1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C.

Transcript

1 Geometrija 1. dio U trokutu ABC na dužinama AC i BC odabrane su točke E i D. Simetrale kutova CAD i CBE sijeku se u točki F. Dokaži da vrijedi: AEB + ADB = 2 AF B. 1.1.* Dokaži da tvrdnja 1.1. vrijedi ako je E=C. 1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C U trokutu ABC na dužini AC odabrana je točka D tako da vrijedi AB = AD i ABC ACB=30. Koliki je CBD? 1.3. U trokutu ABC simetrale unutarnjeg kuta vrha B i vanjskog kuta vrha A sijeku se u točki D. Kroz točku D povučen je pravac paralelan s AB koji stranice AC i BC siječe u točkama L i M. Znamo da je AL =5 i BM =7. Koliko je LM? 1.4. U pravokutnom trokutu ABC CF je težišnica, CE je simetrala pravog kuta i CD je visina na hipotenuzu AB. Dokaži da je DCE= ECF U pravokutnom trokutu ABC kroz točku B na hipotenuzu AB povučena je okomica i na njoj je konstruirana točka P tako da je BC = BP. Dokažite da je pravac CP ili okomit, ili paralelan, sa simetralom unutarnjeg kuta pri vrhu A Dan je kvadrat ABCD, okomica iz točke B na simetralu kuta ACD presjeca AC i CD u točkama P i Q. Točka E je sjecište dijagonala. Dokaži da je DQ =2 P E Na vanjskom dijelu paralelograma ABCD nad stranicama AB i AD konstruirani su jednakostranični trokuti ABE i ADF. Dokaži da je trokut F CE jednakostraničan Na vanjskom dijelu paralelograma ABCD nad svakom je stranicom konstruiran kvadrat. Dokaži da: a) su središta od tih kvadrata vrhovi kvadrata; b) su dijagonale tog kvadrata i paralelograma konkurentne, tj. prolaze kroz jednu točku. 1

2 1.10. Unutar kvadrata ABCD odabrana je točka E tako da je ECD= EDC=15. Dokaži da je trokut ABE jednakostraničan Dokaži da je zbroj duljina okomica spuštenih iz neke točke sa stranice pravokutnika na dijagonale konstantan U trokutu ABC je DE AB i F E DB. Zadano je CF =4 i F D =6. Koliko je DA? U trapezu ABCD dijagonale AC i BD sijeku se u točki P. Točka M je polovište od AB dužina DM siječe dijagonalu AC u točki E. Kroz točku E povučena je paralela s osnovicama trapeza koja drugu dijagonalu BD i njegove krakove BC i AD siječe u točkama F, G i H. Dokaži da je HE = EF = F G U trokutu ABC, Z je točka na AB. Točkom A povučena je paralela sa CZ i ona siječe BC u točki X. Točkom B povučena je paralela sa CZ i ona siječe AC u točki Y. Dokaži da je 1 AX + 1 BY = 1 CZ Dokaži da za stranice a, b, c i težišnice t a, t b, t c trokuta ABC vrijedi 3(a 2 + b 2 + c 2 ) = 4(t 2 a + t 2 b + t2 c) Točka A je izvan kružnice. Kroz točku T kružnice povučena je tangenta i na njoj je odabrana točka P tako da je P T = P A. Neka je C neka točka na kružnici, pravci AC i P C presjecaju kružnicu u točkama D i B. AB siječe kružnicu u E. Dokaži da je DE paralelno s AP. 8.2.(Cevin teorem) Vrhovi trokuta ABC spojeni su s točkama na suprotnim stranicama L, M in. Dužine AL, BM i CN sijeku se u jednoj točki (konkurentne su) P, ako samo ako je AN NB BL LC CM MA = (Butterfly theorem.) U danoj je kružnica k povučena je tetiva AB. Kroz polovište M tetive AB povučene su još dvije tetive F E i CD tako da su točke C i F s iste strane na kružnici s obzirom na AB, isto to vrijedi i za točke D i E. Dužine F D i CE sijeku AB u točkama P i Q. Dokažite da je MP = MQ. 2

3 4.38. Duljina stranice kvadrata (ABCD) je a. F je polovište stranice BC, E je nožište okomice iz vrha A na dužinu DF. Koliko je BE? Iz točke A povučene su tangente na kružnicu, B i C su točke u kojima tangente diraju kružnicu. Iz točke B povučena je tetiva BF kružnice, a iz točke A sekanta koja kružnicu presjeca u točkama D i E. Dokaži da F C raspolavlja DE Trokutu ABC opisana je kružnica k, zatim su iz neke točke P kružnice k na stranice trokuta povučene okomice. Dokažite da nožišta okomica leže na jednom pravcu (Simsonov pravac) Stranice AB, BC i CA trokuta ABC presječene su pravcem u točkama Q, R i S, tako da je R izvan dužine BC. Kružnice opisane trokutima ABC i SCR sijeku se u točki P. Dokaži da je četverokut (AP SQ) tetivan. 7.1.(Ptolemejev teorem.) U tetivnom je četverokutu umnožak duljina dijagonala jednak zbroju umnožaka nasuprotnih stranica. Dokažite (Miquelov teorem.) Na svakoj stranici trokuta odabrana je po jedna točka. Dokažite da se kružnice koje prolaze kroz vrh trokuta i dvije odabrane točke na stranicama iz tog vrha sijeku u jednoj točki (Stewartov teorem teorem.) Na stranici AB trokuta ABC odabrna je točka D. Dokažite tada za dužine tog trokuta vrijedi jednakost BC 2 AD + AC 2 DB = AB ( CD 2 + AD DB ). 2.3.ž00. U šiljastokutom trokutu ABC povučene su visine BB i CC. Kroz ortocentar H je povučen pravac koji siječe stranice AB i AC redom u točkama M i N. Neka je M nožište okomice iz M na BB i N je nožište okomice iz N na CC. Dokažite da je M C N C. 4.1.d95. U trokutu A 0 B 0 C 0 kutovi su α = 40, β = 60 i γ = 80. Neka su A 1, B 1 i C 1 nožišta visina trokuta A 0 B 0 C 0 i ona daju novi trokut A 1 B 1 C 1. Na isti način se konstruira trokut A 2 B 2 C 2. Dokaži da su trokuti A k B k C k, k = 0, 1, 2..., medusobno slični. 3

4 Domaća zadaća Za svaki pravac koji prolazi kroz težište trokuta ABC i presjeca stranice AC i BC označena su s X, Y i Z nožišta okomica iz vrhova A, B i C na taj pravac. Dokaži da je CZ = AX + BY U paralelogramu ABCD, na dijagonali AC odabrane su točke E i F tako da je AE = F C. Točka H je sjecište od BE i AD, i G je sjecište od BF i DC. Dokaži da je HG paralelno sa AC P je točka na visini CD u ABC. Pravci AP i BP sijeku stranice CB i CA u točkama Q i R, respektivno. Dokaži da je QDC = RDC Hipotenuza AB podijeljena je točkama G, E, H na četiri jednaka dijela. Točka G je nožište visine. Ako je AB = 20, koliko je CG 2 + CE 2 + CH 2? 4.3. Iz točke P koja je izvan dane kružnice povučene su tangente koje kružnicu diraju u točkama A i B. Iz točke Q koja je s većeg (ili manjeg) luka ÂB povučene su okomice na pravce AB, PA i PB. Dokaži da je okomica na AB geometrijska sredina od preostale dvije, tj. QC = QD QE. ( Pri čemu su C, D i E nožišta okomica.) 4.4. Tetive AC i DB medusobno su okomite i sijeku se u točki G. U AGD visina iz G siječe AD u E, i njen produžetak siječe BC u P. Dokaži da je BP = P C Dvije kružnice sa središtima U i V, jednakih polumjera diraju se izvana u točki T. Tetiva T M prve kružnice okomita je na tetivu T N druge kružnice. Dokaži da je MN UV i MN = UV Dvije kružnice sa središtima U i V diraju se izvana. Iz točke A koja je na unutarnjoj zajedničkoj tangenti povučene su sekante tih kružnica, jedna siječe prvu kružnicu u E i B, a druga u D i C. Ako je DE zajednička vanjska tangenta, točke C i B su kolinearne sa U i V, dokaži da je: a) ADE = ABC, i b) CAB = i4. 3./83.S. Neka je P točka unutar ABC, takva da je P AC = P BC i neka su M i L podnožja normala iz točke P redom na pravce AC i BC. Ako je D polovište stranice AB, dokažite da je DL = DM. 4

5 LK zadaci 1. Šahovskom pločom (8x8) kojoj su otkinuta dva dijagonalno suprotna polja. Da li je moguće dominama (1x2) popločiti tako okrnjenu ploču? 2. Na dvije suprotne strane kockice nalazi se po jedna točkica, na druge dvije suprotne strane po dvije i na preostale dvije po tri točkice. Od 8 takvih kockica sastavlja se kocka 2 2 2, te se prebroji koliko točaka ima na svakoj strani. Može li se na taj način dobiti šest uzastopnih prirodnih brojeva? 3. Ploču 6 6 prekrivenu dominama uvijek možemo prerezati a da ne prerežemo neku od domina. 4. Svaka točka ravnine obojana je zelenom ili crvenom bojom. Dokažite da u toj ravnini postoji pravokutnik kojem su svi vrhovi iste boje.(2.5.) 5. Dokaži da u grupi od 6 osoba postoje 3 osobe koje se sve medusobno poznaju ili 3 koje se sve medusobno ne poznaju.(2.2.) 6. Na ploči su napisani brojevi 1, 1 2, 1 3,, 1 n. a) Koji broj ostane na ploči ako u svakom koraku izbrišemo brojeve a i b i umjesto njih napišemo broj a b? b) Koji broj ostane na ploči ako u svakom koraku izbrišemo brojeve a i b i umjesto njih napišemo broj a + b + a b?(3.7.) 7. Na ploči su napisani brojevi 1, 2, 3, 4, 5, 6. U svakom koraku možemo odabrati dva broja i dodati im 1. Može li se nakon konačno mnogo koraka dobiti šest jednakih brojeva? 8. Zatvorenu izlomljena liniju pravac p presjeca u 2011 točaka. Dokaži da postoji pravac koji danu liniju presjeca u više od 2011 točaka. 9. U ravnini je dana poligonalna kružnica (jednostavna izlomljena linija koja se ne samopresjeca) kojoj su svi vrhovi u općem položaju (ne postoji pravac koji prolazi kroz tri vrha). Definiran je par od dvije nesusjedne stranice poligona od 5

6 kojih produžetak jedne od njih presijeca drugu. Dokaži da je broj parova paran. 6