UVOD Mehanika kruog ijela je grana fizike koja e bavi izučavanjem uicaja ila na ijela ili maerijalne ačke (čeice) u anju mirovanja ili kreanja. Najčešća podjela mehanike kruog ijela je na Saiku (koja e bavi izučavanjem ila na objeke u mirovanju) i Dinamiku (koja e bavi izučavanjem uicaja ila na ijela u pokreu). Područje izučavanje predmea Mehanika II je upravo Dinamika, koja e može podijelii na dva dijela: kinemaiku i kineiku. Kinemaika je dio mehanike koji e bavi izučavanjem kreanja ijela bez obzira na njihovu mau i ile koje na njih djeluju. Čeo e u lierauri kinemaika naziva još i geomerija kreanja. Kineika je dio mehanike koji izučava promjenu položaja ijela i maerijalne ačke (čeica) opiujući njegovo kreanje bez analize uzroka kreanja. Za opiivanje pojedinih kreanja je porebno odabrai i odgovarajući koordinani iem na onovu kojeg će e vršii opiivanje kreanja. Razlikuju e jednodimenzionalni (linijki), dvodimenzionalni (ravanki) i rodimenzionalni (proorni) koordinani iem. S druge rane, Kineika je dio mehanike koji analizira kreanje kruog ijela / čeice pod uicajem ile, opiujući uicaj ile pomoću različiih zakonioi i relacija. 1. KINEMATIKA MATERIJALNE TAČKE 1.1. Onovne veličine u kinemaici Kinemaika, za razliku od aike, bavi e analizom kreanja ijela/čeice. Pod kreanjem e podrazumjeva prelazak ijela/čeice iz jednog položaja u drugi ako da u vakom renuku vremena ijelo/čeica ima definian položaj u prooru. Linija koju opiuje ačka u prooru prilikom kreanja naziva e puanja maerijalne ačke. Jedan od primjera puanje e može navei rag koji oavi puž na afalu, ragovi koji oaju iza mlaznog aviona ili rag koji oavlja olovka čiji e vrh kreće po papiru. Slika 1. Puanja Ukoliko je puanja kreanja poznaa, onda e ona može opiai jednoavnom funkcijom koja opiuje kreanje. Dio puanje između dva poznaa položaja na puanji e naziva pređeni pu. Pređeni pu e može definiai kao funkcija koja zavii od vremena. = ()
Funkcija zavinoi pua o vremenu naziva e zakon pua. Da bi e mogla definiai funkcija koja opiuje pređeni pu, porebno je poznavai koliki pu prelazi ijelo/čeica u pojedinim vremenkim inervalima. Ukoliko e uzme neka proizvoljna puanja poznae jednačine za koju e zna zavino pređenog pua o vremenu, onda e lako mogu odredii i oale kinemaičke veličine. Na lici 2. je prikazan primjer puanje za koju je pozna zakon pua. Slika 2. Kreanje maerijalne ačke po poznaoj puanji Za vaki inerval vremena Δ pozna je prevaljeni pu Δ. Odno pređenog pua i vremena porebnog da e pređe aj pu naziva e rednja brzina. v r = ( + ) () ( + ) = Srednja brzina u Ako e uzme vremenki inerval Δ oliko mali da je približno jednak nuli, u om lučaju e dobija renuna brzina kreanja maerijalne ačke. ( + ) () v = lim = d 0 ( + ) = Brzina maerijalne ačke jednaka je derivaciji promjene pua po vremennu. U zavinoi od pređenog pua, renuna brzina može bii poziivna ili negaivna. Ako je u dvije uzaopne ačke puanje poznaa renuna brzina, onda e odno promjene brzine i vremena između ih ačaka može nazvai rednje ubrzanje maerijalne ačke. a r = v( + ) () ( + ) = v Vrijedno rednjeg ubrzanja e odnoi na angencijalno ubrzanje o kojem će kanije bii više rečeno. Ako e u razmaranje uzme vremenki inerval Δ oliko mali da je približno jednak nuli, dobije e renuno ubrzanje maerijalne ačke. v( + ) () a = lim = dv = v = 0 ( + )
1.2. Pravolinijko kreanje maerijalne ačke Maerijalna ačka (čeica) je objeka koji ima mau, a čiji e oblik i dimenzije mogu zanemarii. Iako u ehnici većina objekaa koji e kreću imaju dimenzije i oblik koji e mora uzei u razmaranje (auomobil, glava obradne mašine, avion, dizalica), ukoliko je porebno poznavai amo kreanje cenra mae razmaranog ijela onda e i ono može marai maerijalnom ačkom. Slika 3. Položaj i pomak Ukoliko je puanja kreanja prava linija, onda e kreanje po akvoj puanji naziva pravolinijko kreanje. Na lici 3. je prikazana pravolinijka puanja na kojoj je od koordinanog počeka O označen renuni položaj, čiji poziivan mjer je da udeno. Ako za neki vremenki inerval maerijalna ačka dođe u položaj ', njeno pomjeranje okom vremenkog inervala e može zapiai kao = Ako e ačka pomjerila udeno (' > ) kao šo je prikazano na lici, njeno pomjeranje je poziivno (Δ > 0) za dai poziivan pravac kreanja. Ako e ačka pomjerila ulijevo (' < ), njeno pomjeranje je negaivno u odnou na dai poziivni pravac kreanja. Jedinica kojom e označava udaljeno, odnono pređeni pu je 1 m (mear). Srednja brzina, kao šo je već ranije navedeno, jednaka je odnou pređenog pua i vremenkog inervala puovanja. v r = U lučaju kada e uzme da je Δ 0, dobija e renuna brzina kreanja maerijalne ačke po pravolinijkoj puanji. v = d = Obzirom da je vrijeme Δ uvijek poziivno (vrijeme ne može eći unazad), onda predznak brzine zavii od predznaka Δ. Ako e maerijalna ačka kreće udeno brzina je poziivna i obrano. Jedinica kojom e označava brzina je 1 m/ (mear u ekundi). Na ii način za Δ 0 dobija e renuno ubrzanje. a = dv = v = Predno renunog ubrzanja ne zavii od predznaka brzine, nego od načina na koje ubrzanje mijenja brzinu. Ako ubrzanje povećava brizinu, onda je predznak ubrzanja poziivan, a ako manjuje brzinu, onda je predznak ubrzanja negaivan. Jednoavnije rečeno, ako u predznaci brzine i ubrzanja jednaki, onda ačka ubrzava, a ako u predznaci brzine i ubrzanja različii, ačka uporava. Jedinica za označavanje ubrzanja je 1 m/ 2 (mear u ekundi na kvadra).
1.2.1. Kreanje a konannom brzinom Pravolinijko kreanje kod kojeg je brzina kojom e kreće konanna naziva e jednoliko kreanje. U om lučaju, ubrzanje je jednako nuli jer nema promjene brzine. v = d = v 0 = con. a = dv = 0 Ako e uzme da je počena brzina označena a v0, e da je brzina konanna, zaključuje e da je brzina jednaka počenoj brzini okom čiavog kreanja. Zakon pua dobije e iz izraza za brzinu. d = v 0 => d = v 0 Primjenom inegrala na lijevu i denu ranu jednakoi uzevši u obzir da je počeni pu (u počenom renuku) označen a 0, e da je počeni momena uze = 0, dobija e zakon pua. d = v 0 0 0 0 = v 0 Sada e može zapiai konačan izraz zakona pua za jednoliko pravolinijko kreanje uvršavanjem konane C. = 0 + v 0 Promjena pua, brzine i ubrzanja e čeo prikazuje kinemaičkim dijagramima, na čijoj e apcii prikazuje vrijeme, dok na oordinai e prikazuju vrijednoi pua, brzine ili ubrzanja. Slika 4. Kinemaički dijagrami za v = con.
Obzirom da nema ubrzanja, odnono da je vrijedno ubrzanja jednaka nuli u vakom renuku vremena, dijagram ubrzanja (dijagram ubrzanje-vrijeme) će bii amo podebljana oordinaa. Kako je brzina konanna, o znači da za bilo koji renuak vremena brzina ima iu vrijedno. Dijagram brzine (dijagram brzina-vrijeme) e onda može prikazai kao horizonalna linija koja ide iz vrijednoi brzine v0 prikazane na oordinai. Ranije je napian izraz za zakon pua koji predavlja jednačinu prave koja prejeca oordinau u vrijednoi 0, e e jednako mijenja za vaki jednaki vremenki korak. Prema ome, dijagram pua (dijagram pu-vrijeme) e može prikazai kao koa prava linija koja iječe oordinau u 0. Ojenčena površina na dijagramu brzine vojom vrijednošću odgovara proizvodu počene brzine i renunog vremena, šo uvari odgovara koiranoj viini pređenog pua od počenog renuka do vremena. 1.2.2. Kreanje a konannim ubrzanjem Pravolinijko kreanje kod kojeg je ubrzanje konanno naziva e jednakoubrzano pravolinijko kreanje. Ovo vrijedi za lučaj kada ubrzanje povećava brzinu okom vremena, odnono kada maerijalna ačka koja e kreće ubrzava. Ukoliko ačka koja e kreće uporava (manjuje brzinu okom vremena), onda e akvo kreanje naziva jednakouporeno pravolinijko kreanje. a = con. Izraz za promjenu brzine okom vremena e može dobii iz veze brzine i ubrzanja prebacivanjem člana uz ubrzanje, e inegraljenjem obe rane. a = dv v => dv = a dv = a v 0 0 v v 0 = a v = v 0 + a Prehodni izraz predavlja zakon promjene brzine kod jednakoubrzanog kreanja. Za jednakouporeno kreanje bi e promjenio amo predznak ubrzanja. Zakon pua e akođer može dobii iz izraza koji povezuje pu i brzinu. v = d => d = v U prehodni izraz može e uvrii zakon promjene brzine, e inegralii obe rane jednačine kako bi e dobio konačan izraz zakona pua. d = ( v 0 + a) 0 0
0 = v 0 + a 2 2 Konačan izraz zakona pua za jednakoubrzano kreanje e može izrazii kao a 2 = 0 + v 0 + 2 Promjena ubrzanja, brzine i pua u vremenu e može akođer prikazai kinemaičkim dijagramima. Slika 5. Kinemaički dijagrami za a = con. Obzirom da je ubrzanje konanno, može e prikazai kao horizonalna linija koja ne leži na apcii, nego za vaki renuak vremena ima iu vrijedno a. Zakon promjene brzine je da u obliku jednačine prave koe linije koja iječe oordinau u ački v0. Zakon pua je da kao kvadrana jednačina (jednačina parabole), e e može prikazai kao kriva drugog reda a jemenom na oordinau u ački 0. Ovde ad vrijedno ojenčene površine ipod dijagrama ubrzanja ima jednaku vrijedno kao vrijedno v na dijagramu brzine. Dijagram ubrzanja kod jednakouporenog kreanja e može prikazai akođer kao horizonalna linija koja ima konannu negaivnu vrijedno ubrzanja, odnono uporenja. U om lučaju će brzina bii akođer koa prava linija, ali ada nagea prema dole (opadajuća) za razliku od jednakoubrzanog kreanja. U jednom renuku dijagram brzine iječe apciu, šo znači da u om renuku je brzina jednaka nuli e maerijalna ačka e na renuak zauavi. U daljem dijelu dijagrama dijagram brzine je negaivan, šo znači da je brzina promjenila mjer, i da e ačka kreće u negaivnom mjeru.
Dijagram pua je i u lučaju jednakouporenog kreanja parabola, im da jeme parabole ne mora bii na oordinai. Tjeme parabole je u ovom lučaju u renuku kada dijagram brzine iječe vremenku ou (v = 0), nakon čega maerijalna ačka počinje da e vraća u počeni položaj koji u jednom renuku i doigne, e naavi dalje kreanje u negaivnom mjeru. Slika 6. Kinemaički dijagrami za a = con. 1.2.3. Kreanje a promjenljivim ubrzanjem Ukoliko e ubrzanje mijenja okom vremena, akvo kreanje e naziva promjenljivo ubrzano kreanje. Ako e može opiai promjena ubrzanja nekom funkcijom vremena, onda e od e funkcije mogu kicirai i dijagrami brzine i pua za o kreanje. Poznao je da e pomoću ubrzanja dobija izraz za brzinu inegraljenjem izraza za ubrzanje, e da e inegraljenjem izraza za brzinu dobija zakon pua. Ovi izrazi e mogu prikazai kinemakim dijagramima kao funkcije vremena. Pomaranjem prehodnih poglavlja 1.2.1. i 1.2.2. e može zaključii lijedeće: - Ako je jednačina kreanja konanna i jednaka nuli, njen inegral je konana različia od nule. - Ako je jednačina kreanja konanna i različia od nule, njen inegral je jednačina pravca (prava koa linija). - Ako je daa jednačina kreanja kao koa prava linija, njen inegral je kriva drugog reda (parabola). Iz gore navedenog e može zaključii da bi onda i inegral krive drugog reda bio kriva rećeg reda, inegral krive rećeg reda bio bi kriva čevrog reda i ako dalje. To znači da ako e ubrzanje mijenja po pravoj liniji, dijagrami brzine i pua će bii krive linije i o drugog reda(za brzinu) i rećeg reda(za pu).
S druge rane, ukoliko e ubrzanje mijenja ako da e ne može opiai jednom funkcijom okom čiavog kreanja, nego e funkcija po kojoj e mijenja ubrzanje mijenja za pojedine vremenke inervale. U om lučaju e može ikoriii činjenica da je površina ipod dijagrama ubrzanja jednaka promjeni brzine za razmarani vremenki inerval. Također, površina ipod dijagrama brzine predavlja promjenu pua na daom vremenkom inervalu. Slika 7. Skiciranje kinemakih dijagrama brzine i pua za a con. Iz dijagrama pua e može odredii dijagram brzine ako šo e za više malih inervala odredi promjena djelića pua u odnou na djelić vremena. Taj odno predavlja nagib jednačine pua, odnono vrijedno brzine u ok ački. Uzimajući više inervala vremena dobija e više uzaopnih ačaka koje e mogu povezai u dijagram brzine. Iz dijagrama brzine na ii način e dobija i dijagram ubrzanja, o je raži e odno promjene brzine u malim inervalima vremena, koji e kanije preneu u dijagram ubrzanja kao vrijednoi ubrzanja, e pajanjem uzaopnih ačaka e dobija dijagram ubrzanja. Slika 8. Skiciranje kinemakih dijagrama brzine i ubrzanja za a con.
1.2.4. Analiičko rješenje pravolinijkog kreanja maerijalne ačke Veličine ubrzanja, brzine i pua mogu bii definiane funkcijama u zavinoi od vremena. U lučaju kada je bilo koja od navedenih veličina daa kao funkcija vremena, jednoavno je uradii direknu derivaciju ili inegraljenje kako bi e dobila odgovarajuća funkcija. Slika 9. Međuobna analizička veza između (), v() i a() Ukoliko je poznaa funckija (), derivacijom po vremenu e dobijaju prvo zakon brzine, a zaim i ubrzanja. = () v = d a = dv Ukoliko je poznaa funkcija v(), derivaciom po vremenu e dobije zakon brzine, dok primjenom inegrala e dobija zakon pua. v = v() a = dv d = v() 0 0 Ukoliko je poznaa funkcija a(), jednačina zakona brzine i pua e dobijaju inegraljenjem prvo jednačine ubrzanja za brzinu, a zaim inegraljenjem jednačine brzine za zakon pua. v a = a() dv = a v 0 0 d = v() 0 0 U lučaju kada u pu, brzina i ubrzanje dae kao međuobno zavine funkcije, ada e jednačine pua, brzine i ubrzanja po vremenu dobijaju meodom razdvanja promjenljivih ako da na jednoj rani jednakoi bude funkcija i njen odgovarajući diferencijal. Nakon oga e vrši inegraljenje obe rane jednakoi, gdje e dobija konačan oblik raženog izraza.
Ako je poznaa jednačina brzine u zavinoi od pua (v = v()), izraz za zakon pua e može dobii uvršavanjem veze između zakona pua i jednačine brzine e razdvajanjem promjenljivih. v = d = v() = d v() = d v() 0 Iz poljednjeg izraza e može dobii zakon pua (). Dalje e mogu izraz za brzinu i ubrzanje dobii kako je već ranije rečeno. Ako je poznaa jednačina ubrzanja u zavinoi od pua (a = a()), izraz e može proširii a d/d, kako bi e eliminiala jedna promjenljiva koja je višak. 0 a = a() = dv d d a()d = vdv a()d = vdv v 0 v 0 Iz poljednjeg izraza e dobije zavino brzine od pua (v()) koja e može dalje rješavai kako je ranije prikazano. Ukoliko je daa funkcija ubrzanja kao zavino od brzine (a = a(v)), jednačina e može riješii uvršavanjem veze između ubrzanja i brzine. a = a(v) = dv = dv a(v) Iz poljednjeg izraza je moguće odredii jednačinu brzine u zavinoi od vremena, iz koje e mogu odredii ubrzanje i pu kako je o već ranije rečeno.