Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine. Tako da će u slijedećem vremenskom periodu nastati mala zbirka koja će biti popraćena s teorijom. Pošto se trebaju napisati sve nastavne cjeline i gradivo sva četiri razreda (opće i jezično) potrajati će duži vremenski period. Hvala na razumijevanju i strpljivosti. PRAVAC I KRUŽNICA DODATNI ZADACI (ne ispitni) - PRAVAC VEKTORI PRIMJENA TRIGONOMETRIJE
FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi pravca ili njenom implicitnom obliku A = 0
nagib pravca ili koeficijent smjera Uvrstimo k=0 u eksplicitnu jednadžbu pravca jednadžbu pravca paralelnu s osi apcise x dobivamo - Kada je u općoj jednadžbi pravca ili njenom implicitnom obliku B = 0 Segmentni oblik jednadžbe pravca Kriterij paralelnosti dva pravca i k 1 = k ili
A B 1 1 A B Kriterij okomitosti dva pravca i Kut između dva pravca i : Jednadžba pravca kada je zadana točka A (x 1, y 1 )-kojom prolazi i koeficijent smjera k Jednadžba pravca kada su zadane dvije točke A (x 1, y 1 ) i B (x, y )
Udaljenost točke T (X 0, Y 0 ) od pravca 0 0 B A C B y A x d Simetrala kuta α - udaljenost točke od pravca - SVAKA TOČKA simetrale jednako je udaljena od pravaca: Formule koje se koriste za kružnicu nalaze se u zadacima. 1 1 1 1 1 B A C y B x A B A C y B x A
Nastavna cjelina: PRAVAC I KRUŽNICA 1. Kolika je udaljenost pravca od ishodište koordinatnog sustava? 8 6 4 f x = 3 x-4 4-15 -10-5 5 10 15 - d -4-6 -8
Udaljenost pravca od ishodište koordinatnog sustava O (0, 0):. Na pravcu odredi točku koja je jednako udaljena od točaka A (-1, 0) i B (5, ). 8 6 4 T AT = BT B -15-10 -5 5 10 15 f x = x+3 A - -4-6 -8 A (-1, 0) B (5, )
Točka T leži na pravcu, koordinate tražene točke su: x, A (-1, 0) B (5, )
3. Točka T (-4, 5) vrh je kvadrata kojem je dijagonala na pravcu Odredi duljinu stranice kvadrata. Jedan od načina rada 1. 8 T 6 4-15 -10-5 5 10 15 Y x = 7 x+8 - -4-6 -8. Naći udaljenost zadana točka T (-4, 5) od gore napisanog pravca
8 T d =? 6 4-15 -10-5 5 10 15 Y x = 7 x+8 - -4-6 -8 3. Duljina dijagonale: 4. Duljina stranice:
8 D T 6 4 C a B -15-10 -5 5 10 15 Y x = 7 x+8 - -4-6 Kako dobiti točke računskim putem (može na dva načina)? B (-1, 1) -8 C (3, 4) D (0, 8) 4. Točka A (1, 3) jedan je vrh trokuta ABC, pravci i dvije su njegove težišnice. Odredi koordinate vrhova B i C trokuta. A (1, 3)
8 6 f x = 1 x+ 1 4 A g x = 1 T =? -15-10 -5 5 10 15 - -4 B =? C =? -6-8 1. Odrediti točku T-sjecište dviju težišnica. T (1, 1). Odrediti polovište P stranice iz uvjeta P (1, 0)
8 6 f x = 1 x+ 1 4 A g x = 1 AT : TP = T (1, 1) -15-10 -5 5 10 15 P (1,0) - -4 B =? C =? -6-8 ujedno vrijedi: jer točka C leži na pravcu-težišnici 3. Točka B pripada težišnici pravca 4. Odredite iz gore postavljenog sustava jednadžbi
8 6 f x = 1 x+ 1 4 A g x = 1 T (1, 1) C -15-10 -5 5 10 15 B - -4 P (1,0) B ( -3, -1) C (5, 1) -6-8 B (-3, -1) C (5, 1) 8 6 f x = 1 x+ 1 4 A g x = 1 T (1, 1) C -15-10 -5 5 10 15 B - -4 P (1,0) B ( -3, -1) C (5, 1) -6-8
5. Nađite kut između pravaca i Za izračunavanje kuta između dva pravca postoji još jedna formula uz nama opće znanu formulu u koju su uključeni slučajevi kada su pravci paralelni s jednom ili obje koordinatne osi: Kut između pravaca možemo izračunati kao kut između njihovih vektora smjerova vektor smjera f y = -3 8 6 4 g x = -1 x+ 3-15 -10-5 5 10 15 - -4-6 -8 A = 1 B = 0 C = 3
A = 1 B = C = - 3
6. Koliki kut zatvaraju pravci,? 8 f y = -3 6 4-15 -10-5 5 10 15 - g x = -3 x -4-6 -8 vektor smjera A = 1 B = 0 C = 3
A = 3 B = C = 0
7. Koliki kut zatvaraju pravci? 8 f y = -3 6 4-15 -10-5 5 10 15 - g x = - 3 x -4-6 -8 vektor smjera vektor smjera
vektor smjera
8. Odredi kut između pravca 8 6 f x = 5 x-8 g x = -3 x-1 4-15 -10-5 5 10 15 - -4-6 -8 Upute: Koristiti opće poznatu formulu za šiljasti kut između dva pravca: k k tg 1 1 k k 1
k k tg 1 1 k k 1
9. Odredi unutarnje kutove trokuta kojem stranice leže na pravcima, 8 g x = 3 x+11 f x = x+4 6 h x = -1 x 4-15 -10-5 5 10 15 - -4-6 -8 Samostalno! 10. Nađi jednadžbu kružnice opisane trokutu ABC ako je A (-1, 5), B(6, 4) i C (7, 1). 8 A 6 4 B C -15-10 -5 5 10 15 - -4-6 -8
Jednadžba kružnice sa središtem u točki S (p, q) i polumjerom r: A (-1, 5) (1) B (6, 4) C (7, 1) () (3) Samostalno riješite sustav jednadžbi s tri nepoznanice-dobiti će te p, q i r.
11. Napiši jednadžbu kružnice koja dira pravac x 8 = 0 i y 3 = 0, a središte joj je na osi ordinata. 8 6 f y = 8 g x = 3 4-15 -10-5 5 10 15 - -4-6 -8 Pošto je središte kružnice na osi ordinate i kružnicu dira pravac x 8 = 0 zaključujemo da je polumjer kružnice r = 8. r= 8 Zašto iz uvjeta da pravac x 8 = 0 dira kružnicu zaključujemo koliki je polumjer, a ne iz uvjeta da pravac y 3 = 0 dira kružnicu? Drugi pravac paralelan je s osi x, a središte kružnice je na osi ordinata. Da bi kružnica dodirivala oba pravca gdje se nalazi središte u kojoj točki (pogledajmo graf i zaključimo)? središte kružnice na osi ordinate: S (0, q)
Uvjet dodira pravca i kružnice: Pravac polumjerom dodiruje kružnicu sa središtem u točki S (p, q) i onda i samo onda ako vrijedi: y 3 = 0 y = 3 k = 0 l = 3 S (0, - 5) S (0, 11) I
g x = 3 4-15 -10-5 5 10 15 - -4 S -6-8 -10-1 S 1. Kružnica prolazi točkom T (1, 0) i dira pravce i. Kako glasi jednadžba kružnice? f x = - x- 8 6 4 g x = - x+18-15 -10-5 5 10 15 T - -4-6 -8
Na koliko načina možemo riješiti ovaj zadatak? Za rješavanje ovog zadatka poslužimo se dole jednadžbama i knjigom za drugi način st. 81, 8, 83? Kružnica prolazi točkom T (1, 0) (1) Uvjet dodira pravca i kružnice: Uočavamo da su zadani pravci koji dodiruju kružnicu paralelni: k = - l = -..() k = - l= 18 (3)
Riješiti sustav tri jednadžbi s tri nepoznanice p = 5 q = - r = S (5, -) p = i q = r = S (, ) f x = - x- 8 6 4 S g x = - x+18-15 -10-5 5 10 15 T - S -4-6 -8 i
13. Točkom T (7, -) kružnice položena je tangenta na kružnicu. Kako glasi jednadžba tangente? 1. Grupirati članove uz pojedine nepoznanice:. Svaku zagradu nadopunjavamo do potpunog kvadrata i sredimo:..jednadžba kružnice r = p = 4 q = 1 S (4, 1) Točkom T (7, -) kružnice položena je tangenta i okomita je na pravac ST
3. Napisati jednadžbu pravca kroz dvije točke S (4, 1) i T (7, -) S (x 1, y 1 ) T (x, y ) k = -1..koeficijent smjera pravca ST 4. Točkom T (7, -) kružnice položena je tangenta i okomita je na pravac ST uvijet okomitosti dva pravca i..koeficijent smjera tangente 5. Napisati jednadžbu pravca točkom T (7, -) s gore napisanim koeficjentom..jednadžba tangente
8 6 f x = x-9 4 S t -15-10 -5 5 10 15 - T -4-6 -8
Zadaci za vježbu - nisu ispitni FORMULE EKSPLICITNI I IMPLICITNI OBLIK JEDNADŽBE PRAVCA SEGMENTNI OBLIK JEDNADŽBE PRAVCA KUT DVAJU PRAVCA PARALELNOST I OKOMITOST PRAVCA UDALJENOST TOČKE OD PRAVCA SIMETRALA KUTA
1. Jednadžbe pravaca zadane su u implicitnom obliku odredite koeficijente: a) x + 3y + 4 = 0 b) x y + 4 = 0 A = 1 A = 1 B = 3 B = - C = 4 C = 4 c) x +6y - 4 = 0 d) 3x + y = 0 A = - A = 3 B = 6 B = 1 C = -4 C = 0 e) x - 3 = 0 f) y + 7 = 0 A = 1 A = 0 B = 0 B = C = - 3 C = 7. Jednadžba pravaca zadana je u implicitnom obliku odredite nagib pravca i odsječak na osi y: 4x 3y + 6 = 0 A = 4 B = - 3 C = 6
Nagib pravca ili koeficijent smjera: Odsječak na osi y:. Jednadžbu pravca danu u implicitnom obliku prevedi u eksplicitni oblik te odredi nagib pravca i odsječak na osi y: 1) x + y 6 = 0
Nagib pravca ili koeficijent smjera: Odsječak na osi y: 5) 3x + 5y = 0 Nagib pravca ili koeficijent smjera: Odsječak na osi y: Zaključak: Pravac ne siječe os y, prolazi kroz ishodište koordinatnog sustava (drugi i četvrti kvadrant).
3. Jednadžba pravaca zadana je u implicitnom obliku odredite nagib pravca, odsječak na osi y i nultočku (točku na osi x kroz koju prolazi pravac): 3x - 4y + 1 = 0 I način: A = 3 B = -4 C = 1 Nagib pravca ili koeficijent smjera: Odsječak na osi y: Nultočka (točku na osi x kroz koju prolazi pravac): 3x - 4y + 1 = 0 3x + 1 = 4y / : 4
za y = 0 4. Jednadžba pravaca dana je u implicitnom obliku. Prevedi je u segmentni oblik. Nacrtaj potom pravce. 3) 4x 3y 1 = 0
8 4 x - 3 y -1 = 0 y = 4 3 x - 4 6 y x = 4 3 x-4 4-15 -10-5 5 10 15 m = 3 - n = - 4-4 -6 x m + y n = 1 segmentni oblik jednadžbe pravca x 3 + y - 4 = 1-8 5) x + y + 5 = 0
8 y x = -x-5 6 x + y + 5 = 0 y = - x - 5 4 m = - 5-15 -10-5 5 10 15 - -4 x n = - 5 m + y n = 1 segmentni oblik jednadžbe pravca x - 5 + y - 5 = 1-6 -8 5. Jednadžbu pravaca prevedi iz eksplicitnog u segmentni oblik i nacrtaj pravac. )
8 y x = -x-5 6 x + y + 5 = 0 y = - x - 5 4 m = - 5-15 -10-5 5 10 15 - -4 x n = - 5 m + y n = 1 segmentni oblik jednadžbe pravca x - 5 + y - 5 = 1-6 -8 5. Jednadžbu pravaca prevedi iz eksplicitnog u segmentni oblik i nacrtaj pravac. )
8 6 y x = x-4 4-15 -10-5 5 10 15 m = n = - 4 - -4 x m + y n = 1 segmentni oblik jednadžbe pravca x + y - 4 = 1-6 -8 3)
8 y x = -1 x+ 6 4 n = -15-10 -5 5 10 15 x m + y = 1 segmentni oblik jednadžbe pravca n x 4 + y = 1 - -4 m = 4-6 -8 6. Ucrtaj u koordinatnoj ravnini točke A i B, odredi nagib pravca AB i kut što ga taj pravac zatvara s pozitivnim smjerom osi x, ako je: 1) A (-3, 3), B (5, 7) Nagib pravca ili koeficijent smjera kada su zadane dvije točke A (x 1, y 1 ) i B (x, y ):
1. Uvrštavamo koordinate zdanih točaka A (-3, 3), B (5, 7) u. Nagib pravca k: POZITIVAN broj RASTUĆI pravac.
5) A (-3, ), B (-1, 1) 1. Uvrštavamo koordinate zdanih točaka A (-3, ), B (-1, -1) u. Nagib pravca k: NEGATIVAN broj PADAJUĆI pravac.
5) A (, 5), B (, - 1)
1. Uvrštavamo koordinate zdanih točaka A (, 5), B (, -1) u.
Nastavna cjelina: VEKTORI - VEKTORI 1. Dan je paralelogram ABCD. Točka S je sjecište dijagonala. Izrazi vektore kao linearnu kombinaciju vektora. ( 5 bodova) D a S b C A B (1) (1) (1) ()
. Zadan je paralelogram ABCD, točka S je sjecište njegovih dijagonala, a točke M i N su polovište stranica Pomoću vektora prikaži vektore. ( 5 bodova) D m S n N C A M B ) 3 Prikaži vektor kao linearnu kombinaciju vektora i. ne može krivo prepisan zadatak 4. Vektor prikaži kao linearnu kombinaciju vektora i ( boda)
5. Vektor prikaži kao linearnu kombinaciju vektora i. Kliko iznosi X i Y da dobijemo vektor? X = -3 Y = 6. Dan je pravilni šesterokut ABCDEF. Točka S je njegovo središte. Izrazi vektore ( 5 bodova)
7. Dan je pravilni šesterokut ABCDEF. Ako je, izrazi pomoću i vektora ( 5 bodova) E D F S C b A a B 8. Odredi tako da vektori i budu kolinearni. ( boda)
9. Odredi vektor kolinearan s, ako je, Početak vektora i vektora su u ishodištu koordinatnog sustava. Kolinearni vektori imaju isti smjer. (1)
ili 8 6 4 b = - 6 i + 3 j a = - i + j -15-10 -5 5 10 15 - b = 6 i - 3 j -4-6 -8
10. Nađi kut između vektora i. ( 4 boda) 11. Koliki kut zatvaraju vektori i, ako je i.
1. Koliki kut zatvaraju vektori i, ako je i.
13. Izračunaj duljinu vektora ako je i ( a, b) 45. Skalarni umnožak
14. Odredi najveći kut trokuta ABC ako je A (-7, -7), B (, -9) i C (5, -1). 8 6 4-15 -10-5 5 10 15 A (-7, -7) B (,-9) C (5, -1) - -4 C A -6-8 ABC =? B
15. Za koje su vrednoti realnog parametra m vektori okomiti. Uvjet okomitosti:
16. Odredi vektor okomit na vektor i duljine 4. Početak vektora i vektora su u ishodištu koordinatnog sustava. Uvjet okomitosti:
8 6 b = 4 i + 8 j 4 a = - i + 8 j -15-10 -5 5 10 15 - b = - 4 i - 8 j -4-6 -8 17. Težište T trokuta leži na osi ordinata. Dva su vrha točke B (1, -) i C (, 5), a treći je vrh na osi apscisa. Odredi koordinate točaka A i T. A ( T (0, A (-3, 0)
T (0, 1) 18. Zadane su točke A (-3, 5), B (6, 7), C (1, -5). Odredi jedinične vektore u smjeru vektora,,. Nađite koordinatu x točke T (x, 0) tako da vektori i budu okomiti. Upute za rad: Općenito jedinični vektor u smjeru vektora označavamo sa Da bi vektor bio jedinični mora zadovoljavati: Izračunati jedinični vektor u smjeru vektora formulama: po gore napisanim
Izračunati jedinični vektor u smjeru vektora formulama: po gore napisanim Izračunati jedinični vektor u smjeru vektora formulama: po gore napisanim Točki T (x, 0) treba naći koordinatu x Uvjet okomitosti:
Riješite kvadratnu jednadžbu: 19. Ako su A (-, 0), B (1, -3) i C (, 4) vrhovi trokuta izračunajte opseg trokuta. 8 6 4 C A -15-10 -5 5 10 15 - -4 B -6-8
0. Početak vektora je u točki (-3, 1), odredi polovište vektora. 8 6 4 B (-6, ) P A (-3, 1) -15-10 -5 5 10 15 - -4-6 -8 Polovište vektora A (-3, 1) B (-6, )
Nastavna cjelina: PRIMJENA TRIGONOMETRIJE 1. U trokutu ABC je a = 5 cm, b = 7 cm,. Kolika je duljina treće stranice trokuta? R:. Duljine stranica trokuta jednake su. Koliki je najveći kut toga trokuta? R: 3. Duljine stranica trokuta su : 4 : 5. Koliki je najveći kut trokuta? R: 4. Ako je a : b = 3 : 5, b : c = 9 : 11, gdje su a, b i c duljine stranica trokuta, odredi kutove trokuta. R: 5. Veličine kutova trokuta su u omjeru : 3 :4. U kojem su omjeru duljine stranica trokuta? R: 6. Veličine kutova u trokuta u omjeru su : 3 : 5. Ako je duljina najkraće stranice 13 cm, kolika je duljina najdulje? R:
7. Koliki su kutovi pravokutnog trokuta ABC, ako je, gdje su a i b duljine kateta a v duljina visine na hipotenuzu? R: 7. Duljine visina trokutu u omjeru su 4 : 5 : 6. Koliki su kutovi trokuta? R: 8. Koliki kut zatvaraju visine povučene iz vrhova A i C trokuta ako su duljine stranica trokuta u omjeru a : b : c = 4 : 5 :7? R: 9. Zbroj duljina dviju stranica trokuta jednaka je 10 cm, a nasuprot tim stranicama nalaze se kutovi od i. Odredi duljinu stranice što je nasuprot trećeg kuta trokuta. R: 10. Kolika je duljina simetrale pravog kuta pravokutnog trokuta, u kojem je jedan kut a duljina hipotenuze 0 cm? R:
11. Opseg trokuta jednak je cm, veličine njegovih kutova u omjeru su : 3 : 4. Kolike su duljine stranica ovog trokuta? R: 11. Duljina stranica trokuta u omjeru su 4 : 5 : 8 duljina promjera trokuta opisane kružnice jednaka je 9 cm. Kolika je površina ovog trokuta? R: 1. Površina trokuta jednaka je 148 cm, veličina kutova iznose odnosno Kolika je duljina najkraće stranice sličnog trokuta površina R: 13. Polumjer r kružnice upisane trokuta ABC jednak je.5 cm. Ako je, kolika je površina ovog trokuta? R: 14. Duljina dijagonala paralelograma iznose cm i 38 cm, a zatvaraju kut od dijagonale. Kolika je površina paralelograma? R:
15. Duljine su stranice paralelograma jednake 11 cm i 6 cm, a tupi kut iznosi. Kolike su duljine dijagonala ovog paralelograma? R: 16. Izračunaj duljine dijagonala paralelograma, ako su duljine njegovih stranica jednake 4.3 cm i 67.8 cm, a šiljasti kut paralelograma iznosi. R: 17.Duljine stranica paralelograma iznose 1.5 cm i 7 cm, duljina kraće dijagonale jednaka je 8 cm. Koliki je kut između dijagonala paralelograma? R: 18. Duljine stranica pravokutnika ABCD iznose 11, odnosno 5 cm. Točka M polovište je stranice, a točka N stranice. Koliki je kut R: 19. Točka M polovište je stranice, kvadrata ABCD, a točka N je na stranici takva da je Ako je duljina stranice kvadrata jednaka a, koliki je kut R:
0. Točka M i N nalaze se na stranicama i kvadrata ABCD, te je je. Koliki je kut R: 1. Ako su duljine stranica trapeza kolike su duljine dijagonala trapeza? R:. Duljine osnovica trapeza iznose 11 cm i 5 cm, šiljasti su kutovi Izračunaj površinu trapeza. R: 3. Osnovica trapeza duga je 13 cm, duljine dijagonala jednake su 8 cm i 11 cm. Ako je kut među njima kolika je površina trapeza? R: 4. Dijagonala jednakokračnog trapeza duga je 5 cm i dijeli njegov tupi kut na dijelove od. Kolike su duljine stranica trapeza? R:
5. Veličina kuta što ga zatvaraju dijagonale jednakokračnog trapeza iznosi duljine osnovice trapeza su 11 cm i 14 cm. Kolika je duljina kraka ovog trapeza? R: 6. Jednakokrčnom trapezu duljine osnovica može se upisati kružnica. Kolika je duljina dijagonale tog trapeza? R: 7. Kružnici polumjera R upisan je trapez. Njegova dijagonala s kracima trapeza zatvara kutove. Koliki je opseg ovog trapeza? 8. Duljine dviju stranica deltoida iznose 8 cm i 5 cm, a duljina veće dijagonale je 10 cm. Koliki su kutovi deltoida? R: 9. Površina pravilnog šesterokuta ABCDEF jednaka je preko vrha B, zatim Ako stranice tog šesterokuta produžimo redom, preko vrha C, itd za dužinu duljina 1 cm, dobit ćemo šest točka koje su vrhovi novog šesterokuta. Kolika je njegova površina? R: