UVOD Matematički model - kup matematičkih relacija koje opiuju veze između pojedinih fizičkih veličina u pomatranom proceu (dimenzije uređaja, vojtva uptanci, kinetički parametri, prinoi, protoci,... Tehnoekonomki modeli (za analizu ekonomičnoti procea adrže i ekonomke parametre : troškovi, dobit... Model predtavlja uprošćenu predtavu tvarnih veza između veličina koje karakterišu proce i odražava najvažnije karakteritike procea čime je - olakšano određivanje potrebnih parametara - olakšano rešavanje i odtupa od realne like u nekim granicama tolerancije. Sitem koji e modeluje: - jano izdvojen deo procea ograničen granicom itema. Proce - jedna ili niz jediničnih procea za dobijanje nekog produkta. Jedinični procei : mehaničke operacije - tranport, drobljenje, oblikovanje toplotne operacije - proizvodnja i razmena toplote eparacione operacije - detilacija, ektrakcija, membranki procei hemijki i biohemijke reakcije u reaktorima fluid za hlađenje granica itema rahlađen fluid fluid za hlađenje Slika Izmenjivač toplote jednotavan item SISTEMI JEDNOSTAVNI jedan uređaj, tj. jedinični proce (Sl. SLOŽENI više međuobno povezanih uređaja (Sl.2
2 9 D 8 Cl 2 Cl 2 5 3 M 4 R S 2 C 2 H 4 C 2 H 4 Cl 2 7 6 C 2 H 4 M - mešač D - razdvajač R - reaktor S- eparaciona kolona Slika 2. Uprošćena šema za hlorovanje etilena po reakciji: C 2H 4+ Cl2 C2H 4Cl2 OSNOVA MODELA : zakoni održanja (konzervacije: ULAZ IZLAZ +GENERISANJE AKUMULACIJA (. POTREBNO : - Podaci o vojtvima uptanci gutina, napon pare, entalpija.. - Opiivanje ravnoteže faza - Opiivanje reakcione ravnoteže - Opiivanje brzina prenoa toplote, kol.kretanja i mae i brzina reakcija PRIMER.,T ' ', T ', T ' 2 2 T T T + T2 T + T2 2 2 ", T " 2 2
3 Zakon održanja mae : 2 (kg/ (. a 2 (kg/ (. b Zakon održanja energije: Cp ( T 2 T Cp ( T T 2 Q ( J / (.2 Q k T r A, T r ( T T T T 2 ( 2 T T 2 ln T T 2 (.3 k + δ α λ + α, Nu α d f (Pr, Re, λ wd ρ C p µ Re, Pr µ λ ρ ρ µ µ λ λ k f (,,,,,,,, d, d, λ, δ, C C p (.4 p ρ ρ ( T, µ µ ( T, λ λ ( T, Cp Cp ( T ρ ρ ( T, µ µ ( T, λ λ ( T, Cp Cp ( T (.5a (.5b PRETPOSTAVKE pri formulianju modela : zanemaruju e gubici toplote u okolinu (omotač idealno izolovan - vidi jedn. (.2 zanemaruje e priutvo taloga onečišćenja na zidovima cevi (vidi jedn..3b zanemaruju e radijalne promene temperatura jednog i drugog fluida fizički parametri fluida: µ, ρ, λ kao i λ zida cevi u kontante (ne menjaju e a temperaturom (vidi jedn..5a, b zanemaren je efekat promene pritika na entalpiju fluida, i one u linearne funkcije temperature (jedn..2, tj. Cpcont.
4 KLASIIKACIJA MODELA determinitički tohatički tacionaran netacionaran MATEMATIČKI MODEL podele po matematičkoj trukturi a rapodeljenim parametrima a uniformnim parametrima X t STACIONARAN : AKUMULACIJA 0, 0 - utaljen režim kontinualnih procea ( otvoreni itemi X NESTACIONARAN : AKUMULACIJA 0, X, 0 t - dikontinualni ili šaržni procei ( zatvoreni itemi - vremenki poremećaji u kontinualnom proceu X,, SA UNIORMNIM (NERASPODELJENIM PARAMETRIMA: X X, x, 0 x - reaktori a mešalicom uz pretpotavku da je mešanje idealno SA RASPODELJENIM (NEUNIORMNIM PARAMETRIMA : X X, x, 0 x - cevni reaktori - cevni izmenjivači toplote
5 MATEMATIČKA STRUKTURA : - Algebarke jednačine (tacionarni uniformni itemi - Obične diferencijalne jednačine - ODJ (netacionaran uniforman item, tacionaran item a promenama vojtava u jednom pravcu - Parcijalne diferencijalne jednačine - PDJ (netacionarni neuniformni itemi, tacionarni a promenama vojtava u više pravaca - Kombinovano Granični ulovi Broj neophodnih gran.ulova red najvišeg izvoda u jednačini ODJ. reda: ( x, y, y x x y y 0, 00 ODJ 2. reda: ( x, y,, 0 y y Početni (initial value problem : Granični (boundary value problem x x 0, y y 0, y y 0 x x, y y x x 2, y y 2 ili opštije: x x, a y + b y c x x 2, a 2 y + b 2 y c 2 (a, a 2, b, b 2, c, c 2 u kontante PDJ 2. reda: t x y z z 2 (,,,, z z z t, x, y, y Primer graničnih ulova: 0 z( x, y, t z ( x, y z( x x, y, t z ( y, t 0 2 z( x, y y, t z ( x, t 0 3 z ( y x, y y, t z ( x, t 0 4 2 0
6 MATEMATIČKA ODREĐENOST PROBLEMA Broj tepeni lobode d N V N j > 0 neodredjen d 0 odredjen < 0 preodredjen PRIMER: Broj tepeni lobode u Primeru. 2 2 (kg/ (. a (kg/ (. b Cp T T Cp ( T T Q ( J / (.2 ( 2 2 2 Q k T r A, T r ( T T T T 2 ( 2 T T 2 ln T T 2 (.3 k f (,, ρ, ρ, µ, µ, λ, λ, d, d, λ, δ, C C p (.4 p ρ ρ ( T, µ µ ( T, λ λ ( T, Cp Cp ( T ρ ρ ( T, µ µ ( T, λ λ ( T, Cp Cp ( T (.5a (.5b jednačine: broj: maeni bilani (. a, b 2 energetki bilan (.2 2 za topl. fluk (.3 uz.3a za koef. prolaza toplote (.4 za fizička vojtva (.5 a, b 8 4 promenljiva: broj: maeni protoci,, 2,, 2 4 temperature T, T 2, T, T 2 4 dimenzije itema d, d, δ, A 4 fizička vojtva ρ, Cp, λ, µ 8 fluida ρ, Cp, λ, µ provodljivot zida i koeficijent prolaza toplote λ, k 2 toplotni fluk Q 23 d 23 4 9 Nedotaje 9 podataka!
7 Potrebni podaci ( ukupno d moraju da budu nezavini! U uprotnom, problem je neodređen! PITANJA:. Razlikuju li e matematički modeli za lučajeve hlađenja i zagrevanja procenog fluida, koji protiče kroz cev izmenjvača? 2. Razlikuju li e i kako matematički modeli protiv- i itotrujnog izmenjivača? 3. Skiciraj temperaturne profile grejanog fluida (u cevi i grejnog fluida (oko cevi T ( x i T ( x za itotrujni i uprotnotrujni izmenjivač. Poebno razmotriti lučaj kada je grejni fluid uvozaićena para. PREODREĐENI PROBLEMI ( N J > N V Korektan Sitem jednačina aglaan Suvišni podaci (ukupno N J - N V niu nezavini, tj. konzitentni u a otalim Nekorektan Sitem jednačina neaglaan Suvišni podaci u nezavini tj. nekonzitentni TIPOVI RAČUNSKIH PROBLEMA BILANSNI Model ne adrži opie brzina procea, dati u tepeni napredovanja procea (tepen konverzije reaktanta, promena temperature grejanog,fluida u izmenjivaču... SIMULACIONI Sadrži izraze za brzine procea (brzina reakcije, toplotni fluk i l. Zadato: OTVORENA Parametri uređaja Svi parametri ulaznih truja SIMULACIJA KONTROLISANA Parametri uređaja Neki parametri ulaznih truja Neki parametri izlaznih truja Računa e: Parametri izlaznih truja Nedotajući parametri ulaznih i izlaznih truja
8 PROJEKTNI Zadato: Neki parametri uređaja, vi parametri ulaznih truja, potreban broj parametara izlaznih truja Računa e : Nedotajući parametri uređaja OPTIMIZACIONI Problem optimizacije a ograničenjima (contrained optimization : Matematički neodređen problem (proj. ili kontrol. imulacija e prevodi u određeni, potavljanjem ulova da neka funkcija promenljivih modela - funkcija cilja, za rešenje problema, tj. za izračunate vrednoti promenljivih ima ektremum. Ograničenja u jednačine modela, koga moraju zadovoljiti koordinate ektremuma. PRIMER.5. Simulacija i optimizacija izmenjivača toplote (Primer.. otvorena imulacija : kontroliana imulacija: optimizacija: Zadato: Param. uređaja: d, d, A, λ, δ d, d, A, λ, δ Ulazne truje: T, T,, T,, T, Izlazne truje: - T 2 T 2 Ulovi : - - trošk.( T, min Dobija e: otale promenlj. a najvažnije: T 2, T 2, Q T, Q T, PRIMER.6. Projektni proračun izmenjivača toplote (Primer.. Tipičan projektni problem je: parametri uređaja: d, d, λ, δ Zadato: ulazni parametri: T, T,, izlazni parametri: T 2 Dobija e: Otalo, a najvažnija je površina razmenjivača, A tj. dužina,l
9 OGRANIČENJA UZ BILANSNE JEDNAČINE Procena ograničenja : Sumacione jednačine :. Ulovi fazne ranoteže 2. Ulovi reakcione ravnoteže 3. Otala : - truje e dele u određenom odnou - dve truje e pajaju a određenim odnoom protoka - temperatura u reaktoru e održava na zadatom nivou - itd. - granični ulovi za rešavanje diferencijalnih modela x 0, T T Naprimer, kod izmenj. toplote : x L, T T n i x i