mogućih vrijednosti rs3. Za m, n N, mn+1 m 2 +n 2 m2 + n 2 mn + 1 je kvadrat prirodnog broja.

Transcript

1 r1. Neka je n fiksan prirodan broj. Neka je k bilo koji prirodan broj ne veći od n i neka je S skup nekih k različitih prostih brojeva. Ivica i Marica igraju naizmjenično sljedeću igru. Svako od njih bira jedan prirodan broj veći od 1 čiji svi prosti djelitelji pripadaju skupu S i koji nije djeliv s nijednim od prethodno odabranih brojeva. Gubi onaj koji prvi ne može više igrati. Dokaži da Ivica ima pobjedničku strategiju za barem 2n 3 parametra k. mogućih vrijednosti r2. Dano je 2n točaka u ravnini koje su u općem položaju (nikoje 3 nisu kolinearne). Posmatrajmo 2n dužina kojima su krajevi u danim točkama i medu kojima se nikoje dvije ne sijeku. Dokažite da je broj takvih odabira barem 2 n 1, i odredite za koje se sve n može dostići jednakost za barem jednu početnu konfiguraciju od 2n točaka. rs3. Za m, n N, mn+1 m 2 +n 2 m2 + n 2 mn + 1 je kvadrat prirodnog broja. rs4. U šiljastokutom trokutu ABC ( AB AC ) sa kutom α kod vrha A, točka E je Eulerovo središte, a P je točka na dužini AE. Ako je ABP = ACP, dokažite da je x = 90 2α. 1

2 ps1. U konveksnom četverokutu duljine svih stranica i dijagonala su racionalni brojevi. Da li su tada i duljine dijelova dijagonala na koje ih dijeli točka u kojoj se one sijeku takoder racionalni brojevi? ps2. Na ploči je na početku napisan broj 1. U n tom koraku svaki broj se obriše i umjesto njega se upiše niz brojeva od 1 do za 1 manjeg broja od obrisanog, ako je obrisana 1 tada se ne napiše ništa, i na kraju se još dopiše broj n + 1. Koliko će biti brojeva na ploči nakon 2016 koraka? ps3. Odredi skup svih vrijednosti izraza za x, y, z > 0 i xyz = 1. xy + yz + zx x + y + z ps4. Kružnice k 1 i k 2 sijeku se u točkama P i Q, takoder k 1 prolazi središtem od k 2. Točke A i B leže na onom dijelu kružnice k 1 koji je unutar k 2 i jednako su udaljene od središta kružnice k 2. Ako pravac P A siječe k 2 u točki D P, dokažite da je tada AD = P B. ps5. Neka je C točka na kružnici k 1. Kružnica k 2 sa središtem u C siječe k 1 u točkama P i Q. Tangenta iz središta O kružnice k 1 na kružnicu k 2 dodiruje k 2 u točki N i siječe k 1 u točkama A i B, neka je AN > BN. Pravci AC i P Q sijeku se u točki K, a pravac NK siječe k 2 u točki L N. Dokaži da je AL P Q. ps6. Dokažite da za svaki prirodan broj n postoji n tero znamenkasti prirodan broj kojemu su znamenke iz skupa {1, 2, 3} i koji je djeljiv sa zbrojem svojih znamenaka. ps7. Na svakom polju 3 n ploče nalazi se novčić. Na početku su novčići postavljeni tako da im je svima pismo okrenuto prema gore. Dozvoljeno je odabrati neko polje i u svim poljima koja imaju zajednički vrh s njim okrenuti novčiće, novčić u odabranom polju se ne okreće. Za koje n ove je moguće okrenuti novčiće tako da je svima glava gore? 2

3 pe1. Neka je za prirodan broj d definirana funkcija f(d) tako da je f(d) najmanji prirodan broj koji ima točno d djelitelja. Dokažite da f(2 k ) dijeli f(2 k+1 ) za svaki k 0. pe2. Neka je A = {a 1, a 2, a 3, a 4 } skup različitih prirodnih brojeva. Označimo njihov zbroj s A = a 1 + a 2 + a 3 + a 4, neka je p A ukupan broj parova {a i, a j } iz skupa A za koje a i + a j dijeli s A. odredi one A za koje je p A maksimalan. pe3. Neka je A 1 A 2 A 3 A 4 četverokut koji nije tetivan. Neka je O 1 središte i r 1 polumjer kružnice opisane trokutu A 2 A 3 A 4, analogno se definiraju O 2, O 3, O 4 i r 2, r 3, r 4. Dokaži da tada vrijedi 4 1 O i A 2 i r2 i = 0. pt1. Neka je P 1, P 2,..., P 2n permutacija vrhova pravilnog 2n terokuta. Dokaži da zatvorena poligonalna linija koja se sastoji od dužina P 1 P 2, P 2 P 3,..., P 2n 1 1P 2n, P 2n P 1 sadrži barem jedan par paralelnih dužina. pt2. Novčići su postavljeni u Pitagorin trokut duljine stranice n(ukupan broj ima je jednak Pitagorinom broju), i to tako da su svi okrenuti s pismom prema gore. U jednom potezu dozvoljeno je okrenuti 3 novčića koji se diraju. Odredi sve n za koji je moguće okrenuti sve novčiće tako da je glave prema gore. ppt3. Za pozitivne realne brojeve a i (i = 1, 2,..., n) vriejdi n n a i = a 1 i. 3

4 Dokaži da tada vrijedi nejednakost n 1 n 1 + a i 1. pd1. Na šahovsku ploču treba postaviti 2500 kraljeva tako da: 1.) Ne napadaju se. 2.) U svakom retku i stupcu ih je točno 25. Na koliko ih je različitih načina tako moguće postaviti pd2. Niz x 1, x 2,... definiran je ovako x 1 = 1, x 2k = x k i x 2k 1 = ( 1) k+1 x k za sve k 1. Dokaži da je za svaki n 1. x 1 + x 2, + x n 0 pd3. Vrhovi X, Y, Z jednakostraničnog trokuta XY Z leže na stranicama BC, CA, AB šiljastokutnog trokuta ABC. Dokaži da je središte upisane 4

5 kružnice trokutu ABC unutar trokuta XY Z. pp1. Neka je ABCD pravokutna ploča dimenzija koja je podijeljena na pravokutnih jediničnih pravokutnih kvadrata. Neka je r dani pozitivni cijeli broj. Kamenčić se može premjestiti s jednog kvadrata na drugi ako i samo ako je udaljenost središta ta dva kvadrata r. Zadatak je premjestiti kamenčić iz kvadrata kojemu je vrh A, do kvadrata kojemu je vrh B. a) Dokažite da se cilj može postići ako je r djeljiv s 2 ili 3. b) Dokažite da se cilj može postići ako je r = 73. c) Može li se cilj postići ako je r = 97? pp2. Neka je P unutar trokuta ABC takva da je BP A BCA = AP C ABC. Točke D, i E su središta kružnica upisanih u trokute AP B, 5

6 AP C. Dokažite da se pravci AP, BD i CE sijeku u jednoj točki. pp3. Pozitivni cijeli brojevi a i b su takvi da su oba broja 15a + 16b i 16a 15b kvadrati pozitivnih cijelih brojeva. Nadi najmanju vrijednost koju može imati minimum od ova dva kvadrata. Z1. Unutar triedra s vrhom O dana je točka M. Točkom M prolazi ravnina α koja bridove triedra presjeca u točkama A, B i C. Za zadane prirodne brojeve p, q i r odredi položaj od α za koji je umnožak OA p OB q OC r minimalan. Z2. Neka je M pravilni n-terokut površine S. Nadi najveću površinu trokuta upisanog u M. Z3. Dokaži da od svih tetraedara zadanog volumena V pravilni ima najmanje oplošje. 6