Elemente de Teoria. Chapter Spaţiu de probabilitate

Chapter 1 Elemente de Teoria Probabilităţilor 1.1 Spaţiu de probabilitate Pentru a defini conceptul de spaţiu de probabilitate, vom considera un experiment, al carui rezultat nu se poate preciza cu siguranţă inaintea efectuării lui, dar pentru care mulţtimea tuturor rezultatelor posibile este cunoscută. Numim eveniment elementar oricare din rezultatele efectuării experimentului considerat. Spre exemplu, in cazul aruncării unui zar, apariţia feţei cu numărul 5 este un eveniment elementar. Vom nota prin Ω mulţimea tuturor evenimentelor elementare (mulţimea tuturor rezultatelor posibile ale experimentului considerat). Numim eveniment o submulţime de a lui Ω (un eveniment este deci o mulţime de evenimente elementare). In general, vom nota evenimentele cu majuscule (spre exemplu A,B,C,...) iarevenimenteleelementarecuminuscule(spreexempluω, ω 1,ω 2,...)sauprin alte simboluri (spre exemplu prin 1, 2,..., 6 în cazul aruncării unui zar). Distingem două evenimente importante: evenimentul sigur (notat Ω): este evenimentul ce apare la fiecare efectuare a experimentului; evenimentul imposibil (notat ): este evenimentul ce nu apare la nici o efectuare a experimentului. Exemplul 1.1.1 La aruncarea unui zar (considerând Ω = {1, 2,..., 6}) putem consideracaevenimente: A :apariţia feţei 3 (adică A = {3}) B :apariţia unui număr par (adică A = {2, 4, 6}) C :apariţia unui număr mai mare sau egal cu 3 (adică C = {3, 4, 5, 6}) Exemplul 1.1.2 La aruncarea unui ban (considerând Ω = {B,S}) putem considera ca evenimente: 4

A 1 :apariţia banului (adică A 1 = {B}) A 2 :apariţia stemei (adică A 1 = {S}) Dat fiind un spaţiu Ω de evenimente elementare, pentru două evenimente A, B Ω introducem următoarele definiţii: Spunem că evenimentele A şi B sunt incompatibile dacă ele nu pot apare simultan la nici o efectuare a experimentului; Spunem că evenimentul A este conţinut in evenimentul B şi notăm A B, dacă realizarea evenimentului A atrage după sine realizarea evenimentului B; Definim reuniunea evenimentelor A şi B, notată prin A B, ca fiind evenimentul ce constă in realizarea lui A sau realizarea lui B; Definim intersecţia evenimentelor A şi B, notată prin A B, ca fiind evenimentul ce constă in realizarea simultană a evenimentelor A şi B; Definim evenimentul contrar evenimentului A, notat prin A c,cafiind evenimentul ce constă în nerealizarea evenimentului A; Definim diferenţa evenimentelor A şi B (in această ordine), notată prin A B, ca fiin evenimentul ce constă in realizarea lui A şi nerealizarea lui B. Spunem ca evenimentele A 1,A 2,...,A n Ω formează unsistem complet de evenimente dacă sunt două câte două incompatibile şi reuniunea lor este întreg spaţiul de evenimente Ω, adică dacă au loc: i) A 1 A 2... A n = Ω ii) A i A j =, oricare ar fi 1 i, j n Observaţia 1.1.3 Pentru a defini probabilitatea asociată unui eveniment A, o posibilitate ar fi sa repetăm experimentul de un numar n 1 de ori, şi să determinăm numărul ( frecvenţa) f n (A) de apariţii a evenimentului A in cele n repetări ale experimentului. Raportul fr n (A) = f n(a) n dă frecvenţa relativă a realizării lui A în cele n repetări ale experimentului, şi am putea defini probabilitatea evenimentului A ca fiind P (A) = lim fr f n (A) n(a) = lim n n n. Această definiţie ar prezenta însă lacune din punct de vedere matematic (spre exemplu garantarea existenţei limitei de mai sus, a independenţei valorii limitei de o eventuală repetare a experimentelor de către o altă persoană, şamd). 5

Pentru a defini conceptul de probabilitate asociată unui eveniment,vom folosi o abordare moderna, axiomatică. Începem prin a defini noţiunea de algebră / σ algebră, după cumurmează: Definiţia 1.1.4 Dată fiindomulţime nevidă Ω 6=, numim algebră /corpde părţi a lui Ω ofamilienevidă F P(Ω) ={A : A Ω} de părţi a lui Ω, cu proprietăţile: i) F este închisă la complementară, adică A F = A c F ii) F este închisă lareuniune,adică A, B F = A B F. Exemplul 1.1.5 Pentru Ω = {B,S}, F 1 = {, Ω} (algebra minimală ), F 2 = P(Ω) ={, {B}, {S}, Ω} (algebra maximală ) sunt algebre ale lui Ω. In general, pentru o algebră F arbitrară auneimulţimi de evenimente elementare Ω are loc F 1 F F 2, unde F 1 = {, Ω} şi F 2 = P(Ω) Propoziţia 1.1.6 Dacă F este o algebră a lui Ω, atunci au loc următoarele: a), Ω F b) A, B F = A B F c) Pentru orice n 1 şi A 1,...,A n F, avema 1... A n, A 1... A n F d) A, B F = A B, B A, A B def = (A B) (B A) F Definiţia 1.1.7 Dată fiind o mulţime nevidă Ω 6=, numim σ algebră /σ corp de părţi a lui Ω o familie nevidă F P(Ω) ={A : A Ω} de părţi a lui Ω, cuproprietăţile: i) F este închisă la complementară, adică A F = A c F ii) F este închisă la reuniuni numărabile, adică Are loc următoarea: A 1,A 2,... F = [ A n F. Propoziţia 1.1.8 Dacă F este o σ algebră aluiω, atunciaulocurmătoarele: a), Ω F b) Pentru orice n 1 şi A 1,...,A n F, avema 1... A n, A 1... A n F T c) Pentru orice şir de evenimente A 1, A 2,... F, avem F d) A, B F = A B def = (A B) (B A) F 6

Omulţime nevidă Ω pentru care s-a definit o σ algebră F se numeşte spaţiu măsurabil, şi se notează (Ω, F). Definiţia 1.1.9 Numim (măsură de) probabilitate pe spaţiul măsurabil (Ω, F) ofuncţie P : F [0, ) cu proprietăţile: i) P (Ω) =1 ii) Oricare ar fi evenimentele A 1,A 2,... F incompatibile (disjuncte) două câte două, avem Ã! [ X P A n = P (A n ). Definiţia 1.1.10 Numim spaţiu (câmp) de probabilitate complet aditiv un triplet (Ω, F,P) unde n 0 1 Ω 6= este mulţimea evenimentelor elementareş Feste o σ algebră a lui Ω; P este o măsură de probabilitate pe spaţiul masurabil (Ω, F). Are loc următoarea: Propoziţia 1.1.11 Dacă (Ω, F,P) este un spaţiu de probabilitate complet aditiv, atunci au loc următoarele: 1. P ( ) =0 2. P (A 1... A n )=P (A 1 )+...+ P (A n ),oricarearfi A 1,...,A n F disjuncte două câte două 3. P (A) P (B), oricarearfi A, B F cu A B 4. 0 P (A) 1, oricarearfi A F 5. P (A c )=1 P (A), oricarearfi A F 6. P (B A) =P (B) P (A), oricarearfi A, B F cu A B 7. P (A B) =P (A)+P (B) P (A B), oricarearfi A, B F. Demonstraţie. Exerciţiu. Exemplul 1.1.12 În cazul aruncării unui zar, putem considera ca spaţiu de probabilitate (Ω, F,P), unde Ω = {1, 2,...,6} F= P(Ω) ={, {1}, {2},...{6}, {1, 2}, {1, 3},...,{5, 6},...,{1, 2,...,6}} P : F [0, ), P ({1}) =P ({2}) =...= P ({6}) = 1 6 7

Exemplul 1.1.13 În cazul aruncării unui ban, putem considera ca spaţiu de probabilitate (Ω, F,P), unde Ω = {B,S} F= P (Ω) ={, {B}, {S}, {B,S}} P : F [0, ), P ({B}) =P ({S}) = 1 2 (sau P ({B}) =p, P ({S}) = 1 p, 0 <p<1, în cazul în care banul este măsluit ) Exemplul 1.1.14 În cazul aruncării a două monede, putem considera ca spaţiu de probabilitate (Ω, F,P), unde Ω = {(B,B), (B,S), (S, B), (S, S)} F= P (Ω) P : F [0, ), P ((B,B)) = P ((B,S)) = P ((S, B)) = P ((S, S)) = 1 4 1.1.1 Exerciţii 1. În câte moduri se pot forma cuvinte cu 3 litere a, b, c? 2. La un examen se prezintă 2 băieţi si 3 fete. Câte liste de rezultate )presupunând notele obţinute distincte) se pot obţine? Dar dacă rezultatele obţinute sunt afişate pe liste diferite pentru băieţi şi fete? 3. 4 cărţi de matematică, 3 cărţi de chimie şi două de geografie trebuiesc aranjate pe un raft, grupate pe subiecte. În câte moduri diferite se poate face aceasta? 4. În câte moduri diferite se pot acorda premiile I, II şi III la 5 elevi? 5. În câte moduri se pot acorda 3 menţiuni la 5 elevi? 6. În câte moduri se poate forma un comitet de 3 persoane din 20 de oameni? 7. Câte grupuri de 5 persoane, formate din 2 bărbaţi şi 3 femei se pot forma cu 5 bărbaţi şi 7 femei? 8. Fie E, F şi G trei evenimente. Să se descrie evenimentele: (a) Numai E (b) E şi G dar nu F (c) Cel puţin unul din evenimentele E, F, G (d) Cel puţin două din evenimentele E, F, G (e) Toate trei evenimentele E, F, G (f) Nici unul din evenimentele E, F, G (g) Cel mult unul din evenimentele E, F, G 8

(h) Cel mult două din evenimentele E, F, G (i) Exact două din evenimentele E, F, G (j) Cel mult trei din evenimentele E, F, G 9. Să se simplifice expresiile: (a) (E F ) (E F c ) (b) (E F ) (E c F ) (E F c ) (c) (E F ) (F G) 10. Să se demonstreze inegalitatea lui Boole: Ã n! \ nx P E i P (E i ) i=1 11. Dacă P (E) =0.9 şi P (F )=0.8, să se demonstreze că P (E F ) 0.7. Mai general, să se demonstreze inegalitatea lui Bonferroni: i=1 P (E F ) P (E)+P (F ) 1. 12. Să se arate că ăprobabilitatea ca exact unul din evenimentele E şi F are loc este P (E)+P (F ) P (E F ) 13. Să se demonstreze relaţia 14. Să se demonstreze relaţia P (E F c )=P (E) P (E F ) P (E c F c )=1 P (E) P (F )+P (E F ) 15. O urnă conţine M bile negre şi N bile albe. Dacă din urnă se extrag r bile, care este probabilitatea ca exact k să fie bile albe? Dar dacă N = k =1? 9

1.2 Continuitatea măsurii de probabilitate Considerăm un spaţiu de probabilitate (Ω, F, P) arbitrar fixat. Una din conceptele importante în Analiză este cel de continuitate al unei funcţii. Reamintim că ofuncţie reală devariabilăreală f : R R este continuă in punctul x dacă lim f(y) =f(x), (1.1) y x sau echivalent (caracterizarea cu şiruri a continuităţii) daca pentru orice şir x n convergent la x avem lim f(x n)=f(x), (1.2) n adică dacă limita comută cu funcţia f lim n f(x n)=f ³ lim n x n. (1.3) In secţiunea de faţă vom vedea, că pentrudefiniţia corespunzătoare a limitei unui şir de mulţimi, măsura de probabilitate (funcţia) P este o funcţie continuă de mulţime. Pentru aceasta, introducem mai întâi următoarea: Definiţia 1.2.1 Dat fiind şirul de evenimente (F n ) n 1 F, definim evenimentele: S i) lim inf F n = T F i F i=n T ii) lim sup F n = S F i F i=n iii) Dacă lim inf F n =limsupf n,definim limita şirului F n (notată lim F n ) prin lim F n def = liminff n = lim sup F n F Are loc următoarea: Propoziţia 1.2.2 Fie (F n ) n 1 F un şir arbitrar de evenimente. Au loc următoarele: i) lim inf F n lim sup F n ii) Dacă (F n ) n 1 este un şir crescător de evenimente (adică dacă F 1 F 2...), atunci există limita şirului F n şi are loc [ lim n = n F n (adică limita şirului F n este reuniunea tuturor evenimentelor F n ) iii) Dacă (F n ) n 1 este un şir descrescător de evenimente (adică dacă F 1 F 2...), atunci există limita şirului F n şi are loc lim F n = n \ (adică limita şirului F n este intersecţia tuturor evenimentelor F n ). F n 10

Demonstraţie. i) Să observăm că pentrum, n 1 arbitrar fixaţi are loc incluziunea \ [ F i F m n F i. i=m Cum n 1 este arbitrar, obţinem \ \ F i i=m i=n i=n [ F i = lim sup F n, oricare ar fi m 1. Rezultă de aici că reuniunea tutror mulţimilor din membrul stâng al acestei incluziuni este de asemenea conţinută in membrul drept, adică lim inf F n = [ m=1 i=m \ F i lim sup F n, incheiând demonstraţia. ii) Să observăm că deoarece F n este un şir crescător, avem pentru orice n 1, şi deci avem: [ \ [ lim inf F n = F i = F n. i=n De asemenea, avem \ [ [ lim sup F n = F i F i = lim inf F n, i=n i=1 T F i i=n = F n şi cum din punctul anterior avem şi incluziunea contrară, lim inf F n lim sup F n, rezultă că avem egalitatea adică limita şirului F n există, şi are loc lim inf F n =limsupf n, lim n F n = lim inf F n = [ F i. S iii) Similar cu punctul anterior, sa observăm ca avem in acest caz F i = F n pentru orice n 1, şi deci avem: lim sup F n = \ i=n [ \ F i = F n. i=n 11

De asemenea, avem lim inf F n = [ i=n \ [ F i F i =limsupf n, şi cum din punctul i) avem şi incluziunea contrară, lim inf F n lim sup F n, rezultă că avem egalitatea adică limita şirului F n există, şi are loc încheiând demonstraţia propoziţiei. i=1 lim inf F n =limsupf n, lim n F n = lim sup F n = \ F i, Observaţia 1.2.3 Să observăm că un eveniment elementar ω aparţine evenimentului lim inf F n = S T F i dacă şi numai dacă existăunindicen 1 cu i=n T proprietatea că ω F i, adică dacă ω aparţine tuturor evenimentelor F m pentru m n. Evenimentul lim inf F n este aşadar format din toate evenimentele i=n elementare ce aparţin tuturor evenimentelor F n,începânddelaunanumitrang. Similar se poate arăta că evenimentul lim sup F n este format din toate evenimentele elementare ω ce aparţin unui număr infinit de evenimente F n (adică există unşir n 1 <n 2 <... astfel încât ω F n1 F n2...). Observaţia 1.2.4 Se poate arăta că definiţiile pentru lim inf şi lim sup din Definiţia 1.2.1 corespund celor pentru numere reale, în următorul sens: notând cu I F : Ω {0, 1} funcţia caracteristică auneimulţimi F Ω, definită prin ½ 1, I F (ω) = dacă ω F 0, dacă ω Ω F, se poate arăta căaulocurmătoarele egalităţi: i) lim inf F n = {ω Ω : lim inf I Fn (ω) =1} ii) lim sup F n = {ω Ω : lim sup I Fn (ω) =1} iii) Dacă există lim n F n,atunci lim F n = n n ω Ω : există lim I F n n (ω) şi o lim I F n n (ω) =1 Cu această pregătire putem demonstra următoarea proprietate de continuitate a măsurii de probabilitate P, ca o funcţie de mulţime: Propoziţia 1.2.5 (Continuitatea măsurii de probabilitate) Dacă (F n ) n 1 F este un ţir de evenimente pentru care există lim n F n,atunci ³ P lim F n = lim P (F n). n n 12

În particular, dacă (F n ) n 1 este un şir crescător de evenimente atunci are loc Ã! [ P F n = lim P (F n), n iar dacă (F n ) n 1 este un şir descrescător de evenimente are loc Ã! \ P F n = lim P (F n) n Demonstraţie. Considerăm mai întâi cazul particular ăn care F 1 F 2...este un şir crescător de evenimente (şi deci conform Propoziţiei 1.2.2 lim n F n = S F n în acest caz). Să notăm E 1 = F 1 E 2 = F 2 F 1 E n = F n + F n 1, n 2 şi să observăm că evenimentelee n sunt incompatibile (E i E j = for i 6= j) şi au loc relaţiile N[ E n = F N, oricare ar fi N 1, şi Avem ³ P lim F n n [ [ F n = E n. Ã! Ã [! [ = P F n = P E n = X P (E n ) = lim N = lim N P NX P (E n ) Ã [ N! E n = lim P (F N). N Să considerăm acum cazul în care F 1 F 2... este un şir descrescător de evenimente. Notând E n = Fn c = Ω F n, n 1, (E n ) n 1 formează unşir crescător de evenimente. Conform demonstraţiei anterioare avem deci ³ P lim n E n = lim n P (E n), 13,

sau echivalent de unde obţinem adică Ã! [ P (Ω F n ) Ã! \ 1 P F n à \ P = lim n P (Ω F n), Ã! \ = P Ω F n = lim P (Ω F n) n = 1 lim P (F n), n F n! = lim n P (F n). Pentru cazul general, să presupunem căexistă lim n F n,şi deci lim inf F n = lim sup F n. Conform demonstraţiilor anterioare avem: \ P (lim sup F n )=P( şi similar [ P (lim inf F n )=P( [ i=n F i {z } ) şir descrescător \ i=n F i {z } ) şir crescător = lim P ( [ F i ) = lim sup P ( n i=n = lim P ( \ F i ) = lim inf P ( n i=n [ F i ) lim sup P (F n ), i=n \ F i ) lim inf P (F n ). Din inegalităţile anterioare (şi folosind faptul că lim inf lim sup) rezultă P (lim inf F n ) lim inf P (F n ) lim sup P (F n ) P (lim sup F n ), şi cum lim inf F n = lim sup F n, rezultăcăavemexistă lim n P (F n ) (deoaerece lim inf P (F n )=limsupp (F n ))şi are loc ³ P lim F n = lim P (F n), n n încheiând demonstraţia. Are loc următoarea Propoziţia 1.2.6 (Inegalitatea lui Boole) Pentru un şir (F n ) n 1 F de evenimente are loc inegalitatea Ã! [ X P F n P (F n ). i=n 14

Demonstraţie. Definim E 1 = F 1 E 2 = F 2 F 1 E 3 = F 3 (F 1 F 2 ) E n = F n (F 1... F n 1 ), n 2. Observăm că evenimentelee n sunt incompatibile (E i E j = pentru i 6= j) şi E n = F n.avem încheiând demonstraţia. 1.2.1 Exerciţii P ( F n ) = P ( E n ) X = P (E n ) (E n F n ) = X P (F n ), 15

1.3 Probabilitate condiţionată Considerăm un spaţiu de probabilitate (Ω, F, P). Definiţia 1.3.1 Pentru un eveniment B F cu P (B) > 0 arbitrar fixat, definim probabilitatea condiţionată de evenimentul B (notată P ( B) :F R) prin raportul P (A B) P (A B) =, A F. (1.4) P (B) Exemplul 1.3.2 Un producător ce asamblează componente electronice determină cădin500 de piese asamblate, unele sunt greşit asamblate (G), iar unele conţin părţi defecte (D), conform diagramei alăturate. Ω 465 G D 20 10 5 Figure 1.1: Spa ţiul de probabilitate Ω din Exemplul 1.3.2 Presupunând că se extrage arbitrar o piesă dincele500 asamblate, probabilitatea acesteia de a avea părţi defecte este P (D) = 15 500 = 3 100. Aceeaşi probabilitate, în cazul în care se alege însă numaidintrepieselegreşit asamblate este Să observăm că P (D G) = P (D G) P (G) = 10 30 = 1 3. P (D G) = 10 500şi P (Dc G) = 20 500, şi deci raportul P (D G) P (D c G) este egal cu 1 2. 16

Alegând deci ca şi spaţiu de probabilitate G (în loc de Ω), cum suma probabilităţilor unei piese de a fi defecte (D) saunu(d c )esteegalăcu1, rezultăcă trebuie să avem P (D G) = 1 3şi P (Dc G) = 2 3, regăsind rezultatul obţinut folosind Definiţia 1.3.1 a probabilităţii condiţionate. Aceasta explică de ce în definiţia (1.4) a probabilităţii condiţionate P (A B) trebuie să împărţim prin P (B) )pentru a obţine rezultatul corect). Are loc următoarea: Teorema 1.3.3 Dacă (Ω, F,P) este un spaţiu de probabilitate fixat şi B F este un eveniment cu P (B) > 0, atuncip ( B) este o măsură de probabilitate pe (Ω, F) (adică (Ω, F,P ( B)) este de asemeni un spaţiu de probabilitate). Demonstraţie. Verificăm axiomele probabilităţii: P (A B) = P (A B) P (B) P (Ω B) = P (Ω B) P (B) 0, pentru orice eveniment A F = P (B) P (B) =1 Dacă (A n ) n 1 F sunt evenimente independente două câte două, atunci şi evenimentele (A n B) n 1 sunt independente două câte două, şi avem: P ( A n B) = P (( A n ) B) P (B) = P ( (A n B)) P (B) P = P (A n B) P (B) X P (A n B) = P (B) X = P (A n B), adică P ( B) verifică axiomele probabilităţii (este o măsură de probabilitate pe (Ω, F)). Următoarea formulă este utilă în exerciţii pentru calculul probabilităţilor de intersecţie a anumitor evenimente: Propoziţia 1.3.4 (Formula de înmulţire a probabilităţilor) Dacă A 1,...,A n F cu P (A 1... A n 1 ) > 0 atunci are loc P (A 1... A n )=P (A 1 ) P (A 2 A 1 ) P (A 3 A 1 A 2 )... P (A n A 1...A n 1 ). 17

Demonstraţie. Folosind definiţia probabilităţii condiţionate avem P (A 1 ) P (A 2 A 1 ) P (A 3 A 1 A 2 )... P (A n A 1... A n 1 )= = P (A 1 ) P (A 2 A 1 ) P (A 3 (A 1 A 2 ))... P (A n (A 1... A n 1 )) P (A 1 ) P (A 1 A 2 ) P (A 1... A n 1 ) = P (A 1 ) P (A 1 A 2 ) P (A 1 A 2 A 3 )... P (A 1... A n 1 A n ) P (A 1 ) P (A 1 A 2 ) P (A 1...A n 1 ) = P (A 1... A n 1 A n ) Următoarea formulă este de utilă în aplicaţii, atunci când spaţiul Ω al evenimentelor se poate partiţiona în mod convenabil (reamintim că o partiţie a lui Ω este formată din evenimente incompatibile A 1,A 2,...A n,acărui reuniune este Ω): Teorema 1.3.5 (Formula probabilităţii totale) Daca evenimentele A 1,...,A n F formează opartiţie disjunctă aluiω şi P (A 1 ),...,P (A n ) > 0, atunci pentru orice B F are loc egalitatea P (B) =P (B A 1 ) P (A 1 )+...+ P (B A n ) P (A n ). Demonstraţie. Deoarece evenimentele A 1,...,A n formează opartiţie disjunctă aluiω (adică n i=1 A i = Ω şi A i A j = oricare ar fi i 6= j), avem P (B) = P (B Ω) = P (B ( n i=1 A i)) = P ( n i=1 (B A i )) nx = P (B A i ) = = i=1 nx P (B A i ) P (A i ) P (A i ) nx P (B A i ) P (A i ) i=1 i=1 Teorema 1.3.6 (Formula lui Bayes) Dacă evenimentele A 1,...,A n F formează o partiţie disjunctă aluiω şi P (A 1 ),...,P (A n ) > 0, atunci pentru orice B Ω cu P (B) > 0 şi orice i =1,...n are loc P (A i B )= P (A i) P (B A i ) P (B) = P (A i ) P (B A i ) P (B A 1 ) P (A 1 )+...+ P (B A n ) P (A n ) Demonstraţie. Conform definiţiei probabilităţii condiţionate, avem: P (A i ) P (B A i ) P (B) = P (A i) P (B A i) P (A i ) P (B) 18 = P (B A i) P (B) = P (A i B ).

Cea de-a doua egalitate din enunţ rezultă folosind formula probabilităţii totale (înlocuind P (B) prin P (B A 1 ) P (A 1 )+...+ P (B A n ) P (A n )). 1.3.1 Exerciţii 1. Se aruncă două zaruri. Să se calculeze probabilitatea ca primul zar să fie 6, ştiind că suma celor două zaruri este 9. 2. O monedă se aruncă de 3 ori. Să se calculeze probabilitatea P (A B) unde A = {stema apare de mi multe ori decât banul}, B = {prima aruncare este stema}. 3. Se aruncă de2 ori un zar cu 4 feţe, şi presupunem că toate cele 16 rezultate posibile sunt egal probabile. Fie X, respectiv Y, rezultatul primei, respectiv celei de-a doua aruncări. Să se determine P (A i B), unde A i = {max (X, Y )=i}, i =1, 2, 3, 4, B = {min (X, Y )=2}. 4. Dintr-un pachet de 52 cărţi de joc se extrag cărţi fără înlocuire (cărţile extrasenuseintroducînpchetînaintedeextragereacelorlaltecărţi). Să se determine probabilitatea ca nici una din cărţile extrase să nu fie inima roşie. 5. Într-o urnă sunt5 bile albe şi 5 bile negre. Din urnă seextrag3 bile (fără întoarcerea bilelor în urnă înainte de extragerea celorlalte bile). Care este probabilitatea extragerii a 3 bile albe? Dar a 2 bile albe şi 1 neagră? 6. Trei trăgători trag asupra unei ţinte, probabilitatea trăgătorului i de a nimeri ţinta fiind p i, i =1, 2, 3. După tragere se constată căţinta a fost nimerită exact o dată. Care este probabilitatea ca trăgătorul 1 să fi nimerit ţinta? 7. La o petrecere, 3 bărbaţi îşi încurcă pălăriile. Care este probabilitatea ca nici unul să nu aibă propria pălărie? 19

1.4 Evenimente independente Fie (Ω, F, P) un spaţiu de probabilitate fixat. Definiţia 1.4.1 (Independenţa a două evenimente) Spunem că evenimentele A, B F sunt independente dacă P (A B) =P (A) P (B). În caz contrar spunem că evenimentele A şi B sunt dependente. Exemplul 1.4.2 Se aruncă dedouăoriunzarcu4 feţe, şi se consideră evenimentele: A = { prima aruncare este 1 }, B = { a doua aruncare este 1}, C = { suma aruncărilor este 4}, D = { suma aruncărilor este 5 }. Avem: P (A) = 1 4, P (B) = 1 4, P (C) = 3 16, P (D) = 4 16, P (A B) = 1 1 1, P (A C) =, P (A D) = 16 16 16, şi deci: evenimentele A şi B sunt independente (P (A B) = 1 16 = P (A) P (B)); evenimentele A şi C sunt dependente (P (A C) = 1 16 6= 3 16 = P (A) P (C)); evenimentele A şi D sunt dependente (P (A D) = 1 4 = P (A) P (D)). Observaţia 1.4.3 dacă evenimentele A şi B sunt independente şi P (B) 6= 0, atunci P (A B) P (A) P (B) P (A B) = = = P (A), P (B) P (B) şi deci realizarea/nerealizarea lui B nu modifică probabilitatea de realizare a evenimentului A (adicăinformaţia despre evenimentul B nu dă nici o informaţie suplimentară desprerealizareaevenimentuluia). Observaţia 1.4.4 Dacă A şi B sunt evenimente incompatibile (disjuncte), ele nu sunt în general evenimente independente, deoarece (dacă P (A),P (B) 6= 0). P (A B) =06= P (A) P (B) Un alt tip de independenţă este independenţa condiţionată a două evenimente: 20

Definiţia 1.4.5 (Independenţa condiţionată adouă evenimente) Spunem că evenimentele A, B F sunt independente condiţionat de evenimentul C F dacă areloc P (A B C) P (C) =P (A C) P (B C). În caz contrar spunem că evenimentele A şi B sunt dependente condiţionat de evenimentul C. Observaţia 1.4.6 Dacă P (C) 6= 0,relaţia anterioară se poate scrie sub forma P (A B C) = P (A B C) P (C) = P (A C) P (B C) = P (A C) P (B C), P (C) P (C) ceea ce arată că evenimentele A şi B sunt independente condiţionat de evenimentul C dacă ele sunt independente pe spaţiul de probabilitate (Ω, F,P ( C)). Observaţia 1.4.7 În general, nu există nici o implicaţie între independenţa a două evenimente si independenţa condiţionată a două evenimnete (adică, in general, independenţa a două evenimente nu implică independenţa lor condiţionată, şi nici independenţa condiţionată nu implică independenţa), aşa după cum rezultă din următoarele două exemple. Exemplul 1.4.8 se aruncă dedouăoriunbanşi se consideră evenimentele: A = { prima aruncare este stema } B = { a doua aruncare este stema } C = { cele două aruncări au rezultate diferite }. Se verificăuşor căavemp (A C) =P (B C) = 1 2,P (A B) = 1 4 şi P (A B C) = 0, şi deci evenimentele A şi B sunt independente (P (A B) = 1 4 = P (A) P (B)) dar nu sunt independente condiţionat de evenimentul C (P (A B C) =06= = P (A) P (B)). 1 4 Exemplul 1.4.9 Se alege cu probabilitate 1/2 dintre două monede,una albă şi una neagră, şi se aruncă monedaaleasădedouăori. Presupunemcă pentru moneda albă stema apare cu probabilitate 0.99, iar pentru cea neagră stema apare cu probabilitate 0.01. Considerăm evenimentele: A = { prima aruncare este stema } B = { a doua aruncare este stema } C = { moneda aleasă afostceaalbă }. Se verifică uşor că avemp (A B C) =0.99 2, P (A C) =P (B C) =0.99, şi deci evenimentele A şi B sunt independente condiţionat de evenimentul C. Evenimentele A şi B sunt însă dependente, deoarece (folosind formula probabilităţii totale cu n =2, A 1 = C şi A 2 = C c ), avem: P (A) = P (A C) P (C)+P (A C c ) P (C c ) = 0.99 1 2 +0.01 1 2 = 1 2, 21

şi similar P (B) = 1 2,şi deci P (A B) = P (A B C) P (C)+P (A B C c ) P (C c ) = 0.99 2 1 2 +0.012 1 2 = 0.4901 6= 1 = P (A) P (B). 4 Definiţia 1.4.10 (Independenţa unui număr finit de evenimente) Spunem că evenimentelea 1,A 2,...,A n F (n 2) sunt independente dacă arelocrelaţia P (A i1 A i2... A im )=P (A i1 ) P (A i2 )... P (A im ), (1.5) oricare ar fi m {2,...,n} şi indicii 1 i 1 <i 2 <...<i m n. În caz contrar spunem că evenimentelea 1,A 2,...,A n F sunt dependente. Observaţia 1.4.11 Dacă evenimentele A 1,...,A n sunt independente douăcâte două, nu rezultă în general că ele sunt independente, după cum rezultă din următorul exemplu: Exemplul 1.4.12 Se aruncă de două ori o monedă, şi se consideră evenimentele: A = { prima aruncare este stema }, B = { a doua aruncare este stema }, C = { cele două aruncări sunt diferite }. Se verifică faptul că evenimentele A şi B, A şi C, respectiv evenimentele B şi C sunt independente, dar evenimentele A, B, C nu sunt independente, deoarece P (A B C) =06= 1 2 1 2 1 = P (A) P (B) P (C). 2 Observaţia 1.4.13 În cazul n =3atreievenimenteA 1,A 2,A 3 F, condiţia (1.5) de mai sus revine la Are loc următoarea: P (A 1 A 2 ) = P (A 1 ) P (A 2 ), P (A 1 A 3 ) = P (A 1 ) P (A 3 ), P (A 2 A 3 ) = P (A 2 ) P (A 3 ), P (A 1 A 2 A 3 ) = P (A 1 ) P (A 2 ) P (A 3 ). Propoziţia 1.4.14 Evenimentele A 1,A 2,...,A n F sunt independente dacă şi numai dacă areloc ³ P ea1 A e 2... A n e ³ ³ ³ = P ea1 P ea2... P ean, (1.6) oricare ar fi A e i {A i,a c i }, i =1, 2,...,n. 22

Demonstraţie. Pentru implicaţia directă, să presupunem că are loc relaţia (1.5), şi să demonstrăm că are loc şi relaţia (1.6). Să observăm că dacă e A i = A i, 1 i n, atunciarelocrelaţia (1.6). Avem: P (A 1... A n 1 A c n) = P ((A 1... A n 1 ) (A 1... A n 1 A n )) = P (A 1... A n 1 ) P (A 1... A n 1 A n ) = P (A 1 )... P (A n 1 ) P (A 1 )... P (A n 1 ) P (A n ) = P (A 1 )... P (A n 1 )(1 P (A n )) = P (A 1 )... P (A n 1 ) P (A c n), şi deci relaţia (1.6) are loc pentru e A n = A c n. În mod similar, în continuare se poate demonstra inductiv că relaţia (1.6) are loc oricare ar fi e A i {A i,a c i }, 1 i n. Reciproc, dacă arelocrelaţia (1.6), atunci alegând e A 1 = A 1,..., e A n 1 = A n 1 şi e An = A n, respectiv e A n = A c n,obţinem relaţiile: P (A 1... A n 1 A n ) = P (A 1 )... P (A n 1 ) P (A n ) P (A 1... A n 1 A c n) = P (A 1 )... P (A n 1 ) P (A c n), de unde prin adunare obţinem relaţia P (A 1... A n 1 ) = P (A 1... A n 1 (A n A c n)) = P ((A 1... A n 1 A n ) (A 1... A n 1 A c n )) = P (A 1... A n 1 A n )+P (A 1... A n 1 A c n) = P (A 1 )... P (A n 1 ) P (A n )+P (A 1 )... P (A n 1 ) P (A c n) = P (A 1 )... P (A n 1 )(P (A n )+P (A c n)) = P (A 1 )... P (A n 1 ), adică arelocrelaţia (1.5) pentru m = n 1 şi i 1 =1,...,i n 1 = n 1. În mod similar, inductiv se poate demonstra relaţia (1.5). Propoziţia următoare arată că dacă mai multe evenimente sunt independente, atunci lasând la o parte unele dintre ele, evenimentele rămase sunt de asemenea independente: Propoziţia 1.4.15 Dacă A 1,...,A n F sunt evenimente independente, atunci pentru orice m {2,...,n} şi orice indici 1 i 1 <...<i m n, evenimentele A i1,...,a im sunt de asemenea independente. Demonstraţie. Sădemonstrăm,spreexemplu,căevenimenteleA 1,...,A n 1 sunt independente. 23

Folosind propoziţia anterioară, avem: ³ P ea1... A n 1 e ³ = P ea1... A e ³ n 1 A n + P ea1... A e n 1 A c n ³ ³ ³ ³ = P ea1... P ean 1 P (A n )+P ea1... P ean 1 P (A c n) ³ ³ = P ea1... P ean 1 (P (A n )+P (A c n)) ³ ³ = P ea1... P ean 1, oricare ar fi A e i {A i,a c i }, 1 i n 1, şi din Propoziţia 1.4.14 rezultă că evenimentele A 1,...,A n 1 sunt independente. Definiţia 1.4.16 (Independenţa unui şir de evenimente) Spunem că evenimentele A 1,A 2,... F formează unşir de evenimente independente, dacă oricare ar fi m 2 şi indicii 1 i 1 <... < i m, evenimentele A i1,...,a im sunt independente (în sensul Definiţiei 1.4.10). Lema 1.4.17 (Lema Borel Cantelli) Fie A 1,A 2,... F un şir de evenimente. P i) Dacă P (A n ) < +, atuncip (lim sup A n )=0. P ii) Dacă P (A n )=+ şi evenimentele A 1,A 2,... sunt independente, atunci P (lim sup A n )=1. P Demonstraţie. Să presupunem căseria P (A n ) este convergentă. Folosind continuitatea măsurii de probabilitate (Propoziţia 1.2.5) şi Inegalitatea lui Boole (Propoziţia 1.2.6), obţinem: Ã! \ [ 0 P (lim sup A n ) = P A i = lim n P = = lim i=n n i=n X i=1 i=1 = 0, Ã [! A i i=n X P (A i ) n 1 X P (A i ) lim P (A i ) n i=1 X X P (A i ) P (A i ) seria P i=1 P (A i) fiind presupusăconvergentă. Obţinem deci în acest caz P (lim sup A n )= 0. i=1 24

Pentru partea a doua, să presupunem că seria P i=1 P (A i) este divergentă. Deoarece evenimentele A 1,A 2,... sunt independente, şi folosind inegalitatea pentru orice 1 n N fixaţi, avem: Ã! \ P 1 x e x, x 0, i=n A c i = = P à N \ i=n A c i NY P (A c i) i=n! NY (1 P (A i )) i=n NY i=n e P (A i) = e N i=n P (Ai). Trecând la limită cun,obţinem: Ã! \ P A c N i lim N e i=n P (Ai) = e i=n P (Ai) = e =0, şi deci i=n à \ P i=n A c i! =0, n 1. Folosind inegalitatea lui Boole (Propoziţia 1.2.6) obţinem: Ã! à [ \ X! \ P P =0, i=n A c i şi deci obţinem P ( S T i=n Ac i )=0. Trecând la complementară, obţinem Ã! Ãà \ [! c! à [ \! [ \ P (lim sup A i )=P A i = P =1 P încheiând demonstraţia. i=n i=n i=n A c i A c i i=n Observaţia 1.4.18 Primaparteademonstraţiei nu foloseşte independenţa evenimentelor A 1,A 2,..., dar această ipoteză este necesară pentru cea de-a doua parte, afirmaţia ii) a lemei nefiind adevarată în general fără această ipoteză, aşa după cum rezultă din următorul exemplu. A c i =1, 25

Exemplul 1.4.19 Considerăm şirul de evenimente A 1 = A 2 =...= A F cu P (A) (0, 1). Săobservăm că deoarecep (A 1 A 2 )=P (A) 6= P (A) P (A) = P (A 1 ) P (A 2 ),evenimentelea 1 şi A 2 (şi deci şi evenimentele A 1,A 2,...)sunt dependente. Avem X X P (A n )= P (A) =+, deoarece P (A) (0, 1), dar P (lim sup A n )=P Ã \ i=n! [ A i = P (A) (0, 1), şi deci P (lim sup A n ) 6= 1, ceea ce arată că punctul ii) al lemei Borel Cantelli nu este în general adevărat fără ipoteza suplimentară aindependenţei evenimentelor A 1,A 2,... 1.4.1 Exerciţii 1. Se aruncă de2 ori un zar cu 4 feţe. Caredintreevenimenteleindicatemai jos sunt independente? (a) A i = {prima aruncare este i}, B j = {a douaaruncareestej}, i, j = 1, 2, 3, 4; (b) A = {prima aruncare este 1}, B = {suma aruncărilor este 5} ; (c) A = {minimul aruncărilor este 2}, B = {maximul aruncărilor este 2}. 2. Se aruncă de 2 ori un zar, şi se consideră evenimentele: A = {prima aruncare este 1, 2 sau 3}, B = {prima aruncare este 3, 4 sau 5}, C = {suma aruncărilor este 9}. Să searatecă P (A B C) =P (A) P (B) P (C), darcăevenimentele A, B, C nu sunt independente. Observaţie: exerciţiul arată că P (A B C) =P (A) P (B) P (C) nu asigură independenţa evenimentelor A, B, C. 3. O persoană participă la un campionat de şah, având probabilitatea de câştigde0.3 cu jumătate din participanţi (de tip 1), 0.4 cu 1/4 din jucătorii rămaşi (de tip 2), şi de 0.5 cu restul jucătorilor (de tip 3). Care este probabilitatea de a căştiga o partidă cu un oponent ales arbitrar? Indicaţie: se foloseşte formula probabilităţii totale cu B = { se câştigă partida}, A i = { oponentul ales e de tip i }, i =1, 2, 3. 26

4. Se aruncăunzarcu4 feţe. Dacărezultatuleste1 sau 2, se mai aruncăzarul o dată, altfel ne oprim. Care este probabilitatea ca totalul aruncărilor să fie de cel puţin 4? 5. Un test de sânge este 95% eficient în detectarea unei boli (atunci când boala este de fapt prezentă). Cu toate acestea, testul poate da alarme false de 1%, pentru persoane care sunt de fapt sănătoase (adică, cu probabilitate de 0.01, când o persoană sănătoasă estetestată, testul indică faptul că aceasta este bolnavă). Dacă 0.5% din populaţie are această boală, care este probabilitatea ca o persoană care a testat pozitiv să aibă boala? Indicaţie: considerăm evenimentele A = {persoana are boala respectivă}, B = {rezultatul testului este pozitiv}, şi calculăm P (A B) = P (A)P (B A) P (B). 6. O scrisoare se află, cu probabilităţi egale într-unul din 3 sertare. Fie p i probabilitatea de a găsi scrisoarea în sertarul i, atuncicândeaseaflă în acest sertar. Care este probabilitatea condiţionată ca scrisoarea să seafle în sertarul i, datfiind că laocăutare în sertarul 1 ea nu a fost găsită? Indicaţie: notăm A i = {scrisoarea se află însertaruli}, B = {scrisoarea nu a fost găsită lacăutarea in sertarul 1}, şi calculăm P (A i B) = P P (B Ai ) P (A i ). P (A)P (B A) P (B),iarpentruP (B) folosim P (B) = 7. 3 cărţi de joc sunt identice, cu excepţia faptului că unaareambelefeţe roşii, una are ambele feţe negre, iar cea de-a treia are o faţă roşie şi una neagră. Se alege la întâmplare o carte şi se constată căareofaţă roşie. Care este probabilitatea ca cealaltă faţă este neagră? Indicaţie: răspunsul corect este 1 3! 27

1.5 Variabile aleatoare În practică, atunci când se efectuează un anumit experiment, în mod frecvent suntem în principal interesaţi de o anumită funcţie ce depinde rezultatul experimentului, şi nu de rezultatul în sine al experimentului. Spre exemplu, la aruncarea a două zaruri, deseori suntem interesaţi de suma valorilor obţinute, şi nu neapărat de valorile individuale ale zarurilor (spre exemplu, suntem interesaţi dacă suma celor două zaruri este 7, fără a conta dacă valorile celor două zaruri sunt (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) sau (6, 1)), iar la aruncarea repetată a unei monede, suntem interesaţi de numărul total de steme obţinute, şi nu neapărat de valorile stemă/ban obţinute. Aceste cantităţi de interes, mai pecis aceste funcţii reale ce depind de rezultatul unui anumit experiment, se numesc variabile aleatoare. Pentru o definiţie mai precisă, reamintim ca am notat prin B = B (R) =σ (S) σ-algebra mulţimilor boreliene pe R, adică cea mai mică σ algebră ce conţine toate mulţimile de forma S = {(a, b) :a<b, a,b R}. Observaţia 1.5.1 se poate arăta că putem înlocui mulţimea S de mai sus prin oricare din mulţimile: {(,b):b R} {(a, + ) :a R} {(a, b] :a, b, a, b R} {O : O -mulţime deschisă dinr}. Definiţia 1.5.2 Numim variabilă aleatoare(reală) pe spaţiul de probabilitate (Ω, F,P) ofuncţie f : Ω R cu proprietatea că pentru orice mulţime boreliană B B. X 1 (B) ={ω Ω : X (ω) B} F, Exemplul 1.5.3 La aruncarea a două monede,x (ω) = numărul de steme obţinut este o variabilă aleatoare pe spaţiul (Ω, F,P), unde Ω = {(S, S), (S, B), (B,S), (B,B)} F = P (Ω) P ({(S, S)}) =...= P ({(B,B)}) = 1 4, deoarece:, 0, 1, 2 / B {(B,B)}, 0 B şi1, 2 / B X 1 (B) = {(S, B), (B,S)}, 1 B şi 0, 2 / B F, {(B,B)}, 2 B şi 0, 1 / B...... oricare ar fi mulţimea boreliană B B. 28

Are loc următoarea propoziţie de caracterizare a variabilelor aleatoare: Propoziţia 1.5.4 X : Ω R este o variabilă aleatoarepespaţiul de probabilitate (Ω, F,P) dacă şi numai dacă are loc una din următoarele relaţii echivalente: a) X 1 ((,a)) = {ω Ω : X (ω) <a} F, oricarearfi a R; b) X 1 ((,a]) = {ω Ω : X (ω) a} F, oricarearfi a R; c) X 1 ((a, + )) = {ω Ω : X (ω) >a} F, oricarearfi a R; d) X 1 ([a, + )) = {ω Ω : X (ω) a} F, oricarearfi a R. Demonstraţie. Evident, dacă X este o variabilă aleatoare, cum (,a) F pentru orice a R, dindefiniţia 1.5.2 rezultă a). Reciproc, dacă are loc relaţia din a), să notăm cu A familia tuturor mulţimilor boreliene B B pentru care X 1 (B) F, adică A = B B : X 1 (B) F ª B. Să observăm că A este o σ-algebră, deoarece: A6= (R A, deoarece X 1 (R) =Ω F); Dacă B A, atuncix 1 (B c )=Ω X 1 (B) F, şi deci B c F; {z } F Dacă B 1,B 2,... A, atuncix 1 ( i=1 B i)= i=1 X 1 (B i ) F, şi deci {z } F i=1 B i F. Cum din ipoteză familia A conţine toate intervalele de forma (,a), a R, rezultă că B A (B este cea mai mică σ-algebră ceconţine toate intervalele de forma (,a)), şi deci avem X 1 (B) F, oricare ar fi B B, adică X este o variabilă aleatoare. Demonstraţie similară în cazurile b), c) şi d). Rezultatul următor ne arată ca infimumul/supremumul unui şir de variabile aleatoare este de asemenea o variabila aleatoare: Teorema 1.5.5 Dacă (X n ) n 1 este un şir de variabile aleatoare, atunci sunt de asemenea variabile aleatoare. X (ω) = inf n (ω), n 1 Y (ω) = supx n (ω), n 1 lim inf X n (ω) = sup inf k (ω), n 1 k n lim sup X n (ω) = inf X k (ω), sup n 1 k 1 29

Demonstraţie. a) Avem X 1 ((,a]) = ½ ¾ ω Ω : X (ω) = inf X n (ω) a n 1 = {X n (ω) a} F, {z } F şi deci conform propoziţiei anterioare X =inf n 1 X n este o variabilă aleatoare. b) În mod similar, avem: ½ ¾ Y 1 ([a, + ) = ω Ω : Y (ω) =supx n (ω) a n 1 = {X n (ω) a} F, {z } F şi deci conform aceleiaşi propoziţii X =sup n 1 X n este o variabilă aleatoare. c), d) Rezultă folosind a) şi b). În particular, obţinem următoarea Consecinţa 1.5.6 Dacă (X n ) n 1 este un şir de variabile aleatoare pentru care există limita X (ω) = lim n X n (ω), oricarearfi ω Ω, atuncix este o variabilă aleatoare. Demonstraţie. Dacă existălimitalim n X n,atunci X (ω) = lim n X n (ω) = lim inf X n (ω) = lim sup X n (ω), şi conform teoremei anterioare rezultă că X este o variabilă aleatoare. Are loc următoarea: Teorema 1.5.7 Dacă X şi Y sunt variabile aleatoare, atunci mulţimile următoare sunt măsurabile: Demonstraţie. Avem {X <Y} = {ω Ω : X (ω) <Y(ω)} F, {X Y } = {ω Ω : X (ω) Y (ω)} F. şi {X <Y} = {ω Ω : X (ω) <Y(ω)} = r Q {ω Ω : X (ω) <r} {ω Ω : Y (ω) >r} F, {z } {z } F F {X Y } = {X <Y} {z } F c F. 30

Definiţia 1.5.8 Ofuncţie ϕ : R R se numeşte măsurabilă dacă ϕ 1 (B) B, oricare ar fi B B omulţime boreliană. Observaţia 1.5.9 Se poate arăta că dacă o funcţie este continuă pe R atunci ea este măsurabilă (demonstraţia este similară propoziţiei de mai sus: se consideră familia A = B B : X 1 (B) B ª şi se arată căesteoσ-algebră ceconţine toate mulţimile deschise din R, şi deci A = B). Reciproca acestei afirmaţii nu este însă in general valabilă, după cumse poate observa considerând funcţia ϕ : R R definită de ϕ (x) = ½ 1, x (0, 1) 0, în rest., care este măsurabilă dar nu este continuă pe R (are discontinuităţi în punctele x =0şi x =1). Rezultatul următor ne arată cum putem construi noi variabile aleatoare: Teorema 1.5.10 Dacă ϕ : R R este o funcţie măsurabilă şi X este o variabilă aleatoare,atunciy = ϕ X este o variabilă aleatoare. Demonstraţie. Avem Y 1 (B) = (ϕ X) 1 (B) = X 1 (ϕ 1 (B)) F, {z } B şi deci Y = ϕ X este o variabilă aleatoare. Consecinţa 1.5.11 Dacă X este o variabilă aleatoare,atunci X p (p>0) şi ax + b (a, b R) sunt de asemenea variabile aleatoare. Demonstraţie. Se aplică teorema anterioară funcţiei continue (deci măsurabile) ϕ (x) = x p, respectiv ϕ (x) =ax + b. Rezultatul de mai sus se poate generaliza astfel: Definiţia 1.5.12 Ofuncţie ϕ : R n R se numeşte măsurabilă dacă ϕ 1 (B) B, oricare ar fi B B (R n ),undeb (R n ) este σ-algebra mulţimilor boreliene din R n, adică ceamaimică σ-algebră per n ce conţine toate mulţimile deschise din R n,sau,echivalent,toatemulţimile de forma (,a 1 )... (,a n ), a 1,...,a n R. 31

Are loc următoarea: Teorema 1.5.13 Dacă ϕ : R n R este o funcţie măsurabilă şi X 1,...,X n : Ω R sunt variabile aleatoare, atunci Y (ω) =ϕ (X 1 (ω),...,x n (ω)) este o variabilă aleatoare. Demonstraţie. Notând X (ω) =(X 1 (ω),...,x n (ω)),avemy (ω) =ϕ X, şi deci oricre ar fi B B (R n ) avem: Y 1 (B) = (ϕ X) 1 (B) = X 1 (ϕ 1 (B) {z } ) = X 1 (A), B(R n ) unde A = ϕ 1 (B) B (R n ). Să notăm A = A B (R n ):X 1 (A) F ª, şi săobservăm că A este o σ-algebrăceconţine in mulţimile de forma (,a 1 )... (,a n ),cua 1,...,a n R, deoarece n\ X 1 ((,a 1 )... (,a n )) = Xi 1 ((,a i )) F. {z } i=1 F Rezultă deci că A = B (R n ),şi deci Y 1 (B) F oricare ar fi B B (R n ), adică Y = ϕ (X 1 (ω),...,x n (ω)) este o variabilă aleatoare, încheiând demonstraţia. Consecinţa 1.5.14 Dacă X 1,...,X n sunt variabile aleatoare, atunci următoarele sunt de asemenea variabile aleatoare: nx ny a i X i (a 1,...,a n R), X i, i=1 i=1 Ã n! 1/p X k(x 1,...,X n )k p = X p i (p>0), i=1 min {X 1,...,X n }, max {X 1,...,X n }. Demonstraţie. Rezultă din teorema anterioară, considerând funcţiile continue (şi deci măsurabile) ϕ (x 1,...,x n )= P n i=1 a ix i, Q n i=1 x i, ( P n i=1 xp i )1/p, min {x 1,...,x n }, respectiv max {x 1,...,x n }. 1.5.1 Exerciţii 1. Dintr-o urnă ceconţine 20 de bile, numerotate de la 1 la 20, seextrag 3 bile (fără întoarcerea bilelor extrase în urnă). Dacă X este variabila aleatoare reprezentând maximul celor 3 numere extrase, să se determine variabila aleatoare X (valorile şi probabilităţile corespunzătoare). 32

2. Dintr-o urnă ceconţine 3 bile albe, 3 bile roşii şi 5 bile negre, se extrag 3 bile (fără întoarcerea bilelor extrase în urnă). Dacăpentrufiecare bilăalbă extrasă se câştigă 1 leu, şi pentru fiecare bilă neagră extrasă se pierde 1 leu, să se determine variabila aleatoare X reprezentând caştigul net obţinut în acest joc. 3. Se aruncă 2 zaruri şi se notează cu X produsul numerelor obţinute. Să se determine variabila aleatoare X. 4. Se aruncă 3 zaruri şi se notează cu X suma numerelor obţinute. Să se determine variabila aleatoare X. 5. 5 bărbaţi şi 5 femei sunt ordonaţi după scorurile obţinute la un examen (presupunem că scorurile obţinute sunt distincte şi egal probabile). Să se determine variabila aleatoare X reprezentând rangul primei femei în lista de rezultate. 6. Să se determine variabila aleatoare X repreyentând numărul de feţe ban minus numărul de feţe stemă obţinute la aruncarea de n ori a unei monede. Caz particular n =4. 7. Se aruncă de2 ori un zar. Să se determine următoarele variabile aleatoare: (a) Maximul celor două aruncări (b) Minimul celor două aruncări (c) Suma celor două aruncări (d) Diferenţa celor două aruncări(maiprecis, primaminusadouaarun- care). 8. La un examen cu 5 întrebări, fiecare având 3 răspunsuri posibile, care este probabilitatea de a obţine cel puţin 4 răspunsuri corecte doar ghicind răspunsurile? 33

1.6 Funcţia de distribuţie a unei variabile aleatoare Fie (Ω, F, P) un câmp de probabilitate complet aditiv. Dacă X : Ω R ovariabilă aleatoare, atunci mulţimile de forma {X <a} = {ω Ω : X (ω) <a} F (a R) sunt măsurabile, şi deci putem determina probabilităţile acestor evenimente. Avem următoarea: Definiţia 1.6.1 Dată fiind o variabilă aleatoarex : Ω R, funcţia F X : R [0, 1] definită de F X (a) =P (X <a), a R, se numeşte funcţia de distribuţie / funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X. Are loc următoarea propoziţie de caracterizare a funcţiei de distribuţie a unei variabile aleatoare: Propoziţia 1.6.2 Funcţia de distribuţie F = F X a unei variabile aleatoare X are următoarele proprietăţi 1. F ( ) = lim a F (a) =0; F (+ ) = lim a + F (a) =1; 2. F este nedescrescătoare, adică F (a) F (b) oricare ar fi a<b; 3. F este continuă lastânga,adică lim α%a F (α) =F (a). Reciproc, dacă ofuncţie F : R [0, 1] verifică proprietăţile 1 3, atunci este funcţia de distribuţie a unei variabile aleatoare (adică există o variabilă aleatoare X astfel incât F = F X ). Demonstraţie. Să presupunem că F = F X este funcţia de distribuţie a unei variabile aleatoare X. Să considerăm un şir arbitrar a 1 <a 2 <...cu lim n a n =+, şi să definim mulţimile A n = {ω Ω : X (ω) <a n } F. Cum şirul (a n ) n 1 este crescător, rezultă că (A n ) n 1 formează unşir crescător de evenimente, şi din continuitatea măsurii de probabilitate obţinem 1 = P (Ω) =P ( A n ) ³ = P lim n n = lim n) n = lim n) n = lim n), n 34

oricare ar fi şirul (a n ) n 1 cu lim n a n =+, şi deci lim a F (a) =1. Similar, considerând şirul descrescător a 1 >a 2 >...cu lim n a n =, mulţimile A n = {ω Ω : X n <a n } formează unşir descrescător de mulţimi cu A n =, şi din continuitatea măsurii de probabilitate obţinem 0 = P ( ) =P ( A n ) ³ = P lim n n = lim n) n = lim n) n = lim n), n oricare ar fi şirul descrescător (a n ) n 1 cu lim n a n =,şi deci lim α F (α) = 0. Să observăm că dacă a, b R cu a<b,atunci{x <a} {X <b} şi deci P (X <a) P (X <b), sau echivalent F (a) F (b), adică F este o funcţie nedescrescătoare. Pentru a demonstra continuitatea la stânga a funcţiei F,să considerăm un punct a R arbitrar fixat şi un şir crescător (a n ) n 1 cu lim n a n = a. Atunci A n = {X <a n } formează unşir crescător de mulţimi cu limita lim n A n = A n = {X <a}, şi din continuitatea măsurii de probabilitate obţinem F (a) = P (X <a)=p ( A n ) ³ = P lim n n = lim n) n = lim n) n = lim n), n oricare ar fi şirul (a n ) n 1 cu limita a, şi deci lim α%a F (α) =F (a), oricare ar fi a R, adică F este o funcţie continuă lastângaper. Exemplul 1.6.3 Funcţia de distribuţie a variabilei aleatoare X : Ω R dată de X (ω) =1pentru orice ω R este ½ 0, dacă a 1 F (a) =P (X <a)= 1, dacă a>1 1.6.1 Exerciţii 1. Pentru variabilele aleatoare indicate, să se determine funcţia de distribuţie corespunzătoare şi să se reprezinte grafic. µ 1 2 3 4 (a) X = 1/4 1/2 1/8 1/8 µ 1 2 3 (b) Y = 1/2 1/3 1/6 35

2. Se ştie că articolele produse de un anumit producător sunt defecte cu probabilitate de 0.1, independent unele de altele. (a) Să se determine variabila aleatoare X reprezentând numărul de piese defecte într-un lot de 4 piese produse. (b) Care este probabilitatea ca cel mult două piese produse într-un lot de 4 piese să fie defecte? 3. Să se determine probabilitatea obţinerii a n feţe stemă şi a n feţe ban la aruncarea a 2n monede? (rezultatele aruncărilor se presupun independente) 4. Fie X variabila aleatoare ce reprezintă diferenţa dintre numărul de feţe stemă minusnumărul de feţebanceseobţin la aruncarea de n ori a unui ban (aruncările se presupun independente). (a) Să se determine valorile posibile ale variabilei aleatoare X (b) În cazul n =3,săse determine variabila aleatoare X. 5. Se aruncă de două ori un zar. Să se determine (valori, probabilităţi) următoarele variabile aleatoare: (a) Maximul celor două aruncări; (b) Minimul celor două aruncări; (c) Suma celor două aruncări; (d) Valoarea primei minus celei de-a doua aruncări. 36

1.7 Variabile aleatoare discrete Numim variabilă aleatoare discretă ovariabilă aleatoare ce poate lua un număr cel mult numărabil de valori (adică fie unnumăr finit de valori, fie omulţime de valori numărabilă, adică alecărei elemente formează unşir). Notând cu x 1,x 2,... valorile posibile ale variabilei aleatoare X şi cu p i = P (X = x i ), i =1, 2,..., probabilităţile corespunzătoare, reprezentăm variabila aleatoare discretă X sub forma X = µ x1 x 2... p 1 p 2... Observaţia 1.7.1 Cum variabila aleatoare X ia numai valorile x 1,x 2,... cu probabilităţile corespunzătoare p 1,p 2,...,rezultăcăavem X p i =1 i 1 şi P (X = x) =0, oricare ar fi x R {x 1,x 2,...}. Graficul funcţiei de distribuţie F X a unei variabile aleatoare discrete X este ofuncţie în scară, ce are discontinuităţi la dreapta in punctele x i (salturi egale cu p i în aceste puncte). Câteva caracteristici numerice ale unei variabile aleatoare discrete: Media: este suma valorilor luate de variabila aleatoare înmulţite cu probabilităţile corespunzătoare: M (X) = X i 1. x i P (X = x i )= X i 1 x i p i, dacă această serie este absolut convergentă (în caz contrar, seria fie nu este convergentă, fie valoarea sumei se poate schimba dacă se rearanjează termenii x 1,x 2,... într-o altă ordine); Momentul de ordin r: este media variabilei aleatoare X r,adică M r (X) =M (X r )= X i 1 x r i p i ; Momentul centrat de ordin r: este media variabilei aleatoare (X M (X)) r µ r (X) =M ((X M (X)) r )= X i 1 (x i M (X)) r p i ; Dispersia: este momentul centrat de ordin doi, şi se mai notează σ 2 (X) =µ 2 (X) = X (x i M (X)) 2 p i ; i 1 Media de ordin r: m r =(M r (X)) 1/r. 37

1.7.1 Variabila aleatoare uniformă Modelează efectuarea unui experiment ce are ca rezultat un un număr finit de posibilităţi egal probabile, spre exemplu aruncarea unei monede, a unui zar, jocul la ruletă, etc. Ovariabilă aleatoare uniformă ceiavalorile1,...,n (n 1) estedeforma µ 1 2... n X = 1 n 1 n n... 1. Media şi dispersia variabilei aleatoare uniforme sunt respectiv σ 2 (X) = M (X) = = 1 n nx i=1 nx i=1 i 1 n = 1 n (n +1) n 2 µ i n +1 2 1 2 n nx i=1 i 2 n +1 n nx i + 1 n i=1 = 1 n (n +1)(2n +1) n 6 = n2 1 12. 1.7.2 Variabila aleatoare Bernoulli = n +1, 2 nx (n +1) 2 i=1 4 n +1 n (n +1) + 1 +1)2 n(n n 2 n 4 Numim experiment Berrnoulli un experiment ce poate rezulta în unul din două cazuriposibile, pecarelevomnumisucces (notat prin 1), respectiv insucces (notat prin 0). Notând prin p = P (X =1)probabilitatea succesului (şi deci q =1 p = P (X =0) este probabilitatea insuccesului), o variabilă aleatoare Bernoulli se poate reprezenta sub forma Media şi dispersia sunt şi respectiv X = µ 0 1 1 p p, p (0, 1). M (X) =0 (1 p)+1 p = p, σ 2 (X) =(0 p) 2 (1 p)+(1 p) 2 p = p (1 p) =pq. 38

1.7.3 Variabila aleatoare binomială Ovariabilă aleatoare X reprezentând numărul de succese obşinute în n repetări independente ale unui experiment Bernoulli în care probabilitatea succesului este p, senumeşte variabilă aleatoare binomială cu parametrii n şi p: µ 0 1... n X =, p 0 p 1... p n unde p i = P (X = i) =C i np i (1 p) n i, este probabilitatea obţinerii a i succese (şi a n i insuccese), i =0, 1,...,n. Observaţia 1.7.2 Să observăm că are loc relaţia nx p i = i=0 nx Cnp i i (1 p) n i =(p +(1 p)) n =1. i=0 Media şi dispersia sunt date de şi respectiv σ 2 (X) = M (X) = nx icnp i i (1 p) n i = np, i=0 nx (i np) 2 Cnp i i (1 p) n i = np (1 p) =npq. i=0 Are loc următoarea: Propoziţia 1.7.3 Dacă X este o variabilă aleatoare cu parametrii n şi p, atunci pentru i =0, 1,...,n, P (X = i) creşte, apoi descreşte, având un maxim pentru i =[(n +1)p] (cel mai mare număr întreg mai mic sau cel mult egal cu (n +1)p). Demonstraţie. Avem: P (X = i) P (X = i 1) = dacă şi numai dacă Cnp i i (1 p) n i (n i +1)p n i+1 = 1 i (1 p) Cn i 1 p i 1 (1 p) i (n +1)p, şi deci P (X = i) P (X = i 1) i (n +1)p, ceea ce arată că P (X = i) creşte, apoi descreşte, având un maxim pentru i = [(n +1)p]. 39

Exemplul 1.7.4 Se aruncă 4 monede, şi presupunem că aruncările sunt independente, în fiecare din ele probabilitatea de apariţie a stemei fiind 1/4. Atunci variabila aleatoare X ce reprezintă numărul de steme obţinut este o variabilă aleatoare binomială (eadănumărul de succese obţinut, apariţia stemei fiind considerată cafiind un succes) cu parametrii n =4şi p =1/2, sideciavem X = unde p k = C k 4 µ 0 1 2 3 4 = p 0 p 1 p 2 p 3 p 4 1 k 1 4 k, 2 2 k =0,...,4. µ 0 1 2 3 4 1 16 1.7.4 Variabila aleatoare geometrică Numim variabil[ aleatoare geometriocă cu parametrul p (0, 1) ovariabilă aleatoare reprezentând numărul de încercări efectuate într+un şir de experimente Bernoulli independente, având fiecare probabilitatea succesului egală cu p, pânălaobţinerea primului succes. Variabila aleatoare geometrică estedeci X = µ 1 2 3... p 1 p 2 p 3... unde p k = P (X = k) =(1 p) k 1 p (deoarece primele k 1 încercări sunt insuccese iar încercarea k este succes), k 1. 4 16, Observaţia 1.7.5 Relaţia P k=1 p k =1este verificată: X p k = k=1 = p X (1 p) k 1 p k=1 6 16 4 16 ³ 1+(1 p)+(1 p) 2 +... 1 = p 1 (1 p) = p 1 p = 1. Exemplul 1.7.6 Se aruncă în mod repetat un zar. Dacă X reprezintă numărul de aruncări pănă laprimaapariţie a feţei 1, atuncix este o variabilă aleatoare geometrică cu paramaterul p = 1/6 (probabilitatea de apariţie a succesului), şi spre exemplu probabilitatea ca faţa 1 să aparăpentruprimadatălaatreia încercarea este µ P (X =3)= 1 1 3 1 1 6 6 = 25 216 0.1157. 1 16, 40