor.!!! R x f x T x, R x este restul formulei Taylor; () f x T x R x formula lui Taylor. T 0 : Fie f : I, x 0 I,. Presupuem că f x, atuci x I, x 0 x, x x 0 c x 0, x a.î. R x f x c restul lui Lagrage! x x x x 0 x x 0 () f x f x 0 f x f x f... c. 0 0 0 D : Fie f : I. Presupuem că )!!! Serii Taylor f x... x x 0 x x 0 (3) f x f x... f este idefiite derivabil î x 0 (adică f x 0, x x 0 f x!!! 0 0 0 0 0 Seria (3) se umeşte serie Taylor asociată fucţiei f î puctual x 0. T : Fie f : I, x 0 I. Presupuem că f x 0,. Fie x I. Atuci următoarele afirmaţii sut echivalete: x x 0!!! f x... x x 0 x x 0. f x f x... 0 0 0 0 0. lim R x 0. x x 0 Dem: f x 0 f x T x f x. 0! Ex : Să se demostreze că x au loc următoarele egalităţi:. e x x x... x..., x ;!!! x 3 x 5 x 3! 5!!.... si x x... x x 4 x 3. cos x...! 4!!..., x ;, x. f x f x ;
Aaliza I Curs 5 Dem:. Aplicăm T fucţiei f x e x şi x 0. f :. Fie x, fixat. Dar 0 e x e x petru e x e 0 x e 0 x e 0... x e 0!!! x c x x x! c 0, x ; R x! e ; lim R x 0!!... x!... 0, x. ) şi 3) temă petru acasă. Obs: Î exerciţiile,,3, spuem că am dezvoltat î serie Taylor î jurul lui fucţiile e x, si x, cos x. Obs: Petru x e...... e....!!!!! Spaţii metrice x 0 0 D : Fie X şi : X X cu proprietatăţile:. x, y y, x, x, y X ;. x, y x, z z, y, x, y, z X ; 3. x, y 0 x y. Aplicaţia cu proprietăţile arătate se umeşte distaţă şi X, se umeşte spaţiu metric. Ex : Fie X. Defiim :, x, y x y. Atuci este o distaţă î şi, este u spaţiu metric. Observăm că x y distaţa pe axa reală ditre puctele x şi y. Ex : Fie X C z, z z z ( C, ). Ex 3: Fie,, :. x x,..., x ; y y,..., y, x, y. Defiim x, y i i Petru x x, x ; y y, y x y, spaţiu metric. x, y x y x y d M x, y, M x, y. P : Fie X, u spaţiu metric şi x,..., x X, atuci: () x, x x, x x, x 3... x, x. Dem: I 3 x, x 3 x, x x, x 3 II P P i
Aaliza I Curs 5 Fie x, x,..., x X. Dar x, x x, x x, x x, x x, x 3... x, x x, x P este adevărată P este adevărată,. D : Fie x, u spaţiu metric şi a X, r 0. S a, r x X / x, a R sferă ichisă cu cetrul î a şi rază r 0. Obs : Fie X 3, a 0,0,0, r 0. S a, r x, y, z 3 / x y z r sferă cu cetrul î a şi rază r (sferă fără frotieră). Obs : X, a, b X, r 0 S a, b, r x, y / x a y b r disc cu cetrul î a, b şi rază r 0. D 3 : O submulţime A X, se umeşte mulţime măegiită dacă a X şi r 0 a.î. A S a, r. P : Fie A X,. Următoarele afirmaţii sut echivalete:. A este mărgiită;. sup x, y este fiită sup x, y. x, y A x, y A Dem: ) ) D 3 a X şi r 0 a.î. A S a, r. Fie x, y A x, y x, a a, y r sup x, r r fiită; x, y A ) ) Presupuem că sup x, y M. Fie a A fixat şi x A. x, y A x, a M A S a, M A este mărgiită. D 3 : Fie X, u spaţiu metric, a X. O mulţime V a X se umeşte veciătate a lui a dacă r 0 a.î. S a, r V a. Obs: A mărgiită sup x, y. x, y A 3
Aaliza I Curs 5 Şiruri de spaţii metrice D 4 : Fie u şir x X,, se umeşte coverget către a X dacă 0, N a.î. N x, a. Scriem lim x a. D 4 : U şir x, x X, este coverget către a dacă V a, N, a.î. N, se scrie lim x a x V a. Obs: x a x, a 0, 0, N a.î. N x, a. D 5 : U şir x X,, se umeşte şir Cauchy(sau fudametal), dacă 0, N a.î. N şi p x p, x. Obs: X, x,, x a ; x, y x y, x, y. Dem: x a 0, N a.î. N x a (defiiţia uui şir coverget). P 3 : Următoarele afirmaţii sut adevărate:. Orice şir coverget este şir Cauchy;. Orice şir Cauchy este mărgiit. Dem:. Fie x X,, a.î. lim x 0. Fie 0 N a.î. N x, a. Fie N, p, x, a a, x p, x x p x este şir Cauchy;. Presupuem că x X, este şir Cauchy. Fie 0 N N a.î. N, p x p, x şi î particular petru N (4) x N, x N p, p. Notăm M max x 0, x i, i 0, N. Fie N x 0, x x 0, x N x N, x M x 0, x M,. Atuci x 0, x k M, k x S x 0, M x este mărgiit. D 6 : U spaţiu metric X, se umeşte complet dacă orice şir Cauchy este u şir coverget. Obs : Limita uui şir coverget îtr-u spaţiu metric, dacă există, este uică. 4
Aaliza I Curs 5 Obs : Fie x a şi y b î X, x, y a, b. x, y x, a a, b b, y ; x x,..., x ; y y,..., y. D 4 : Fie X, E baza caoică. Fie Şiruri î k k k k x, i, se umeşte şirul compoetelor. i k k x x, x,..., x, fixat. P 4 : Fie a a,..., a, x i k, i,. Următoarele afirmaţii sut echivalete: k. x k a î ;. x i a i, i,. k Dem: ) ) x a i k x a x, a, k, ; i k i i k i x k, a x a x a k k () x i a i k... x k a x k, a x i k a i, k,. i Dacă x k a x k, a 0 x i a i ; k x ik a i Fie 0, N i a.î. petru k N i x i a i. Fie N max N i / i, k N şi k N i, x i, a i x k a. k P 5 : Fie * fixat. este u spaţiu metric complet. Dem: Fie x x x,..., x u şir Cauchy. Fie k, p. Aplicăm () la x () () x i x i i k k, k k k p k x, x x x ; x k p x,..., x. k p k k p k i k p i k k p k p i, x Fie 0 N a.î. k N, p x k p, x k x i k p x i k, i, x i k este u şir Cauchy i, î care este spaţiu metric complet(di criteriul lui Cauchy) x este coverget, lim x a, i,. Notăm a a, a,..., a x k a. i k k i k i k 5
Aaliză I Curs 6 P 0 : Fie X, spaţiu metric, x,..., x X x, x x, x x,.x 3... x, x. D 0 : Dacă a X, 0, S a, x X / a, x. D 0 : A X este mărgită dacă a X, 0 a.î. A S a,. D 03 : Spuem că x a, a X (se scrie lim x ), dacă 0, N, N x, a. Se spue că x este şir Cauchy dacă 0, N a.î. N, p x p, x. D 04 : U spaţiu metric X, se umeşte complet dacă orice şir Cauchy este coverget. T 0 : A X, mărgiită sup x, y. x, y A Puct iterior. Mulţime deschisă. D: Fie A X,, a A. Se spue că a este puct iterior al lui A dacă r 0 a.î. S a, r A ; A {pucte iterioare}. Mulţimea A X se umeşte mulţime deschisă dacă toate puctele sale sut iterioare A A. Ex: A x, y / x y mulţime deschisă (este o sferă). P : Orice sferă deschisă este o mulţime deschisă. Fie x S a, r. Notăm a, x. Fie S x, şi y S x, x, y. a, y a, x x, y x, y a, y y S a, S x, S a, S a, este deschisă. Puct aderet. Mulţime îchisă. D : Fie A X,, a X. Spuem că a este puct aderet al mulţimii r 0, S a, r A. Notăm: A {puctelor aderete ale lui A }. A este îchiderea lui A. Obs: A A. Se spue că A este mulţime îchisă dacă A A. Ex: A x, y / x y este îchisă. A dacă P : Fie A X,. Următoarele afirmaţii sut echivalete:. A este îchisă;. x A, a.î. x a a A.
Aaliză I Dem: Fie x, x A a.î. x a x S a, S a, A a A. x S a, x, a r Fie a A otăm r,, S a. A. Fie x S a, A x A, x, a 0 x a A A A A îchisă. D 3 : Fie A X,. Notăm cu C A x X, x A complemetara lui A. Fie A X,,. A A x X / x A, itersecţia mulţimilor A. P 3 : Fie A X,. Următoarele afirmaţii sut echivalete:. A este îchisă A A ;. C A este deschisă. Dem: Fie a C A a A a A r 0 a.î. S a, r A S a, r C A C A deschisă. Presupuem pri absurd că A este deschisă A A. Fie a A a.î. a A a C A r 0 a.î. S a, r C A S a, r A cotradicţie A îchisă. P 4 : Fie A X,,. Următoarele afirmaţii sut echivalete:. Dacă A este deschisă A este deschisă; k. Dacă A,..., A k sut deschise A i deschise; i 3. Dacă A este îchisă A îchise; k 4. Dacă A,..., A k îchise A i îchise. i Dem: ) şi 4) acasă. ) Fie A,..., A k deschise, A A i. Fie a A a A i, i, k r i 0 a.î. k S a, r i A i. Notăm r mi r i S a, r S a, r i A i, i, k S a, r A i A A deschisă; 3) Remarcăm că dacă A A C A A A îchisă C A deschisă C A deschisă C A este deschisă A îchisă A i îchisă.
Aaliză I Puct de acumulare. Limite de fucţii. D 4 : Fie A X,, a X. Se spue că a este puct de acumulare al lui r 0, S a, r a A. Notăm cu A' {pucte de acumulare ale lui Obs: A' A Ex: A, A 0, A', A ; S, r A. A dacă A }. D 5 : Fie A X, şi Y,, a A' ; f : A Y, l Y. Se spue că lim f x l dacă 0, 0 a.î. x A, x a a.î. x, a f x,l. Obs: Fie X, x, y x y ; lim f x l, f : A 0, 0 a.î. x A, x a, x a f x l. (defiiţia limitei uei fucţii reale) T 5 : Fie f : A X, Y,, a A'. Următoarele afirmaţii sut echivalete:. lim f x l ;. x, x A, x a, x a f x l ; 3. x, x A, x a, x a, f x este covergetă. Dem: ) ) Fie 0 a.î. x a N x, a f x,l f x l. ) ) Presupuem pri cotradicţie că l lim f x l u satisface la D 5 0 a.î. 0, x A a.î. x, a f x,l. Iau, x A a.î. x, a f x,l. Avem x A,, x a şi f x,l 0 deci l lim f x. x a ) 3) evidet; 3) ) (la semiar) y a f y l x a f x l cotradicţie. Obs: ) 0, 0 a.î. x A a x, a f x,l. 3
Aaliză I T 6 : (Cauchy Bolzao) Fie f : A X, Y,, a A'. Presupuem că Y, este spaţiu metric complet. Următoarele afirmaţii sut echivalete:. lim f x ;. 0, 0, x, x A a a.î. x, a şi x, a f x f x. Dem: ) ) Notăm cu l lim f x. Fie 0 0 a.î. xa \ a x, a f x, l. Fie x, x A \ a a.î. x, a, x, a f x, l şi f x, l f x, f x f x,l f x,l ) este adevărată. ) ) Fie 0 0 a.î. x, x A \ a a.î. x, a şi x, a f x f x. Fie x A \ a, x a N a.î. N x, a. Fie N, p x, a şi x p, a f x, f x p f x este şir Cauchy î care e spaţiu complet f x e coverget 0 lim f x lim. 4
Curs 7 D 0 : Fie f : A X, X,, a A', l Y, lim f x l dacă 0, 0 a.î. x A, x a a.î. x, a f x, l. T 0 : Fie f : A Y, a A', l Y. Următoarele afirmaţii sut echivalete:. lim f x l ;. x A, x a, x a f x l ; 3. x A, x a, x a f x este cotiuă. P 0 : Fie x x, x,..., x, k, x k k k k k şi a a, a,..., a. Următoarele afirmaţii sut echivalete:. x k a ;. x ik a i, i,. T 0 : A X, este mărgiită sup x, y M. x, y A T 03 : (Cauchy Bolzao) Fie f : A x, x,, a A', Y spaţiu metric complet. Următoarele afirmaţii sut echivalete:. lim f x ;. 0, 0, x, x A a a.î. x, a şi x, a f x, f x. Fucţii vectoriale Fie m, *, m, îzestrate cu bazele caoice şi f : A m. Petru x A, f x y, y,..., y m. Defiim f i : A, i, m a.î. f i x y i. Avem f x f x, f x,..., f m x şî f se umeşte fucţie vectorială, iar f i se umesc compoete reale ale lui f. Se scrie f f, f,..., f m. P : Fie f : A m, a A' şi l l, l,..., l m Y. Următoarele afirmaţii sut echivalete:.. Dem:.. lim f x l ; lim f i x l i i, m ;. (temă petru acasă) (a se vedea P 0 ). Fie x k A, x k a, x k a f x k f x k, f x k,..., f m x k
f x l i, m f x l, l,..., l lim f x l. i k i k m Mulţimi compacte D : A X, se umşte mulţime compată dacă x A,, x k u subşir coverget şi lim x k A. Ex:.. 3. X, A a, b este compact; A x, x,..., x X, este compact; X, A (a, b] u este compact. P 3 : Fie A X, compactă. Atuci:. A este ichisă;. A este mărgiită. Dem:. a b A A, deci A este îchisă. Avem de demostrat că A A. Fie x A,, x a A x k b A. Presupuem că A u este mărgiită sup x, y. Fie a A fixat x, y A sup a, x, x A a.î. a, x () x A A compact x k b A b, x k k. Fie 0, N a.î. N x k, a N (3) a, x a, b b, x a, b M cotradicţie cu () A este mărgiită. k P 4 : Fie A. Următoarele afirmaţii sut echivalete:. A compactă;. a) A A ( A este îchisă); b) A este mărgiită. Dem: (P 3 ) Fie x A, x este mărgiit x k a a A A A compact. Lemă: Fie,. A, A,..., A submulţimi compacte. Atuci A i A A...A i este compactă î.
Dem: Pri iducţie. Fie A, A. A A A Fie z x, y, x A, y A, x k a A y k b A Notăm: z p k x p k, y p k a, b A A A compactă.. P (A) P se demostrează la fel lema este demostrată. P 5 : Fie,, fix, A. Următoarele afirmaţii sut echivalete:. A este compactă;. b. A este îchisă; a. A este mărgiită. Dem: P 3 Fie A îchisă şi mărgiită. A mărgiită a, a,..., a b, b,..., b a.î. A a, b a, b... a, b K K compact. Fie x A, p, x K x K, x p p m p m p a. Pe de altă parte, x m p a A A A compact. Fucţii cotiue D : Fie f : A X, Y,, a A. Se spue că f este cotiuă î a dacă 0, 0 a.î. x A, x, a f x, f a. Obs: Dacă a A a A A atuci f este cotiuă î a lim f x f a. T 6 : Fie f : A X, Y,, a A. Următoarele afirmaţii sut echivalete:. f este cotiuu î a ;. x A, x a f x f a. Dem: Aceeaşi demostraţie ca petru T 0 dacă se îlocuieşte l pri f a (temă petru acasă). T 7 : Fie f : A X, Y,. Presupuem că:. A este compactă;. f este cotiuă. Atuci f A este compactă. Obs: Fucţiile cotiue duc mulţimi compacte î mulţimi compacte. Dem: Fie x A, y f x x a A f x f a f A f A compactă. k k A
Obs: Fie A mărgiită, M sup x ; m if x, atuci m, M A ( temă petru x A x A * acasă). Idicaţie: M sup x ; Fie, x A a.î. M x M x A 0 x M M A. x M T 8 : Fie f : A X,. Presupuem că:. A compactă;. f cotiuă. Atuci: a) f este mărgiită (adică f A este mărgiită); b) f işi atige margiile (adică M sup f x ; m if f x ; m, M f A. x A x A Dem: a) f A compact f A mărgită f mărgiită; b) M sup f x, m if f x m, M f A şi f A compactă. x A x A f A f A x M, x m A a.î. M f x M şi m f x m M, m f A. x 3 y 3 x 3 y 3, Ex: Fie f :, f x, y x y f :, f x, y x y x, y 0,0 x, y 0,0 0 0, Să se studieze cotiuitatea î a 0,0 ; 0,0 este puctul de acumulare al lui lim f x, y? x 0 y 0 Fie x, y 0,0, f x, y k k k k 3 3 x y k k x y k k x k 3 3 3 3 x x k y k y k x f x k k, y k k y k x k y k x k y k x k y k x k y k x k y k k lim f x k, y k 0 f 0,0 f cotiuă î a 0,0. x k 0 y k 0 y k x k x k y k y k x k y k
Curs 8 D 0 : Fie f : A X, Y,, a A. Se spue că f este coţiută î a dacă 0, 0 a.î. x A, x, a f x, f a. T 0 : f este cotiuă i a x A,, x a f x f a. P 0 : Fie x, x,..., x X. Atuci: x, x x, x x, x... x, x Lemă 0 : Fie x, y X,, a.î. x a ; y b x, y a, b Fucţii uiform cotiue D : Fie f : A X, Y,. Se spue că f este uiform cotiuă pe A dacă: 0 0 a.î. x, x A, x, x f x, f x. Obs. O fucţie uiform cotiuă este cotiuă. Ex. f x x u este uiformă cotiuă pe. T : Fie f : A X, Y,. Presupuem:. A mulţime compactă. f este uiform cotiuă pe A Atuci f este uiform cotiuă pe A. Dem. Presupuem pri reducere la absurd că f u este uiform cotiuă 0 a.î. 0 x, x A a.î. x, x f x, f x. f x x, x A, x, x, f x <. Iau A este compactă x k a A. Se cosideră x k si x k, x k k x, a x, x x, a x, a 0 x a. 3 k k k k k k f x f a 4 k Şi f x f a k De aici rezultă că f (x ), f (x ) f a, f a f este uiform cotiuă. k k Lema: Fie x, y X,, a.î. x a, y b x, y a, b. Dem. x, y x, a a, b b, y a, b a, x x, y y, b x, y a, b x, a b, y 6 a, b x, y x, a b, y 7 x, y a, b x, a b, y x, y a, b
Ex. f :, f x si x cos x. Să se arate ca fucţia este uiform cotiuă pe. Se foloseşte D. Fie 0. Se ia x, x f x f x si x si x cos x cos x si x si x cos x cos x si x x cos x x x x x x x x x x si si si si 4 x x Se ia, x, x a.î. x x f x f x x x f uiform cotiuă pe. este x x Mulţimi coexe D : Fie A X, se umeşte ecoexă dacă A, A a.î.:]. A A A A. A A A Spuem că A este coexă dacă u este ecoexă. Ex. ) A a, a X, A coexă ) Itervalele di sut coexe 3) A a, b, a b A e ecoexă P : Fie f : X, Y,, B, B Y. Următoarele afirmaţii sut adevărate: 0. B B B B 0. f B B f B f B Dem. 0. Pri defiiţie pe A 0. f B x X / f x B X 3 0. x f B x f B, a.î. x x; x f B f x B şi T o f x f x f x B x f T 3 : Fie f : X, Y,, A X Presupuem: 0. A este coexă 0. f este cotiuă pe A Atuci: f A este coexă Dem. Presupuem, pri absurd, că f A u este coexă B, B a.î. şi f A B B. B B, B B Fie A A f B şi A A f B B
A, A deoarece B, B A A f B A f (B ) A f B A A A f B f B A f B B A A La fel petru A A Se observă că A A A Fie x A f x B B f x B x f B x A f B A A A A A A u este covexă. T 4 : A. Următoarele afirmaţii sut echivalete:. A este covexă. M, M A o curbă a.î. M, M I Obs. Segmetele di sut coexe. Cotracţii pe spaţii metrice D 3 : O aplicaţie f : X, Y, se umeşte cotracţie dacă f x, f y x, y x, y X Ex. f :, f x x este o cotracţie. f x f y x y x, y T 5 (teorema lui Baach de pct. fix) Fie X, u spaţiu metric complet şi uic a.î. f x 0 x 0 Dem. Fie a X, a fixat. Notăm: x f a () x f x x 3 f x... f x x 0 a.î. f : X X o cotracţie. Atuci x 0 X
x, x f x, f a x, a x 3, x f x, f x x, x x, a ().... x, x x, a Fie, p * x, x x x... x, x p x, a p x, a... p p, x p p, x p x, a p x, a p p... x, a x, a x, x x, a, p 3 p 0 x, x 0 p * p x este coverget şi lim x x 0 Avem: a) x f x b) x x 0 c) f x f x 0 Trecâd la limită petru i a c x 0 f x 0 Uicitatea lui x 0 Presupuem că y 0 X a.î. f y 0 y 0, y 0 x x o, y 0 f x 0, f y 0 x 0, y 0 x o, y 0 x 0, y 0 x o, y 0 0 x o, y 0 0 x 0 y 0 x 0 este uic. Aproximarea lui x 0 Avem x, x x, a,, p * p (4) Trecâd la limită petru p i (4) Di lemmă 5 x 0, x x, a? Fie 0 N a.î. N x 0 x N, eroarea C. Fie I u iterval îchis f : I I Presupuem:. f este derivabilă pe I f x x. a.î. Atuci ecuaţia f x are soluţia uică x 0 Dem. Fie x, y I x, a x, x N 0
f x f y f cx y f c x y f x f y x y x, y I f este cotracţie Dar I este îchis I spaţiu metric complet f : I I este o cotracţie x 0 I uic a.î. f x 0 x 0 ecuaţia f x x are o soluţie uică x 0 I.
Curs 9 D : Fie X / K spaţiu vectorial, K sau C şi aplicaţia proprietăţile: N : N : x y x y, x, y X x x N 3 : x 0 x 0,, x X X sau x 0 x 0 X : X Aplicaţia, cu proprietăţile N, N, N 3 se umeşte ormă şi X,, se umeşte spaţiu ormat. P :.. Dem:.. x y x 0 x X ; x y x y x, y X 0 X x x 0 0 X x x x x x x 0 x X ; x x y y x y x x y y x y x y x y x y y x y x y x x y x y x y Obs. Orice spaţiu ormat este u spaţiu metric. Dem: Fie X, u spaţiu ormat. Defiim : X X a.î. x, y x y este o distaţă şi X, u spaţiu metric. Toate proprietăţile cuoscute petru spaţiile metrice rămâ valabile şi petru spaţiile ormate (elemetele de topologie = mulţime deschisă, îchisă, limite etc; se raportează la distaţa x, y x y ) Ex: x, x X,,, x x? 0, N a.î. N x x. Obs: Fie X,, u spaţiu vectorial ormat. Atuci orma sa este o aplicaţie cotiuă. Dem:, : X. Fie a X şi x X, x a. Trebuie demostrate că x a. Di P x a x a 0 x a orma este o aplicaţie cotiuă î orice spaţiu ormat. D : U spaţiu ormat complet se umeşte spaţiu Baach. cu este cotiuă î a arbitrar
Ex : Fie *, x Următoarele aplicaţii sut orme î :. Fie x x, x,..., x î raport cu baza caoică;. 3. Dem:. x x x... x x x i x i ; max x i. i, x x, x / x x... x x, y x y orma euclidiaă; Obs: x x x x x. Normele defiite î Ex sut echivalete. Fie x k x k x î raport cu x k x î raport cu,, x k x 0 iegalitatea Cauchy Buiakowski Schwartz x k x 0 x k x î raport cu, x k x 0 Obs: este spaţiu Baach î raport cu oricare di, ;, ;,. Ex : Fie X C a,b f : a,b, cotiue Defiim petru f C a, b, f sup f x umăr fiit. () xa,b Demostrăm că X,, este spaţiu Baach. N Fie f, g X, x a,b f x g x f x g x f g petru x a,b sup f g x xa,b N, N 3 temă petru acasă. Atătăm că orice şir Cauchy di C a,b este coverget. Fie f C a,b şir Cauchy, fie 0, N a.î. N, p f x f x x a,b () petru x a,b f x este şir Cauchy î f x f x, f : a,b. Trecâd la limită î () petru p f x f x x a,b si N (3) Di (3) f : a,b f este cotiuă pe a, b. Trecâd la sup î (3) f f, N f este coverget către f î C a,b î raport cu orma f sup f x C a, b este u spaţiu Baach. xa,b
Aplicaţii liiare cotiue pe spaţii ormate D 3 : Fie T : X,, Y,, aplicaţie liiară. Fie a X. Se spue că T este cotiuă î a dacă 0, 0 a.î. x X, x a T x T a. T : Fie T : X,, Y,, aplicaţie liiară. Următoarele afirmaţii sut echivalete:. T este cotiuă pe X ;. M 0 a.î. T x M x x X ; 3. A X mărgiită T A T x, x A Atuci A X mărgiită M 0 a.î. x M, x A. Dem: T este cotiuă î 0 X (evidet). Fie 0 0 0 a.î. x X, Fie x X \ 0, y x y x X x x T y T y T y T x, T x x. x x T y Notăm M T x M x, x X deci Fie a X. Fie x X, x a. Dar di M 0 a.î. T x M x x X x T x T x a M x a 0 T x a 0 T x T a 0 T x T a T cotiuă î a X. Obs: Fie T : X Y aplicaţie liiară. T 0 cotiuă î 0 X T este cotiuă pe X. Difereţiala lui Fréchet D 3 : Fie f : A X,, Y,,, A mulţime deschisă, a A. Se spue că f este difereţială Fréchet a fucţiei f î puctul a. P 3 : Presupuem că f : A X,, Y,,, A deschisă, este difereţială Fréchet î a A şi otăm pri T df a. Atuci : A Y a.î.. limx a 0 Y ;. f x f a T x a x a x x A (5)
Dem: f x f a T x a, x a. Fie : A Y, x x a lim x a 0 Y ; 0 Y, x a. Petru x a f x f a T x a x x a, x a Petru x a f a f a T a a 0 Deci (5) este adevărată petru x A Obs: Fie 0. Deoarece lim x 0 Y di (5) avem lim f x f a T x a 0 Y 0 a.î. x A, Deci f x f a T x a x a f x f a T x a Ex: Fie f : A X,, X,, a.î. f x y 0, x A. Atuci f este difereţiabilă Fréchet î a, a A şi difereţiala sa df a T 0. Dem: lim f x f a T x a 0, x X T x a 0 Y 0 df a, a A Ex: Fie U : X Y aplicaţie liiară cotiuă,u L X,Y. Atuci U este difereţiabilă Fréchet pe X şi du a U, a X. Dem: Di (4), a X U x U a U x a lim x a U du a, a X. Lema: Fie A X,, 0 Y, x X deschisă! S a, r A, a A. Atuci r 0 a.î., r şi s X, s a s A. Dem: A deschisă r 0 a.î. S a, r A. Fie a.î. r şi s X, s (versor) a s a s s r a s S a, r A. T 4 : Fie f : A X Y, A deschisă, a A. Dacă f este difereţiabilă Fréchet î a atuci aplicaţia T df a este uică. Dem: Presupuem că U L X,Y a.î. (4) este adevărată (5) este adevărată. Atuci di P 3 şi (5) : A Y a.î. lim x a 0 Y a.î. f x f a U x a x a x, x A (6) Di (5) şi (6) T x a x a x U x a x a x, x A T x a U x a x a x x, x A
T U x a x a x x, x A (7) Di lemă r 0 a.î. a s A. Aplicâd (7) petru x a s T U s a s a s, r, 0 şi r s, T U s a s a s T U s a s a s (8) lim T su s 0 Y T su s 0 Y, s X, s şi deci T s U s s X, s 0 Fie x X, x 0 X. x x x T U x x x Se ia s T x U x, x X, x 0 X T U difereţiabila Fréchet î a este uic determiată.
Aaliză semestrul Curs 0 D0: Fie f : A X, Y,, A deschisă, a A. f este difereţiabilă. Fr. Î a dacă T L X,Y astfel îcât: lim f ( x) f (a) T ( x a) 0 x a P0: Dacă f este difereţiabilă ( T df (a) ), Fréchet î a şi dacă : A Y, lim (x) (a) 0 y, asfel îcât f (x) f (a) T (x a) x a (x), x A (0) Î acest caz df (a) este uică. Difereţiala fucţiilor reale de o variabilă T: Fie f : A R R, A deschisă, a A. Următoarele afirmaţii sut echivalete. f este difereţiabilă Frchet î a ;. f este derivabilă î a. Î acest caz, dacă difereţiala df (a) T : R R (aplicaţie liiară şi cotiuă), atuci f '(a) T (?). P 0 Dem ) ) : A R astfel îcât f (x) f (a) T (x a) x a (x), x A () f ( x) f (a) T ( x a) x a x a x a y x a ( x), x A {a} ( f cotiuă î a); T : R R aplicaţie liiară (T este cotiuă) lim f ( x) F (a) T () f ' (a) T (). x a T ( x a) T x a T () x a x a ) ) Fie T : R R, T (x) xf ' (a). Vom arăta că df (a) T aplicaţie liiară f ( x) f (a) ( x a) f ' (a) lim f ( x) f (a) ( x a) f ' (a) lim x a ( x a) lim f ( x) f (a) lim f '(a) x a f '(a) f '(a) 0 x a x a
Aaliză semestrul lim f ( x) f (a) T ( x a) f ( x) f (a) x a lim lim f '(a) f '(a) f '(a) 0 x a x a x a D 0 f este difereţiabilă î a. C (Iterpretarea geometrică a difereţialei lui f î puctul a ) Fie reperul O, i, j. Atuci graficul difereţialei lui f î puctul a : G(d ( f (a)), este paralel cu tageta la graficul fucţiei î puctul (a, f (a)). tg f ' (a) y f (a) ( x a) f ' (a) df (a) T ec. tg î puctul (a, f (a)) Difereţiala fucţiilor compuse T: Fie X,Y, Z spaţii ormate, A, B mulţimi deschise A X, B Y, g f : A B z, a A, b f (a). Presupuem că f este difereţiabilă î a şi este difereţiabilă î b. Atuci g f : A Z este difereţiabilă î a şi d (g f )(a) dg(b) df (a). Dem: T df (a) : X Y, U dg(b) : Y Z. Avem de demostrat că P 0 d (g f )(a) U T : A Y, : B Z astfel îcât x a (x), x A () şi f (x) f (a) T (x a) g( y) g(b) U ( y b) y b ( y), y B Îlocuim y î (3) petru f ( x), x A g( f (x)) g( f (a)) U ( f (x) f (a)) Îlocuim f (x) f (a) di () şi (4): (3) f (x) f (a) ( f (x)), x A (4) (g f )(x) (g f )(a) U (T (x a) x a (x)) T (x a) x a (x) ( f (x)) (5) (g f )(x) (g f )(a) (U T )(x a) x a U ( (x)) T (x a) x a (x) ( f (x)) Se împarte (6) pri x a : ( g f )( x) ( g f )(a) (U T )(x a) T ( x a) U ( ( f ( x)) ( x) ( f ( x)), x A x a x a x a g (6)
Aaliză semestrul ( g f )( x) ( g f )(a) (U T )(x a) U ( ( x) T x a ( x) ( f ( x)) (8) x a x a x a Tcot T ( x a) T x a ( )M 0 astfel îcât x a x a T x a M M x a x a ( g f )(x) ( g f )(a) (U T )(x a) 0 Z g x a lim şi difereţiala sa: d (g f )(a) U T dg(b) df (a) D 0 ( f ) : A Z este difereţiabilă î a Difereţiala uei fucţii reale după u versor D: Fie R raportat la baza caoică şi s R s (s,..., s ) şi s (versor). Fie f : A R R, A deschisă, a A. Spuem că fucţia f este derivabilă î puctul a după versorul s dacă lim f (a ts) f (a) R t 0 Notăm lim f (a ts) f (a) df t 0 t ds d ef (a) derivata fucţiei f P3: Fie f : A R R, A deschisă, a A, s R, s Următoarele afirmaţii sut echivalete:. f este derivabilă î puctul a după versor (-s);. t. f este derivabilă î puctul a după versorul (s); deci df (a) ds Î acest caz Dem: df (a) df (a) d ( s) ds D df D f (a ( ts)) f (a) f (a ts) f (a) f (a hs) f (a) df (a) lim lim lim d ( s) t 0 t t 0 t t h h 0 h ds (a) 3
Aaliză semestrul D: R, Derivate parţiale de ordiul I Fie f : A R R, A deschisă, a A, E e, e,..., e baza caoică a lui a (a, a,..., a ), e i (0,0,...,0,,0,...,0), e i. ot f Dacă df (a) (a), se umeşte derivata parţială î raport cu x î puctul a. de i x i f (a) Dacă x i petru i, spuem că f admite derivate parţiale de ordiul I î puctul a. Calculul derivatelor parţiale de ordiul I A deschisă, a A, E e, e,..., e baza caoică a lui P4: Fie f : A R R, R, a, x A, x (x, x,..., x ), a (a, a,..., a ) Presupuem că f (a) i,. x Atuci: i f f ( x, a,..., a ) f (a, a,..., a ) (a) lim x x a x a... f f (a, a,..., x ) f (a, a,..., a ) (a) lim x x a x a i Dem: D f D df f (a te ) f (a) (a) (a) lim e x de t 0 t f (a t, a,..., a ) f (a, a,..., a ) t f ( x, a,..., a ) f (a, a,..., a ) (,0,...,0) se îlocuieşte ( a t x a ) lim t 0 t 0 lim x a x a f f (a, a,..., x ) f (a, a,..., a ) (a) lim x x a x a Aalog Obs: Fie P 4 f ( x ) (a ) ( x ) f ( x, a,..., a ) (a) lim (a ) x x a x a Deci calculul derivatelor parţiale de ordiul I se face după aceleaşi formule de la fucţii reale de o soigură variabilă. 4
Aaliză semestrul Ex. : f : R R, y f (x, y) xe si( xy) f f (x,) f (,) (,) lim ( xe si x)' x (e cos x) x e cos a (,) x x f y y (,) (e si y) y (e cos y) y e cos y f ( x, y) e y y cos( xy) x f ( x, y) xe y x cos( xy) y Ex. : Fie f : R 3 R, f (x, y, z) arctg (x y z ) şi a (,,) f x ( x, y, z) ( x, y, z) f (,,) ( x y z ) x x 5 Variabila x, iar celelalte y, z sut cosiderate costate şi se folosesc formulele de derivare petru fucţiile de o sigură variabilă. f (,,) f y y 5 ( x, y, z) ( x, y, z) y ( x y z ) f (,,) z 5 Ex. 3: x y x 0 Fie f : R R, f ( x, y) x 6 y, y 0 Fie versorul s (s, s ), s lim t 0 0 x y 0 f ((0,0) ts ) f (0,0) f (ts lim, ts ) 0 t s lim ts s s lim t t 0 t t 0 t(t 6 s 6 t s ) t 0 t 4 s 6 s s s 0 s 0 0, 0,0 3 Fie u u f, u 3 3 v u u u 6 u 6 s, Deci fucţia f este derivabilă î a (0,0) după orice versor s. f u este cotiuă î (0,0) 5
Aaliză semestrul Obs: Existeţa derivatelor parţiale de ordiul I î puctul a u implică cotiuitatea î puctul a. Dem:. Difereţiala petru fucţii reale de variabile T5: f : A R R, A deschisă, a A. Atuci:. Dacă f este difereţială î puctul a, atuci a) f este cotiuă î a ; b) s R, s, df (a) T (s) ude T df (a). ds f (a) : A R. Presupuem că x i, i, şi că ele sut cotiue î puctul a. Atuci: a) f este difereţiabilă î a ; b) a) b) f f f f x x x i x i df (a)(x, x,..., x ) (a) x (a) x... (a) x (a) x i lim f (x) f (a) f este cotiuă î a Fie s R, s, : A R, lim (x) (a) 0 D df f (a ts) f (a) 0 T (a ts a) a ts a (a ts) (a) lim lim ds t 0 t ts t 0 t lim t T (ts) t s (a ts) lim T (s) s (a ts) T (s) df (a) T (s) t 0 t t 0 t ds. f : A R R, r 0 astfel îcât S a, b, r A y b (x,y) (a,b) a x A deschisă, (a, b) A a ts A, t r, s, s R f f x y Presupuem că, : A R cotiue î Avem de demostrat că f este difereţiabilă î (a, b) şi df (a, b) : R R. T ( x, y) df (a, b)(x, y) f (a, b)x f (a, b) y x y 6 (a, b).
Aaliză semestrul D 0 lim f ( x, y) f (a, b) T ( x, y) ( x, y) (a, b ) y b f f f ( x, y) f (a, b) (a, b)( x, y) (a, b)( y b) lim x y ( x a) ( y b) y b lim y b f ( x, y) f (a, y) f (a, y) f (a, b) f (a, b)( x a) f (a, b)( y b) x y ( x, y) f f f (c ) f, y)( x a (a, b )(x a) (a, c )( y b) (a, b)( y b) lim x x lim y y ( x, y) ( x, y) y b y b y b f lim ( x a) f (c y) f (a, b) lim (a, c ( x, y) x x ( x, y) y y b y b y b x a x a c a ( x, y) ( x, y) y b c b ) f (a, b) y lim f ( x, y) f (a, b) x y b x lim f ( x, y) f (a, b) y y b y f este difereţiabilă î (a, b) şi df (a, b)(x, y) f (a, b) x f (a, b) y y x Notăm simbolic: df (a, b)(x, y) f (a, b)dx f (a, b)dy x y Î geeral, otaţia simbolică este următoarea: f f f f df (a,..., a ) (a)dx (a)dx... (a)dx (a)dx i x x x i x 7
Aaliză semestrul Curs D0: Fie f : A X Y, A deschisă, a A. Se spue că f este difereţiabilă î a dacă T L( X,Y ) astfel îcât lim f ( x) f (a) T ( x a) 0 x a Y T df (a) difereţiabila lui f î puctul a. P0: Fie A X, B Y, A, B deschise, f : A B, g : B Z, a A, b f (a). Dacă f este difereţiabilă î a şi g este difereţiabilă î b, atuci h : A Z, D0: Fie h g f este difereţiabilă î a şi dh(a) dg(b) df (a) f : A R R, A deschisă, a (a, a,..., a ) A, x (x, x,..., x ) A f f ( x, a,..., a ) f (a) (a) lim x x a x a Notăm cu... f (a) lim x f (a, a,..., x ) f (a) x a x a T0: Fie f : A R R, A deschisă, a A. Presupuem că f : A R şi f sut cotiue î a. Atuci f este x i difereţiabilă î a şi df (a) : A R R f f f df (a)(x, x,.., x ) (a) x (a) x... (a) x x x x Difereţiala petru fucţii vectoriale x i P: Fie f : A R R, f ( f, f,..., f m ), f (x) ( f (x),..., f m (x)), x A, a A, A deschisă. Următoarele afirmaţii sut echivalete:. f este difereţiabilă î a ;. f i difereţiabilă î a, i, m, f i : A R Î acest caz, f (a) (df (a), df (a),..., df m (a)) Dem: Fie T : R R m, aplicaţie liiară, T (T,...T m ), T i aplicaţii liiare cotiue, i, m. Se ştie că lim f ( x) f (a) T ( x a) f i ( x) f (a) T i ( x a) 0 m lim, i. m R x a x 0 x a T df (a) (T,T,...,T ) (df (a),..., df m (a))
Aaliză semestrul Matrice jacobiaă. Determiat fucţioal (jacobia) D: Fie f : A R R m, A deschisă, a A, f ( f, f,..., f ). m Presupuem că f i x k (a), i, m, k,, otăm: J f (a) se umeşte matrice jacobiaă a lui î f a. Dacă m f f f (a) (a)... (a) x x x f f f (a) (a)... (a) Df sau D( f,..., f m ) x x x det J f (a) J f (a) f D( x,..., x ) D( x,...x ) (a)......... x f f f m m m (a) (a)... (a) x x x P: Fie f : A R R m, A deschisă, a A, f ( f, f,..., f ). m se umeşte determiat fucţioal al lui f î a (sau jacobia î puctul a ). m E R, E R baze caoice. Presupuem că : A R, petru i, m, m k,, şi că.. f i x k sut cotiue î a. Atuci: f este difereţiabilă î a ; Matricea m (df (a)) J f (a). EEm T 0 Dem: f i este diferţiabilă î a i, m f este difereţiabilă î a şi T df (a) (df (a),..., df m (a)) E (e (,0,...,0),..., e (0,0,...,)), cu compoete. f f m T (e ) (T (e ),T (e ),...,T m (e )) (e ),..., (e ) x x f f f T (e ) (e ) (e ) 0... (e ) x x x f i x k f T (e ) (e ) x... prima coloaă a matricei m (df (a)) EEm f m T m (e ) (e ) x... T (e ) (T (e ),T (e ),...,T m (e ))
Aaliză semestrul f T (e ) (e ) x... f m T m (e ) (e ) x m (df (a)) J f (a) EEm ultima coloaă a matricei m (df (a)) EEm Diefeomorfisme (Trasformări regulate) D : Fie A, B deschise şi f : A B. Se spue că f este u difeomorfism dacă satisface următoarele codiţii:. f este bijecţie;. f C ( A) ; 3. f C (B). D 3 : a) fucţie g : A, g C ( A) dacă g : A sut cotuue, i, ; x i b) f ( f,..., f ) C dacă copoetele sale C ( A) ( A). Obs: f difeomorfism f difereţială pe A (di T 0 ) Ex: Fie a fixat. : a, a (x) x a, a este o bijecţie. a a a ( a) a ( a x) x a ( x,..., x ) ( x a, x a,..., x a ) a (a,..., a ) f x f, f,..., f C ( A) a este u difeomorfism. T 3 : Fie A, B deschise, f : A B. Pp. că f este bijecţie şi f C ( A). Următoarele afirmaţii sut echivalete:.. f este u difeomorfism; a) b) df (a) : este u izomorfism a A f este cotiuă pe B 3. Df a) (a) 0, a A D( x,..., x ) b) f este cotiuă pe B 3
Aaliză semestrul Dem: f difeomorfism f difereţiabilă f Izomorfism f A. Fie P 0 a A aplicaţie liiară cotiuă bijecţie df (b) df (a), b f (a) P 0 f f B df (a) df ( b ) este bijectie şi df (a) 3 (a 3a) df (b) df (a) df (a) df (a) este izomorfism J f (a) este esigulară Df J f (a) 0 J f (a) 0 D( x,..., x ) izomorfism (aici auotmorfism) Scimbări de variabile (coordiate) D 4 : O aplicaţie f : A, A deschisă. Se spue că f este o schimbare de variabile (de coordoate) sau sistem de coordiate dacă:. f este ijecţie;. f (a) este deschisă; 3. f : A f ( A) este u difeomorfism. Obs: Dacă x A, x (x,..., x ) şi f (x) ( f (x),..., f (x)) ( y,..., y ). Se spue că f realizează trecerea de la (x,..., x ) (variabile vechi), la ( y,..., y ) (variabile oi). Ex: Fie f : (0, ) (0, ), f (x, y) x y, arctg y. Atuci f este o schimbare de variabile Notăm x y, arctg y, f (x, y) (, ), (x, y) (, ) x f este o ijecţie f ( A) (0, ) 0, x y y arctg x deschisă x cos y si,, se umesc coordoate polare f face trecerea de la coordoatele carteziee la coordoatele polare. x 4
Aaliză semestrul f : 0, 0, 0, 0, f, cos, si Iterpretarea geometrică: y x M x, y M,, - coordoate polare x, y - coordoate carteziee Derivatele parţiale petru fucţii compuse T 4 : Fie A deschisă, B m, f : A B, a A, b f (a) şi g : B. Pp. f difereţiabilă î a şi g difereţibilă î b. Atuci:. h g f este difereţiabilă î a şi dh(a) dg(b) df (a) ;. h x,..., x g f (x),..., f m (x) ude f f,..., f m. Atuci: h x g y,...y f x g y f g x... y f m x m x y x y x y m x... h x g f y x g y f x... y f m x x y x y x y m x Dem:. Rezultă di P 0; `. df (a) : m dg (a) : m trasformări liiare dh(a) : dh(a) dg(b) df (a) J h (a) J g (b) J f (a),,m m, g 5
Aaliză semestrul f f (a)... (a) x x h h h g g g (a), (a),..., (a) (b), (b),..., (b)... x x x y y y m f f (a)... (a) x x Pri idetificare obţiem exact formulele de la puctul Ex: Cazuri particulare:., m f u, v h x, y g u(x, y), v(x, y) h g u g v x u x v x h g u g v y u y v y., m f u, v h(t) g u(t), v(t) h g u g v u v 3., m h(x, y) g f (x, y) h g f x x h f g y y h( x, y) xy g x y h y g x y xy g x x h x g x y xy g y y 6
Aaliză semestrul Curs D 0 : Fie A, B, deschise, f : A B, f ( f, f,..., f ) Pp. :.. 3. f este bijecţie; f C ( A) ; f C (B). Atuci f este difeomorfism f f... x x D( f ) f f... D( x,.., x ) x x f f... determiat fucţioal. x T : (Teorema de iversiue locală) Fie f : A, A deschisă, a A. a b f (a) x Pp.:. f C ( A) ; D( f ). (a) 0 D( x,...,x ) Atuci există o veciătate deschisă U (a) şi o veciătate deschisă V (b) astfel îcât restricţia lui f : U (a) V (b) este u difeomorfism. A V U a b f (a) f ( A) C : Pri codiţiile T are loc următoarea egalitate D( f ) ( y), x U (a) şi y f (x) D( y,..., y ) D( f ) ( x) D( x,..., x ) Dem: f f df ( y) df (x) J ( y) J (x) I U ( a) f f