/3/5 Stbltte este un dn propretăţle nterne le sstemelor dnmce reflecttă de dependenţ funcţe de trnzţe stărlor x(t) = φ(t,τ,x τ,ω), de fz nţlă (τ,x(τ)). Se spune că un sstem lnr este stbl dcă, lăst să evolueze lber (respectv cu tote ntrărle în sstem dentc nule, u(t) ), în condţ nţle rbtrre, tnde să tngă o stre de echlbru dnmc crcterztă prn vlor fnte le vrblelor funcţonle (de stre ş de eşre). Deorece în cest cz evoluţ sstemulu este nfluenţtă dor de mărme de stre (prn condtle nţle x(τ), rezulttele prvtore l stbltte se încdreză în ş numt stbltte nternă Proprette de stbltte cre fce referre l mărmle externe portă denumre de stbltte externă su stbltte ntrre-eşre. Se spune că un sstem lnr este stbl dcă pentru orce mărme de ntrre u(t), mărgntă pe ntervlul (, ), mărme de eşre y(t) este de semene o funcţe mărgntă. Dn cestă cuză cest tp de stbltte este denumt ş stbltte ntrre mărgntă - eşre mărgntă (IMEM su BIBO (bounded nput-bounded output)). 4 Stbltte externă sstemelor dnmce lnre monovrble constnte netede În czul sstemelor dnmce monovrble stbltte externă pote f nlztă cu jutorul răspunsulu l mpuls (funcţe pondere), răspunsulu ndcl ş răspunsulu l frecvenţă. Trnzţ ntrre-eşre unu sstem monovrbl neted, pentru condţ nţle nule se exprmă prn produsul de convoluţe
/3/5 y(t)= y (t)= t h(t - )u( ) d f (4.) unde h(t) este funcţ pondere sstemulu. Defnţ 4.. Un sstem monovrbl lnr neted este stbl extern su stbl ntrre mărgntă-eşre-mărgntă dcă exstă M > stfel încât (4.) h(t) M ( ) (t >). Un sstem monovrbl lnr neted este strct stbl extern su strct stbl în sens IMEM dcă h(t) dt < ( ) (t >). (4.3) Teorem 4.. Un sstem dnmc monovrbl lnr neted este strct stbl extern dcă ş num dcă exstă M > stfel încât orcre r f mărme de ntrre u(t), cu u(t) = pentru t < ş u(t) pentru t, răspunsul forţt (pentru condţ nţle nule) este mărgnt, dcă y(t) = y f (t) M pentru t. Se consderă că (4.4) M = h(t) dt Trecând l vlor bsolute în relţ (4.) se obţne y(t) = t h(t - )u( ) d h(t - ) u( ) d t h(t - ) d h( ) d h(t) dt = M t t
/3/5 Dcă se cunoşte funcţ pondere h(t) tunc precere stbltăţ sstemulu dnmc se pote fce utlzând drect condţle (4.), (4.3). Exemplul 4.. Se consderă un sstem dnmc de ordnul do cu < ξ <, căru funcţe pondere este h(t)= k p n - e - t n sn n - t,t. unde k p, ω n, ξ sunt constnte poztve. Deorece e sn - - t t n <e <,( )t >, - n t n rezultă că h(t) este mărgnt ş dec relţ (4.) este îndeplntă. Condţ (4.3) se verfcă medt pentru că e -ξωnt când t. Rezultă că pentru ξ > sstemul de ordnul do este smptotc stbl. În czul în cre ξ = funcţ pondere sstemulu de ordnul do devne h(t) = k p sn ( t Pentru că h(t) k > n p n n ), ( )t. rezultă că h(t) este mărgnt. Relţ (4.) este stsfăcută, dr relţ (4.3) nu este verfctă. Un semene element este dec l lmt de stbltte ş nu este smptotc stbl. Deseor se precz stbltte, fr determnre funcţe pondere ş plcre relţlor (4.), (4.3), cu jutorul unor condţ echvlente denumte crter de stbltte. 3
/3/5 4. Crterul fundmentl de stbltte Pentru un sstem monovrbl funcţ de trnsfer este o frcţe rţonlă reductblă de form (.6) m bm H(s)= s +b n s + s m- n- n- m- s +b s +b ++ s + = Q(s) P(s) Răspunsul l mpuls (funcţ pondere), pentru t >, stsfce ecuţ dferenţlă omogenă (.8) (n) (n-) () h (t)+n- h (t)++ h (t)+ h(t)= t >, căre ecuţe crcterstcă este numtorul funcţe de trnsfer n n- P(s) = s +n- s ++ s+ =.,, Fe,, r, rădăcnle ecuţe crcterstce, q respectv pol funcţe de trnsfer H(s), fecre de multplctte q r = n q = Clculând răspunsul l mpuls prn plcre trnsformte Lplce nversă funcţe de trnsfer descompusă în frcţ smple se obţne r q kj r q j t h( t) t e h ( t) (4.) j( q j)! Se observă dn (4.) că fecre pol λ contrbue cu o componentă h (t) în răspunsul l mpuls h(t), după cum urmeză h (t)=c e =C t t e (4..) 4
/3/5 pentru un pol smplu λ = α R h (t)= C +C + t + +C +q - t q - e t (4..b) pentru un pol rel λ = α R de multplctte q h (t)= C e ( t + ) t sn (4..c) pentru o pereche de pol complecş conjugţ smpl λ,+ = α ± jβ, C sn ( t + )+C+ t sn ( t + h(t)= q- +C +q - t sn ( t + +q - ) + )+ e t (4..d) pentru o pereche de pol complecş conjugţ λ,+ = α ± jβ de multplctte q. Funcţ pondere h(t) v f mărgntă dcă ş num dcă fecre termen h (t) este mărgnt, dcă exstă M > stfel încât h (t) < M, ( )t. (4.) Pentru λ R smple, czul (4.), condţ (4.) este stsfăcută dcă λ = α. În czul (4.c) l une perech de pol conjugţ smpl, termenul h (t) corespunzător (4..c) este mărgnt dcă ş num dcă α = Re λ (funcţ snusodlă fnd mărgntă). În contnure se consderă o funcţe f(t) = t l e t, l, l N, R, căre dervtă este f'(t) = (lt l- + t l )e t. Pentru >, f'(t) >, f(t) este monoton crescătore ş dec nemărgntă. Pentru <, f'(t) = l t = - l/ unde f(t) re un mxm. Deorece pe (, ) f(t) este poztvă, rezultă că este mărgntă. Funct f(t) este mărgntă dcă ş num dcă <. 5
/3/5 Rezultă că termen h (t) corespunzător pollor multpl sunt mărgnţ, dcă λ = α < în czul pollor rel (czul 4.b) s α = Re λ < pentru pol complecş conjugţ (czul 4.d). În ceste condţ termen h (t) sunt mărgnţ ş dec h(t) este mărgntă (relţ (4.) este stsfăcută) ş sstemul este stbl IMEM.) Crterul fundmentl de stbltte IMEM - enunţ Teorem 4.. Un sstem lnr monovrbl neted este stbl IMEM dcă ş num dcă tote rădăcnle ecuţe crcterstce P(s) = (toţ pol funcţe de trnsfer H(s)) u prte relă negtvă su nulă = Re (4.3) r tote rădăcnle (toţ pol) cu prte relă nulă sunt smple. Pentru c sstemul dnmc stbl să fe smptotc stbl trebue să fe stsfăcută ş condţ (4.3) cee ce mplcă, dn (4.), c fecre dn termen h (t) să stsfcă condţ (4.4) lm h(t)=. Dn relţle (4..-d) rezultă că cestă condţe este stsfăcută dcă tote rădăcnle ecuţe crcterstce (pol funcţe de trnsfer) u prte relă negtvă = Re <,=,r (4.5) Într-devăr pentru czul (4.) cest lucru este evdent; r pentru czul (4.c) se scre (t) = t t h C e ( t + ) lm lm sn lm C e t t t. =, 6
/3/5 Într-devăr pentru czul (4.) cest lucru este evdent; r pentru czul (4.c) se scre, dcă α <. (t) = t t h C e ( t + ) lm lm sn lm C e t t t Dcă se ţne sem că lm t t e t = lm t t e -t! = lm t (- ) e -t = =, (unde s- plct de l or regul l'hoptl) num dcă <, rezultă condţ (4.5) ş în czul pollor multpl. Se pote enunţ crterul fundmentl de stbltte smptotcă stfel Teorem 4.3. Un sstem dnmc lnr monovrbl neted este smptotc stbl IMEM dcă ş num dcă toţ pol funcţe de trnsfer u prte relă strct negtvă. Dcă se noteză cu C - = {s C Re s < } mulţme tuturor numerelor complexe cu prte relă strct negtvă ş cu P[H(s)] mulţme tuturor pollor funcţe de trnsfer, condţ (4.5) se pote scre în form P [ H(s) ]. (4.6) Crterul fundmentl de stbltte pote f formult ş stfel. Un sstem dnmc lnr monovrbl neted este smptotc stbl IMEM dcă ş num dcă toţ pol funcţe de trnsfer sunt stuţ în semplnul stâng (deschs) l plnulu complex. În fg.4. se prezntă o confgurţe de pol corespunzătore unu sstem (smptotc) stbl. Astfel polul λ = α R - ntroduce o componentă perodcă mortztă C - 7
/3/5 e αt ), r pereche de pol complecş conjugţ λ, = λ 3 ntroduce o component perodcă mortztă t e ( n - t + n sn Fg. 4. Toţ pol rel stuţ în stâng drepte I vor ntroduce componente perodce mortzte m puternc decât (e αt ), r toţ pol complecş conjugţ stuţ în nterorul dreptelor II, vor ntroduce componente perodce, cu mortzre m mre decât ξ = cos θ. Pol λ, λ, corespund stbltăţ smptotce. Polul λ 4 = ntroduce o componentă constntă (e = ), r pereche de pol pur mgnr λ 5, 5 = λ 6 determnă o componentă perodcă întreţnută, în rport cu tmpul ( - cos β 5 t). Pol λ 4, 5, λ 5 fnd stuţ pe x mgnră, corespund lmte de stbltte. Pol dn Re s > determnă nstbltte sstemulu. Polul λ 7 de exemplu ntroduce o componentă perodcă nemortztă în rport cu tmpul. Exemplul 4.. Fe sstemul cu funcţ de trnsfer H(s) s + s + = =. 4 3 s +5s +3s +9s + (s +)(s + )( s + s +5) Pol funcţe de trnsfer sunt λ = -, λ = -, λ 3,4 = - ± j. 8
/3/5 Pentru că toţ pol u prte relă negtvă sstemul cu funcţ de trnsfer H(s) este smptotc stbl. Prncpl dfcultte în plcre crterulu fundmentl de stbltte rezultă dn necestte rezolvăr unor ecuţ lgebrce de ordn superor. Au fost dezvoltte metode de nlză stbltăţ cre evtă rezolvre ecuţe crcterstce dntre cre se menţoneză: crterul de stbltte Hurwtz, crterul de stbltte Cremer- Leonhrd-Mhlov, crterul de stbltte Nyqust. 4. Crterul de stbltte Hurwtz. Se presupune că ecuţ crcterstcă unu sstem dnmc monovrbl lnr neted (4.9) n n- P(s) = s +n-s ++ s+=,, re tote rădăcnle în C -. Fe crcterstce de multplctte pote scre P(s)=(s - q, `, r r q = = n rădăcnle ecuţe Atunc P(s) se q q qr ) (s - ) (s - r ). (4.7) Fctor dn (4.7) cre corespund rădăcnlor rele sunt de form (s - λ ) q = (s + α ) q cu α >, respectv sunt polnomele de grd q l cre coefcenţ tuturor termenlor sunt strct poztv. Perechle de fctor corespunzător une perech de rădăcn complex-conjugte λ,+ = - α ± jβ (cu α > ), cre u oblgtoru celş ordn de multplctte q = q +, conduc l un polnom de form q q s + s+ +, [(s - )(s - ) ] = + dec l un polnom de grd q 9
/3/5 cu coefcenţ termenlor de tote grdele strct poztv. Se obţne dec următore condţe necesră de stbltte: Pentru c un sstem dnmc să fe (strct) stbl extern este necesr c polnomul său crcterstc P(s) (su ecuţ crcterstcă P(s) = ) să bă to coefcenţ poztv. Cu coefcenţ polnomulu crcterstc se construeşte un determnnt de ordn n, egl cu grdul polnomulu, numt determnntul Hurwtz. Determnntul Hurwtz se construeşte stfel: pe dgonl prncplă se trec coefcenţ polnomulu crcterstc P(s) scrs în ordne descrescătore puterlor lu s, c în relţ (4.9), începând cu n- ; pe fecre colonă, sub dgonl prncplă se trec coefcenţ termenlor de grd superor, r desupr dgonle prncple se trec coefcenţ termenlor de grd nferor; n- H n= n-3 n- n- n-5 n-4 n-3 3 4. (4.8) după epuzre coefcenţlor locurle rămse lbere se completeză cu zerour. Crterul de stbltte Hurwtz se formuleză stfel: Teorem 4.4. O condţe necesră ş sufcentă pentru c ecuţ (4.9) să bă tote rădăcnle stute în Re s <, respectv c sstemul cu funcţ de trnsfer (.9) să fe stbl, este c tot determnnt
/3/5 mnor prncpl, nclusv determnntul Hurwtz, să fe strct poztv det H j >, j =,n. (4.9) Adcă n- n-3 n-5 n- n-3 H = n->, H = >,H 3= n- n-4 >,H n >. n- n- n-3 Polnomele crcterstce corespunzătore sstemelor stble se numesc polnome hurwtzene. Exemplul 4.3. Să se verfce dcă polnomul crcterstc 4 3 P(s) = s +,7s +,5s +,9s+, este hurwtzn Determnntul Hurwtz corespunztor este,7,9. H 4 =,5,7,,9,5, H =,7 >, H =,7,9 = 6,75 -,9= 5,85 >,,5,7,9 H 3=,5,7,,9 = 4,5 >, H 4 =, H 3 =,45 >. Polnomul este hurwtzn, det H j >, j =, 4 43. Crterul de stbltte Cremer-Leonhrd- Mhlov Crterul de stbltte Cremer-Leonhrd-Mhlov este un crteru frecvenţl cre se pote plc uşor ş pentru sstemele dnmce de ordn m rdct, cu condţ c polnomul crcterstc P(s) să nu bă rădăcn în s =
/3/5 Enunt - Teorem 4.6. O condţe necesră ş sufcentă c polnomul crcterstc P(s) - relţ (4.9), să fe hurwtzn (dec c sstemul cu funcţ de trnsfer (.6) să fe stbl) este c rg P( j = n. (4.) Demonstrţe. Se utlzeză teorem rgumentulu (relţ (.84))., conform cre, vrţ totlă rgumentulu polnomulu de grd n, P(jω), l vrţ frecvenţe de l - l + este rg P(j ) (4.) = n. Deorece P(s) re coefcenţ rel rezultă că P(jω) este smetrc fţă de x relă ş în cest cz (4.) se reduce l (4.). Acest crteru se utlzeză sub formă grfcă, conform enuntulu: Teorem 4.7. O condţe necesră ş sufcentă c P(s) să fe hurwtzn este c fzorul P(jω) să prcurgă succesv ş în sens trgonometrc poztv n cdrne, când ω vrză de l l. Polnomul nu este hurwtzn ş respectv sstemul dnmc corespunzător nu este stbl, dcă sensul de prcurgere l cdrnelor este nvers trgonometrc, su dcă numărul cdrnelor prcurse este m mc decât grdul polnomulu P(s). Exemplul 4.4. Se consderă sstemul dnmc lnr constnt cu polnomul crcterstc P(s) =,4s 5 +,s 4 +,5s 3 +,8s + 4,3s +,6. Să se verfce dcă sstemul este smptotc stbl cu crterul Cremer-Leonhrd-Mhlov. Se clculeză P(jω) P(jω) =,ω 4 -,8ω +,6 + jω(,4ω 4 -,5ω + 4,3) = = P R (ω) + jp I (ω). Se du vlor lu ω s se completez tbelul urmtor
/3/5 ω,77,4 5, 6,7 + P R (ω),6-8,3 6998,7 + P I (ω), -,7 + În fg. 4. se preznt hodogrful P(jω). Deorece pentru ω [,) hodogrful prcurge succesv în sens trgonometrc poztv cnc cdrne, sstemul este smptotc stbl. Dn tbelul de m sus se observ c rădăcnle prt rele P R (ω) s le prt mgnre P I (ω) lternez în czul sstemelor stble. Anlz stbltt unu sstem cu o structur dt Se consder conexunle de bz, sere, prlel s cu recte. Pentru smpltte se consder dor dou elemente cu functle de trnsfer H (s) = Q (s)/p (s), =,, Funcţ de trnsfer echvlent conexun sere, Fg. 4. Q (s)q(s) H s (s)= H (s)h (s)=. (4.3) P(s)P(s) r ce conexun prlel este Q (s)p(s) Q(s)P(s) H p(s)= H (s) H (s)=. (4.4) P(s)P(s) Polnomul crcterstc l sstemulu formt dn cele dou elemente este P(s) = P (s)p (s), cre este stbl dcă P (s) s P (s) sunt stble 3
/3/5 Rezult c orce structur obtnut num prn conectre în sere su în prlel m multor elemente stble formez un sstem stbl. În czul conexun cu recte celor dou elemente, fg. 4.3., funcţ de trnsfer echvlent, conform relte (.99) este Polnomul crcterstc l sstemulu depnde s de polnomele de l numrtorul functlor de trnsfer. H (s) Q (s)p(s) H (s)= =. H (s)h (s) P (s)p (s) Q (s)q (s) P(s) = P(s)P(s) Q (s)q(s) Dec problem stbltt sstemelor cu recte trebue nlztă pentru fecre cz în prte. Se constt usor c structur cu recte untr dn fg. 4.3.b re un polnom crcterstc dentc cu ce dn fg. 4.3., H (s), H (s) fnd celes. (4.5) (4.6) Se pote lmt studul stbltt sstemelor cu recte l structurle cu recte untr, fg. 4.3.c, în cre H(s)= Q(s)/P(s) este funcţ de trnsfer în crcut deschs, r H (s)= H(s) Q(s) = H(s) P(s) Q(s) este funcţ de trnsfer în crcut închs. (4.7) Fg. 4.3 4
/3/5 44. Crterul de stbltte Nyqust Crterul de stbltte Nyqust este de semene un crteru frecventl cre permte nlz stbltt unu sstem cu recte untr negtv, vând form dn fg. 4.3.c (pe bz loculu de trnsfer H(jω) sstemulu în crcut deschs s cunoster numrulu de pol funcţe H(s) dn semplnul drept C + { s C Re s } l plnulu complex s. De remrct c în orce sstem cu recte neuntr fg. 4.4., prn trnsfgurre scheme bloc se pote pune în evdent o structur cu recte untr, fg. 4.4.b, în cre pe legtur drect este funcţ de trnsfer sstemulu deschs H(s) = H (s)h (s) ( sstemulu cu crcutul de recte întrerupt în punctul P, fg. 4.4.), numt s funcţe de trnsfer crcutulu sstemulu. Mrme de ntrre în structur închs propru-zs dn fg. 4.4.b se exprm prn P U U(s) (s)=. H (s) Fg. 4.4 (4.8) Se consder c funct de trnsfer sstemulu deschs este unde P(s) s Q(s) sunt dou polnome de grd n s respectv m cu m n. Q(s) = P(s) H(s) (4.9) Pentru structur închs dn fg. 4.3.c, respectv fg. 4.4.b, funct de trnsfer se pote scre 5
/3/5 H(s) H(s) Q(s) (s)= = = + H(s) G(s) P(s)+Q(s) P(s)+Q(s) =+ H(s)=. P(s) H (4.3) G(s) (4.3) Dn crterul fundmentl de stbltte se ste c sstemul cu structur închs cu funct de trnsfer (4.3) este stbl IMEM dc pol s sunt în Re s <, (C - ). Dn (4.3) rezult c pol sstemulu închs sunt zerourle funce G(s). C urmre condt de stbltte este c G(s) s nu b nc un zerou în semplnul drept C + l plnulu complex (Re s ). Dn (4.3) s (4.3) se constt c pol functe G(s) sunt chr pol lu H(s), dc pol sstemulu în crcut deschs. Determnre loclzr zerourlor functe (4.3) se pote fce cu jutorul teoreme rgumentulu (relt (.84)) plct functe G(s), tunc când s prcurge conturul Nyqust, fg..9. Dn relt (4.3) se observ c G(s) este rportul dou polnome de grd n. În ceste condt punctul de l nu ntroduce nc o vrte rgumentulu fzorulu G(jω) pentru ω R. Dc G(s) re z zerour s p pol în Re s >, z zerour s p pol pe x mgnr (Re s = ), dn teorem rgumentulu rezult + G(j ) - = - (z - p) - ( z - p ). (4.3) rg Dr sstemul închs este stbl IMEM dc s num dc G(s) nu re zerour în Re s, dc dc s num dc z =, z =, tunc dn (4.3) se obtne + (4.33) rg G(j ) - = p+ p. Pe bz relte (4.33) se pote enunt crterul Nyqust : Teorem 4.8. Un sstem dnmc lnr constnt monovrbl neted cu structur închs, cu funct de trnsfer (4.3) este stbl IMEM 6
/3/5 dc s num dc vrt rgumentulu fzorulu G(jω), pentru ω R stsfce relt (4.33), dec dc cest fzor înconjor orgne plnulu G(jω) de (p + p /) or în sens trgonome trc poztv, fg. 4.5, când ω R. Fg. 4.5 Fg. 4.6 Deorece pol functe G(s) concd cu pol functe de trnsfer sstemulu deschs H(s) rezult c supr sstemulu deschs nu se pun restrct, cest putând f nstbl (dc p, p ), p,p C +. Pentru verfcre prctc condte (4.33) este sufcent s se repreznte grfc hodogrful H(jω). Hodogrful G(jω) se pote obtne dn hodogrful H(jω) prn rportre l o nou orgne (-, j), în plnul H(jω), fg. 4.6. Se pote cum formul crterul Nyqust stfel: Teorem 4.9. Un sstem dnmc lnr constnt monovrbl neted cu structur închs cu funct de trnsfer (4.3) este stbl IMEM dc s num dc locul de trnsfer l sstemulu deschs (hodogrful H(jω)) înconjor punctul (-, j) de (p + p )/ or în sens trgonometrc poztv, când ω vrz de l - l +. Dc sstemul deschs este stbl IMEM, respectv p =, p =, crterul Nyqust se numeste crterul Nyqust smplfct s se enunt stfel: Teorem 4.. Un sstem dnmc lnr monovrbl cu structur închs, cu funct de trnsfer (4.3) s sstemul deschs stbl IMEM, este stbl IMEM dc s num dc locul de trnsfer H(jω) l sstemulu deschs 7
/3/5 nu înconjor punctul (-, j) tunc când ω vrz de l - l +. Fg. 4.7 Astfel, în potez c H(s) este funct de trnsfer unu sstem stbl IMEM, prn plcre crterulu Nyqust smplfct se deduce c locul de trnsfer dn fg. 4.7. corespunde unu sstem stbl în crcut închs, r locul de trnsfer dn fg. 4.7.b corespunde unu sstem nstbl. Pozt punctulu(-, jω) ft de hodogrful H(jω) pote f determnt cu usurnt dc se hsurez prte drept curbe H(jω) pentru sensul cresctor l pulste, c în fg. 4.7.b. Dc punctul (-, j) este într-o zon hsurt, locul de trnsfer înconjor cest punct s dec sstemul închs este nstbl IMEM. Un cz lmt nteresnt corespunde condte H(j )= - (4.34) când locul de trnsfer H(jω) trece prn punctul (-, j). Acest însemn c G(s) = + H(s) re zerour, respectv H (s) re pol, pe x mgnr (Re s = ). Dc ceste zerour sunt smple sstemul închs nu este stbl IMEM (sstemul este l lmt de stbltte). Dn cest cuz punctul (-, j) se m numeste s punct crtc. Stbltte IMEM sstemulu deschs H(s), se pote stud determnând vrt rgumentulu fzorulu H(jω) ft de orgne plnulu H(jω). Aplcând teorem rgumentulu, pentru p =, p =, rezult: 8
/3/5 Teorem 4.. Un sstem dnmc deschs este stbl IMEM dc s num dc vrt rgumentulu este + rg H(j ) - = - z - z -(n - m) (4.35) unde z s z sunt numrul de zerour dn Re s > s respectv de pe x mgnr, Re s =, le functe H(s). Avntjelel esentle le crterulu Nyqust: )utlzând locul de trnsfer H(jω) se pote prec tât stbltte Se evden tez pul stle ω sstemulu deschs cu funct de trnsfer H(s), s ω cât π s stbltte sstemulu închs cu rece negtv untr cu funct H(s) pe cle drect. b)posbltte de prec grdul de stbltte l unu sstem în crcut închs pe bz notun de stbltte reltv IMEM. Se consder locul de trnsfer H(jω) l unu sstem stbl în crcut deschs prezentt în fg. 4.8. Se evdentz pulstle ω s ω π pentru cre H(j) = rg H(j ) = - pentru cre (4.4) Fg. 4.8 Pentru pulst ω locul de trnsfer l sstemulu deschs H(jω) te cercul de rz untr, r pentru pulst ω π cest loc te x rel. Stbltte reltv se precz prn: - mrgne de mplfcre (de câstg) m - mrgne de fz m= H(j ) ; (4.4) = - rg H(j ). (4.4) 9
/3/5 Se pote prec c sstemele închse stble IMEM u o comportre cu tât m bun cu cât hodogrful H(jω) este m deprtt de punctul crtc (-, j). Acest mplc vlor mr pentru mrgne de mplfcre m s mrgne de fz γ. Stbltte reltv se consder prctc stsfcut dc m 3 s γ 3 o. Mrgne de fz s mrgne de mplfcre (exprmt în db) pot f determnte s dn dgrm Bode s cum se preczez în fg. 4.9. Pulst ω pentru cre H(jω) =, A db (ω) =, crcterstc tenure-frecvent te x bscselor se numeste pulste de tere. Mrgne de mplfcre exprmt în decbel este egl cu modulul tenur l pulst ω π m = A ( ),rg H(j ) = db db - (4.43) r mrgne de fz se determn cu Fg. 4.9 = 8 - rg H(j ) ; H(j ) =, AdB ( )=. (4.44) Se recomnd urmtorele vlor pentru o stbltte IMEM stsfctore: m db = - db s γ = 3-5. Exemplul 4.5. Se consder un sstem cu funct de trnsfer în crcut deschs H(s) = k p,k (s - )(s +b) p >, >,b >. S se studeze stbltte sstemulu închs cu recte untr utlzând crterul Nyqust.
/3/5 Deorece H(s) re un pol în Re s >, λ = >, sstemul în crcut închs v f stbl dc, conform relte (4.33), pentru p =, p = + rg G(j ) = _ - dec dc locul de trnsfer H(jω) v înconjur o dt, în sens trgonometrc poztv, punctul crtc (-, j). Dn rspunsul l frecvent H(jω) rezult - k p (b+ ) k p ( - b) ( )= ; H I ( )= ( + )( +b ) ( + )( +b ) H R cu cre se trsez locul de trnsfer. Pentru dferte vlor le prmetrlor k p,, b, cest loc re formele dn fg. 4..,b,c. Se observ c sstemul în crcut închs este stbl IMEM num dc b > s k p > b, fg. 4..c, când rg G(jω) = π. În fg.4.., rg G(jω) = - π, r în fg. 4..b rg G(jω) =. Fg. 4.