Univerza v Ljubljani FS & FKKT Varnost v strojništvu doc.dr. Boris Jerman, univ.dipl.inž.str. Govorilne ure: pisarna: FS - 414 telefon: 01/4771-414 boris.jerman@fs.uni-lj.si, (Tema/Subject: VDPN -...) Prosojnice izdelane po viru: ### Upogib Opazujemo nosilec, ki je na enem koncu konzolno vpet, na drugem, prostem koncu pa obremenjen s silo F, ki deluje pravokotno na vzdolžno os nosilca (simetrala nosilca, narisana s črta-pika črto). Prosti konec nosilca se zaradi sile F povesi za vrednost f nosilec se upogne. poves f 1
Upogib Predpostavimo, da je nosilec sestavljena iz vlaken, ki so vzporedna z vzdolžno osjo nosilca (simetralo). Ko se nosilec upogne, se zgornja vlakna podaljšajo, spodnja pa skrajšajo, torej se v zgornjih vlaknih pojavi natezna, v spodnjih pa tlačna napetost. Vlakno, ki je najbolj oddaljeno od simetrale, se tudi najbolj deformira, zato se v njem pojavijo tudi največje napetosti. Vlakna, ki so bližje simetrali, se deformirajo manj, v njih pa so tudi manjše napetosti. Upogib Vlakna, ki ležijo v ravnini simetrale, se ne podaljšajo in ne skrajšajo, zato je upogibna napetost v njih enaka 0. Ta vlakna tvorijo nevtralno plast. Presek, ki je pravokoten na simetralo seka to plast v črti, ki jo imenujemo nevtralna os preseka. Presek ravnine, ki leži vzdolž nosilca in je pravokotna na nevtralno plast z nevtralno plastjo (ki je po deformaciji upognjena) tvori krivuljo, ki jo imenujemo elastična črta ali upogibnica. 2
Upogib Oblika upogibnice popisuje deformacijo nosilca pri upogibu in določa poves nosilca. Poves je tista veličina, za katero se poljubna točka vzdolžne osi premakne zaradi vpliva zunanje sile F. Enačbe upogibne trdnosti Opazujemo preseka AB in CD, ki ležita drug poleg drugega. Prvotno vzporedna prereza, sta se zaradi delovanja sila F nagnila, ostala pa sta še vedno ravna in pravokotna na os nosilca (Bernoullijeva hipoteza). 3
Enačbe upogibne trdnosti Razdalja x je oddaljenost preseka CD od prostega konca nosilca, kjer deluje sila F. V preseku CD nastopi upogibni moment: M = F x. Nasproti temu momentu delujeta natezna in tlačna napetost, ki morata nuditi zadosti velik odpor, da se nosilec ne zruši. Skozi točko N, ki leži na nevtralni plasti, potegnemo vzporednico s presekom AB ter dobimo presek C 1 D 1. Dolžini CC l ustreza raztezek zgornjega vlakna, dolžini D l D pa skrček spodnjega vlakna, katerega prvotna dolžina je bila enaka daljici MN. Enačbe upogibne trdnosti Za poljubno vlakno v razdalji y od nevtralne plasti je podaljšek enak daljici =. Iz podobnosti trikotnikov: trikotnika NC 1 C in trikotnika Nnm, sledi, da so spremembe v dolžini vlaken sorazmerne njihovim oddaljenostim od nevtralne osi. 4
Enačbe upogibne trdnosti Za materiale, za katere velja Hookov zakon: Če to enačbo (zapisano za l in l) vstavimo v prej zapisano razmerje: dobimo: in za tlačni (spodnji) del: Enačbe upogibne trdnosti Napetost v poljubnem vlaknu lahko določimo z napetostnim diagramom pri znani σ max. Ker padajo napetosti linearno proti nevtralni osi preseka in dosežejo v nevtralni osi vrednost nič, lahko narišemo sledeč diagram: 5
Enačbe upogibne trdnosti Napetost σ max v najbolj oddaljenem vlaknu določimo: Ker velja: in = = e = = _ e zapišemo napetost v poljubnem vlaknu, za y oddaljenem od nevtralne osi: up_z = e = _ = _ e Ker je koordinata y navzgor pozitivna, navzdol pa negativna, dobijo napetosti po zgornji enačbi tudi ustrezne predznake: + pri nateznih napetostih in pri tlačnih. _ = e up_ max _ z Enačbe upogibne trdnosti Pri uporabi teh enačb razlikujemo naslednje primere: 1. Materiali, ki imajo enako dopustno napetost za tlak in nateg (npr. jekla). Za nosilec se običajno izbere prerez, ki je glede na nevtralno os simetričen, saj je tedaj material upogibno najbolje izkoriščen. 2. Materiali, kjer sta dopustna napetost za nateg in tlak različni (npr. siva litina). Tu raje uporabimo nesimetrične prereze, s čimer se nevtralna os premakne iz sredine prereza, s čimer se doseže različne napetosti v natezni in tlačni coni, s tem pa tudi dobro izkoriščenost materiala: 6
Enačbe upogibne trdnosti Pri uporabi teh enačb razlikujemo naslednje primere: 3. Pri nosilcih, pri katerih so prerezi glede na nevtralno os simetrični W 1 = W 2, pa imajo vseeno različne vrednosti dopustnih napetosti v nategu in tlaku, moramo v izračunih upoštevati manjšo dopustno napetost. 4. Pri nosilcih z nesimetričnimi prerezi W 1 W 2, ki so iz materiala z enakimi dopustnimi napetostmi v nategu in tlaku, vzamemo v račun vedno manjši odporni moment (torej večjo dejansko napetost). Upogib DOPUSTNE NAPETOSTI IN DIMENZIONIRANJE Dopustne napetosti za upogib smo že prikazali v tabeli. So enake oz. podobne dopustnim nateznim oz. tlačnim napetostim in torej odvisne tudi od obremenitvenega primera in vrste obremenitve. Dimenzioniranje poteka s pomočjo ene od sledečih enačb: p_ max _ = p_ dop _ max _ = V spodnji enačbi e i pomeni e 1 ali e 2. p_ dop 7
Upogib UPOGIBNICA / ELASTIČNA ČRTA Ugotoviti moramo, za koliko se upogne nosilec zaradi vpliva zunanje sile. Zanima nas torej upogibnica (elastična črta) -črta, določena s presečiščem nevtralne plasti nosilca in upogibne ravnine. Ta črta je pri različnih obremenitvah različna in je vedno popolnoma splošne oblike. Lahko si mislimo, da je sestavljena iz več krožnih lokov, katerih polmeri so na različnih mestih nosilca različni. Polmer takega krožnega loka imenujemo tudi polmer ukrivljenosti. Upogib UPOGIBNICA / ELASTIČNA ČRTA Vzamemo enostransko vpet nosilec, obremenjen s silo F. Na elastični črti (osi nosilca) opazujemo majhen lok. V točkah M in N potegnemo pravokotnici na elastično črto, ki se sekata v točki O, ki je središče krožnega loka. Dolžini ON = OM = ρ imenujemo polmer ukrivljenosti, točko O pa središče ukrivljenosti. Skozi točko N potegnemo vzporednico preseku AB in dobimo dočki C in D. 8
Upogib UPOGIBNICA / ELASTIČNA ČRTA Dolžina C C ustreza raztezku l, D D pa skrčku l. Dolžina AC =. Iz podobnosti trikotnikov: sledi (e 1 označimo z e ): Iz Hook-ovega zakona smo že prej izpeljali: Dobimo: od koder se izrazi polmer ukrivljenosti. UPOGIBNICA / ELASTIČNA ČRTA Polmer ukrivljenosti: Upogib Polmer ukrivljenosti je odvisen v glavnem od materiala (E) in napetosti (σ), katero povzroča upogibni moment. V enačbo vstavimo namesto napetosti σ enačbo, za napetost pri upogibu: in dobimo: 9
F Upogib M up UPOGIBNICA / ELASTIČNA ČRTA r 1 r2 r 3 Pri konstantnem I x je polmer ukrivljenosti r i toliko manjši, kolikor je večji upogibni moment M x. (Manjši polmer ρ pomeni večjo ukrivljenost!) Torej ima najmanjšo vrednost radija ukrivljenosti na mestu maksimalnega upogibnega momenta - nosilec se tam najbolj ukrivi. Upogib UPOGIBNICA / ELASTIČNA ČRTA Vsaki dolžini x nosilca ustreza popolnoma določen y (poves): Krivuljo, po kateri se deformira nevtralna plast nosilca, imenujemo upogibnica. To lahko določimo tudi z rešitvijo diferencialne enačbe za radij ukrivljenosti poljubne krivulje, kjer se za radij ukrivljenosti upošteva zgoraj izpeljano enačbo: = 10
Upogib UPOGIBNICA / ELASTIČNA ČRTA Polmer ukrivljenosti (krivinski radij) poljubne krivulje se lahko določi po diferencialni enačbi: od koder se lahko izrazi: 2 1+ 2= 1+ = = kar ob predpostavki ničnosti kvadratnega člena majhnega števila prinese sledečo diferencialno enačbo upogibnice nosilca: y = = 1+ Primer Kolikšen je potreben premer primeževega ročaja, če deluje na koncu ročice sila roke F = 400 N in je dopustna upogibna napetost σ f dop = 120 MPa? 11
Primer Dvoročni vzvod je v točki "O" vrtljivo vpet, v točki A pa obremenjen s silo F 1 = 47 kn. Narišite diagram upogibnih momentov in izračunajte višino h vzvoda za presek I-I, če je b = h/4 in σ dop = 50 N /mm 2. Kako velika mora biti višina vzvoda v preseku II-II, če je širina za celo dolžino konstantna? Koliko znaša upogibna napetost v nevarnem preseku? Primer 12
Primer Primer 13
Primer = h 6 h =197,35 mm h=200 mm Presek z največjo obremenitvijo M max imenujemo tudi nevarni presek. Primer Na mestu M max (točka 0) ima nosilec obliko cevi dolžine 180 mm, z zunanjim premerom 240 mm in notranjim premerom 130 mm. Prerezna ravnina na mestu M max, vzporedna z ravninama I-I in II-II to cev prereže po sredini. Vztrajnostni moment se izračuna s pomočjo razlike vztrajnostnih momentov večjega pravokotnika ( celoten prerez širine 18 cm in višine 24 cm) in manjšega pravokotnika ( prerez luknje širine 18 cm in višine 13 cm). <σ fdop = 50 MPa 14