Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Transcript

1 5. GEOMETRIJA 5.1 Opcenito o kutevima Poznate su slijedece vrste kuteva: siljasti kut α < 90 pravi kut α = 90 tupi kut 90 < α < 180 ravni kut α = 180 izboceni kut 180 < α < 360 puni kut α = 360 Komplementi kutevi - su kutevi ciji je zbroj 90 : α + β = 90 Suplementni kutevi - su kutevi ciji je zbroj 180 : α + β = 180 Vrsni kutevi - su 4 kuta koji nastaju kada se dva pravca sijeku. Dva i dva kuta su jednaka. Dva kuta, razlicita po velicini, su ujedno suplementni kutevi. Kutevi koji nastaju kada pravac - transferzala, sjece dva paralelna pravca, imaju slijedece karakteristike: Zbroj unutarnjih kuteva je 180 : = = 180 Neki su kutevi jednaki: 1 = 5; = 6; 3 = 7; 4= 8 1. Izracunaj vrijednost za x i y, ako su poznate velicine zadane na slici. Kutevi su jednaki: x = 3x 0 x = 0 x = y = y+ 10 y = 30 Geometrija O kutevima 1

2 1. Dva kuta su suplementna, velicine α = 7x 7 i β = x. Izracunaj kuteve. ( ) α + β = 180 7x 7 + x = 180 9x = x = 3 α = 7x 7 = = 134 β = x = 7 = 46. Pod kojim kutem se sjeku dva pravca, ako je omjer kuteva α : β = : 3. Izracunaj kut α. α + β = 180 zamijenimo α = x, β = 3x x+ 3x = 180 x = 36 α = x = 36 = 7 3. Dva komplementna kuta su α = 3 x, β = x. Izracunaj kuteve. α + β = 90 3x+ x = 90 4x = 90 x =.5 α = 3x = 3.5 = 67.5 β = x =.5 α ( x ) β ( x ) ( ) 4. Dva komplementna kuta su = + 30, = 10. Izracunaj kuteve. α + β = 90 x x 10 = 90 x = 70 x = 35 α = x + 30 = = 65 β = x 10 = = 5 5. Dva su kuta komplementna; α = x, β = x+ 30. Izracunaj kuteve. α + β = 90 x+ x+ 30 = 90 3x = 60 x = 0 α = x = 0 β = x+ 30 = = Dva suplementna kuta imaju vrijednosto α = x+ 0 i β = x+ 1. Izracunaj α i β α + β = 180 x+ 0 + x+ 1 = 180 3x = 159 x = 53 α = x + 0 = = 73 β = x + 1 = = Pravac sjece dva paralelna pravca tako da su kutevi unutar paralelnih pravaca imaju vrijednostiα = 3x+ 1 i β = x 6. Izracunaj kuteve. α + β = 180 3x+ 1+ x 6 = 180 3x = 185 x = 37 α = 3x + 1 = = 11 β = x 6 = 37 6 = 68 Geometrija O kutevima

3 5. Ono naj vaznije o trokutima Trokut je geometrijski lik omedjen sa tri stranice koje mogu biti jednake ili razlicite po duzini. Zbroj kuteva u trokutu je α + β + γ = 180. Vanjski kut uz bilo koji vrh trokuta, jednak je zbroju unutarnji kuteva uz preostal dva vrha. Zbroj dviju stranica trokuta je uvijek veci od trece stranice. Razlika dviju stranica trokuta je uvijek manja od trece stranice. Simetrala kuta sjece suprotnu stranicu u omjeru duzina stranica koje cine taj kut. ( ) = ( )( ) ( ) o: P = s( s a)( s b)( s c), gdje je s = a+ b+ c. Visina trokuta na bazu, sjece bazu na dva dijela. Tada je visina lijevi dio desni dio Povrsina trokuta jednaka je : baza visina /. Povrsina trokuta se racuna i ovak Kosinuson, sinusov i Pitagorin poucak obradjeni su u dijelu trigonometrija Sukladnost trokuta: 1. Dva su trokuta sukladna ako imaju sve tri stranice jednake.. Dva su trokuta sukladna ako imaju jednake dvije stranice i kut medju njima. 3. Dva su trokuta sukladna ako imaju jednake jednu stranicu i dva prilezeca kuta toj stranici. Slicnost trokuta: a) Ako su dva trokuta (ili bilo koja dva lika) slicna, tada su njihovi odgovarajuci djelovi (elementi) proporcionalni. b) Dva su trokuta slicna ako imaju jednaka barem dva kuta. c) Omjer opsega dva slicna trokuta je konstantan i proporcionalan je omjeru ( O O ) = ( a a ) = ( b b ) = ( c c ) pripadnih stranica: / / / / d) Omjer povrsina dva slicna trokuta je konstantan i jednak omjeru pripadajucih ( P P ) = ( a a ) = ( b b ) =( c c ) stranica na kvadrat: / / / /. Simetrala kuteva - je duzina koja spaja vrh trokuta sa stranicom trokuta i simetrala je doticnog kuta. Sve tri simetrale se sjeku u jednoj tocki: Sredistu trokutu upisane kruznice. Okomice povucene na polovista stranica trokuta, sjeku se u jednoj tocki koja je: Srediste trokutu opisane kruznice. Geometrija O trokutima 3

4 Okomice povucene iz vrha trokuta na suprotne stranice, sjeku se u jednoj tocki: Ortocentru trokuta. Ono lezi unutar ostrokutog trokuta odnosno izvan trokuta, ako je trokut tupokutan. ( ) ( x ) β ( x ) 1. Kutevi uz bazu istokracnog trokuta su: α = 3 1 i = Izracunaj sve kuteve. α = β 3x 1= x+ 16 x = 17 α = 3x 1 = = 50 β = x+ 16 = = 50 γ = 180 α + β = = 80. Kutevi u trokutu imaju vrijednosti: α = 3x+ 1, β = 10x+ 11 i γ = x+. Izracunaj kuteve. α + β + γ = 180 3x x+ 11+ x+ = x = 168 x = 1 α = 3x+ 1 = = 35 β = 10x+ 11 = = 131 γ = x + = 1+ = 14 Geometrija O trokutima 4

5 3. Zadana su dva slicna trokuta koji imaju omjer stranica a : a = 1: a) Izracunaj opseg prvog trokuta ako je opseg drugog O = 1 b) Izracunaj povrsinu prvog trokuta ako je povrsina drugog P = 1. O a) O 1 O1 1 P1 1 1 P 1 = O = = = 6 b) = = P1 = = = 3 P Simetrala kuta γ sjece bazu na dva dijela. Poznavajuci velicine sa slike, izracunaj duzinu a. 6 1 Iz definicije imamo: = a = 5 a Kut izmedju jednakih stranica istokracnog trokuta iznosi 50. Izracunaj preostala dva kuta. α + β + γ = 180 = α + β + 50 α + β = U istokracnom trokutu: α = β = = Omjer kuteva u trokutu je 1:5:6. Odredi koje je vrste trokut. 1x+ 5x+ 6x = 180 1x = 180 x = 15 α = 1x = 15 β = 5x = 5 15 = 75 γ = 6x = 6 15 = 90 Trokut je pravokutan 7. Zadan je trokut prema slici. Koristeci slicnost trokuta izracunaj bazu x trokuta. 4 Iz slicnosti trokuta postavimo jednakost: = x = 10 x ( + 3) Geometrija O trokutima 5

6 8. Zadani su kutevi istokracnog trokuta: α = 3x 1 i β = x+ 16. Izracunaj kut γ. α = β 3x 1= x+ 16 x = 17 ( ) α = 3x 1 = = 50 γ = 180 α + β = = Zadani su kutevi trokuta: α = 3x 1 i β = 10x+ 11 i γ = x+. Izracunaj kuteve α + β + γ = 180 3x 1+ 10x+ 11+ x+ = x = 168 x = 1 α = 3x 1 = = 35 β = 10x+ 11 = = 131 γ = x + = 1+ = Zadan je trokut sa stranicom c = 13 i lijevim dijelom baze nastale nakon sto je povucena visina, k = 4. Izracunaj visinu trokuta v. ( ) ( )( ) v ( ) Po definiciji imamo: visina = lijevidio desnidio = = 4 9 = 36 v = 6 Geometrija O trokutima 6

7 11. U trokutu su stranica m i b paralelne. Izracunaj stranicu x ako su poznate velicine sa slike. Iz ABC imamo stranice b = 6 i a = 6 + x a iz trokuta DBE stranice m = i x x Trokuti su slicni pa iz omjera stranica imamo: = 6x = 1 + x x = 3 x 1. Stap duzine 1m ima sjenu dugu 1.m a zgrada ima sjenu dugu 1m. Izracunaj visinu zgrade. 1 x Iz omjera slicnih trokuta imamo: = x = 17.5 m Vrh krova kuce visok je 4.8m u odnosu na horizontalni dio krova. Podupora visoka m je na udaljenosti 5m od osi vrha. Izracunaj sirinu krova. x Iz omjera slicnih trokuta imamo: = x = 3.6m x Polovica krova je siroka: x+ 5 = = 8.6 m, a cijeli krov dvostruko: 17. m 14. Mjerenjerenjem su utvrdjene zadane duzine. Odredi duzinu objekta x Iz omjera slicnih trokuta imamo: = x = 35.8m 15.8 x Geometrija O trokutima 7

8 5.3 Ponesto o kruznicama Kruznica je geometrijsko mjesto tocaka koje su jednako udaljene od jedne cvrste tocke, koja se zove srediste S. Udaljenost od sredista zove se radijus ili polumjer; r = SF. Duzina koja spaja dvije tocke na kruznici i prolazi sredistem zove se dijametar ili promjer d = DE. Pravac koji je povucen iz tocke van kruznice, na kruznicu je: a) tangenta - dira kruznicu u jednoj tocki, A b) sekanta - sjece kruznicu u dva nejednaka dijela. Duzina sekante koja pada unutar kruznice je tetiva t = BC. 1. Tetiva duzine 1, sjece kruznicu i pripadajuci luk toj tetivi je 60. Izracunaj radijus kruznice. Iz trokuta ASB imamo: x+ x+ 60 = 180 x = 10 x = 60 Trokut je istostranican.. Izracunaj povrsinu kruznog isjecka koji ima unutarnji kut α = 7 a radijus kruznice je r = 5. α 7 7 = π = 5 π = 5π = 5π = 5π P r P Geometrija O kruznicama 8

9 3. Dvije tetive se sjeku tako da su segmenti velicine : AB = 10, BC = 4, BE = 8, DB = x. Iracunaj duzinu segmenta x. Iz definicije o tetivama: Produkt segmenata na tetivama je jednak. AB BC = DB BE 10 4 = x 8 x = 5 4. Iz iste tocke van kruznice povucene su sekante na kruznicu. Segmenti tetiva su velicine: TB = 1, TC = 4, TD = 9. Iracunaj duzinu segmenta TA = x. Iz definicije o sekantama: Produkt segmenata na sekantama je jednak. 36 TD TC = TB TA 9 4 = 1 x x = = Iz iste tocke van kruznice povucene su sekanta i tangenta na kruznicu. Segmenti su velicine: TB = 3, BC = 9. Iracunaj duzinu tangente TA = x. ( ) Iz definicije znamo: TA = TC TB x = = 36 x = 6 6. Zadani su sredisnji i obodni kut, koji pripadaju istom luku od α = 40. Izracunaj obodni kut. Po definiciji: Sredisnji i obodni kut koji pripadaju istom luku odnose se u omjeru 1: α 40 α : β = :1 β = = = 0 Geometrija O kruznicama 9

10 7. Izracunaj luk AB ako je poznati kut u vrhu T i luk AC. AC AB 00 x Po definiciji je: T = 50 = 50 = 00 x x = Zadane su dvije tetive na kruznici, i pripadajuci luk izmedju tetiva. Izracunaj kut pod kojim se tetive sjeku. AD = 0, BC = 70, BD = 10 AC + BD Iz definicije znamo: x = AVB = AC = 360 ( AD + BC + BD) AC = 360 ( ) = 60 x = = Zadana je kruznica radijusa r = 3. Izracunaj duzinu luka koji pripada sredisnjem kutu od π π π ϕ= radijana. Duzina luka se racuna: L = r ϕ = 3 = 6 6 Geometrija O kruznicama 10

11 10. Izracunaj kut ϕ ako je zadan omjer lukova na kruznici: AB : BC : ABC = : 3 : 7 Vrijednost za puni kut je : x+ 3x+ 7x = 360 x = 30 AB : BC : ADC = 30 : 3 30 : 7 30 AB = 60, BC = 90, ADC = 10 ADC AB Po definiciji je: ϕ = = = Izracunaj kut x trokuta ASB, ako je zadan luk pripadajuce tetive l = 40. Vidi sliku. Trokut ASBje istokracan, pa su oba kuta x, jednaka. Iz trokuta ABC imamo:180 = x + 40 x = 140 x = Zadana je kruznica i njene dvije tetive AB i AC koje zatvaraju luk od 140 i 100. Izracunaj kut α medju tetivama. BC BC Obodni kut α : α = 360 = BC BC = 10 α = = 60 Geometrija O kruznicama 11

12 13. Zadana je kruznica polumjera r = 4 i upisani kvadrat. Izracunaj povrsinu izmedju kruznice i kvadrata. Povrsina kruga: P = r π P = 4 π = 16π Diagonala kvadrata: d = r = 4 = 8 d 8 P = = = 3 Razlika povrsina iznosi: P = P P = 16π Zadana je kruznica i tri tocke iz kojih su povucene tangente na kruznicu. Duzine segmenata su: CF = 4, FB = 5 i AB = 9. Izracunaj duzinu AC. Iz definicije znamo: FB = EB = 5 AE = AB EB = 9 5 = 4 AE = AD = 4 CF = CD = 4 AC = AD + CD = 4+ 4= 8 Geometrija O kruznicama 1

13 5.4 Poligoni mnogokuti Poligoni su geometrijski likovi sa tri i vise stranica i njima odgovarajucih kuteva. Poseban slucaj poligona su trokuti (koje tako i zovemo), cetverokuti (paralelogrami, kvadat, romb, trapez...) te mnogokuti u pravom smislu rijeci, sa brojem stranica n = 5 beskonacno. ( n ) Zbroj unutrasnjih kuteva poligona jednak je: K = 180 Zbroj vanjskih kuteva poligona iznosi: K = 360 Spajanjem sredisnjica stranica poligona dobije se novi poligon sa istim brojem stranica. U slucaju cetverokuta, novi cetverokut je paralelogram. Dijadonale cetverokuta se prepolavljaju a dijagonale kvadrata i romba sjeku se pod pravim kutem. U V 1. Izracunaj kut x, ako su poznati podaci zadani na slici. 4U ( n ) ( ) 4U ( n ) Suma svih unutarnjih kuteva cetverokuta iznosi: K = 180 K = 180 = = = x = x+ 55 x = 105. Izracunaj kut x, ako su poznati podaci zadani na slici. ( n ) Suma svih unutarnjih kuteva sesterokuta iznosi: K = 180 K6U = 180 ( n ) = 180 ( 6 ) = = 6x x = = 10 6U Izracunaj kut x i y ako su poznati podaci zadani na slici. Iz ABD 180 = x x = = 75 Iz BCD 180 = y y = = 45 Geometrija Poligoni 13

14 4. Izracunaj kuteve x i y, ako su poznati podaci zadani na slici. Iz istostranicnog trokuta ACD α = 60 Iz istoskracnog trokuta ABC x = 45 y = α + x = = Izracunaj kut x, ako su poznati podaci zadani na slici. KU = 360 x+ x+ ( x 35) + ( x 45) = 360 4x 80 = x = = Izracunaj kuteve x i y, ako su poznati podaci zadani na slici. Iz AB CD x + x + 80 = 180 x = 50 y = x + 80 = = 130 ( ) Drugi nacin: 180 y x = 180 y = = 130 Geometrija Poligoni 14

15 7. Unutarnji kut poligona iznosi α = 135. Izracunaj vanjski kut i odredi koji poligon je u pitanju. α = 135 α + α = 180 α = = 45 u u v v Za poligon vrijedi: K = 360 n 45 = 360 n = 8 osmerokut (oktagon) v 8. Zadan je trapez prema slici. Izracunaj kuteve x i y. ( ) ( ) Stranice su paralelne: AB CD pa imamo: x 5 + x + 5 = 180 y+ 70 = 180 3x = 180 x = 60 y = = Zadani su kvadrat i istostranicni trokut prema slici. Izracunaj kut ϕ. Kutevi u trokutu ABE iznose: ABE = 60 ; ABC = BCD = 90 Kut ACB iznosi: ACB = 45 β = ABC ABE = = 30 Iz trokuta BCF imamo: β + ϕ + ACB = 180 β + ϕ + 45 = 180 ϕ = Zadan je jednakostranicni trapez. Izracunaj vrijednosti x i y. Jednakostranican trapez ima AD = BC 5x = 3x + 0 x = 0 x = 10 ( ) ( ) Horizontalne stranice su paralelne, pa je: AB CD y + 3x + 0 = 180 y = = 130 Geometrija Poligoni 15

16 11. Zadan je romb sa dijagonalama prema slici. Izracunaj nepoznanice x i y. Dijagonala se sjeku u polovici njihovih duzina, pa se moze napisati: x + y = 15 3y + y = 15 y = 3 x = 3y = 3 3 = 9 x = 9 x = 3y 1. Zadan je trapez prema slici. Izracunaj nepoznanice x i y. Sredisnjica sjece dijagonalu na dva jednaka djela, pa se moze napisati: 1 15 AB CD DF = FB x = 8 CG = GB = CB y = = Zadana je lik u obliku zvijezde sa pet krakova. Izracunaj nepoznanicu x. ( n ) Zbroj unutarnjih kuteva poligona iznosi: K = Iz slike je vidljivo, dijagonale sjeku unutarnji kut na 3 jednaka djela: Ku = 180 ( n ) = 180 ( 5 ) = 540 5Ku = 540 Ku = = Ku = 3x x = = 36 Ku = 36 3 u Geometrija Poligoni 16

17 14. Zadana je trapez prema slici. Izracunaj nepoznanice x i y. Sredisnjica sjece dijagonalu i bocne stranice na dva jednaka djela. CF = FB x 7 = 45 x = 6 AG = GC 3y + 4 = 67 y = 1 Geometrija Poligoni 17

18 5.5 Povrsine likova, geometrijska tijela Povrsina geometrijskih likova Povrsina geometrijskih likova racuna se po znanom nacinu: sirina puta visina. Citaoc mor sam definirati te dvije kategorije prilikom postave zadatka. Za poligone - mnogokute vrijede slijedece: Povrsina poligona je sastavljena iz vise elementarnih djelova, obicno trokuta i moze se razviti u: trapez - ako je broj stranica neparan paralelogram - ako je broj stranica paran Na osnovu toga, povrsina poligona je jednaka: P P P = Povrsina poligona OP a = OP = Opseg poligona a = okomita udaljenost stranice od sredista poligona(apothem) Za likove kojima je osnova kruznica, treba primijeniti pravilo za povrsinu kruga r π. Geometrijska tijela Volumen tijela se u pravilu racuna: povrsina baze puta visina. Povrsina tijela se racuna tako, da se izracuna povrsina ploha tijela, koje su obicno geometrijski likovi (trokuti, krug, paralelogrami) i inda se te povrsine zbroje. 1 Volumen stozaca i piramida racuna se po jednadzbi: povrsina baze puta visina. 3 Volumen kugle jednak je volumena valjka kome je visina jednaka promjeru: VK = VV = r π h = r π r = r π VK = r π Izracunaj povrsinu pravilnog sesterokuta, kome je najkraca udaljenost stranice od sredista opisane kruznice a = 41 cm a duzina stranice st = 34 cm. OP a Opseg sesterokuta: O = 6 st = 6 34 = 04 P = = = 464cm Geometrija Povrsine likova, tijela 18

19 . Izracunaj povrsinu zadanog paralelograma ako su poznate velicine prema slici. ( ) O = x+ x+ y + 3x = 7x+ y O = 40 = 7x+ y 7x+ y = 4 Iz paralelograma imamo: 3x = y 3x y = Rjesenje jednadzbi iznosi: x = 4 y = 7 3. Izracunaj povrsinu zadanog kombiniranog lika. a Povrsina istostranicnog trokuta stranice a = 6 iznosi: P = = = a Povrsina kruznog isjecka, koji pripada luku l = = 300, r = : l P = r π = π = π = π Sveukupna povrsina lika iznosi: P = P + 3P = π = π 4. Izracunaj povrsinu zadanog kombiniranog lika. a P a Povrsina kvadrata stranice = 18 iznosi: = = 18 = 34 a Povrsina kruznog isjecka, koji pripada luku l = 90, r = : l P = r π = π = π = π Sveukupna povrsina lika iznosi: P = P 4P = 34 4 π = 34 81π Geometrija Povrsine likova, tijela 19

20 5. Izracunaj povrsinu zadanog kombiniranog lika. Povrsina istostranicnog trokuta stranice a = 1 iznosi: P = a = 1 = a 1 Povrsina kruga radijusa r = : P = π = 36π a Povrsina kruznog isjecka, koji pripada luku l = 60, r = ;To su dvije neobojane i jedna obojana povrsina unutar trokuta. l P = r π = π = π = 6π Sveukupna povrsina lika iznosi: Povrsina kruga radijusa r, plus povrsina trokuta umanjena za tri kruzna isjecka: ( ) ( ) P = P + P 3P = 36π π = 36π π = π 6. Nogometna lopta je u kutiji (kocka) sa stranicom a = 5 cm, koji je jednak promjeru lopte. Koliki postotak volumena je oko lopte? Volumen kocke je: V = a = 5 = 1565cm k a 4 5 Volumen lopte je: Vl = r π = π = π = cm Vk Vl pv = 100 = 100 = = 47.64% V 1565 k 3 Geometrija Povrsine likova, tijela 0

21 7. Silos ima oblik valjka koji ima na vrhu oblik polukugle radijusa r = 4 m. Ukupna visina silosa je h = 7.5 m. Izracunaj volumen silosa. Volumen silosa cine valjak i polukugla. Visina valjka je h = h r = =3.5 m a baza ima r = 4m v Volumen valjka iznosi: V = r π h = 4 π 3.5 = 56πm v 3 v Volumen polukugle iznosi: Vpk = r π = 4 π = π = πm Volumen silosa iznosi: Vs = Vv + Vpk = 56π + π = 77.33π = 310m Keopsova piramida ima za bazu kvadrat sa stranicom duzine a = 30.4 m a visina piramide je h = 147 m. Izracunaj priblizno koliko je kamenih blokova dimenzije P k = m bilo potrebno za poplociti piramidu, ukljucujuci i bazu. Povrsina piramide iznosi: cetiri povrsine trokuta plus povrsina base: P P P = P + P P = a = = m P P b v a + a = = + = = h = 4P+ P = = m m P Za poplociti piramidu trebalo je : n = = kamenih blokova P k Geometrija Povrsine likova, tijela 1

22 Geometrija Povrsine likova, tijela