Krivolinijski integral
|
|
- Ζηνοβία Γιαννακόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Poglvlje 4 Krivolinijski integrl 4.1 Vektorsko polje U ovom i nrednom poglvlju, osim sklrnih, rdićemo i s vektorskim funkcijm više promenljivih, F : R n R m, F = (F1,...,F m ), F i : R n R, i = 1,...,m, koje zovemo i vektorsko polje. Sklrne funkcije F i : R n R, i = 1,...,m, zovemo sklrno polje. bismo rzlikovli vektorske od sklrnih funkcij, koristimo oznku F z vektorsko polje (strelicu ne stvljmo kod sklrnih funkcij). Primer 28 Ako F : R 2 R 2, ond njčešće pišemo F = (P,Q) = P i + Q j, odnosno F(x,y) = ( P(x,y),Q(x,y) ) = P(x,y) i + Q(x,y) j. Grfički, polje F možemo prikzti u rvni tko što vektor F(x,y) crtmo iz tčke (x,y). N primer, ko je F(1,2) = (1,1/2), to ćemo prikzti tko što ncrtmo vektor (1, 1/2) trnslirn u tčku (1, 2). (1,2) (2,5/2)=(1,2)+(1,1/2) Ako je F(x,y) = y i+x j, ovo vektorsko polje možemo prikzti ko n sledećoj slici: 27
2 28 Primetimo d ovo polje zdovoljv jednkost (x,y) F(x,y) = 0, što znči d je vektor F(x,y) normln n vektor tčke (x,y). T jednkost, nrvno, ne vži z svko vektorsko polje. Znčjn primer vektorskog polj je tzv. polje grdijent sklrne funkcije f = f(x, y), F = f = (f x,f y ). Bitno je primetiti d je polje grdijent sklrne funkcije ortogonlno n linije nivo iste funkcije. Primer 29 Jedn vžn primer trodimenzionlnog vektorskog polj je grvitciono polje. Nime, ko immo dv tel ms M i m, pri čemu je M > m, td grvitcion sil izmed u t dv tel deluje u smeru od tel mse m k telu mse M. Intenzitet grvitcione sile je proporcionln m (x,y,z) msm M i m, obrnuto proporcionln kvdrtu rstojnj izmed u t dv tel, dkle G = mm G, gde je G univerzln grvitcion r2 konstnt. M (0,0,0) Ako u centr tel mse M stvimo koordinntni početk, centr tel mse m im koordinte (x,y,z), ond je G = mm r 2 G (x,y,z) (x,y,z) = mmg x2 +y 2 +z2 (x,y,z) 3. Primetimo d z grvitciono polje G vži G = g, gde je sklrn funkcij g(x,y,z) = mmg Zbog ove osobine kžemo d je grvitciono polje konzervtivno u skldu s x2 +y 2 +z2. sledećom definicijom.
3 29 efinicij 30 Z vektorsko polje F kžemo d je konzervtivno, ko postoji sklrn funkcij f tkv d je F = f. Sklrn funkcij f se u tom slučju zove funkcij potencijl, ili potencijl polj F. 4.2 Krivolinijski integrl sklrne funkcije Prmetrizcij krive Već smo pričli o prmetrskom obliku krive. Rekli smo d krivu u rvni predstvljmo vektorskom funkcijom jedne promenljive r : [,b] R 2, r(t) = x(t) i+y(t) j, t [,b], gde su jedinični vektori i = (1,0) i j = (0,1). Slično, kriv u prostoru se može predstviti vektorskom funkcijom jedne promenljive r : [,b] R 3, z(t) P(x(t),y(t),z(t)) r(t) = x(t) i+y(t) j +z(t) k, t [,b], B pr_kr pri čemu su jedinični vektori u R 3, i = (1,0,0), j = (0,1,0) i k = (0,0,1). Vektorsku funkciju r zovemoprmetrizcij A y(t) krive, promeljivu t prmetr. x(t) P'(x(t),y(t),0) efinicij 31 Z prmetrizciju r(t) = ( x(t),y(t),z(t) ) kžemo d je regulrn, ko je preslikvnje r : [,b], R 3, 1 -bijekcij. Ako kriv im regulrnu prmetrizciju, kžemo d je kriv gltk. Ako prmetr t [, b], ond r() dje koordinte početne tčke krive, A(x(), y(), z()). Anlogno, r(b) dje koordinte krjnje tčke krive, B(x(b), y(b), z(b)). Kd odredimo početnu, odnosno krjnju tčku krive, odredili smo i njenu orijentciju. Kžemo d je kriv orijentisn od tčke A k tčki B. N grfiku krive orijenciju prikzujemo strelicom ko n prethodnoj slici. Ako se početn i krjnj tčk krive poklpju, td kžemo d je kriv ztvoren. U tom slučju koristimo pojmove pozitivno i negtivno orijentisn kriv. Ztvoren kriv je pozitivno orijentisn, ko je orijentisn suprotno od kretnj kzljke n stu (gledno iz koordinntnog početk). Inče je
4 30 negtivno orijentisn. Akosekrivsmopresecunekojtčki(α,β,γ), toznčidpostojedverzličitevrednosti prmetr t, c < d b, tkve d je r(c) = r(d) = (α,β,γ). Tčk se u tom slučju zove smopresečn tčk. Ako ztvoren kriv nem smopresečnih tčk, kžemo d je on kontur. Krivu koj nem smopresečnih tčk zovemo prost kriv. Prvi crtež slev predstvlj neztvorenu krivu s jednom smopresečnom tčkom, drugi ztvorenu krivu koj nije kontur, jer nije prost, n trećoj slici je skicirn jedn kontur, tj. ztvoren prost kriv. Primetimo d ko je prmetrizcij r regulrn, td je i r (t) 0 z sve t (,b). Nime, ko je preslikvnje r 1 ([,b]) to znči d im prvi izvod i d je r = (x,y,z ) neprekidn vektorsk funkcij. Ako je r (t 0 ) = 0, z neko t 0 (,b), to znči d su i x (t 0 ) = 0, y (t 0 ) = 0 i z (t 0 ) = 0, p je uslov injektivnosti nrušen. Injektivnost preslikvnj r nm grntuje d kriv nem smopresečnih tčk. Md utim, ko kriv im, n primer, jednu smopresečnu tčku, po njoj se može integrliti. Stog u definiciji krivolinijskog integrl možemo oslbiti uslov regulrnosti krive. N primer, ko je z c < d b, r(c) = r(d), ond krivu možemo podeliti n uniju dve krive = 1 2, gde tčkekrive 1 dobijmozvrednostiprmetrt [,d), tčkekrive 2 zvrednostiprmetr t [d,b]. Ako je to jedin smopresečn tčk krive, ond 1 i 2 nemju smopresečnih tčk. Ako su 1 i 2 gltke krive, je po delovim gltk. Anlogno problem možemo rešiti i ko kriv im končno mnogo smopresečnih tčk, što znči d je uslov injektivnosti nrušen z končno mnogo vrednosti prmetr t. Td kžemo d je preslikvnje r : [,b] skoro svud injektivno. kle, kriv po kojoj integrlimo treb d bude: po delovim gltk, u končno mnogo tčk može d se nruši uslov 1-1, i u končno mnogo tčk može d vži r (t) = Integrl po gltkoj krivoj Podelom intervl prmetr = t 0 < t 1 <... < t n = b, ko kod odred enog integrl, gltku krivu s prmetrizcijom r(t), t [,b], delimo n n lukov l i, i = 1,...,n. Tčke i-tog luk l i, odvovrju vrednosti prmetr t [t i 1,t i ]. S l i obeležićemo dužinu luk l i. Ako
5 31 je sklrn funkcij f definisn u tčkm krive, ond je kompozicij f( r(t)) = (f r)(t) sklrn funkcij jedne promenljive definisn n intervlu [, b]. Krivolinijski integrl sklrne funkcije f duž krive definišemo preko Rimnovih sum n sledeći nčin: f(x,y)dl := lim n n f( r(t i )) l i, i=1 (4.1) def_ki gde su t i proizvoljno birne tčke intervl [t i 1,t i ]. Ako je kriv rvnsk, iz prethodnog kurs nlize znmo d se dužin luk krive rčun po formuli, l = b x (t) 2 +y (t) 2 dt =: dl, što možemo interpretirti ko krivolinijski integrl jedinice (konstntne funkcije f(x, y) = 1) po krivoj. Preciznije to bi bil površin površi dobijene prevlčenjem krive u (x, y)-rvni n visinu 1 prlelno s z-osom, ko n sledećoj slici: 1 1 Površin ove površi je numerički jednk dužini krive. U skldu s pomenutom interpretcijom, krivolinijski integrl nenegtivne sklrne funkcije
6 32 f bi se mogo interpretirti ko površin sledeće površi: (x(),y(),f(x(),y())) (x(b),y(b),f(x(b),y(b))) (x(),y(),0) (x(b),y(b),0) Prirodn prmetrizcij krive (po dužini luk) Krivolinijski integrl iz definicije (4.1) zovemo još i integrl po dužini luk krive. Sm oznk dl upućuje n tkv nziv (od engleske reči length ). efinišimo sd funkciju dužine luk krive. Nek je početn tčk krive r() fiksirn. užinu luk krive od tčke r() do tčke r(t), t [,b] rčunmo ko l(t) := t x (s) 2 +y (s) 2 ds, t [,b]. N tj nčin smo dobili funkciju koj zvisi od t [,b]. Ako je kriv gltk, definisnu funkciju možemo diferencirti, p dobijemo d je dl dt = l (t) = d dt t x (s) 2 +y (s) 2 ds = x (t) 2 +y (t) 2, odnosno d je dl = x (t) 2 +y (t) 2 dt, što zovemo diferencijl luk krive. Kd to povežemo s definicijom (4.1) dobijemo d je f(x,y)dl := b f ( x(t),y(t) ) x (t) 2 +y (t) 2 dt = b f( r(t)) r (t) dt. Precizno, ovu formulu izvodimo ko što smo izveli formulu z dužinu luk n prethodnom kursu iz nlize.
7 33 Primer 32 Izrčunjmo integrl funkcije f(x,y) = 2 + x 2 y duž gornje polukružnice jedinične kružnice u rvni. Gornj polukružnic jedinične kružnice im prmetrizciju r(ϕ) = (cos ϕ, sin ϕ), ϕ [0,π], stog je (2+x 2 y)dl = π 0 (2+cos 2 ϕsinϕ) cos 2 ϕ+sin 2 ϕdϕ = 2π Primetimo d, ko immo krivu = 1 2, gde su 1 i 2 gltke krive dte prmetrizcijom r 1, odnosno r 2, tkve d je dužin = 1 2 nul, ond se integrl po može rčunti ko zbir integrl po 1 i 2. Krivolinijski integrl po jednoj promenljivoj Ponekd je potrebno integrliti smo po jednoj promenljivoj, n primer, x. Tkv prcijlni krivolinijski integrl dobijmo tko što u definiciji (4.1) l i zmenimo s x i = x i x i 1. Pri tom vodimo rčun d je x = x(t) i dx/dt = x (t), p dobijemo d je krivoliniski integrl po x definisn n sledeći nčin, f(x,y)dx := lim n n f( r(t i )) x i = i=1 Anlogno, krivoliniski integrl po y je definisn ko f(x,y)dy := lim n i=1 n f( r(t i )) y i = Ov dv integrl često se pojvljuju zjedno i td formlno pišemo Krivolinijski integrl po krivoj u prostoru b b f ( x(t),y(t) ) x (t)dt. f ( x(t),y(t) ) y (t)dt. f(x,y)dx+ g(x,y)dy =: f dx+gdy. Ako je kriv prostorn, njen prmetrizcij je funkcij r : [,b] R 3, r(t) = x(t) i+y(t) j+ z(t) k. Ako je prmetrizcij regulrn, vži ist formul ko i z rvnsku krivu, tj. f(x,y,z)dl = b f( r(t)) r (t) dt, pri čemuje sd r (t) = x (t) 2 +y (t) 2 +z (t). Anlognose definišui(prcijlni) krivolinijski integrli po x, y, odnosno z. Primer 33 Izrčunjmo integrl funkcije f(x,y,z) = ysinz duž jednog luk heliks x = cost,
8 34 y = sint, z = t, t [0,2π], ysinzdl = 2π 0 sintsint sin 2 t+cos 2 t+1dt = 2π. Možemo d zključimo sledeće: Ako je gltk kriv s regulrnom prmetrizcijom r(t) = x(t) i+y(t) j+z(t) k, t [,b] i f sklrn funkcij tri promenljive neprekidn n, ond je f dl = b f(x(t),y(t),z(t)) x (t) 2 +y (t) 2 +z (t)dt = b (f r)(t)) r (t) dt. Ako je po delovim gltk kriv, odnosno ko je = i, i = 1,...,k, gde su i gltke krive tkve d je z i j, i j dužine nul, ond je k f dl = f dl. i=1 i Ovkv integrl im više nziv: krivolinijski integrl sklrne funkcije, krivolinijski integrl po dužini luk krive ili krivolinijski integrl prve vrste. 4.3 Krivolinijski integrl vektorskog polj Ako immo vektorsku funkciju F(x,y,z) = P(x,y,z) i+g(x,y,z) j +R(x,y,z) k i gltku prostornu krivu, pitmo se št bi bio integrl funkcije F po. Odgovor tržimo u fizici. Znmo d ko konstntn sil F deluje n prvolinijskom putu od tčke P do tčke Q, njen rd rčunmo ko sklrni proizvod (vektor) sile i vektor pomernj, PQ, W = F PQ. Sd, nek vektor sile neprekidno zvisi od tčke u prostoru n koju sil deluje, tj. nek je F(x,y,z) = P(x,y,z) i+g(x,y,z) j +R(x,y,z) k neprekidno polje (funkcij) sile, nek deluje n česticu koj vrši krivolinijsko kretnje po gltkoj krivoj s prmetrizcijom r(t), t [, b]. Podelimo krivu n n lukov l i, i = 1,...,n, tko što ćemo podeliti intervl [,b], = t 0 < t 1 <... < t n = b (kko je prmetrizcij bijekcij, svkoj tčki krive odgovr jedn tčk intervl i
9 35 obrtno). Oznčimo s P i tčke n krivoj koje odgovrju vrednosti prmetr t i, i = 0,...,n. Pi-1 F P1 Pi* T Pi P0 Pn-1 Pn kle, tčke i-tog luk l i, odgovrju vrednosti prmetr t [t i 1,t i ]. S l i obeležićemo dužinu luk l i, P i = r(t i ), t i [t i 1,t i ], će biti proizvoljn tčk luk l i, P i l i. Nek je T = T(t i ) jedinični vektor tngente u tčki r(t i ), odnosno u tčki P i, F = F(r(t i )). Rd sile F duž putnje l i, u oznci W i, proksimirćemo n sledeći nčin W i F T l i, tj. rdom konstntne sile F i = F(r(t i )) po prvolinijskoj putnji u smeru tngentnog vektor T i, dužine l i. Jsno je d što je dužin luk l i mnj to je ov proksimcij bolj odnosno približnij. kle, umesto luk od tčke P i 1 do tčke P i uzećemo duž iste dužine (l i T l i ), i pretpostvićemo d je sil u svkoj tčki luk l i jednk onoj u tčki P i ( F( r(t)) F( r(t i )), t [t i 1,t i ]). Kd sberemo sve W i dobijmo ukupni rd n celoj putnji, dkle W = n W i i=1 n i=1 F(P i ) T(t i ) l i = n i=1 ( ( F r) T ) (t i ) l i. Primetimo d je ( F r) T sklrn funkcij, i d kd n ond i l i 0, p koristeći definiciju krivolinijskog integrl sklrne funkcije zključujemo d je W = lim n n i=1 ( ( F r) T ) ( (t i ) l i = ( F r) T ) (t) dl. lje, kko je T(t) = r (t) r (t) i dl = r (t) dt, dobijmo d je W = b F( r(t)) r (t)dt =: F d r.
10 36 Ovim smo definisli krivolinijski integrl vektorske funkcije F po krivoj s regulrnom prmetrizcijom r(t), t [, b]. Ako je F = (P,Q,R), r(t) = (x(t),y(t),z(t)), dobijmo još jedn zpis krivolinijskog integrl vektorske funkcije, F d r = b ( P x +Qy +Rz ) dt = P dx+qdy+rdz. Primer 34 Izrčunjmo krivolinijski integrl funkcije F = (xy,y,z) duž krive koj je deo grfik funkcije y = x 2 u (x,y)-rvni od tčke (0,0) do tčke (1,1). Kriv im prmetrizciju r(t) = (t,t 2,0), t [0,1], p je r (t) = (1,2t,0), te je F d r = 1 (t 3,t 2,0) (1,2t,0)dt = (t 3 +2t 3 +0)dt = Osnovn teorem z krivolinijski integrl Podsetimo se Njutn-Ljbnicove formule z odred eni integrl. Nime, ko je F 1 ([,b]), ond je b F (x)dx = F(b) F(). Sd, kd F posmtrmo ko izvod sklrne funkcije F 1 (), gde je gltk kriv dt prmetrizcijom r(t), t [, b], očekujemo d sličn formul vži i z krivolinijski integrl vektorske funkcije F, F d r = F( r(b)) F( r()). Ovkv formul bi nm omogućil d rčunmo krivolonijski integrl konzervtivnog polj smo poznvjući vrednosti funkcije potencijl u krjnjoj i početnoj tčki krive. Ako je kriv ztvoren, integrl konzervtivnog polj po bi bio 0. T9 Teorem 35 Nek je gltk kriv dt prmetrizcijom r(t), t [, b], f diferencijbiln sklrn fukcij tkv d je i f neprekidn vektorsk funkcij. Td vži, f d r = f( r(b)) f( r()).
11 37 okz: Iz definicije krivolinijskog integrl vektorske funkcije immo d je f d r = = = b b b [f x ( r(t)),f y ( r(t)),f z ( r(t))] r (t)dt = [ fx (x(t),y(t),z(t))x (t)+f y (x(t),y(t),z(t))y (t)+f z (x(t),y(t),z(t))z (t) ] dt = d dt ( ) b ( ) (t)dt. f (x,y,z) (t)dt = f r Funkcij (f r ) je neprekidn, te možemo primeniti Njutn-Ljbnicovu formulu i zključiti d je f d r = (f r)() (f r)(b) = f( r()) f( r(b)). Primer 36 Nći rd grvitcione sile F( x) = mmg x prilikom kretnj čestice mse m < M x 3 iz tčke (3,4,12) u tčku (2,2,0) po po delovim gltkoj krivoj. Videli smo d je funkcij potencijl grvitcione sile g = W = g d r = g(2,2,0) g(3,4,12) = mmg( 1 mmg x2 +y 2 +z2, p je stog ). Primetimo d putnj po kojoj se čestic kreće nije bitn, odnosno d rd zvisi smo od početne i krjnje tčke kretnj. Ovo je osobin konzervtivnog polj koj se zove nezvisnost krivolinijskog integrl od putnje integrcije. 4.5 Nezvisnost krivolinijskog integrl od putnje integrcije Nek su 1 i 2 po delovim gltke krive koje spjju tčku A i tčku B, dte prmetrizcijom r 1 (t), odnosno r 2 (t), t [,b], r 1 () = r 2 () = A i r 1 (b) = r 2 (b) = B. Videli smo d ko je vektorsko polje konzervtivno, ond su njegovi krivolinijski integrli duž ovih krivih jednki. Med utim, z proizvoljno polje to ne vži, tj. uopštem slučju vži 1 B F d r F d r. 1 2 (4.2) odr A 2 Ukoliko u (4.2) immo jednkost z sve po delovim gltke krive koje spjju tčke A i B,
12 38 kžemo d krivolinijski integrl funkcije F ne zvisi od putnje intgrcije od tčke A do tčke B. Ako t osobin vži s svke dve proizvoljne tčke nekog skup, kžemo d krivolinijski integrl funkcije F ne zvisi od putnje intgrcije u. def_nez efinicij 37 Krivolinijski integrl funkcije F ne zvisi od putnje intgrcije u skupu R 3, ko s svke dve proizvoljne tčke A,B, i s svke dve proizvoljne po delovim gltke krive 1, 2, koje spjju tčke A i B, vži F d r = F d r. 1 2 (4.3) odr_bs Pretpostvimo d krivolinijski integrl funkcije F ne zvisi od putnje intgrcije od tčke A do tčke B. Izberimo neke dve po delovim gltke krive 1 i 2, tkve d je r 1 () = r 2 () = A i r 1 (b) = r 2 (b) = B. Iz (4.2) vidimo d je F d r = F d r F d r = 0, ( 2) gde smo s 2 obeležili krivu 2 s promenjenom orijentcijom od tčke B do tčke A. 1 B Kriv 1 ( 2 ) je očigledno ztvoren, po delovim gltk kriv. On može biti kontur (ko n slici desno), ili može imti smopresečne tčke. A -2 Ako se 1 i 2 seku, n primer u dve tčke, dobićemo krivu koj se sstoji od tri konture (slik levo). 1-2 No, krive 1 i 2 mogu imti i neprebrojivo mnogo zjedničkih tčk, n primer ceo jedn segment (slik desno), li ni to neće uticti n zključk d je integrl po 1 ( 2 ) jednk
13 39 nuli. Posledic definicije 37 i teoreme 35 je sledeće tvrd enje. Posledic 38 Krivolinijski integrl funkcije F ne zvisi od putnje intgrcije u skupu R 3, kko je po svkoj ztvorenoj krivoj. F d r = 0 okz: Nek je krivolinijski integrl funkcije F nezvisn od putnje intgrcije i nek je ztvoren kriv u. Izberimo dve proizvoljne rzličite tčke A,B. Tko smo krivu podelili n dve krive 1 i 2 koje spjju tčke A i B i od kojih je jedn, n primer, 1, orijentisn isto ko i, drug suprotno. Immo d je = 1 ( 2 ), p je i F d r = 1 F d r 2 F d r = 0, jer krivolinijski integrl funkcije F ne zvisi od putnje intgrcije. Nek je sd F d r = 0 po svkoj ztvorenoj krivoj i nek su A i B dve proizvoljne tčke skup, spojene po delovim gltkim proizvoljnim krivm 1 i 2 koje leže u. Td je 1 ( 2 ) ztvoren kriv koj leži u, te je integrl po 1 ( 2 ) jednk nuli, odkle je jsno d je 1 F d r = 2 F d r Krivolinijski integrl konzervtivnog polj Videli smo d svko konzervtivno vektorsko polje po ztvorenoj krivoj im integrl (rd) nul. Vži i obrtno. p2 Posledic 39 Nek je vektorsko polje F neprekidno n otvorenoj, poveznoj oblsti. Ako je krivolinijski integrl funkcije F nezvistn od putnje intgrcije u skupu R 3, td je F konzervtivno u. Pre dokz pojsnimo pojmove iz Posledice 39. je skup R 3 otvoren znči d je okolin svke svojetčke,odnosnodzsvkutčku x postoji lopt s centrom u x koj leži u. Povezn skup znži d se svke dve tčke tog skup mogu spojiti (povezti) po delovim gltkom krivom koj leži cel u. Td kžemo d su svke dve tčke povezne putnjom u
14 40. U engleskoj literturi se z otvoren povezn skup koristi pojm domin, neki nši utori koriste pojm oblst. okz posledice 39: Trebmo pokzti d je F konzervtivno u, odnosno trebmo konstruisti funkciju potencijl vektorskog polj F. Fiksirjmo proizvoljnu tčku A(,b,c) i posmtrjmo proizvoljnu tčku P(x,y,z). Kko je skup povezn, postoji po delovim gltk kriv ÂP koj spj tčke A i P i cel leži u. efinišimo sledeću funkciju, f(x,y,z) = F d r. ÂP Funkcij f je dobro definisn jer integrl ne zvisi od putnje. Kko je otvoren, postoji lopt L L(P,δ). Izberimo tčku Q(x 1,y,z) L, tkvu d je x 1 < x. Ztim, izberimo po delovim gltku krivu 1 = ÂQ koj spj tčke A i Q i leži u, te obeležimo s = 1 2 = ÂQ QP. Td je f(x,y,z) = F d r + F d r, gde prvi integrl u sumi ne zvisi od x, drugi zvisi. 1 2 Stog diferencirjmo po x i dobićemo f x (x,y,z) = x F d r. 2 Kko je 2 duž koj spj tčke P(x,y,z) i Q(x 1,y,z), im prmetrizciju r(t) = (t,y,z), t [x 1,x], d r = (dt,0,0). Ako je F = (F 1,F 2,F 3 ), immo d je f x (x,y,z) = x 2 (F 1,F 2,F 3 ) (dt,0,0) = x x x 1 F 1 (t,y,z)dt = F 1 (x,y,z). Slično, birjući z tčku Q(x,y 1,z) L, odnosno Q(x,y,z 1 ) L, dobijmo d je f y (x,y,z) = F 2 (x,y,z),odnosnof z (x,y,z) = F 3 (x,y,z). I dlje tržimo odgovor n pitnje kd je vektorsko polje konzervtivno kd ne. Videli smo ko je dvodimenzionlno vektorsko polje F = P i + Q j konzervtivno, to znči d postoji
15 41 sklrn funkcij f tkv d je f x = P i f y = Q. Ako su P,Q 1, možemo diferencirti ove jednkosti p dobijemo, ko posledicu Kleroove teoreme, d je P y = f xy = f yx = Q x. kle, ko je F = P i+q j konzervtivno i P,Q 1, ond je P y = Q x. Obrtno tvrd enje vži smo n posebnim oblstim. efinicij 40 Z skup u kžemo d je prosto povezn ko je povezn i svk kontur u ogrničv skup koji ceo leži u. N primer, kružni prsten jeste povezn skup li nije prosto-povezn. v krug koj nemju presek čine nepoveznu oblst koj se sstoji iz dve prosto-povezne oblsti. Jednostvnim rečim možemo reći d skup nije prosto povezn ko im rupe ili ko se sstoji od disjunktnih skupov. Teorem 41 Nek je F = P i + Q j vektorsko polje definisno n otvorenoj, prosto-poveznoj oblsti i nek su P,Q 1 (). Td vži P y = Q x, n je F konzervtivno. okz ove teoreme je posledic Grinove teoreme koj sledi. 4.6 Grinov teorem Grinov teorem je jedn od osnovnih teorem integrlnog rčun i povezuje krivolinijski integrl duž pozitivno orijentisne rvnske konture i dvostruki integrl po oblsti R 2 ogrničene konturom. Primetimo d ko je rub oblsti u rvni kontur, ond je t oblst ogrničen, \ je otvoren, = ztvoren skup u R 2. Teorem 42 Nek je pozitivno orijentisn po delovim gltk kontur u rvni, oblst u rvni ogrničen konturom, =, F = (P,Q) 1 (n proizvoljnoj otvorenoj oblsti koj sdrži ).
16 42 Td vži, P dx+qdy = (Q x P y )da (4.4) greenn okz ove teoreme u opštem slučju je prilično težk. Mi ćemo je pokzti z oblst tip 1, vidi sliku 3.1. Kd pokžemo d Grinov formul vži n skupovim tip 1, lko zključujemo d vži i skupu u R 2 ogrničenom konturom koji se može prikzti ko unij tkv dv skup, ko n sledećoj slici N slici immo dve oblsti tip 1, 1 i 2. Obeležimo uniju t dv skup s = 1 2. Oblst 1 ogrničenje podelovimgltkompozitivnoorijentisnomkonturom , oblst 2 konturom , oblst konturom vostruki integrl po jednk je zbiru dvostrukih integrl po 1 i 2, p možemo primeniti Grinovu teoremu i dobiti (Q x P y )da = = = (Q x P y )da+ (Q x P y )da 1 2 P dx+qdy + P dx+qdy P dx+qdy = P dx+qdy Nime, postoji tvrd enje koje kže d se svk oblst u rvni ogrničen konturom može prikzti ko do n grnicu disjunktn unij oblsti tip 1 i tip 2. o n grnicu disjunktn unij znči d u preseku bilo koj dv del može d bude njviše rub nekog od tih skupov. Ovo tvrd enje ćemo smo prihvtiti bez dokz, jer je intuitivno jsno, dokz prevzilzi grdivo nšeg kurs. Zjedno s dokzom Grinove formule n skupu tip 1 i 2, ovo tvrd enje nm dje d Grinov teorem vži n svkoj oblsti u R 2 ogrničenoj po delovim gltkom konturom. Pre dokz Grinove formule, pokzćemo d vži još jedn formul koj nm je potrebn z dokz. Formulisćemo je u obliku leme. Pre tog, podsetimo se Osnovne teoreme klkulus z
17 43 funkcije jedne promenljive. kle, ko je funkcij f = f(y) integrbiln n intervlu [, b], njen primitivn funkcij F(x) = Funkcij G(x) = i vži b(x) (x) d dx x f(y)dy, x [,b], je diferencijbiln n [,b] i vži d dx x f(y)dy = f(x), x [,b]. f(y) dy je diferencijbiln ukoliko su diferencijbilne funkcije (x) i b(x), b(x) (x) f(y)dy = f(b(x))b (x) f((x)) (x), x [,b]. Sličnu formulu možemo izvesti z funkciju definisnu pomoću iterirnog integrl funkcije f = f(x,y) koj je integrbiln po drugoj promenljivoj. lem Lem 43 (Izvod funkcije definisne preko integrl) Nek su funkcije f 1 (R 2 ) i,b 1 (R). Td vži d dx b(x) (x) f(x,y)dy = b(x) (x) f x (x,y)dy +f(x,b(x))b (x) f(x,(x)) (x). okz: Kko je f 1 (R 2 ), on je i neprekidn (p i integrbiln) po drugoj promenljivoj, odnosno postoji njen primitivn funkcij po y, tj. postoji F(x,y) tkv d je y F(x,y) 2 F(x,y) = f(x,y). Td je d dx b(x) (x) f(x,y)dy = d dx [F(x,b(x)) F(x,(x))] = 1 F(x,b(x))+ 2 F(x,b(x))b (x) 1 F(x,(x)) 2 F(x,(x)) (x) = f(x,b(x))b (x) f(x,(x)) (x)+ 1 F(x,b(x)) 1 F(x,(x)). lje iz f 1 (R 2 ) immo d je g(x,y) := 1 ( 2 F(x,y)) = 1 f(x,y) = f x (x,y) (R 2 ), p je 1 F(x,b(x)) 1 F(x,(x)) = b(x) g(x,y)dy = b(x) (x) (x) f x (x,y)dy. okz Grinove teoreme z oblst tip 1: Nek je = {(x,y) : x b i u(x) y v(x)}, gde su u,v 1 ([,b]). Td je = = po delovim gltk kriv, čiji su delovi dti sledećim prmetrizcijm:
18 44 1 : x = t [,b], y = u(t), dx = dt, dy = u (t)dt 2 : x = b, y = t [u(),u(b)], dx = 0, dy = dt 3 : x = t [b,], y = v(t), dx = dt, dy = v (t)dt 4 : x =, y = t [v(b),v()], dx = 0, dy = dt Izrčunjmo sd integrle iz Grinove formule (4.4). Prvo izrčunjmo dvostruki integrl P y (x,y)dxdy = b ( ) v(x) P y (x,y)dy dx = u(x) b [P(x,u(x)) P(x,v(x))] dx. Ztim rčunmo krivolinijski integrl po = Kko je dx = 0 n 2 i 4, immo d je P(x,y)dx = P(x,y)dx+ P(x,y)dx = 1 3 b P(t,u(t))dt+ b P(t,v(t))dt. Iz prethodne dve jednkosti vidimo d je P y (x,y)dxdy = P(x,y)dx. rugi krivolinijski integrl koji rčunmo je Q(x,y)dy = b Q(t,u(t))u (t)dt+ v(b) Q(b,t)dt+ Q(t,v(t))v (t)dt+ u() u(b) b v() Q(,t)dt. N krju rčunmo preostli dvostruki integrl u kome ćemo primeniti lemu 43, Q x (x,y)dxdy = = = b b [ d dx v(x) u(x) b ( ) v(x) Q x (x,y)dy dx u(x) Q(x,y)dy Q(x,v(x))v (x)+q(x,u(x))u (x) [Q(x,u(x))u (x) Q(x,v(x))v (x)] dx+ v(b) u(b) ] Q(b,y)dy dx v() u() Q(,y)dy
19 45 Iz prethodne dve jednkosti vidimo d je Q x (x,y)dxdy = Q(x,y)dx Vektorski oblik Grinove teoreme Z vektorski oblik Grinove teoreme potrebn su nm dv poznt diferencijln opertor, rotor i divergencij. Rotor je prcijlni diferencijlni opertor koji deluje n vektorsku funkciju F = (P,Q,R) n sledeći nčin rotf curlf := i j k x y z P Q R = F. OvjopertorslikvektorskufunkcijuF = (P,Q,R)uvektorskufunkciju(R y Q z,r z R x,q x P y ), dkle funkcij n koju deluje mor imti prcijlne izvode. Ako je F 1 (R 3 ;R 3 ) ond je rotf (R 3 ;R 3 ), odnosno rot : 1 (R 3 ;R 3 ) (R 3 ;R 3 ). rotf zovemo rotor vektorskog polj F = (P,Q,R). ivergencij je tkod e prcijlni diferencijlni opertor koji deluje n vektorsku funkciju F = (P,Q,R), divf := P x +Q y +R z = F. Med utim, divergencij slik vektorsku funkciju F = (P,Q,R) u sklrnu funkciju P x +Q y +R z. Ako je F 1 (R 3 ;R 3 ) ond je divf (R 3 ;R), odnosno div : 1 (R 3 ;R 3 ) (R 3 ;R). divf zovemo divergencij vektorskog polj F = (P,Q,R). Posmtrjmo vektorske funkcije r = (x,y) i F = (P,Q) definisnu u formulciji Grinove teoreme. Funkcije r = (x,y) i F = (P,Q) su rvnske, li ih možemo dodefinisti nulom kko bi postle prostorne, r = (x,y,0) i F = (P,Q,0), odnosno d rvnsku krivu s prmetrizcijom r posmtrmo ko prostornu krivu koj leži u rvni (x, y). Td tvrd enje Grinove teoreme možemo npisti u obliku F d r = P dx+qdy = (Q x P y )da. Kko je curl F = curl(p,q,0) = (Q x P y ) k, immo d je curl F k = Q x P y, dobijmo vektorski
20 46 oblik Grinove teoreme F d r = (curl F k)da. U fizici, z rčunnje fluks, integrli se sklrni proizvod funkcije F i normle n krivu, nime F n. Kko je F n sklrn funkcij, to je F ndl krivolinijski integrl prve vrste. Nek je r(t) = (x(t),y(t)), t [α,β], prmetrizcij gltke konture. Td je T = x r i + y r j jedinični tngentni vektor, n = y r i x r j jedinični vektor normle. Stog je F ndl = = β α 1 r (t) (Py Qx ) r (t) dt = (P x ( Q y ))dxdy = divf da, Qdx+P dy = ( y što je drugi vektorski oblik Grinove teoreme. Kko je ndl = dx j, to se F ndl zove još i krivolinijski integrl po normli. r i x r j ) r (t) dt = dy i
21 Poglvlje 5 Površinski integrl 5.1 Prmetrizcij i površin površi Prmetrizovn površ S dt je prmetrizcijom r(t,s) = x(t,s) i+y(t,s) j +z(t,s) k, t [,b], s [c,d], gde je preslikvnje r : [,b] [c,d] S bijektivno preslikvnje prvougonik R = [,b] [c,d] n površ S. Npomenimo d postoje površi koje se ne mogu prmetrizovti, li mi nećemo rditi s tkvim površim. Ako u svkoj tčki površ im jedinstvenu tngentnu rvn, kžemo d je površ gltk. Tngentnu rvn dobijmo n sledeći nčin. Fiksirjmo t 0 [,b] i posmtrjmo krivu 1 S prmetrizovnu n sledeći nčin, r 1 (s) = r(t 0,s), s [c,d]. Kriv 1 u tčki r(t 0,s 0 ) im tngentu, ko je tngentni vektor r 1 (s 0 ) = s r(t 0,s 0 ) 0. Anlogno, z fiksirno s 0 [c,d] dobijmo krivu 2 S prmetrizovnu s, r 2 (t) = r(t,s 0 ), t [,b], 47
22 48 koj u tčki r(t 0,s 0 ) im tngentu, ko je tngentni vektor r 2 (t 0 ) = t r(t 0,s 0 ) 0. Ako su vektori r 2 (t 0 ) i r 1 (s 0 ) linerno nezvisni (tj. nisu prlelni), oni odred uju jedinstvenu rvn koj se zove tngentn rvn n površ S u tčki r(t 0,s 0 ). kle, možemo reći d je površ gltk ko i smo ko su vektori t r(t,s) i s r(t,s) linerno nezvisni, što možemo zpisti u obliku vektorskog proizvod, t r(t,s) s r(t,s) 0. Površ je po delovim gltk ko je unij nekoloko gltkih površi. Površin del površi Znmo d pomoću formule l = b b (x (t)) 2 +(y (t)) 2 +(z (t)) 2 dt = r (t) dt = dl rčunmo dužinu del gltke krive dte prmetrizcijom r (t) = (x(t),y(t),z (t)), t [,b]. Želimo sličnu formulu z rčunnje površine del gltke površi dtog prmetrizcijom r(t,s) = x(t,s) i+y(t,s) j +z(t,s) k, t [,b], s [c,d], gde je preslikvnje r : [,b] [c,d] S bijektivno preslikvnje prvougonik R = [,b] [c,d] n površ S. Površ S podelićemo n uniju mlih površi S ij, i = 1,...,n, j = 1,...,m, tko što intervl [,b] podeliti n n mlih jednkih intervl dužine t = t i = b n, intervl [c,d] n m intervl dužine s = s j = d c m. kle, S ij = r(r ij ) = r([t i 1,t i ] [s j 1,s j ]) Orijentcij dvostrne površi Rekli smo d u svkoj tčki gltk površ im normlu. Norml je odred en jediničnim vektorom normle, tj. vektorom intenzitet jedn koji je prleln normli. Tkvih vektor immo dv, koji su suprotnih smerov. Zbog tog uvodimo pojm strne površi, p svkom jediničnom vektoru normle dodeljujemo po jednu strnu površi. Ako je to moguće u svkoj tčki površi
23 49 kžemo d je površ dvostrn. bismo bili sigurni d je površ dvostrn, tu osobinu testirmo n sledeći nčin. Posmtrmo proizvoljnu tčku P površi S i ztvorenu krivu koj prolzi kroz tčku P i leži n izbrnoj strni površi S. Ztim posmtrmo normlu n izbrnu strnu površi S u tčki P. Krećemo se po krivoj i posmtrmo normle n istu strnu u tčkm krive. Kd se vrtimo u tčku P ko smo i dlje n istoj strni površi S možemo zključiti d je površ S dvostrn (nrvno, ov osobin treb d vži z sve tčke i ztvorene krive). Postoje površi koje nisu dvostrne. Tkv je, n primer, Mebijusov trk. Z neke dvostrne površi uvodimo pojm spoljšnje i unutršnje strne. Z strnu kžemo d je unutršnj ko je u svkoj tčki površi površ izmed u normle i tngentne rvni, spoljšnj ko je tngentn rvn izmed u površi i normle. Z neke površi te pojmove ne možemo definisti. 5.2 Površinski integrl sklrne funkcije 5.3 Površinski integrl vektorske funkcije U svkoj tčki dvostrne gltke površi S immo dv jediničn vektor normle n površ, odnosno n tngentnu rvn u toj tčki. Oznčimo ih s n = (,b,c) i n = (, b, c). One su definisne u svkoj tčki gltke površi, p n S definišemo funkcije n = n(x,y,z) i n = n(x,y,z). Nek je F neprekidno vektorsko polje definisno n S. Sklrni proizvod F n (ili F ( n)) je sklrn funkcij koju možemo d integrlimo po S, p ćemo površinski integrl vektorske funkcije F definisti ko površinski integrl sklrne funkcije F n n sledeći nčin, F d S := F (± n)ds. S S U zvisnosti od tog po kojoj strni površi S integrlimo, uzimmo dekvtnu normlu n ili n. Površinski integrl vektorske funkcije zove se još i površinski integrl druge vrste.
24 50 Motivcij z definisnje površinskog integrl vektorskog polj dolzi iz fizike, ko rešenje problem rčunnj fluks vektorskog polj F kroz površ S. o dte definicije dolzi se n isti nčin ko kod krivolinijskog integrl druge vrste, dkle podelom površi S n mle S ij, itd. Ako je r(u,v), (u,v) R 2, prmetrizcij površi S, i n vektor normle n željenu strnu površi S, immo d je F d S = F nds = F ( r u r v )da, S S jer je n = r u r v r u r v i ds = r u r v da. Ako preciznije zpišemo r(u,v) = x(u,v) i+y(u,v) j + z(u,v) k, (u,v), i r u r v = (y u z v z u y v ) i+(z u x v x u z v ) j +(x u y v y u x v ) k, možemo uvesti oznku dx dy := (x u y v y u x v )dudv, i pomoću ovih oznk dobijemo još jedn oblik (zpis) površinskog integrl druge vrste, F d S = F ( r u r v )dudv = P dy dz +Qdz dx+rdx dy, S z F = (P,Q,R). Primer 44 Nćifluksvektorskogpolj F = (x,1,yz)krozpovršs : r(s,t) = (cost,sint,s), t [0,2π], s [0,1]. Površ S je omotč vljk visine 1, čij je bz krug s centrom u koordinntnom početku poluprečnik 1 koji leži u (x, y)-rvni. Normlu dobijmo iz r s r t = cost i sint j. Ovj vektor je dužine 1, p ko integrlimo po spoljnoj strni površi S, z jediničnu normlu ćemo uzeti n = cost i+sint j. kle, Φ = S (x,1,yz) d S = 2π (cost,1,ssint) (cost,sint,0)dsdt = π. Ako je S deo grfik neke funkcije z = f(x,y), orijentciju normle je lkše odrediti,
25 51 jer joj je treć komponent uvek konstntn. N primer, ko je S deo grfik funkcije z = 1 x 2 y 2 iznd (x,y) rvni, prmetrizcij joj je (kd z prmetre uzmemo bš x i y) r(x,y) = x i+y j +(1 x 2 y 2 ) k, (x,y) K, gde je K R 2 krug s centrom u (0,0) poluprečnik 1. Td je n = ±(2x,2y,1), odnosno n 1 = (2x,2y,1) norml n spoljšnju strnu površi S, n 2 = ( 2x, 2y, 1) norml n unutršnju strnu površi S. Td je S + F d S = S F n 1 ds = K (4xy +1 x 2 y 2 )da = π 2. Oznku S + koristimo kd hoćemo d istknemo d integrlimo po spoljšnjoj strni površi S Stoksov teorem Znmo d je Grinov teorem, u R 2, povezivl dvostruki integrl po oblsti i krivolinijski integrl po konturi. Sledeć teorem će povezivti krivolinijski integrl po konturi S u R 3, s površinskim integrlom po površi S ogrničenoj tom konturom. Orijentcij ovkve površi i orijentcij konture koj je ogrničv su povezne prvilom desne ške. Nime, ko prsti desne ške pokzuju smer orijentcije konture, td plc pokzuje smer normle n površ. Teorem 45 Nek je: = S po delovim gltk kontur; S dvostn po delovim gltk površ ogrničen konturom, čij je orijentcij indukovn orijentcijom krive ; F = (P,Q,R) vektorsk funkcij klse 1 n nekom otvorenom skupu koji sdrži S. Td je F d r = curl F d S. S S okz: okz ćemo izvesti u specijlnom slučju kd je S deo grfik funkcije z = g(x,y), (x,y), g 2 (), je gltk kontur. Td je S dt prmetrizcijom r(x,y) = (x,y,g(x,y)), (x,y) i r x r y = ( g x (x,y), g y (x,y),1).
26 52 n Izberimo pozitivnu orijentciju konture 1 =, koj indukuje pozitivnu orijentciju konture = S, što opet indukuje izbor normle k gore, n = ( g x (x,y), g y (x,y),1). S Nek je 1 I 1 = curl F d S = ( gx (R y Q z ) g y (P z R x )+(Q x P y ) ) dxdy. S lje, nek je prmetrizcij krive 1 dt s r 1 (t) = x(t) i + y(t) j, t [,b]. Td je prmetrizcij krive, pošto leži n površi S, dt s r(t) = x(t) i + y(t) j + g(x(t),y(t)) k, t [,b], p je d r(t) = ( ) x (t), y (t),g x (x(t), y(t))x (t)+g y (x(t),y(t))y (t) dt, t [,b]. Sd rčunmo, I 2 := F d r = b (P x +Qy +Rz x x +Rz y y )dt = 1 (P +Rz x )dx+(q+rz y )dy, jer je z = g(x,y). Sd primenimo Grinovu formulu, jer je 1 rvnsk kriv, i dobijemo d je I 2 = ( x (Q+Rz y ) y (P+Rz x ) ) dxdy = ( gx (R y Q z ) g y (P z R x )+(Q x P y ) ) dxdy. Ko posledic Stoksoveteoreme vidimo d ko je rotorvektorskogpolj F jednk nuli, njegov krivolinijski integrl po svkoj konturi je nul, što znči d krivolinijski integrl vektorskog polj F ne zvisi od putnje integrcije, odnosno d je F konzervtivno polje. Od rnije znmo d vži i obrtno tvrd enje, tko d možemo zključiti d vži sledeć posledic. Posledic 46 Vektorsko polje F 2 (R 3 ) je konzervtivno ko i smo ko je curl F = 0. Primer 47 Krivolinijski integrl vektorskog polj F = y 2 i + x j + z 2 k po krivoj koj leži u preseku rvni y + z = 2 i cilindr x 2 + y 2 = 1, lko možemo izrčunti primenom Stoksove
27 53 teoreme. Kko je curl F = (1+2y) k, to je I = (0,0,1 2y) d S = (1 2y)dx dy S S gde je S deo rvni z = f(x,y) = 2 y unutr cilindr x 2 +y 2 = 1, odnosno onj deo rvni koji se projektuje n krug K : x 2 +y 2 1 u (x,y)-rvni. lje je I = K (1 2y)dxdy = 2π (1+2ρsinφ)ρdρdφ = π Teorem divergencije Treć teorem koj povezuje dv tip integrl zove se Teorem divergencije ili Teorem Gus- Ostrogrdskog. Pre formulcije podsetimo se drugog vektorskog oblik Grinove teoreme, odnosno integrl po normli vektorskog polj po rvnskoj konturi, F ndl = div F(x,y)dA, gde je = R 2 rvnsk pozitivno orijentisn po delovim gltk kontur koj ogrničv oblst, F 1 (U), gde je U otvoren skup koji sdrži. Proširenje ove formule n R 3 dje sledeć teorem, koju ovde nvodimo bez dokz. On povezuje površinski integrl vektorskog polj po ztvorenoj površi S = V, s trostrukim integtlom po telu V divergencije dtog vektorskog polj. Teorem 48 Nek je: S po delovim gltk, ztvoren površ, orijentisn k spolj, koj ogrničv telo V R 3 ; F = P i+q j+r k, vektorsko polje klse 1 n nekom otvorenom skupu koji sdrži V S. Td je F d S = div F dv. S V Primer 49 Potržimo fluks vektorskog polj F = z i + y j + k k kroz jediničnu sferu x 2 +y 2 +z 2 = 1, primenom teoreme divergencije, φ = S 2 F d S = L 3 div F dv = L 3 (0+1+0)dV = 4 3 π.
28 54 Izrčunjmopovršinskiintegrl funkcije F(x,y,z) = ( xy,y 2 +e xz2,sin(xy) ), po spoljšnjoj strni tel T ogrničenog prboličnim cilindrom z = 1 x 2 i rvnim z = 0, y = 0 i y +z = 2. n 4 Površ po kojoj integrlimo je po delovim n 1 n 3 gltk, tčnije, sstoji se od četiri gltke površi, p bismo direktnim rčunnjem inte- x n 2 y grl rčunli ko zbir četiri površinsk integrl. Med utim površ je ztvoren, funkcij gltk, p možemo primeniti teoremu divergencije. kle, S F d S = T (y +2y+0)dV =
Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.
Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),
Διαβάστε περισσότερα2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
Διαβάστε περισσότεραIZVOD FUNKCIJE Predpostvimo d je unkcij deinisn u nekom intervlu, i d je tčk iz intervl, iksirn. Uočimo neku proizvoljnu tčku iz tog intervl,. Ov tčk može d se pomer levo desno, p ćemo je zvti promenljiv
Διαβάστε περισσότεραSLIČNOST TROUGLOVA. kažemo da su slične ( sa koeficijentom sličnosti k ) ako postoji transformacija sličnosti koja figuru F prevodi u figuru F
SLIČNOST TROUGLOV Z dve figure F i F kžemo d su slične ( s koefiijentom sličnosti k ) ko postoji trnsformij sličnosti koj figuru F prevodi u figuru F. Činjeniu d su dve figure slične obeležvmo s F F. Sličnost
Διαβάστε περισσότεραNEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi
NEKE POVŠI U Pvrši kje se njčešće sreću u dcim su:. Elipsidi. Hiperlidi. Prlidi 4. Knusne pvrši 5. Cilindrične pvrši. Elipsidi Osnvn jednčin elipsid ( knnsk) je : + + = c, i c su dsečci n, i si. Presek
Διαβάστε περισσότεραGRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo
GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;
Διαβάστε περισσότερα7 Odreženi integrali. Neka je funkcija f(x) definisana na intervalu [a, b]. Ako ovaj interval podelimo
7 Odreženi integrli 63 7 Odreženi integrli Nek je funkcij f(x) definisn n intervlu [, ]. Ako ovj intervl podeo n n delov tčkm = x < x < x
Διαβάστε περισσότεραPrvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Διαβάστε περισσότεραKUPA I ZARUBLJENA KUPA
KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 4
Mtemtičk nliz 4 Drgn S. Dor dević 14.5.214. 2 Sdržj Predgovor 5 1 Integrcij 7 1.1 Žordnov mer u R n....................... 7 1.1.1 Mer prvougonik u R 2................ 7 1.1.2 Mer n-intervl u R n..................
Διαβάστε περισσότεραRijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5
Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz
Διαβάστε περισσότερα4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
Διαβάστε περισσότεραVALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su
ALJAK ljk je geometijsko telo ogničeno s dv kug u plelnim vnim i delom ilindične povši čije su izvodnie nomlne n vn ti kugov. Os vljk je pv koj polzi koz ente z. Nvno ko i do sd oznke su: - je povšin vljk
Διαβάστε περισσότερα= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi
Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim
Διαβάστε περισσότερα1 Odredeni integral. Integrabilnost ograničene funkcije
Odredeni integrl. Integrbilnost ogrničene funkcije Njprije uvedimo dvije pretpostvke. Prv, d je reln funkcij segment[, b] končne dužine ( < < b < + ). Definicij 2. Podjel segment [, b], u oznci P, je svki
Διαβάστε περισσότεραSLUČAJNE PROMENLJIVE-FUNKCIJA RASPODELE
SLUČAJNE PROMENLJIVE-FUNKCIJA RASPODELE Do sd smo već definisli skup Ω elementrnih dogđj Ako se elementrni dogđji ω mogu predstviti ko relni brojevi, ond se eksperiment može zmisliti ko izbor jedne promenljive
Διαβάστε περισσότεραSINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA
SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA Sinusn terem glsi: Strnie trugl prprinlne su sinusim njim nsprmnih uglv. R sinβ sinγ Odns dužine strni i sinus nsprmng ugl trugl je knstnt i jednk je dužini
Διαβάστε περισσότεραNeodreeni integrali. Glava Teorijski uvod
Glv Neodreeni integrli. Teorijski uvod Nek je funkcij f :, b R. Definicij: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ f, b Teorem: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ+c- primitivn funkcij funkcije f Definicij: f
Διαβάστε περισσότεραDIPLOMSKI RAD. Nesvojstveni integral. Univerzitet u Kragujevcu Prirodno matematički fakultet. Kandidat: Marta Milošević 47/00
Univerzitet u Krgujevu Prirodno mtemtički fkultet IPLOMSKI RA Nesvojstveni integrl Mentor: r Mirjn Pvlović Kndidt: Mrt Milošević 47/ KRAGUJEVAC,. Sdržj. Nesvojstveni jednostruki integrl 3.. efiniij, primeri
Διαβάστε περισσότεραIntegracija funkcija više promenljivih
Integrcij funkcij više promenljivih Drgn S. Djordjević Univerzitet u Nišu, Prirodno-mtemtički fkultet Niš, Srbij Februry 18, 216 ii Predgovor Predvnj su nmenjen studentim, koji polžu ispit iz predmet Mtemtičk
Διαβάστε περισσότεραdužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor
I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραc = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]
Zdtk (Tihomir, tehničk škol) c = 8 i. Rješenje Prikži vektor c ko linernu kombinciju vektor i b ko je = i + 3 j, b = 4 i 3 j, Nek su i b vektori i α, β relni brojevi. Vektor c = α + β b nzivmo linernom
Διαβάστε περισσότεραΚεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα
Δπηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα Επηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα θαη εθαξκνγέο. Επηθακπύιην Οινθιήξωκα. Έζηω όηη ε βαζκωηή ζπλάξηεζε f(x,y,z) είλαη νξηζκέλε πάλω ζε κία
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Zenici Mašinski fakultet Akademska 2012/13.
Univerzitet u Zenici Mšinski fkultet Akdemsk /. Svesk s vježbi iz Mtemtike II (II dio) Odsjeci: Inžinjerski dizjn proizvod, Inžinjersk ekologij, Mendžment proizvodnim tehnologijm, Održvnje Zbirke zdtk
Διαβάστε περισσότεραMera, integral i izvod
Mer, integrl i izvod Drgn S. Dor dević 3.1.2014. 2 Sdržj Predgovor 5 1 Uvod 7 1.1 Osnovni pojmovi......................... 7 1.2 Topološki prostori......................... 8 1.3 Metrički prostori.........................
Διαβάστε περισσότεραIntegralni raqun. F (x) = f(x)
Mterijl pripremio Benjmin Linus U mterijlu su e definicije, teoreme, dokzi teorem (rđenih n predvƭu i primeri. Dodo sm i neke done primere d bih ilustrovo prikznu teoriju. Integrlni rqun Definicij. Nek
Διαβάστε περισσότεραPIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču
PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu
Διαβάστε περισσότεραOsnove elektrotehnike I parcijalni ispit VARIJANTA A. Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti.
Osnove elektrotehnike I prcijlni ispit 3..23. RIJNT Prezime i ime: roj indeks: Profesorov prvi postult: Što se ne može pročitti, ne može se ni ocijeniti... U vzdušni pločsti kondenztor s rstojnjem između
Διαβάστε περισσότερα4. Relacije. Teorijski uvod
VI, VII i VIII dvoqs veжbi Vldimir Blti 4. Relije Teorijski uvod Podsetimo se n neke od pojmov veznih z skupove, koji su nm potrebni z uvođeƭe pojm relije. Dekrtov proizvod skup iniemo n slede i nqin:
Διαβάστε περισσότεραOSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA
OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH
Διαβάστε περισσότεραMatematički osnovi Z transformacije
Mtemtiči osnovi Z trnsformcije Uvod u Z-trnsformciju: Z-trnsformcij i njen invern trnsformcij se u mtemtici rmtrju i rlog što ovve trnsformcije imju neposrednu primenu u eletrotehnici i to prvenstveno
Διαβάστε περισσότεραFURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II
FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II deo Primer. Fukciju f ( = rzviti u Furijeov red segmetu [,] ztim izrčuti sumu red. ( Rešeje: Kko je f ( = = = f ( zkjučujemo d je fukcij pr. Koristimo formue: = f ( = + ( cos
Διαβάστε περισσότεραMEHANIKA FLUIDA. Pritisak tečnosti na ravne površi
MEHANKA FLUDA Pritisk tečnosti n rvne površi. zdtk. Tešk brn dimenzij:, b i α nprvljen je od beton gustine ρ b. Kosi zid brne smo s jedne strne kvsi vod, gustine ρ, do visine h. Odrediti ukupni obrtni
Διαβάστε περισσότεραRelativno mirovanje tečnosti. Translatorno kretanje suda sa tečnošću
Reltivno irovnje tečnosti Trnsltorno kretnje sud s tečnošću Zdtk Cistern čiji je orečni resek elis oluos i b nunjen je tečnošću ustine i kreće se rvolinijski jednklo ubrzno ubrznje w o orizontlnoj rvni
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA Trignmetrij je prvitn predstvlj lst mtemtike kje se vil izrčunvnjem nepzntih element trugl pmću pzntih. Sm njen nziv ptiče d dve grčke reči TRIGONOS- št znči trug
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραMatematika za ekonomiste Časlav Pejdić, (064)
Mtemtik z ekonomiste Čslv Pejdić, (06) 09 0 SADRŽAJ SADRŽAJ UVOD DEO RELACIJE I FUNKCIJE DEO ALGEBRA 6 DEO NIZOVI I REDOVI DEO NEPREKIDNOST I DIFERENCIJABILNOST FUNKCIJE 7 5 DEO LIMESI I IZVODI 9 6 DEO
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότερα( ) p a. poklopac. Rješenje:
5 VJEŽB - RIJEŠENI ZDI IZ MENIKE LUID 1 1 Treb odrediti silu koj drži u rvnoteži poklopc B jedinične širine, zlobno vezn u točki, u položju prem slici Zdno je : =0,84 m; =0,65 m; =5,5 cm; =999 k/m B p
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότερα1 Ekstremi funkcija više varijabli
1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,
Διαβάστε περισσότεραB I O M A T E M A T I K A
Mterijli z predmet B I O M A T E M A T I K A Biologij Zorn Rkić Beogrd, 03. godine i S A D R Ž A J. UVOD. Skupovi. Funkcije 4.3 Relcije 6.4 Brojevi: celi, rcionlni i relni 8.5 Kompleksni brojevi 7.6 Elementi
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραIzvodi i integrali necelog reda
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ntš Durković Izvodi i integrli necelog red -mster rd- Mentor: Docent dr Snj Konjik Novi Sd, 2. Predgovor Frkcioni
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραLAPLASOVA TRANSFORMACIJA
Mster rd LAPLASOVA TRANSFORMACIJA Snježn Mksimović Mentor: Akdemik dr Stevn Pilipović Novi Sd, pril 211. iii Sdržj Predgovor vi 1. Osnovn Lplce-ov trnsformcij 1 1.1. Egzistencij Lplce-ove trnsformcije...............
Διαβάστε περισσότεραM A T E M A T I K A 1
Mterijli z predmet M A T E M A T I K A 1 Fizičk hemij Zorn Rkić Beogrd, 010 godine i S A D R Ž A J 1 UVOD 1 11 Skupovi 1 1 Funkcije 4 13 Relcije 6 14 Brojevi: celi, rcionlni i relni 8 15 Kompleksni brojevi
Διαβάστε περισσότεραTROUGAO. - Stranice a,b,c ( po dogovoru stranice se obeležavaju nasuprot temenu, npr naspram temena A je stranica a, itd) 1, β
TRUG Mngug kji im ti stnie zve se tug. snvni elementi tugl su : - Temen,, - Stnie,, ( p dgvu stnie se eležvju nsupt temenu, np nspm temen je stni, itd) - Uglvi, unutšnji α, β, γ i spljšnji α, β, γ γ α
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραd(o,1) = i = 1. Uvođenjem koordinatizacije operacije s vektorima sveli smo na operacije s brojevima: ako je [ ] [ ]
-- 71 -- 7.2. KOORDINATNI SISTEM-KOORDINATIZACIJA Podsjetimo se pojmov dimenzij i bz prostor: ''Njveći'' broj linerno nezvisnih vektor u nekom vektorskom prostoru zovemo dimenzijom tog prostor. Ako je
Διαβάστε περισσότερα4. Trigonometrija pravokutnog trokuta
4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz
Διαβάστε περισσότεραТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА
ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА empertur sežeg beton menj se tokom remen i zisi od ećeg broj utijnih prmetr: Početne temperture mešine (n izsku iz mešie), emperture sredine, opote hidrtije ement, Rzmene topote
Διαβάστε περισσότεραFORMULE VEZANE UZ MATEMATIČKE KOLEGIJE PREDDIPLOMSKOG STUDIJA
FORMULE VEZANE UZ MATEMATIČKE KOLEGIJE PREDDIPLOMSKOG STUDIJA Vrijednoti inu i koinu π π π π ϕ 6 4 3 in ϕ 3 co ϕ 3 Trigonometrijke funkcije polovičnih rgument in x = co x co x = + co x Trigonometrijke
Διαβάστε περισσότεραM A T E M A T I Č K A A N A L I Z A
Miloš Miličić M A T E M A T I Č K A A N A L I Z A Akdemsk miso Beogrd, 2012 Dr Miloš Miličić redovni profesor Držvnog univerzitet u Novom Pzru MATEMATIČKA ANALIZA Recenzenti Dr Ćeml Dolićnin redovni profesor
Διαβάστε περισσότερα1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH )
.RIZMA ( =+M = ).Izrčunti površinu i zpreminu kvr čij je ijgonl ug 0m, užine osnovnih ivi su m i m. D 0m m b m,? D 00 b 00 8 8 b b 87 87 0 87 8 87 b 87 87 87 8 87. Ivie kvr onose se ko :: ijgonl je ug.oreiti
Διαβάστε περισσότεραU n i v e r z i t e t u B e o g r a d u. Matematički fakultet ITOOV STOHASTIČKI INTEGRAL I PRIMENE
U n i v e r z i t e t u B e o g r d u Mtemtički fkultet ITOOV STOHASTIČKI INTEGRAL I PRIMENE M s t e r r d Mentor: dr Jelen Jocković Student: Jelen R. Suzić B e o g r d, 2015 S d r ž j Predgovor 1 1 Integrlni
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza
Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla.
Mnogougo oji im četii stnice nziv se četvoougo. ČETVOROUGAO D δ δ γ C A α β B β Z svi četvoougo vži im je zi unutšnji i spoljšnji uglov isti i iznosi 0 0 α β γ δ 0 0 α β γ δ 0 0 Njpe žemo četvoouglovi
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραElektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi:
tnic:iii- lektosttik lektično polje n gnici v ielektik. Pločsti konenzto. Cilinični konenzto. Kuglsti konenzto. tnic:iii-. ztk vije mete ploče s zkom ko izoltoom ile su spojene n izvo npon, ztim ospojene
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραRešavanje diferencijalnih jednačina pomoću redova. Specijalne funkcije. Ortogonalne funkcije
Glv 1 Rešvnje diferencijlnih jednčin pomoću redov. Specijlne funkcije. Ortogonlne funkcije 1.1 Neke druge specijlne funkcije Skoro bez izuzetk, njčešće korišćene specijlne funkcije su trigonometrijske
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. Boris Širola
Mtemtik 2 (. Riemnnov integrl) Boris Širol predvnj . Riemnnov integrl 3 Pretpostvimo d immo neku neprekidnu relnu funkciju f, definirnu n nekom segmentu; tj., nek je dn neprekidn funkcij f : [, b] R.
Διαβάστε περισσότεραOpćenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:
Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραOdredjeni integral je granicna vrijednost sume beskonacnog broja clanova a svaki clan tezi k nuli i oznacava se sa : f x dx f x f x f x f x b a f
Mte ijug: Rijeseni zdci iz vise mtemtike 8. ODREDJENI INTEGRALI 8. Opcenito o odredjenom integrlu Odredjeni integrl je grnicn vrijednost sume eskoncnog roj clnov svki cln tezi k nuli i ozncv se s : n n
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραUvod Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja. Integrali. Franka Miriam Brückler
Integrli Frnk Mirim Brückler Antiderivcije Koj je vez izmedu x 2 i 2x? Antiderivcije Koj je vez izmedu x 2 i 2x? Antiderivcij (primitivn funkcij) zdne funkcije f : I R (gdje je I otvoren intervl) je svk
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. seminari. studij: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija
MATEMATIKA seminri studij: Prehrmben tehnologij i Biotehnologij Sdržj Integrlni rčun funkcije jedne vrijble. Uvod................................. Odredeni (Riemnnov) integrl. Problem površine........
Διαβάστε περισσότεραPRIMENA INTEGRALA
www.mtmtinj.com PRIMENA INTEGRALA P ngo što knmo s izčunvnjm povšin, dužin luk, zpmin ili povšin otcion povši momo odditi: - pomoću p tčk ispitmo tok i nctmo kivu kivko j to nophodno - gnic intgl nđmo
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραNEJEDNAKOSTI I PRIMENE
NEJEDNAKOSTI I PRIMENE dr Jele Mojlović Prirodo-mtemtički fkultet Niš SADRŽAJ Nejedkosti izmed u brojih sredi Prime ejedkosti izmed u brojih sredi 6 Geometrijske ejedkosti Nejedkosti z elemete trougl Stereometrijske
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1
Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije
Διαβάστε περισσότερα8 Funkcije više promenljivih
8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen
Διαβάστε περισσότερα1.1 Neodre deni integral
. Neodre deni integrl.. Površinski problem Uvod u površinski problem Iko većin rzmišlj o integrlu isključivo ko o obrtu izvod, osnove integrlnog rčun sežu mnogo dlje u prošlost od modernih vremen. Jedn
Διαβάστε περισσότεραZadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.
Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija i linearna algebra. Kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav čine 3 međusobno okomite osi: Ox os apscisa,
Alitičk geoetrij i lier lger Vektori KOORDINATNI SUSTAV Krteijev prvokuti koorditi sustv Krteijev trodieioli prvokuti koorditi sustv čie eđusoo okoite osi: O os pscis O os ordit O os plikt točk O ishodište
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραMatematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum
Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραMATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012
MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x
Διαβάστε περισσότερα