5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este de clasă C pe R ( ) ( + - )( + + ) ( ) ( + - )( + + ) ( ) dacă şi numai dacă sau + Prin urmare ecuaţia ( ) defineşte pe ca funcţie de în vecinătatea oricărui punct ( ) din mulţimea D {( ) R : + } care verifică ecuaţia dată Pentru orice dintr-o vecinătate a punctului ecuaţia dată are soluţie unică () Obţinem - ' Calculul direct arată că - - - Eerciţiul 5 Să se determine derivatele parţiale de ordinul întâi şi al doilea ale unei funcţii definită implicit de ecuaţia: + + Soluţie ie ( ) + + Evident este de clasă C pe R ( ) ( ) - 4 + ( ) Ecuaţia ( ) defineşte pe ca funcţie de variabilele în vecinătatea oricărui punct ( ) din mulţimea D {( ): ( ) - } Pentru orice ( ) dintr-o vecinătate a punctului ( ) ecuaţia dată are soluţie unică ( ) Calculul direct arată că: ( ) - 4 ( ) - Derivând încă o dată ţinând seama că ( ) obţinem : ( ) ( ) ( ) 4 ( ) - - ( ) ( ) ( ) ( 4 ) ( )- (5 ) ( ) ( ) ( ) - 5 4 ( ) ( 4 ) ( ) 5 5 ( ) - ( )
Printr-un calcul asemănător se arată că Această egalitate se poate deduce observând că este de clasă C de unde deducem că este de clasă C şi prin urmare derivatele mite sunt egale Eerciţiul 5 Să se calculee ( -) dacă este funcţia definită implicit de ecuaţia + + + 9 şi de condiţia ( -) Soluţie uncţia ( ) + + + 9 şi punctul ( - ) satisfac condiţiile teoremei 5 ( ( )) ( )- - 9 ( ( )) ( ( )) 4 ( )- - 9 ( ( )) pentru orice ( ) dintr-o vecinătate a punctului ( -) (9 ) (4 ) 8 Atunci ( ) - (9 ) 8 Deoarece ( -) ( -) reultă ( -) - 8 8 Eerciţiul 54 Să se determine derivatele parţiale de ordinul întâi şi doi ale funcţiilor u u( ) şi v v( ) definite implicit de sistemul u v u v Soluţie ie ( u v) u + v şi ( u v) u + v Calcule simple arată că: - - u v u v u v D( ) D(u v) D( ) D( v) u D( ) D( v) v u - v
u u u u v v u v Reultă că - şi pentru - Analog - - v Derivatele de ordinul doi se calculeaă folosind regula de derivare a câtului şi ţinând seama că u u( ) v v( ) u ( ) ( u)( ) u u ( u) ( ) ( ) v ( ) ( v)( ) u v u v ( ) ( ) v ( ) ( v) u v ( v) ( ) ( ) v v v Analog se determină Eerciţiul 55 Să se determine etremele unei funcţii implicite () definită de ecuaţia + 8 Soluţie ie ( ) + 8 Avem ( ) ( ) 4 Ecuaţia ( ) defineşte pe ca funcţie implicită de variabila în vecinătatea oricărui punct ( ) din mulţimea D {( ) R : + 8 4 - } Pentru orice dintr-o vecinătate a punctului avem: () - 4 8 4 4 ( '())(4 ) ( )(8 '() ) () - (4 ) Deoarece ( ) deducem că ( ) - - < şi deci este punct de (4 ) maim pentru funcţia () definită implicit de ecuaţia dată în vecinătatea acestui punct; valoarea 4 maimă a lui este ( ) Eerciţiul 5 Să se determine etremele unei funcţii implicite ( ) definită de ecuaţia
5 + 5 + 5 7 Soluţie ie ( ) 5 + 5 + 5 7 Evident în orice punct ( ) R avem: Deci este de clasă C pe R Ecuaţia ( ) defineşte pe ca funcţie implicită de variabilele şi în vecinătatea oricărui punct ( ) din mulţimea D {()R :5 +5 +5-7 } 5 5 Avem ( ) şi ( ) 5 5 5 5 5 5 5 7 5 adică sau 4 4 Derivatele parţiale de ordinul doi ale lui sunt : 5(5 ) ( 5) 5 ( ) (5 ) ( ) 5(5 ) ( 5) 5 (5 ) (5 ) ( 5) 5 ( ) (5 ) Ţinând cont de teorema 5 ecuaţia dată defineşte în mod unic pe ca funcţie de şi pe o vecinătate a punctului ( 4) Punctul ( ) este punct critic pentru această funcţie şi ( ) 4 Hessiana lui în ( ) este 5 H ( ) 8 8 5 8 8 5 4 Δ - < şi Δ 8 > Prin urmare ( ) este punct de maim local pentru funcţia ( ) 8 definită implicit de ecuaţia dată în vecinătatea acestui punct iar valoarea maimă este ( ) 4 Analog (- -) este punct critic pentru unica funcţie ( ) obţinută aplicând teorema 5 ecuaţiei date şi punctului (- -) Hessiana acestei funcţii este
5 H (- -) 8 8 8 5 8 5 4 Deoarece Δ > şi Δ 8 > reultă că (- -) este punct de minim pentru această funcţie 8 Valoarea minimă este (- -) - 4 Eerciţiul 57 Să se determine etremele funcţiei f( ) + + condiţionate de Soluţie ie ( ) + + + λ cu ( ) ( ) λr Reolvând sistemul ( ) se obţin soluţiile λ 9 λ - λ - λ 4 4 4 - ie Φ( ) ( ( )) restricţia lui la mulţimea M {( ): } Atunci + şi + unde ( ) este definită implicit de restricţia Derivând restricţia în raport cu (respectiv ) obţinem Reultă că ( 4 ) - - - (respectiv - ) Calculând derivatele parţiale de ordinul doi obţinem: ( 4 / / 4 4 Obţinem H Φ ( ) Deoarece Δ > Δ > reultă că ( ) este punct de / 4 / minim pentru Φ deci ( ) este punct de minim condiţionat pentru f 4 )
H Φ ( ) H Φ ( -) şi H Φ (--) În aceste cauri valorile proprii sunt soluţii ale ecuaţiei λ 4 adică λ + ceea ce arată că punctele staţionare ( -) ( - ) şi (- ) nu sunt puncte de etrem condiţionat Eerciţiul 58 Să se determine etremele funcţiei f( ) condiţionate de + + şi + + Soluţie: ie ( ) + λ ( + + - ) + λ ( + + ) cu ( ) R λ λ R Reolvăm sistemul ) ( ) ( ) ( Adunând primele trei ecuaţii şi ţinând cont de ultima obţinem + + + λ iar din ) ( ) ( reultă + + - deci λ Scăând primele două ecuaţii obţinem ( - )( - λ ) Dacă obţinem punctele şi Considerând acum λ înmulţind prima ecuaţie cu a doua cu a treia cu şi adunând reultă Deci + de unde sau - Se observă că nu convine iar din se obţin soluţiile λ se calculeaă în fiecare ca din relaţia + λ ie acum
Φ() f( () ()) unde () () sunt eplicitări locale ale sistemului de restricţii f f f Reultă că Φ () + () + () Derivând membru cu membru restricţiile reultă '() '() '() '() de unde () şi () f f f Cum obţinem Φ () + şi Φ () + + ( - ) Deoarece Φ > reultă că şi sunt puncte de minim condiţionat Valoarea minimă este - Analog deoarece Φ - < deducem că punctele şi sunt puncte de maim condiţionat iar valoarea maimă este Punctele şi trebuie analiate separat deoarece ele nu satisfac condiţia În vecinătatea fiecăruia dintre ele sistemul de restricţii defineşte implicit pe şi pe ca funcţie de Derivând în raport cu sistemul de restricţii obţinem: '() '() '() '() '() adică '() Restricţia funcţiei f la mulţimea M poate fi scrisă acum astfel: ψ() f(() () ) f f f Deci ψ () ()+ () + + ψ () + + ( - )
Se observă că ψ > deci este punct de minim condiţionat iar valoarea minimă este - în timp ce ψ - < deci este punct de maim condiţionat iar valoarea maimă este Eerciţiul 59 Să se determine inf f(a) şi sup f(a) dacă f :R R este f( ) 5 + + şi A {( ) R : + } Soluţie Deoarece f este continuă iar A este mulţime compactă reultă că marginile inf f(a) şi sup f(a) eistă şi sunt atinse Determinăm punctele staţionare ale lui f f ( ) Sistemul are soluţie unică f ( ) Deci f are un singur punct staţionar ( ) şi acesta se află în interiorul lui A uncţia Lagrange este ( ) 5 + + + λ( + - )Din sistemul ( ) ( ) se obţin patru puncte staţionare pe frontiera lui A anume şi Calcule elementare arată că f( ) f f f şi f Reultă că inf f(a) f( ) şi sup f(a) f f Eerciţiul 5 Să se determine punctele curbei + + care sunt cele mai depărtate de origine Soluţie Trebuie să determinăm punctele de etrem ale funcţiei f( ) + (pătratul distanţei de la ( ) la ( )) condiţionate de + + uncţia Lagrange este ( ) + + λ( + + - )
) ( Soluţiile sunt: λ - cu două puncte staţionare ( -) şi (- ) şi λ - cu două puncte staţionare Aplicând metoda preentată în eerciţiul 59 se arată că ( -) şi (- ) sunt puncte de maim condiţionat Punctele şi sunt puncte de minim condiţionat Punctele cele mai depărtate de origine situate pe curba dată sunt ( -) şi (- )