I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Glv IX : INTEGRAL PO FIGURI U R OJNI TROJNI I IŠESTRUKI INTEGRALI KRIOLINIJSKI I PORŠINSKI INTEGRALI 90 Osov pojmov o tegrlm relh ukcj vše relh promjeljvh U Ižejerskoj mtemtc proučv su određe tegrl u Removom smslu der ekom segmetu [ ] R Remov esvojstve tegrl ko prmje određeh esvojstveh tegrl relh ukcj jede rele promjeljve Metode koje su tpče prmjeu određeh tegrl segmetu rele prve pokuju se vrlo korsm kod prolem veh «segmete» prvougoke u rv R odoso prostoru R 3 l pk uopšte u prostoru R Nme u clju poopštej Removog određeog tegrl der se segmet segmet u prostoru R tm podjel tog segmet mjer segmet lje se uvode mjerv skupov u R jd određe tegrl po segmetu ko po provoljom mjervom skupu u R tj der se tegrl u u R dojemo dvoj 3 troj tegrl Ztm se dokuje teorem o svođeju tegrl tostruk všestruk tegrl specjlo o svođeju dvojog tegrl dvostruk trojog trostruk tegrl te metod rčuvj tegrl pomoću smjee promjeljvh specjlo rčuvje dvojh tegrl pomoću polrh uopšteh polrh koordt / r cos α θ r s α θ r 0 0 θ < π / te trojh pomoću cldrčh serh uopšteh serh koordt Prmjee se dju u prvcu derj rčuvj preme geometrjskh tjel ms čkh tjel momet ercje dr Pojm tegrl uopštv se esvojstvee tegrle Pojm određeog tegrl se poopštv u drugm prvcm Kd se olst tegrcje ume luk krve u prostoru R podtegrl ukcj se der tom luku doje se krvoljsk tegrl Ako se umjesto krve lje olst tegrcje ume površ u prostoru podtegrl ukcj se der toj površ doje se površsk tegrl po mogo čemu slč krvoljskom tegrlu Krvoljsk površsk tegrl logo ko određe tegrl dost se korste kko u mtemtčkm tko u mogm drugm ukm Poseo je vž prmje krvoljskh tegrl pr rčuvju rd crkulcje lud rčuvj mse dr prmje površskh tegrl se poseo stče u teorj lud Zog potre u prmjem očo se posmtrju dvje vrste tkvh tegrl krvoljsk tegrl prve druge vrste u rv R u prostoru R 3 površsk tegrl prve druge vrste u prostoru R 3 Sv vede poopštej geerlcje određeog tegrl rele uckje jede rele promejljve mogu se dot ko specjl slučjev tegrl po gur u R l etom modkcjom Pr tom se pod gurom ogrčeom podrumjev jed lo koj od sljedećh poveh tvoreh ogrčeh skupov tčk: lj L u R u R 3 l opštje u R specjlo odrek [ ] koordte ose; olst u rv R ; c površ Q u prostoru R 3 l opštje u R 3; d prostor olst u prostoru R 3 l opštje u R 3 ogrče tvoreom površ tjelo u R 3 odoso u R 3 Pod djmetrom d ogrčee gure {[ ] L Q } podrumjev se mksmlo rstojje među dvjem tčkm gure tj d sup ρ T T m ρ T T T T T T Pod mjerom µ gure podrumjev se: odsječk [ ] jegov duž tj µ [ ] ; lju L - je duž l tj µl l ; olst u rv R - je površ tj µ P S; c površ Q u R 3 logo u R 4 je površ tj µq PQ S; d prostoru olst u R 3 je prem logo R 4 tj µ

Posmtrjmo guru čj je mjer µ toj gur derjmo sklru ukcju T T Ztm vršmo sljedeće: I Podjelmo guru provolj č elemetrh gur s mjerm µ µ II N svkoj elemetroj gur odermo po šoj volj jedu tčku T rčujmo T III Irčumo provode T µ ormrmo sumu S T µ * I Ov sum S se v t Remov sum ukcju T po gur Potržmo grču vrjedost sume * pr uslovu d jveć od djmetr elemetrh gur očmo g s λ kovergr k 0 tj pr uslovu d se svk od elemetrh gur steže u tčku očto je d u tom slučju : lm S lm λ 0 λ 0 µ ** ecj 90 Grč vrjedost ** tegrle sume * dtu guru dtu ukcju T deru pr uslovu d se svk od elemetrh gur steže u tčku tj λ 0 ko postoj t grč vrjedost ko je koč evs od č koj je ormr tegrl sum * v se tegrl po gur sklre ukcje T očv s T dµ kle je T dµ lm 0 λ T µ *** Sljedeć teorem dje jed od mogućh dovoljh uslov pod kojm postoj tegrl po gur dt s *** Teorem 90 O egstecj tegrl po gur Ako je sklr ukcj eprekd poveoj tvoreoj ogrčeoj gur od postoj T dµ Prmjetmo d ko u tegrlu T dµ ukcju T ostvljmo jedu te stu guru mjejmo dojemo tegrle koj se mogu rlkovt međusoo Tkođer prmjetmo d tegrl *** predstvlj poopćeje tegrl ukcje jede promjeljve Immo sljedeće prmjere tegrl ***: Ako je [ ] podskup eke ose recmo ose O od je µ µ λ m{ } T S Otud dojemo T dµ lm 0 λ T d što predstvlj određe tegrl u Removom smslu ukcje jede promjeljve koj se još ove oč jedostruk tegrl Nek je prostor l rv lj L Td je µ µ L l µ l λ m l S T l Grč vrjedost lm T l ko postoj v se krvoljsk tegrl prve vrste l krvoljsk tegrl po duž luk po luku očv s L T dl gdje je

T ko je L R O odoso T 3 ko je L R 3 O dl je derecjl luk krve L l derecjl duže luk krve L 3 Nek je olst u R Mjeru µ elemetre gure očmo s S mksml djmetr s λ Itegrl sum ukcju dtu s T ko ko ko O O O m olk S T S S Njeu grču vrjedost pr uslovu λ 0 ko postoj vmo dvoj tegrl u Removom smslu ukcje T po olst tj dvoj tegrl očvmo s kle T dµ lm S dd gdje je olst tegrcje odoso promjeljve tegrcje d d d d derecjl površe rve olst 4 Nek je R 3 prostor olst ogrče tvoreom površ Td je mjer µ preme µ Mjeru µ elemetre gure očmo s Nek je λ mksml djmetr elemetrh gur Td tegrl sum * ukcju T 3 T 3 doj olk S T 3 Njeu grču vrjedost pr uslovu λ 0 ko postoj vmo troj tegrl od ukcje 3 po prostoroj olst R 3 očvmo g s d kle T dµ lm T d T je olst tegrcje; su promjeljve tegrcje d je derecjl preme prostore olst 5 Rmotrmo slučj Q gdje je Q površ u R 3 Ovdje je mjer µ µ površ S površ Q µ S Mjeru µ elemetre gure očmo s S Nek je λ mksml djmetr elemetrh gur Td tegrl sum * ukcju T 3 T Q doj ormu S T S S T Q Grč vrjedost ove tegrle sume S pr uslovu λ 0 ko postoj vmo površsk tegrl prve vrste prvog red po površ Q R 3 l površsk tegrl od ukcje T 3 po površ površ Q R 3 očvmo g s T kle T dµ lm T S T gdje je Q površ tegrcje; su promjeljve tegrcje je derecjl površe površ Q R 3 l derecjl površ Q R 3 Prmjed Rmotre dvoj tegrl u 3 vmo Remov tegrl od ukcje T dvje promjeljve po rvoj gur Alogo rmotre troj tegrl u 4 vmo Remov tegrl od ukcje T 3 tr promjeljve po prostoroj gur Q Q Q Q 3

Uopštvjuć rmtrj Moguće je log č dert Remov tegrl od ukcje T evso promjeljvh po dmeolom skupu S R vt g strukm teglom po Remu l strukm Removm tegrlom 9 Svojstv tegrl po gur od sklre ukcje Nvedmo dokžmo osov svojstv tegrl po gur od sklre ukcje Ov svojstv su log svojstvm određeog jedostrukog tegrl tervlu [ ] od ukcje jede evso promjeljve vdjel smo d je jedostruk tegrl smo jed od slučjev to jprostj slučj tegrl po gur sklre uckje S Itegrl po gur od lgerske sume sklrh ukcj jedk je lgerskoj sum tegrl po gur od th ukcj: T ± T dµ T dµ ± T dµ ok: T ± T dµ lm T ± T µ lm T µ ± lm T µ T dµ ± T dµ λ 0 λ 0 λ 0 U doku smo korstl decju tegrl po gur od sklre ukcje svojstv grčh vrjedost kočh sum S Ako je gur sstvlje od kočo mogo gur koje emju jedčkh uutršjh tčk od je tegrl po gur jedk sum tegrl po gurm koje su sstv djelov gure : T dµ T dµ + T dµ S 3 c T dµ c T dµ c cost S 4 T d µ µ Specjlo : d d [ ] [ ] µ duž tervl [ ]; d µ L l duž lje L; L c µ S površ rve olst R ; d µ Q S površ prostore površ Q R 3 ; Q e d µ prem tjel R 3 okžmo recmo e Stvro λ 0 d lm Npomemo d ormule od do e uključvo mju šroku prmjeu u geometrj u prktčom žvotu S 5 T 0 T T dµ 0 ; 4

T 0 T T dµ 0 ; c T ϕ T T T dµ ϕ T dµ S 6 Nek je T eprekd Nek je m m µ m T M m T Td vrjed T T T dµ M µ ok: Prmjeom S 3 S 4 S 5 tegrrjuć m T M po gur dojemo m dµ T dµ M dµ odoso m d µ T dµ M d µ tj m µ T dµ M µ S 7 Teorem o sredjoj vrjedost tegrl po gur Ako je T eprekd sklr ukcj ogrčeoj tvoreoj gur od postoj r jed tčk T 0 tkv d vrjed T dµ T 0 µ ok: Nek su m M ko u S 6 Td vrjed m µ T dµ M µ Otud mmo m T dµ M µ Odvdje premse d je T eprekd sljed d postoj T 0 T 0 T dµ No td je µ T dµ T 0 µ tkv d je Npomemo d ovu vrjedost T 0 T dµ de T dµ µ vmo sredj vrjedost tegrl Prmjetmo d S 7 u slučju [ ] T m posve određeo geometrjsko čeje: d 0 ek 0 [ ] 0 je površ prvougok čje su strce duž µ µ [ ] 0 kle d 0 č d je površ d površ krvoljskog trpe jedk površ prvougok čje su duže strc 0 0 0 5

9 Mehčko tumčeje T dµ Ovdje ćemo guru smtrt mterjlom tj d posjeduje određeu msu mjer µ µ će ržvt eko geometrjsko svojstvo gure Kko rčut msu M M gure? Ako je gur homoge od d smo rčul jeu msu dovoljo je pomožt jeu gustoću gustoć je ms jedce mjere ρ s mjerom µ gure tj M ρ µ Međutm rčuvje mse ehomogee gure potreo je uvest pojmove: sredj gustoć elemetre gure ; gustoć gure u dtoj tčk T U tom clju vršmo rjje gure elemetrh gur mjere µ Td odos ρ s ρ s de M µ čje su mse M vmo sredj gustoć elemetre gure Grču vrjedost ko postoj sredje gustoće elemetre gure pr uslovu d se o steže u tčku T tj pr uslovu d djmetr d d 0 vmo gustoć gure u tčk T olježvmo je s ρ T kle ρ T de lm d 0 ρ s lm 0 d M ; d d T µ Npr ko je [ ] O od je ρ T ρ ; ko je R od je ρ T ρ ; ko je R 3 od je ρ T ρ 3 td Odermo po volj tčku T čj je gustoć ρ T Smtrjuć d je gustoć elemetre gure postoj tj smtrjuć d je homoge m možemo pst M ρ T µ Otud ms M gure je M M ρ T µ Precje M lm ρ µ U se pretpostvlj d se svk elemetr gur steže u tčku T to č d roj elemetrh gur oveo ; λ je mksml djmetr gur Sum u je t tegrl sum sklre ukcje ρ ρ T dere gur otud prem decj tegrl po gur m mmo: M lm ρ T µ ρ T dµ * Formul * kuje d tegrl po gur od sklre ukcje T tj T dµ s mehčke tčke gledšt tj tumče mehčk predstvlj msu gure pod uslovom d podtegrlu ukcju T smtrmo ukcjom ρ T gustoće gure T 6

93 Geometrjsko tumčeje T dµ Jedstveo geometrjsko tumčeje T dµ je moguće dt Geometrjsko tumčeje tog tegrl u slučju kd je [ ] O tj tegrl d d dl smo u Ižejerskoj [ ] mtemtc Ojsmo ovdje geometrjsko čeje T dµ u slučju kd je R Rd određeost uet ćemo d je O Td je T Svk od srk T µ M T S tegrle sume T S geometrjsk tumče predstvlj premu T cldrčog tjel čj je osov površ S vs T T S oč površ je cldrč površ čj je geertrs prlel os O kle T S jeste prem T O odgovrjućeg stepečstog tjel Ov prem je prlžo jedk prem cldrčog tjel koje je ododo ogrčeo olšću O odogo ogrčeo s površ T geertrs vodc je prlel os O Preleć grču vrjedost po λ 0 ove dvje preme se jedčvju kle T dµ C gdje je C cldrčo tjelo gore opso 94 Irčuvje dvojog tegrl Pokt ćemo kko se rčuvje dvojog tegrl T može pod određem uslovm svest ustopo rčuvje dv jedostruk određe tegrl od kojh je jed po promjeljvoj drug po promjeljvoj Nek je O Z olst kžemo d je prvl u smjeru ose O kko svk prv prlel os O sječe grcu L olst jvše u dvje tčke Npr slc je prk olst koj je prvl u smjeru ose O koj je prvl u smjeru ose O U tom slučju tj u slučju kd je prvl u smjeru ose O lju AmlB vmo lj ul u olst lju AXB vmo lj l olst X A m l B 0 okt ćemo sd d se rčuvje dvojog tegrl svod rčuvje ustopo dv jedostruk tegrl tj ustopu tegrcju ukcje po svkoj od svojh promjeljvh 7

U clju tog dok korstćemo geometrjsko čeje geometrjsko tumčeje dvojog tegrl tj C Irčujmo premu tog tjel tog cldrod C drug č preko pote ormule u kojoj se pojvljuju popreč presjec S d Ako olst projektrmo osu O dot ćemo tervl [ ] O Tčke A B djele grcu L olst lju ul u lju l čje su jedče redom U provoljoj tčk [ ] postvmo rv α α O O sječe cldrod C po krvoljskom trpeu čj je površ recmo S Ov površ S može t rčut po ormul Q P Q S d d P B tegrl je jedostruk jer je ovdje ksro Otud d d d d kle d d d d Alogo ko je olst O prvl u smjeru ose O ko se o projektuje [c d] O ko su redom lj ul u lj l od rdeć logo ko rje dot ćemo d d d d d ' c I ' vdmo d u slučju kd je olst O prvl u smjeru ose O prvl u smjeru ose O vrjed ormul d c d d d d '' d c α O S 0 A Prmjed I ormule vdmo d u slučju O vrjed ormul dµ d d koj kuje d je derecjl površe rve gure jedk provodu derecjl evso promjeljvh ovdje su to 95 Irčuvje trojog tegrl okt ćemo d se troj tegrl d može pod određem uslovm rčut pomoću tr jedostruk tegrl od kojh je svk uet po jedoj od promjeljvh od kojh vs podtegrl ukcj 8

9 Pretpostvmo d je prostor olst O prvl u smjeru ose O tj prv prlel os O m s površ koj je grc olst e vše od dvje jedčke tčke Prem mehčkom tumčeju trojog tegrl vrjed M d gdje je M M ms tjel pod uslovom d je ukcj ukcj gustoće tjel Irčujmo msu te ste gure drug č Pretpostvmo d je površ ul u olst doj površ olst d je površ l olst gorj površ olst d se olst projektr olst O Pretpostvmo još d se olst projektuje [ ] O d je prvl olst u odosu osu O te d su redom lj ul u olst lj l olst Uočmo elemetru guru olst čj je površ rčujmo msu špke grede štp koju odsjec tjel cldrč površ kojoj je drektrs grc uočee elemetre površ geertrs joj je prlel os O Uočeu elemetru površ možemo smtrt kolko god hoćemo mlom to koordte svke tčke koj prpd toj površ možemo smtrt postojm N po volj odroj vs uočmo elemet d vse uočee grede Zprem tog elemet je dv d ms mu je prlžo d Sd je jso d je ms uočee grede jedk sum ms svh tkvh elemet tj dm d d d smo dol msu tjel tre srt mse svh gred koje oruju tjelo jhov sum se projektuje olst O To č d je M d d Ovo prem ormul možemo pst ovko M d d d kle m lo mmo d d d d d d d 3 Prmjed I ormule 3 vdmo d u slučju O vrjed ormul dµ dv d d d 3* Ako prostor olst e dovoljv gore opse uslove od je tre rt kočo mogo podolst od kojh svk dovoljv te uslove prkt ko sumu trojh tegrl po tm podolstm d 0 A A B

Prmjer 95 Odredte grce tegrcje u tegrlu d ko je olst ogrče površm + + 3 > 0 + Rješeje: Prostor olst u šem slučju je ogrče serom + + 3 > 0 prolodom orutm + Ove dvje površ se sjeku po kružc + koj prpd rv Olst je skup tčk T koje su u prostoru O koje dovoljvju uslove: + 3 + kle je 3 + ddd d d d + Prmjer 95 Irčut + d ko je olst ogrče površm: 0 0 + + 4 Rješeje: 4 {T O 0 0 0 4 + } 4 4 : 0 0 + d 0 4 + 3 d d + d 4 0 0 0