3 Spaţii etrice Spaţii orate Spaţii Hilbert Spaţiile etrice au fost itroduse la îceputul secolului XX de ateaticiaul fracez M Fréchet şi costituie cadrul atural de prezetare a pricipiului cotracţiei, care stă la baza deostrării uor teoree fudaetale di ateatică, cu ar fi: teorea fucţiilor iplicite, teorea de existeţă şi uicitate petru ecuaţii şi sistee de ecuaţii difereţiale (itegrale) etc De aseeea, spaţiile etrice oferă u cadru suficiet de geeral, relativ siplu, petru studiul liitelor de fucţii (şiruri) şi a cotiuităţii fucţiilor 3 Spaţii etrice Pricipiul cotracţiei Defiiţia 3 O ulţie evidă X se ueşte spaţiu etric dacă există o fucţie d : X X + cu proprietăţile: a) d( x, y) 0, x, y X şi d( x, y) = 0dacă şi uai dacă x = y b) d( x, y) = d( y, x), x, y X (, c) (, y) d( x, z) + d( z, y) d x, x, y X Fucţia d se ueşte fucţia-distaţă sau etrica spaţiului Evidet, dacă Yd este de aseeea spaţiu etric X d ) este u spaţiu etric şi Y X, atuci (, ) Propoziţia 3 Dacă ( X, d ) este spaţiu etric, atuci: d( x, x ) d( x, x ) d( x, x ) d( x x ) x 3 4 3 +, 4, i X, i=,4 Deostraţie Di proprietatea c) a distaţei rezultă d( x, x) d( x, x3) + d( x3, x4) + d( x4, x) d( x3, x4) d( x3, x) + d( x, x) + d( x, x4) Ţiâd seaa şi de proprietatea b) obţie:
80 ANALIZĂ MATEMATICĂ d( x, x) d( x3, x4) d( x, x3) d( x x4) (, ) (, ) (, ) + (, ) +, (3) d x x d x x d x x d x x 3 4 3 4 (3) Di (3) şi (3) rezultă: euclidiaă (, ) (, ) (, ) d x x d x x d x x + d x, x 3 4 3 4 Exeple de spaţii etrice Mulţiea ϒ a uerelor reale este spaţiu etric î raport cu distaţa d( x, y) = x y, x, y ϒ Face observaţia că pe ϒ se pot itroduce şi alte distaţe, de exeplu: x y d( x, y) = x y sau d( x, y) = + x y Mulţiea = { x = x, x,, x ; xi, i, } K = este u spaţiu etric î raport cu distaţa defiită de d( x, y) = ax xi yi, ude x = ( x, K, x ) şi y = ( y, K, y ) i sut eleete oarecare di Verificarea proprietăţilor a)-c) este iediată 3 Mulţiea uerelor coplexe: = { z = x+ iy; x, y } este u spaţiu etric î raport cu distaţa d( z, z) = z z, z, z (reaiti că dacă z = x+ iy, atuci z = x + y ) 4 Fie E o ulţie oarecare şi fie B( E ) ulţiea fucţiilor reale şi ărgiite pe E, adică ulţiea fucţiilor M f > 0 astfel îcât f ( x) M f, x E f : E Mulţiea B( E ) este spaţiu etric î raport cu distaţa: d f, g = sup f( x) g( x) ; x E, f, g B( E) { } cu proprietatea că există (33) Existeţa ebrului drept di relaţia (3) rezultă di Teorea Verificarea proprietăţilor a)-c) este iediată 5 Orice ulţie X este spaţiu etric î raport cu distaţa trivială: ( daca x y d( x, y) = ( 0 daca x y U astfel de spaţiu etric u prezită iteres decât di puct de vedere teoretic X d u spaţiu etric Spue că u şir de eleete Defiiţia 3 Fie (, ) { x } di coverge la x, dacă şirul de uere reale d( x, x ) { }
3 Spaţii etrice Spaţii orate Spaţii Hilbert 8 coverge la 0, deci dacă ε > 0, ε astfel îcât d( x, x ) < ε, ε Vo folosi otaţia x x sau li x = x Exeple Dacă X = ϒ şi d( x, y) = x y, atuci { x } coverge la x dacă ε > 0, ε astfel îcât x x < ε, ε Regăsi astfel defiiţia cuoscută a şirului de uere reale coverget Fie X =, şi fie { x } u şir de eleete (vectori) di Fiecare eleet x va fi de fora x ( x, x,, x ) (,,, ) (, ) x = x x K x, atuci x = K, xi ϒ, i=, Dacă x dacă ε > 0, ε astfel îcât d x x < ε, Ţiâd seaa de defiiţia distaţei aceasta revie la: ε xi xi <ε, ε A obţiut astfel urătorul rezultat: Teorea 3 Şirul de eleete { } dacă şi uai dacă, i=, x i coverge î ϒ la x i, i=, x coverge î la eleetul x, Î cocluzie, covergeţa uui şir de eleete (vectori) di covergeţa pe copoete + De exeplu, şirul, (, 0 ) î 3 Fie X = şi d( z, z) = z z, z, z, revie la Teorea 3 U şir de uere coplexe { z }, ude petru, z = = x + iy, coverge î la z = x+ iy, dacă şi uai dacă x x şi î ϒ Deostraţie z z î dacă şi uai dacă li d( z, z) = li ( x x) + ( y y) = 0 Di iegalităţile evidete: { x x y y } y y ax, ( x x) + ( y y) x x + y y rezultă că z z î dacă şi uai dacă x x şi y y î ϒ B E ulţiea fucţiilor reale şi ărgiite pe E U şir de fucţii 4 Fie X = f coverge la f î { } B E dacă ε > 0, ε astfel îcât:
8 ANALIZĂ MATEMATICĂ d( f, f ) sup { f( x) f( x) } = < ε, ε x E Această defiiţie este evidet echivaletă cu urătoarea: ε > 0, ε astfel îcât f ( x ) f ( x ) <ε, ε şi x E Sub această foră recuoaşte defiiţia şirului uifor coverget (Defiiţia ) Face observaţia că î Defiiţia 3, faptul că E ϒ este lipsit de iportaţă, deci defiiţia şirului de fucţii uifor coverget are ses pe o ulţie E oarecare Di cele de ai sus rezultă: uai dacă Teorea 33 U şir de fucţii { f } coverge la f î u f f E Defiiţia 33 U şir de eleete { } B E dacă şi x ditr-u spaţiu etric X se ueşte fudaetal (Cauchy) dacă ε > 0, ε astfel îcât d( x, x ) < ε,, ε Dacă X = ϒ şi d( x, y) = x y, reobţie defiiţia şirului fudaetal de uere reale Defiiţia 34 U şir { x } se ueşte ărgiit dacă a X şi r > 0 astfel îcât d( x a) < r, Ν Pricipalele proprietăţi ale şirurilor de, eleete ditr-u spaţiu etric sut cocetrate î urătoarea teoreă: Teorea 34 Fie ( X, d ) u spaţiu etric i) Dacă x y y li d( x, y ) d( x, y) x şi atuci = ii) Orice şir coverget are liită uică iii) Orice şir coverget este fudaetal iv) Orice şir fudaetal este ărgiit v) Orice subşir al uui şir coverget este coverget şi are liita egală cu liita şirului iiţial Deostraţie i) Di Propoziţia 3 ave: d( x, y) d( x, y) d( x, x) + d( y, y) Cu d( x x) d( y y) li, = li, = 0, rezultă li d x, y = d x, y ii) Presupue că li x = x şi de aseeea li x = y Di i) rezultă d( x, y ) = li d( x, x) = 0, deci x = y
3 Spaţii etrice Spaţii orate Spaţii Hilbert 83 iii) Dacă x x, atuci ε > 0, astfel îcât ε d( x, x) ε ε Petru ε ave de aseeea, d( x, x) < Di proprietatea c) a distaţei rezultă: ε ε d( x, x) d( x, x) + d( x, x) < + =ε,, deci { x } este fudaetal iv) Fie { } ε ε <, x u şir fudaetal şi ε = Atuci, astfel îcât d x, x <,, Î particular, d x x <, Fie (, ) α= ax { d( x, x ) ; =,, K, } r = α Evidet, d( x x) r şi fie ax{, } { } v) Fie x { }, <,, deci x este ărgiit x Orice subşir al şirului { x } este la râdul său u şir de fora x, ude < < K< < K este u şir strict crescător de uere aturale Petru ε > 0, ε astfel îcât d( x, x ) < ε, ε Deoarece, rezultă d( x, x ) <ε, ε, deci x x A văzut că orice şir coverget este fudaetal Afiraţia reciprocă u este î geeral adevărată Există spaţii etrice care coţi şiruri fudaetale divergete Exeplu Fie X = şi (, ) d x y = x y, x, y Cosideră şirul x = + Acest şir este fudaetal î, deoarece este fudaetal î ϒ, dar u este coverget î deoarece li x = e Defiiţia 35 U spaţiu etric ( X, d ) se ueşte coplet, dacă orice şir fudaetal de eleete di X este coverget către u eleet di X Di criteriul geeral de covergeţă al lui Cauchy petru şiruri de uere reale d x, y = rezultă că ϒ este spaţiu etric coplet î raport cu distaţa euclidiaă = x y, x, y ϒ Teorea 35 Spaţiul este coplet Deostraţie Fie { x } u şir de eleete di Fiecare eleet x este de fora:
84 ANALIZĂ MATEMATICĂ Di iegalităţile evidete: (,,, ) x = x x K x xi xli ax xi xli = d( x, xl ) xi li i i= rezultă (ca î deostraţia Teoreei 3) că { } şi uai dacă x, x este fudaetal î dacă { x i} este fudaetal î ϒ, i=, Afiraţia di teoreă rezultă acu di Criteriul geeral de covergeţă al lui Cauchy petru şiruri de uere reale şi di Teorea 3 Îtr-adevăr, dacă { x } este fudaetal î, atuci { x i} este fudaetal î ϒ, deci coverget petru i=, Di Teorea 3 rezultă { x } coverget î Teorea 36 Spaţiul uerelor coplexe este coplet Deostraţie Dacă z = x + iy, atuci cofor Teoreei 3, z z = x+ iy dacă şi uai dacă x x şi y y î ϒ Î od aalog se arată că { z } este fudaetal dacă şi uai dacă { x } şi { y } sut fudaetale î ϒ Afiraţia rezultă acu (ca î Teorea 35) di criteriul geeral de covergeţă al lui Cauchy petru şiruri de uere reale Teorea 37 Spaţiul B( E ) al fucţiilor reale şi ărgiite pe E este coplet Deostraţie Di Teorea 33 rezultă că { f } coverge la f î B( E ) dacă şi uai u dacă f f Afiraţia di teoreă rezultă acu di Teorea, cu E observaţia că î deostraţia Teoreei 3 u a iterveit icăieri faptul că E Defiiţia 36 Fie ( X, d ) u spaţiu etric Se ueşte cotracţie pe X, orice aplicaţie T : X X cu proprietatea că există 0 α< astfel îcât d T( x), T( y) α d x, y, x, y X Teorea 38 (Baach) Dacă ( X, d ) este u spaţiu etric coplet şi T : X X este o cotracţie, atuci există z X, uic, astfel îcât T( z) = z Deostraţie Alege u puct oarecare x0 X şi otă cu
3 Spaţii etrice Spaţii orate Spaţii Hilbert 85 x= T( x0), x = T ( x ), K, x = T ( x ), Vo arăta că şirul { x } este fudaetal Îtr-adevăr, d( x, x) = d( T( x0), T( x) ) α d( x0, x) (, ) (, ) (, ) ( d x x3 = d T x T x αd x x α d x0, x) Pri iducţie copletă se arată că: d( x, x+ ) α d( x0, x), Î cotiuare ave (, + p) (, + ) + ( +, + ) + + ( + p, p) d x x d x x d x x K d x x + + + p d( x, x ) α +α + +α 0 = + p α α α K K d( x, x ) 0 α < d( x 0, x ),, p (34) α Deoarece 0 α <, ave α 0, deci ε > 0, ε, astfel îcât ( α) ε α <, Rezultă d( x0, x) ε d( x, x + p) < ε, ε şi p, deci { x } este şir fudaetal Cu X este coplet rezultă că z X astfel îcât x z Mai departe ave: ( ) ( ) ( ) ( ) d( z x ) +α d( x, z) < d z, T( z) d z, x + d x, T( z) = d z, x + d T x, T( z), Deoarece, cofor Teoreei 34 puctul i), ebrul drept tide la 0, rezultă d z, T( z ) = 0, deci T( z) = z Petru a deostra uicitatea puctului fix z, să presupue că z' X astfel îcât T( z ) = z Atuci ave: d( z, z ) = d( T( z), T( z )) α d( z, z ) Cu 0 α <, această iegalitate u poate avea loc decât dacă d( z, z ) = 0, adică dacă z = z şi cu aceasta teorea este deostrată Şirul { x }, obţiut porid de la u puct arbitrar x 0 X, pri relaţia de recureţă x = T( x ),, se ueşte şirul aproxiaţiilor succesive, iar etoda de obţiere a puctului fix z ca liita acestui şir, poartă uele de etoda aproxiaţiilor succesive E Picard a utilizat etoda aproxiaţiilor succesive cu ult îaite ca Baach să fi stabilit rezultatul său foarte geeral (Teorea 38) Di această cauză, această etodă se ai ueşte şi etoda Picard-Baach Petru a evalua eroarea î etoda aproxiaţiilor succesive, trece la liită după p î iegalitatea (34) şi obţie:
86 ANALIZĂ MATEMATICĂ α d( x, x) d( x 0, x ) (35) α Aşadar, dacă aproxiă pe z cu x face o eroare care este ai ică decât α d x 0 x α (, ) Teorea 38 are ueroase aplicaţii î ateatică Petru exeplificare, vo arăta cu poate fi folosită etoda aproxiaţiilor succesive la rezolvarea ecuaţiilor algebrice sau trascedete Fie ecuaţia F( x ) = 0, x [ ab, ] (36) Această ecuaţie se îlocuieşte cu ecuaţia echivaletă: x f ( x) x ab, (37) presupue că [ ] [ = ; [ ] Acest lucru se poate realiza de exeplu, dacă otă f ( x) = x+ F( x) Să f : ab, ab, ] este derivabilă şi există 0 α < astfel îcât f ( x) α, x [ ab, ] (38) Di Teorea Lagrage rezultă că x, y [ a, b], ξ ître x şi y astfel îcât f ( x) f ( y) = f ( ξ)( x y) Ţiâd seaa de (38) obţie: f ( x) f ( y) α x y, x, y [ a, b] (39) Di (39) rezultă că f este o cotracţie pe [ ab, ], iar di Teorea 38 rezultă că există o soluţie uică z a ecuaţiei 37) care se poate obţie cu etoda aproxiaţiilor succesive Di puct de vedere geoetric, orice soluţie a ecuaţiei (37) este abscisa uui puct de itersecţie ditre dreapta y = x şi graficul fucţiei y= f ( x) Pe figura () se poate urări şirul aproxiaţiilor succesive petru 0 < f ( x) α<, iar pe figura (), petru < α f ( x) < 0 y = f(x) y = f(x) z x x x 0 x 3 x z x x 0 Fig Fig
3 Spaţii etrice Spaţii orate Spaţii Hilbert 87 Exeplu Fie ecuaţia x5 x 0, = 0, care adite o rădăciă î itervalul [ 0,3; 0,] Ecuaţia echivaletă este x= x5 0,, deci f ( x) = x5 0, Se verifică iediat că f ( x) < 0,05, x [ 0,3; 0,], deci pute lua α = 0,05 Drept priă aproxiaţie se poate lua x 0 = 0, Aflarea uei soluţii aproxiative se face cu ajutorul calculatorului 3 Spaţii orate Î defiiţia spaţiului etric u s-a presupus că ulţiea X are vreo structură algebrică Di această cauză, îtr-u spaţiu etric oarecare u se poate dezvolta o teorie a seriilor, deoarece u are ses operaţia de aduare Petru a eliia această deficieţă vo itroduce oţiuea de spaţiu orat, î care se presupue că ulţiea X este u spaţiu vectorial Defiiţia 3 Fie X u spaţiu vectorial peste corpul Κ (ϒ sau C) Se ueşte oră pe X orice aplicaţie : X cu proprietăţile (i) x 0, x X şi x = 0 dacă şi uai dacă x = 0 X (ii) λ x = λ x λ Κ, x X (iii) x + y x + y, x X, y X Perechea ( X, ) se ueşte spaţiu orat Exeple: Mulţiea ϒ este spaţiu orat î raport cu ora: x = x, x ϒ Mulţiea este spaţiu orat î raport cu ora x = = ax { xi ; i }, ude x ( x x x ) =,, K, este u vector oarecare 3 Mulţiea uerelor coplexe este spaţiu orat î raport cu ora z = z = x + y, z = x+ iy 4 Mulţiea B(E) a fucţiilor reale şi ărgiite pe E este spaţiu orat î raport cu ora { } f sup f x ; x E = Observaţia 3 Orice spaţiu orat este spaţiu etric î raport cu distaţa d(x,y) = x y, x X, y X Afiraţia reciprocă u este î geeral adevărată Există spaţii etrice care u sut spaţii orate
88 ANALIZĂ MATEMATICĂ { } Exeplu Fie A o ulţie oarecare şi fie X f : A [ 0,] este spaţiu etric î raport cu distaţa: { } d f, g = sup f x g x ; x E = Evidet X Observă îsă că X u este spaţiu orat deoarece u este spaţiu vectorial Îtr-adevăr, dacă f, g X şi α, β ϒ, atuci αf + βg î geeral u aparţie lui X Cu spaţiile orate sut cazuri particulare de spaţii etrice, rezultă că defiiţiile şi rezultatele privid şirurile î spaţiile etrice răâ valabile şi î spaţiile orate Astfel, dacă X este u spaţiu orat, atuci u şir { } eleete di X coverge la eleetul x X, dacă şi uai dacă li x x = li d( x, x) = 0 x de Defiiţia 3 Orice spaţiu orat şi coplet se ueşte spaţiu Baach Aşa cu s-a arătat î, spaţiile spaţii Baach, şi B(E) sut coplete, deci sut 33 Spaţii Hilbert Spaţiul Hilbert este u caz particular de spaţiu Baach, î care ora provie ditr-u produs scalar Defiiţia 33 Fie E u spaţiu vectorial peste corpul Κ Se ueşte produs xy, xy, : E E cu proprietăţile: scalar o aplicaţie (i) yx, = xy,, x, y E dacă Κ = ϒ şi yx, = xy,, x, y E dacă Κ = (ii) λ x +µ yz, =λ xz, +µ yz,, x, y, z E şi λ, µ Κ (iii) xx, 0, x X şi xx, = 0 dacă şi uai dacă x = 0 E Perechea (E, <, >) se ueşte spaţiu prehilbert Observaţia 33 x,0e = 0, x E (ude cu 0 E a otat eleetul eutru la aduare di X şi cu 0 uărul zero di Κ) Îtr-adevăr, x,0 = x,0 0 = 0 x,0 = 0 E E E Teorea 33 (iegalitatea Cauchy-Buiaovsi-Schvarz)
3 Spaţii etrice Spaţii orate Spaţii Hilbert 89 x, y x, x y, y, x, y E (30) Deostraţie Dacă y = 0 E, atuci xy, = 0, deci iegalitatea () este evidet satisfăcută Fie y 0 E Petru λ ave: 0 x λyx, λ y = xx, λy λ yx, λ y = x, y Î particular, petru λ= ave yy, = x, x λ x, y λ y, x +λλ y, y xy, xy, xy, xy, xy, 0 x, x x, y + y, y yy, yy, yy, yy, Deoarece x, y x, y = x, y, ai departe obţie: x, y 0 xx,, deci yy, x, y x, x y, y Corolar Orice spaţiu prehilbert este u spaţiu orat Deostraţie Petru x E otă cu x = xx, Evidet, x 0 şi λ x = λ x, λ Κ şi x X Răâe să dovedi şi proprietatea (iii) di Defiiţia 3 Petru x, y E ave x + y = x+ y, x+ y = x, x + x, y + y, x + y, y = = x, x + x, y + x, y + y, y = x, y + Re x, y + y, y x, x + x, y + y, y Ţiâd seaa de iegalitatea () obţie: x + y x, x + x, x y, y + y, y = = x + x y + y = x + y Rezultă x + y x + y, x, y X Defiiţia 33 U spaţiu prehilbert coplet se ueşte spaţiu Hilbert Exeple Spaţiul este u spaţiu Hilbert
90 ANALIZĂ MATEMATICĂ Îtr-adevăr, observă petru îceput că î raport cu operaţiile: x + y= x + y x + y este u spaţiu vectorial peste ϒ (, K, ), x = ( x, K, x ), y ( y,, y ) λ x = ( λx, K, λx ), λ ϒ Eleetul eutru la aduare este 0 E = ( 0,0, K,0) Dacă otă cu = K x, y = xiy i, (3) i= atuci forula (3) defieşte u produs scalar pe, iar forula x = xx, = x i, x (3) i= defieşte ora euclidiaă pe Aşadar, este u spaţiu prehilbertia Iegalitatea Cauchy-Buiaovsi-Schwarz capătă urătoarea foră: xiyi x i y i (33) i= i= i= Pe spaţiul s-a defiit î subcap 3 şi o altă oră, care u provie ditr-u produs scalar şi aue: x = ax { xi ; i } = Fie spaţiul vectorial al atricelor cu liii şi coloae cu eleete di ϒ M, Dacă A = ( a ij ) şi B = ( ij ) b, i şi j, atuci forula AB, = defieşte u produs scalar, deci aplicaţie petru Nora uei atrice este deci: A =, ab ij ij i= j= M este u spaţiu prehilbertia aij, A M, i= j= Spaţiul se poate idetifica cu spaţiul pri urătoarea M, ϕ :, ϕ A = a, K, a, K, a, K, a, M,
3 Spaţii etrice Spaţii orate Spaţii Hilbert 9 a A = a K a K a M, Se observă iediat că aplicaţia ϕ are urătoarele proprietăţi: ϕ este A B A B ϕλ A =λϕa, A, B şi bijectivă, ϕ ( + ) =ϕ +ϕ şi λ ϒ, de ude rezultă că spaţiul vedere algebric Ave de aseeea:, M, M şi sut izoorfe di puct de ϕ ( A) = A, A M,, de ude rezultă că cele două spaţii sut izoorfe şi di puct de vedere topologic este Hilbert, rezultă că şi spaţiul, 3 Fie C ([ ab, ]) spaţiul vectorial al fucţiilor :[, ] ab, ] Petru f, g C [ ab] Cu spaţiul pe [ (, ) otă b M este u spaţiu Hilbert f a b, cotiue f, g = f ( x) g( x)dx (34) a Se verifică iediat că sut satisfăcute proprietăţile (i) şi (ii) di Defiiţia 33 a produsului scalar Este de aseeea evidet că f, f b = f ( x)dx 0, a f C ([ ab, ]) Faptul că f, f b = f ( x)dx= 0 dacă şi uai dacă f este idetic a ab, ϒ ulă pe [, ] ab, rezultă di urătorul rezultat cuoscut di liceu: dacă g : [ ] este cotiuă şi pozitivă, eidetic ulă pe [ ab, ], atuci forula (34) defieşte u produs scalar pe C ([ ab, ]) (, b g ( x )d x> 0 Aşadar, a Nora euclidiaă va fi: b f = f ( x)dx 0 =, f C [ ab, ] (35) a ) se poate itroduce şi ora Pe spaţiul C [ ab] f sup { f( x) ; x [ a, b] } Deoarece orice fucţie cotiuă pe [, ] C ([ ab, ]) B( [ ab, ]) şi evidet ora (36) este restricţia la ([ ab, ]) Spaţiul ([ ab, ]), = (36) ab este ărgiită, rezultă C a orei (3) C este spaţiu Baach Rearcă că spaţiul C u este coplet î raport cu ora (35), deci u este spaţiu Hilbert Îtr-adevăr, dacă cosideră şirul de fucţii cotiue: ([ ab, ])
9 ANALIZĂ MATEMATICĂ 0 dacă x 0 f ( x) = x dacă 0 < x, dacă < x 5 f+ p f = p x dx+ x dx< + + =, 0 3 3 3 p + p atuci: + p Rezultă că { f } este fudaetal î raport cu ora observă că { f } u coverge î ([,] ) C î raport cu această oră Îtr-adevăr, dacă f :[,] este cotiuă, atuci ave: 0 0 Pe de altă parte x f f = f x dx+ x f x dx+ f x d Dacă presupue că li f f = 0, rezultă că 0 f ( x) dx + f ( x) dx = 0 0 şi ai departe că f ( x) 0, x [,0 ] f ( x) =, x ( 0,] ceea ce cotrazice faptul că este cotiuă pe [ Rezultă f f, dar f C ([,] ) deci C ([, ]), u este coplet = şi f,] 34 Serii î spaţii orate Defiiţia 34 Fie X u spaţiu orat şi { u } u şir de eleete di X Petru orice, otă cu s = u+ u + K + u (, ) Perechea { u } { s } orat X şi se otează u = se ueşte serie de eleete di spaţiul
3 Spaţii etrice Spaţii orate Spaţii Hilbert 93 Seria u se ueşte covergetă dacă şirul suelor parţiale { s } este = coverget, deci dacă s X astfel îcât li s s = 0 Î acest caz s se ueşte sua seriei şi otă s = u = Teorea 34 Fie X u spaţiu Baach şi { u } u şir de eleete di X Codiţia ecesară şi suficietă ca seria u să fie covergetă este ca ε > 0 = să ε astfel îcât ε şi p să ave u+ + K + u+ p < ε Deostraţie u este covergetă { s } este coverget { s } este fudaetal, = deci ε > 0, ε astfel îcât ε şi p ave s+ p s = u+ + + u+ p < K ε Defiiţia 34 O serie de eleete di spaţiul orat X se ueşte absolut covergetă dacă seria cu terei pozitivi u este covergetă = Teorea 34 Codiţia ecesară şi suficietă ca u spaţiu orat X să fie spaţiu Baach, este ca orice serie absolut covergetă de eleete di X să fie covergetă Deostraţie Necesitate Fie u = ε astfel îcât u cotiuare ave: o serie absolut covergetă Atuci ε > 0, + + K + u+ p <ε, ε u+ + K+ u+ p u+ + K + u+ p <ε, ε şi p Î şi p, deci u este covergetă cofor Teoreei 34 = x u şir fudaetal de eleete di X Atuci există u Suficieţa Fie { } subşir { x } cu proprietatea:
94 ANALIZĂ MATEMATICĂ x x < +, (37) (vezi raţioaetul di deostraţia Teoreei ) Deoarece seria = este covergetă, di (37) rezultă că seria ( x x + ) este absolut covergetă, deci covergetă, cofor ipotezei = oastre Observă îsă că şirul suelor parţiale al acestei serii coicide cu subşirul { } x, deci x X astfel îcât ε > 0, ε cu proprietatea: Pe de altă parte, şirul { } Fie { } de ude rezultă x x ε x <, ε x este fudaetal, deci ε cu proprietatea: x x ε <,, ε ε = ax ε, ε, ε şi ε Atuci x x ε ε x x + x x < + =ε, x Aşadar, a arătat că orice şir fudaetal este coverget, deci X este spaţiu Baach Exeple Fie fi de fora: x o serie de eleete di Fiecare eleet = = x, x, K, x X = şi x Şirul suelor parţiale { s } este de fora s ( s, s,, s ) = K ude si = xi + xi + K + xi x va Di Teorea 3 rezultă că { s } este coverget dacă şi uai dacă şirul de uere reale { s i} este coverget, i=, Pri urare, seria de vectori x este covergetă î, dacă şi uai dacă seriile de uere reale = sut covergete î ϒ, i=, xi =
3 Spaţii etrice Spaţii orate Spaţii Hilbert 95 ( ) Seria, este covergetă î şi are sua s = (, l ), = ( ) deoarece = = şi = l = Fie X = M, spaţiul Baach al atricelor cu liii şi coloae cu eleete di ϒ Aşa cu a ai rearcat, acest spaţiu se poate idetifica cu spaţiul Rezultă că o serie de atrice A, ude petru, = ( ) ( ) ( ) a a a A = ( ) ( ) ( ) a a a ( ) este covergetă, dacă şi uai dacă seriile de uere reale aij sut = covergete î ϒ petru i=, şi j =, De exeplu, seria A, ude = ( ) + A = + ( + l ) + + + este covergetă î M şi are sua 3 l S = 0 Îtr-adevăr, ( ) ( ) a = a = li + + K + = li = = 3 ( + ) = + Î od aalog ave ( ) ( ) a = a = = = Î cotiuare observă că
96 ANALIZĂ MATEMATICĂ ( ) ( ) a = = + + K= + + K = l 3 = = Î sfârşit, dacă otă cu + 3 4 5 3 4 ( ) a3 sua parţială de ordiul a seriei ( ) ( ) a = l +, 3 = = + atuci ( l daca = p ( ) 3 5 4 + + ( ) s 3 = l K = p + ( 3 4 5 + l daca = p p ( ) ( ) Rezultă că li s3 = 0, deci a3 = 0 = Observaţia 34 Îtr-u spaţiu Baach pot exista serii covergete care u sut absolut covergete Îtr-adevăr, dacă vo cosidera di ou seria precedetă, despre care s-a arătat că este covergetă, observă că A = + + ( ) + + + + l + + + + Cu seria este divergetă, rezultă că seria A este divergetă, = + = deci seria A u este absolut covergetă = 3 Fie X = şi z o serie de uere coplexe, ude z = x + iy, = Deoarece şirul suelor parţiale este s = ( x+ K+ x) + i( y+ K+ y),, di Teorea 3 rezultă că seria z este covergetă î dacă şi uai dacă = seriile de uere reale x şi y sut covergete î ϒ = = 4 Fie X = B( E), u o serie de fucţii di B( E ) şi s = u + K + u, = B E dacă şi uai Ν Deoarece, aşa cu a văzut, { } s este coverget î
3 Spaţii etrice Spaţii orate Spaţii Hilbert 97 dacă { s } este uifor coverget pe E, rezultă că seria B E î raport cu ora f sup { f( x) ; x E} î u este covergetă = B E, dacă şi =, f uai dacă seria u este uifor covergetă pe E = 35 Fucţii eleetare Forulele lui Euler Observaţia 35 Deostraţia Teoreei 9 răâe valabilă şi petru serii de uere coplexe Pri urare, dacă seriile de uere coplexe u şi v = = sut absolut covergete şi au suele U, respectiv V, atuci orice serie produs a lor este absolut covergetă şi are sua egală cu UV z Î cotiuare defii fucţiile de variabilă coplexă e, cos z şi si z ca suele urătoarelor serii de uere coplexe: z z z z exp z = e = + + + K+ + K!!! (38) 4 z z z cos z = + + K+ ( ) + K! 4!! (39) 3 5 z z z si z = z + K+ ( ) + K (30) 3! 5!! ( ) Defiiţiile au ses, deoarece seriile di dreapta sut absolut covergete pe, aşa cu rezultă iediat di criteriul raportului Cu este spaţiu Baach, di Teorea 34 rezultă că aceste serii sut covergete pr orice z Teorea 35 z u z u e e = e +, u, z Deostraţie Î coforitate cu defiiţia (38) a fucţiei expoeţiale ave: z z z z e = + + + K+ + K!!! u u u u e = + + + K+ + K!!!
98 ANALIZĂ MATEMATICĂ Î virtutea Observaţiei 35, oricu a îulţi aceste serii, obţie o serie z u absolut covergetă, a cărei suă este egală cu e e Folosid produsul de tipul I rezultă: z u z u z zu u z e e = + + + + + + K =!!!!!! = = 0 = 0( )!!! = z u = C z u 0! = = 0( )!! = 0! = = 0 ( z+ u) z+ u = = e = 0! Dacă î defiiţia (38) a fucţiei expoeţiale îlocui z cu iz obţie iz 3 4 4 3 iz z iz z z z z z e = + + + + K= + K + i + K =!! 3! 4!! 4!! 3! = cos z+ isi z Aşadar, au loc forulele iz e = cos z+ isi z (3) iz e = cos z isi z, z Forulele (3) se pot pue sub fora echivaletă iz z cos z = ( e + e ) (3) iz iz si z = ( e e ), z i Forulele (3) se uesc forulele lui Euler Di Teorea 35 şi forulele lui Euler rezultă iediat: si ( z+ u) = si zcosu+ cos zsi u (33) cos( z+ u) = cos zcosu si zsi u Dacă î defiiţiile (38), (39) şi (30) luă z = x ϒ, obţie: x x x e = + + +KK (38')!! 4 x x cos x = + KK! 4! (39') 3 5 x x si x= x + KK, x ϒ 3! 5! (30') Ţiâd seaa de dezvoltările î serie Mac Lauri a fucţiilor eleetare z studiate î subcap 3, costată că fucţiile de variabilă coplexă e, cos z şi
3 Spaţii etrice Spaţii orate Spaţii Hilbert 99 si z defiite î (38), (39) şi (30) sut geeralizări ale fucţiilor de variabilă x z reală e, cos x şi si x Aşadar, restricţia la ϒ a fucţiei z e : coicide x cu fucţia expoeţială reală x e : ϒ ϒ cuoscută di liceu etc Di Teorea 35 şi forulele (3) rezultă: x+ iy x iy x e = e e = e cos y+ isi y, z = x+ iy Î particular ave: iπ e =, Z z Î sfârşit, fucţia z = l w, z se defieşte ca iversa fucţiei w= e, z z x iy w= r cosθ+ isi θ, atuci di ecuaţia w= e = e + = Dacă w 0 şi ( cos si ) x = e y+ i y urare ave: rezultă x e = r = w şi y = θ+ π= arg w+ π, Z Pri z = l w= l w + iarg w+ i π, Z Di puct de vedere al teoriei fucţiilor coplexe, l w are o ifiitate de valori dacă w 0 Î particular, l = π i, Z, spre deosebire de aaliza reală, ude l = 0 (are o sigură valoare) 36 Fucţii de atrice Fie M spaţiul vectorial al atricelor pătratice de ordiul cu eleete di ϒ Aşa cu a văzut î subcap 34 acest spaţiu se poate idetifica cu spaţiul ; este u spaţiu Baach (chiar Hilbert) î raport cu ora M A = aij i= j= a a K a a a a K, A = M Lea 36 Petru orice A,B M AB A B şi A, ave: A, (34) Deostraţie Dacă otă cu C = AB, atuci eleetele atricei C sut cij = aibj, i, j =, = Di iegalitatea Cauchy-Buiaovsi-Schwarz ave:
00 ANALIZĂ MATEMATICĂ cij = aibj ai bj = = = (35) Suâd î (35) după idicele j rezultă: cij ai bj = ai B j= = j= = = (36) Suâd acu după i obţie: C = cij ai B = A B, deci = j= i= = C A B Iegalitatea (36) rezultă iediat di (35) pri iducţie copletă Fie seria de puteri a x, a ϒ petru Ν şi fie f sua sa Dacă = otă cu ρ raza sa de covergeţă, atuci ave: f ( x) = a + a x+ a x + K + a x, dacă x < ρ (37) 0 M Petru orice A cosideră seria de atrice ai 0 + aa + aa + K+ aa + K ude cu a otat atricea uitate de ordiul I proprietatea M (38) Teorea 36 Seria (38) este covergetă petru orice A cu A <ρ Deostraţie Deoarece M este u spaţiu Baach, di Teorea 34 rezultă că este suficiet să arătă că seria (38) este absolut covergetă petru A <ρ Fie deci A M cu proprietatea A < ρ, şi fie A < r <ρ Di Lea 36 rezultă: aa = a A a A < a r Cu a r este covergetă, di Criteriul I de coparaţie rezultă că = 0 seria a A este covergetă, deci seria (38) a A este covergetă (sa folosit otaţia A = E = 0 = 0 0 ) f Defiiţia 36 Se ueşte fucţia de atrice defiită de f şi se otează cu A, sua seriei (38) Aşadar, ave: f A = a0i + aa+ aa + K+ aa + K, A M, A <ρ
3 Spaţii etrice Spaţii orate Spaţii Hilbert 0 Cea ai iportată fucţie de atrice este fucţia expoeţioală de x atrice Deoarece seria are raza de covergeţă ρ =, rezultă că ave: = 0! A e = I + A+ A + K+ A + K, A M (39)!!! Teorea 36 Fucţia expoeţială de atrice are urătoarele proprietăţi: 0 (i) e = I λi (ii) λ e = e I, λ ϒ A B B A A+B (iii) Dacă AB = BA, atuci e e = e e = e A A (iv) Matricea e este esigulară şi A e = e, A C M ave (v) Petru orice atrice esigulară M A C AC e C e C, A M Deostraţie Proprietăţile (i) şi (ii) sut evidete di (39) Deostraţia proprietăţii (iii) este idetică cu deostraţia Teoreei 35, cu observaţia suplietară că dacă AB = BA, atuci forula bioului lui Newto fucţioează şi petru atrice, deci are loc forula: l l l ( A+ B) = C A B l= 0 A A 0 Proprietatea (iv) rezultă di observaţia e e = e = I Petru a deostra proprietatea (v) observă petru îceput că ave: C AC = C A C, Ν (330) = Îtr-adevăr, idetitatea (330) se deostrează iediat pri iducţie ateatică Ţiâd seaa de (330) rezultă: C AC A e = ( C AC) = C A C = C A C = C = 0! = 0! e C = 0! C AC A Aşadar, ave e = C e C Aplificâd î această egalitate la stâga cu C şi la dreapta cu C C AC A obţie C e C = e, deci (v) Exeple Dacă atricea A are fora diagoală, adică dacă
0 ANALIZĂ MATEMATICĂ 0 0 λ K λ 0 K 0 A = 0 λ K 0, atuci A = 0 λ K 0 0 0 λ K 0 0 K λ Rezultă că λ e 0 K 0 A λ e = 0 e K 0 λ 0 0 K e 4 A Fie A = Să se calculeze e 3 Î pria fază aduce atricea la fora diagoală Ecuaţia caracteristică este λ 6λ+ 5=0, iar valorile proprii sut λ =, λ = 5 Vectorii proprii sut x = (,3), x = (, ) Î raport cu baza x, x atricea A capătă fora diagoală 0 D = Matricea de trecere este 0 5 C = 4 4, iar C = 3 4 4 Aşadar, ave D= C AC Di Teorea 39, (v) rezultă e A D = Ce C 5 5 e 0 3 = 4 4 e+ e e e 3 5 = 0 e 4 5 5 3e 3e 3e+ 3e 4 4 4 3 Să se calculeze si A, dacă A = 3 ( si A ) 0! A + 0! CDC + = = = = + = + ( ) 0 + 4 4 = CD C = 0! 0! 3 + = + = + 0 5 3 4 4 = si 0 4 4 si + 3si 5 si si 5 = = 3 0 si 5 3 4 3si 3si 5 3si + si 5 4 4
3 Spaţii etrice Spaţii orate Spaţii Hilbert 03 Î îcheierea acestui paragraf eţioă că fucţia expoeţială de atrice este utilă î studiul sisteelor de ecuaţii difereţiale liiare 37 Eleete de topologie î =,, K, şi r > 0 Se ueşte bila deschisă (îchisă) de cetru a şi rază r ulţiea B ar, = x ; x a < r Defiiţia 37 Fie a ( a a a ) Cu pe ulţiea { } B( ar, ) = { x ; x a r} a itrodus două ore ( şi ) ave două tipuri de bile deschise (îchise) şi aue: (respectiv că: { } B( ar, ) = x= ( x, K, x ) ; x a < r = { (,, x x x) ; ( x a) ( x a) r } = = K + K + < B ( ar, ) = { x= ( x, K, x ) ; x a < r } = { (,, x x x) ; x a r,, x a r} = = K < K < ( ( B ar, şi B ( ar, )) Exeple: Fie a ϒ şi r > 0 Deoarece pe ϒ ave x x x { } rezultă că pe = =, x rezultă B ar, = B ar, = x ; x a< r = a r, a+ r Di puct de vedere geoetric, pe ϒ, bila deschisă cu cetrul î a şi de rază a r, a+ r r reprezită itervalul deschis Fie a = a, a şi r > 0 { } (, ) (, ) ; B ar = x= x x x a + x a < r şi B ( ar, ) = { x= ( x, x) ; x a < r şi x a < r}
04 ANALIZĂ MATEMATICĂ Di puct de vedere geoetric B (, ) cetrul î a= ( a, a) şi de rază r iar B ( ar, ) î a= ( a, a ) şi de latură r ar reprezită iteriorul cercului cu este iteriorul pătratului cu cetrul x x a a a+ r a a a - r 0 a x 0 a - r a a + r x Fig Fig 3 Î, 3 ( B ar, ) reprezită iteriorul sferei cu cetrul î a =( a, a, a3) 3 B ( ar, ) şi de rază r, iar reprezită iteriorul cubului cu cetrul î a, feţele paralele cu plaele de coordoate şi de uchie r Î geeral, î vo ui B ( ar, ) sfera -diesioală şi B ( ar, ) cubul -diesioal Observaţia 37 Ître cele două tipuri de bile di au loc icluziuile: r B a, B ( a, r) B ( a, r) Îtr-adevăr, dacă (,, ), r x= x K x B a, atuci r xi ai <, i=,, de ude rezultă că:
3 Spaţii etrice Spaţii orate Spaţii Hilbert 05 r ( x a ) + K + ( x a ) < = r, deci x B ( a r) Pe de altă parte, dacă + K + < r atuci ( x a ) ( x a ) x = ( x,, x ) B ( a, r) K, Cu x a 0 xi ai x a + + x a < a Fig 3 x veciătate a puctului a ϒ, K r, i=, rezultă că ( ar, ) x B Î cazul perticular =, icluziuile di Observaţia 37 sut reprezetate geoetric î Fig 3 Defiiţia 37 Se ueşte veciătate a puctului a orice ulţie V cu proprietatea că există r >0 astfel îcât V B ar, Cofor acestor defiiţii, pe ϒ, o veciătate a puctului a ϒ, este orice ulţie V ϒ care coţie u iterval deschis (a r, a + r), ude r > 0 Î particular orice iterval deschis (a r, a + r) este S-ar părea că î ( ) există două tipuri de veciătăţi petru u puct şi aue: veciătăţi ce coţi bile de tipul B ( ar, ), respectiv veciătăţi ce coţi bile de tipul B ( ar, ) Di Observaţia 37 rezultă că cele două tipuri de veciătăţi coicid De aceea î cotiuare, pri veciătate a puctului a, îţelege orice ulţie di care coţie fie o sferă -diesioală deschisă, fie u cub -diesioal deschis Mulţiea tuturor veciătăţilor puctului a o otă cu V ( a) Propoziţia 37 Failia V ( a) are urătoarele proprietăţi: ) a V petru orice V V ( a) ) Dacă V V ( a) şi U V, atuci U V ( a) 3) Dacă a a atuci V V ( a ) şi V ( a ) V IV = 4) Dacă Vi V ( a ), i=,, atuci I Vi V ( a) i= V astfel îcât
06 ANALIZĂ MATEMATICĂ 5) Petru orice V V ( a), W V ( a) astfel îcât V V ( b) petru orice b W Deostraţie Proprietăţile ) şi ) sut evidete Dacă a a atuci a a = r > 0 Se r r observă iediat că B a; I B a; = Φ, deci a deostrat 3) 3 3 Fie Vi V ( a) şi fie r i > 0 astfel îcât Vi B( a, ri), i=, Dacă otă cu r = i { ri ; i }, atuci I Vi B( a; r), de ude rezultă că IVi V ( a) i= i= Î sfârşit, fie ( a) şi r > 0 astfel îcât V B a, r Dacă otă cu V V r r W = B a,, atuci petru b W şi x B b, ave x a x b + r r r + b a < + = r, de ude rezultă că B b, V, deci V V ( b) x de eleete di este coverget î şi are liita l dacă şi uai dacă V V () l, u rag V astfel îcât x V petru orice V (Cu alte cuvite, î afara oricărei veciătăţi V a lui l se află u uăr fiit de terei ai şirului) Îtr-adevăr, fie, şi fie ε > 0 astfel îcât V B l, ε Dacă Observaţia 37 U şir { } x l, atuci Acest lucru revie la V V l ε x Bl (, ) V cu proprietatea că ε, ε Reciproc, fie ε > 0 şi fie V B( l, ) petru orice ε, atuci x x l <ε petru orice = ε Dacă = astfel îcât x V ε l <ε petru orice ε, deci x l Defiiţia 373 U puct a se ueşte puct iterior petru ulţiea A dacă există V V ( a) astfel îcât V A Mulţiea tuturor puctelor iterioare ale ulţiii A se ueşte iteriorul ulţiii A şi se otează cu A o Evidet A o A Mulţiea A se ueşte deschisă dacă A = A o (, ) Observaţia 373 Petru orice a şi orice r > 0 ulţiea decshisă Îtr-adevăr, fie b (, ) B ar şi fie 0 < ε < r b a ε V B ar este
3 Spaţii etrice Spaţii orate Spaţii Hilbert 07 Dacă x B( a, ε ) atuci x a x b + b a <ε+ b a <r B( ar, ), deci B( a, ε) B( ar, ) Aşadar orice puct b (, ) iterior al ulţiii B( ar, ), deci B( ar, ) este o ulţie deschisă Rezultă că x B ar este puct Exeple Dacă X = ϒ, atuci orice iterval sietric (a r, a + r) este o ulţie deschisă α+β Fie ( αβ, ) ϒ u iterval deschis oarecare Dacă otă cu a = şi cu β α r =, atuci ( αβ, ) = (a r, a + r) Rezultă că orice iterval deschis di ϒ este o ulţie deschisă Dacă X =, atuci iteriorul oricărui cerc (pătrat) este o ulţie deschisă 3 3 Dacă X =, atuci iteriorul oricărei sfere (cub) este o ulţie deschisă Proprietăţile ulţiilor deschise sut puse î evideţă de urătoarea propoziţie Propoziţia 37 (i) O reuiue oarecare de ulţii deschise este o ulţie deschisă (ii) Orice itersecţie fiită de ulţii deschise este o ulţie deschisă (iii) Mulţiea Deostraţie şi ulţiea vidă sut ulţii deschise D D Di i I (i) Fie { } o failie de ulţii deschise şi fie i i I = U Dacă a D, atuci există i 0 I astfel îcât a D i 0 Cu D i 0 este deschisă, rezultă că există V V ( a) astfel îcât V D Evidet V D, de ude rezultă că x = a este u i 0 puct iterior petru D, deci D este deschisă (ii) Fie,, D K D ulţii deschise şi A= I Di Dacă a A, atuci a D i i= oricare ar fi i I Cu D i este deschisă rezultă că există Vi V ( a) astfel îcât V D i Dacă otă cu V = IV i, atuci V V ( a) şi V A Rezultă că x = a este i= puct iterior petru A, deci A este deschisă Proprietatea (iii) este evidetă Propoziţia 37 e perite să dă exeple ai variate de ulţii deschise De exeplu î ϒ, orice reuiue de itervale deschise este o ulţie deschisă Î
08 ANALIZĂ MATEMATICĂ, diverse reuiui şi itersecţii de iterioare de cercuri sau pătrate sut exeple de ulţii deschise etc Defiiţia 374 U puct a se ueşte puct aderet petru ulţiea A dacă oricare ar fi V V ( a) rezultă V I A Mulţiea tuturor puctelor aderete ale ulţiii A se otează cu A şi se ueşte îchiderea ulţiii A Evidet A A Mulţiea A se ueşte îchisă dacă A = A Teorea 37 Codiţia ecesară şi suficietă ca ulţiea A să fie îchisă este ca ulţiea sa copleetară CA = \ A să fie deschisă Deostraţie Necesitatea Presupue că ulţiea A este îchisă şi deostră că ulţiea CA este deschisă Dacă b CA, atuci b A = A Pri urare, b u este puct aderet petru A Rezultă că există V V ( b), astfel îcât V I A =, deci V CA Aşadar, b este puct iterior petru CA, deci CA este deschisă Suficieţa Presupue că ulţiea CA este deschisă şi deostră că A este îchisă Aceasta revie la a arăta că A A, ceea ce este echivalet cu CA C A Fie deci b CA Cu CA este deschisă, rezultă că există V V ( b) astfel îcât V CA Atuci V I CA=, de ude rezultă că b u este puct aderet petru A, deci b C A Observaţia 374 Bila îchisă B( ar, ) este o ulţie îchisă, a şi r > 0 Di Teorea 37 rezultă că este suficiet să arătă că ulţiea (, ) { ; } CB a r = x x a > r este o ulţie deschisă Fie b CB( a, r) şi fie 0 < ε < b a x b <ε Î cotiuare ave: de ude rezultă că x a r Aşadar, (, ) r Dacă x (, ) b a b x + x a < b a r+ x a, >, deci că x B( ar, ) B ar B b ε (, ), deci b este puct iterior petru B( ar, ) a fost arbitrar rezultă că B( ar, ) Exeple este deschisă B b ε, atuci Cu b
3 Spaţii etrice Spaţii orate Spaţii Hilbert 09 Dacă X = ϒ, atuci B( ar, ) = [a r, a + r] Rezultă că orice iterval sietric îchis este o ulţie îchisă Cu orice iterval îchis [α,β] se poate reprezeta ca u iterval îchis sietric, rezultă că orice iterval îchis di ϒ este o ulţie îchisă Fie X =, a şi r > 0 Di puct de vedere geoetric, ulţiea { } (, ) (, ) ; B ar = x x x a + x a r reprezită discul îchis (cercul iclusiv circuferiţa) cu cetrul î a şi de rază r, iar ulţiea { } B ar, = x, x ; x a r, x a r (iclusiv laturile) cu cetrul î a şi de latură r 3 B (, 3 Dacă X =, atuci este o ulţie îchisă ar De aseeea, ulţiea B ( ar, ) ) reprezită pătratul îchis (sfera îchisă cu cetrul î a şi de rază r), care reprezită cubul îchis (iclusiv feţele) cu cetrul î a şi de uchie a este o ulţie îchisă x x a a a + r a a- r a 0 a x 0 a - r a a + r x Fig 4 Fig 5 Proprietăţile ulţiilor îchise sut puse î evideţă de urătoarea propoziţie Propoziţia 373 (i) Orice reuiue fiită de ulţii îchise este o ulţie îchisă (ii) O itersecţie oarecare de ulţii îchise este o ulţie îchisă (iii) Mulţiile şi sut îchise Deostraţie Deostraţia rezultă di Teorea 37, Propoziţia 37 şi relaţiile De Morga De exeplu (i) Fie A, A,, A ulţii îchise şi fie A= U Ai i=
0 ANALIZĂ MATEMATICĂ Di Teorea 37 rezultă că este suficiet să deostră că ulţiea CA este deschisă Cofor relaţiilor De Morga, CA = ICAi Cu CAi este deschisă i= petru orice i=,, di Propoziţia 37 rezultă că ICAi = CA este deschisă i= Defiiţia 375 Se ueşte frotiera ulţiii A şi se otează cu Fr A, ulţiea: Fr A= AI CA Lea 37 Petru orice A Deostraţie o CA= CA ave: şi CA = B o ude B = CA Dacă b CA o, atuci b A o, deci oricare ar fi V V ( b) ave V I CA Rezultă că b b A o, deci CA Reciproc, dacă b CA, atuci V I CA Rezultă că o CA CA Î od aseăător se deostrează cealaltă egalitate Propoziţia 374 Fie A o ulţie oarecare di (i) este o ulţie deschisă (ii) A este o ulţie îchisă A o Atuci (iii) Fr A este o ulţie îchisă şi FrA= A\ A Deostraţie (i) Fie a A o Atuci există r > 0 astfel îcât B (ar) A Dacă otă cu V = B(a, r), atuci cofor Observaţiei 373 V este o ulţie deschisă Aşadar, ave: V = V A, de ude rezultă că a este puct iterior petru A o, deci este o ulţie deschisă A o o o (ii) Di Lea 37 rezultă că CA = B o ude B = CA Aşadar, CA este deschisă, de ude rezultă că ulţiea A este îchisă (Vezi Teorea 37) (iii) Di Lea 37 rezultă: Fr A= AICA= AICA= A\ A Faptul că Fr A este îchisă rezultă di (ii) o o o
3 Spaţii etrice Spaţii orate Spaţii Hilbert Teorea 37 Fie A o ulţie oarecare Atuci: (i) U puct b aparţie îchiderii A a ulţiii A, dacă şi uai a de pucte di A, a b dacă există u şir { } (ii) Mulţiea A este îchisă dacă şi uai dacă liita oricărui şir coverget de eleete di A aparţie lui A Deostraţie (i) Dacă b A, atuci A (, ) I B b r, r > 0 Î particular, B b, A I, Fie a B b, I A Atuci a A şi a b deoarece a b < şi 0 Reciproc, dacă a A, şi a b, atuci r > 0 astfel îcât b A a b <r, r Rezultă că (i) Fie A o ulţie îchisă şi fie { } (, ) r r > 0 AI B b r 0,, adică a u şir de eleete di A, a b Di (i) rezultă că b A Cu A este îchisă, rezultă că b A Reciproc, dacă b A, atuci di (i) rezultă că există u şir { a } de eleete di A, a b Cofor ipotezei rezultă că b A, deci A A Defiiţia 376 U puct b se ueşte puct de acuulare petru ulţiea A, dacă oricare ar fi V veciătate a lui b, există a A I V, a b Mulţiea puctelor de acuulare ale lui A se otează cu A' (Icluziuea A A este evidetă) Teorea 373 Fie A o ulţie oarecare Atuci: (i) U puct b A' dacă şi uai dacă există u şir { } A, a a l dacă l, astfel îcât a b (ii) A este îchisă dacă şi uai dacă A' A a de eleete di Deostraţie (i) Fie b A' Atuci există a AI B( b,), a b Fie r = a b şi fie r a A B b, r I Evidet a a şi a b < < Fie r = a b şi fie r a3 B b, A I, a3 b
ANALIZĂ MATEMATICĂ Evidet a a, a a şi 3 3 a3 a arată că există u şir { a } de eleete di A, a a r < < Pri iducţie copletă se petru l şi b <, deci a b (ii) Dacă A este îchisă, atuci A A Cu A' A rezultă că A' A a de pucte Reciproc, fie b A Di Teorea 37 rezultă că există u şir { } di A, a b Dacă { } a are o ifiitate de terei disticţi, di (i) rezultă că a u are o ifiitate de terei b A' Cu A' A, rezultă că b A Dacă { } disticţi, atuci îcepâd de la u auit rag icluziuea A A, dacă A este îchisă a a l = b, deci b A A dovedit Observaţia 375 Di Teorea 373 rezultă că dacă b este puct de acuulare petru ulţiea A, atuci î orice veciătate a sa se află o ifiitate de eleete di A, disticte Rezultă că ulţiile fiite u au pucte de acuulare, deci sut îchise î virtutea Teoreei 373 Mulţiile care u au pucte de acuulare se ai uesc şi ulţii discrete Există şi ulţii ifiite discrete De exeplu, ulţiea uerelor îtregi este discretă, deoarece, b ϒ şi V V ( b) ulţiea V I este fiită Defiiţia 377 O ulţie A se ueşte ărgiită dacă există M > 0 astfel îcât x M, oricare ar fi x A Lea 37 (Cesàro) Orice şir ărgiit de eleete di subşir coverget coţie u Deostraţie Prezetă deostraţia petru cazul particular = Fie z = ( x, y), u şir de eleete di ărgiit Rezultă că M > 0 astfel îcât z M, Î particular, rezultă că şirurile de uere reale { x } şi { y } sut ărgiite Di Lea Cesàro petru şiruri de uere reale rezultă că există u subşir { p } x coverget Fie a= li x p p Aplicâd di ou Lea Cesàro subşirului { y p } rezultă că există u subşir { pl } la b Di Teorea 3 rezultă că subşirul z ( x, ) p y p p coverget î şi are liita z = (a,b) l y coverget î ϒ =, l este l l
3 Spaţii etrice Spaţii orate Spaţii Hilbert 3 Î teoria liitelor de fucţii este iportat de ştiut câd o ulţie are pucte de acuulare Teorea care urează e dă o codiţie suficietă ca o ulţie di să aibă pucte de acuulare di Teorea 374 (Weierstrass-Bolzao) Orice ulţie ărgiită şi ifiită are cel puţi u puct de acuulare Deostraţie Fie A o ulţie ărgiită şi ifiită Mulţiea fiid ărgiită, coţie u şir x de eleete disticte Deoarece A este ărgiită, rezultă că { } { } x este ărgiit Di Lea 37 rezultă că există u subşir { p } l este puct de acuulare petru A x, x l Evidet Defiiţia 378 O ulţie K se ueşte copactă dacă este îchisă şi ărgiită Di Propoziţia 373 rezultă că o reuiue fiită de ulţii copacte este o ulţie copactă, şi o itersecţie oarecare de ulţii copacte este o ulţie copactă Este de aseeea clar (di Observaţia 375), că orice ulţie fiită este copactă p 38 Liite de fucţii Î cele ce urează, pri fucţie vectorială îţelege orice fucţie F defiită pe o ulţie A di cu valori î Aşadar, petru orice x= ( x, x, K, x ) A, iagiea y = F( x), deci este de fora F( x) = y, y, K, y, i y, i=, Dacă otă cu fi( x) = yi, x A, i=,, atuci obţie fucţii scalare fi : A, i=,, pe care le ui copoetele scalare ale fucţiei vectoriale F Pri urare ave: F( x) = ( f( x), f( x), K, f( x) ), x A sau F = ( f, f, K, f ): A Exeple Fucţia rt () = acos, t asit, t [ 0, ] pe ulţiea A = [ 0,π] cu valori î π este o fucţie vectorială defiită
4 ANALIZĂ MATEMATICĂ Fucţia r( u, v) = ( asiucos v, asiusi v, acosu), u [ 0, π ] şi v [ 0,π] D = [ 0, π ] [ 0,π] cu valori este o fucţie vectorială defiită pe dreptughiul 3 î Defiiţia 38 Fie F: A o fucţie vectorială, a= ( a, K, a ) u puct de acuulare petru A şi L Spue că L este liita fucţiei vectoriale F î puctul a şi otă cu L= li F( x), dacă petru orice veciătate x a U a lui L, există o veciătate V a lui a, astfel îcât F( x) U, oricare ar fi x V I A, x a Teorea 38 Urătoarele afiraţii sut echivalete: (i) L= li F( x) x a (ii) Petru ε > 0, δ ε > 0 astfel îcât x A, x a cu proprietatea x a <δ ε rezultă F( x) L <ε (ora este oricare di orele sau ) (iii) Petru orice şir { }, rezultă F a Deostraţie (i) (ii) Fie ε > 0 şi fie a de eleete di A, a a, a a petru L U = B( L, ε ) Evidet U V ( L) şi cofor (i) V V ( a) (depizâd î geeral de ε) astfel îcât F( x) U, x V I A, x a Deoarece V este veciătate petru a rezultă că δ ε > 0 astfel îcât V B( a, δ ε ) Fie x A, x a cu x a <δ ε Atuci x V I A, x a Cofor (i) F( x) U, deci F( x) L <ε (ii) (iii) Fie ε > 0 arbitrar şi fie δε > 0 cu proprietăţile di (ii) Dacă { x } este u şir de eleete di A, x a, şi x a, atuci ε astfel îcât x a <δ ε petru orice ε deci F ( x ) L Di (ii) rezultă că F( x ) L <ε,, (iii) (i) Presupue pri absurd că (i) u este adevărată, deci că U0 V ( L ) astfel îcât oricare ar fi V V ( a), x V V I A, x V a cu proprietatea că F ( xv ) U0 Î particular, petru ε V = B a,, rezultă că
3 Spaţii etrice Spaţii orate Spaţii Hilbert 5 x x AI B a,, x a astfel îcât F ( x ) U0, Cu B a, rezultă că x a <, deci că x a Di (iii) rezultă acu că F ( x ) L Acest lucru cotrazice faptul că F ( x ) U0 deostraţia este teriată, şi cu aceasta Observaţia 38 Fie f : A ϒ ϒ, a u puct de acuulare petru A şi l Di Teorea 38 rezultă că l = li f( x) dacă ε > 0, δ ε > 0 astfel x a îcât x A, x a cu proprietatea pe ϒ, x = x = x ) x a <δ ε rezultă că f( x) l <ε (deoarece A reobţiut astfel defiiţia liitei uei fucţii îvăţate î liceu Teorea 38 Fie F = f, f, K, f : A, a u puct de acuulare petru A şi (,, L= l K l ) Atuci, L= li F( x) dacă şi uai x a dacă li = li fi( x), oricare ar fi i=, x a Deostraţie x u şir de eleete di A, x Fie { } a petru orice, x Teorea 38 rezultă că F ( x ) = ( f ( x ),, f ( x )) L= ( l,, l ) ce este echivalet cu faptul că i=, a Di K K, ceea fi x li,, Reciproc, dacă li = li fi( x),, x a Di Teorea 3 rezultă că deci că L= li F( x) x a i=, deci că l = li f ( x), i=, atuci = ( K ) = ( i x a fi x li, i, F x f x,, f x L l, K, l), i = Observaţia 38 Di Teorea 38 rezultă că studiul liitei uei fucţii vectoariale revie la studiul liitelor copoetelor sale scalare Di această cauză este suficiet să studie î cotiuare uai liite de fucţii scalare, adică fucţii de fora f : A
6 ANALIZĂ MATEMATICĂ Fie a ( a a ) =, K, u puct de acuulare al ulţiii A şi fie l ϒ Dacă folosi ora, atuci l = li f ( x ) dacă ε > 0, δε > 0 astfel îcât a A, x a cu proprietatea x a <δε, K, x a ε f x, K, x l <ε Să cosideră acu cazul şi ai siplu câd = Fie deci f : A şi l ϒ Vo folosi otaţiile ( x, y ) î loc de <δ rezultă că ( x, x ) şi ( ab, ) î loc de ( a, a ) Di cele de ai sus rezultă că l li f ( x, ) îcât, ( x, y) = y dacă ε > 0, δ ε > 0 astfel x a y b A cu proprietatea x a <δ ε, y b ε f x, y l <ε Di Teorea 38 rezultă că această defiiţie este echivaletă cu urătoarea: l = li f ( x, y ) dacă şi uai dacă petru orice şir ( x, y ) de eleete di A, x a y b (, ) ( <δ rezultă x y a, b ) petru orice, ( x, y) ( a, b ) rezultă că şirul (, ) f x y l Exeple Fie f ( x, y) 3 3 x + y = x + y Observă că există li f ( xy, ) x a y b, ( xy, ) \{(0, 0) } = 0 3 Îtr-adevăr, deoarece x ( x + y ) 3 3 şi y ( x y ) 3 ( x + y ) 3 f ( xy, ) = x + y x + y ( Dacă x, y 0,0) atuci 3 3 x + y A arătat deci că li = 0 x 0 x + y y 0 Fie fucţia f ( x, y) există li (, ) f xy x 0 y 0 x y = x + y x y + rezultă că + 0 şi deci f ( x, y ) 0, (, ) \{( 0, )} xy 0 Vo arăta că u
3 Spaţii etrice Spaţii orate Spaţii Hilbert 7 Îtr-adevăr, cosideră şirurile, respectiv, Abele şiruri coverg î la (0,0) Pe de altă parte f, 0 şi 3 f,, de ude 5 rezultă că u există li x 0 y 0 x x y + y Teorea 383 (Cauchy-Bolzao) Fie f : A ϒ, şi a u puct de acuulare petru A Codiţia ecesară şi suficietă să existe l = li f( x) este că petru orice ε > 0 să existe V V ( a) astfel îcât, x a x, x V I A, x a, x a f x f x <ε să ave Deostraţie Necesitatea Fie l = li f( x) Atuci, ε > 0, V V ( a) astfel îcât x a ε x V I A, x a ave f ( x) l < Dacă x, x V I A, x a, x a, ε ε atuci f ( x ) f ( x ) f ( x ) l + l f ( x ) < + =ε Suficieţa Fie ε > 0 şi V V ( a) cu proprietăţile di euţul teoreei şi fie { } x u şir de eleete di A, x a petru orice, u rag ε x a Atuci există (acest rag depide de V care la râdul său depide de ε) astfel îcât x V, ε Rezultă că f ( x) f ( xl) că { ( )} lui Cauchy rezultă că <ε petru orice şi l ε, deci f x este u şir fudaetal î ϒ Di criteriul geeral de covergeţă al { } f x este coverget Di Teorea 38, puctul (iii), rezultă că există li f ( x ) x a Petru o fucţie f : A ϒ se pot cosidera pe lâgă liita defiită aterior, î care variabilele x, x, K, x tid siulta la a, a, K, a şi liite iterate, î care variabilele x, K, x tid pe râd la a, K, a Petru a lăuri această probleă cosideră cazul uei fucţii de două x, y x a < h, y b < şi f : A ϒ variabile Fie dreptughiul D = { } Presupue că petru orice x ( a h, a+ h) există li (, ) f xy y b Evidet, această liită depide de x şi defieşte o fucţie ( x) li f ( x, y) ϕ =, y b
8 ANALIZĂ MATEMATICĂ (, ) x a h a+ h Dacă presupue î plus că există li ϕ ( x), atuci această x a li li f xy, şi se ueşte liita iterată după y şi x a liită se otează cu x a y b fucţiei f î puctul (a,b) Î od aalog se defieşte li li f ( xy, ) y b x a Liitele iterate u sut î geeral egale De exeplu, dacă f ( x, y) ( xy, ) \{( 0, 0 )} atuci se costată iediat că f ( x y) = li f ( xy, ) li li f x, y Rearcă faptul că y 0 x 0 (Vezi Exeplul ) xsi y x 0 y 0 Petru fucţia f ( x, y) = xsi, y 0, ave li f ( xy, ) y x 0 y 0 x y =, x + y li li, x 0 y 0 = şi u există î acest caz = 0, deoarece x Observă de aseeea că li li f ( x, y) = 0 î tip ce cealaltă liită iterată li li f ( xy), u există x 0 y 0 y 0 x 0 Legătura ditre liitele iterate şi liita î raport cu asablul variabilelor li f ( xy, ) este pusă î evideţă de urătoarea propoziţie x a y b Propoziţia 38 Dacă există li f ( xy, ) x a y b = l şi dacă petru orice (, + ) există ϕ ( x) = li f ( x, y), atuci există li li (, ) x a h a h Deostraţie y b Petru ε > 0, δ ε > 0 astfel îcât (, ) y b <δ ε ave f ( x, y) l petru orice x ( a h, a h) li ϕ ( x) = l, deci că există li li (, ) = x a f xy = l x a y b x y D cu proprietatea x a <δ ε, <ε Trecâd la liită după y obţie: ϕ( x) l ε + cu proprietatea x a <δ ε Rezultă că există f xy l x a y b
3 Spaţii etrice Spaţii orate Spaţii Hilbert 9 Corolar Dacă există liitele iterate şi sut diferite, atuci u există li f ( xy, ) x a y b 39 Fucţii cotiue Fie F : Petru orice subulţie A otă cu F ( A ) = { F( x) x A} = Evidet F A şi se ueşte iagiea directă a ulţiii A pri F Petru orice subulţie B otă cu F B = x F( x) B Mulţiea F B se ueşte preiagiea { } ulţiii B pri F Defiiţia 39 Fie F : A [ ] î puctul a dacă U V F( a), V ( a) şi a A Spue că F este cotiuă V astfel îcât ( I ) F este cotiuă î fiecare puct di A, atuci F este cotiuă pe A F V A U Dacă Observaţia 39 Dacă a A este puct de acuulare petru A, atuci F este cotiuă î x = a dacă şi uai dacă există li F ( x ) = F ( a ) Dacă a A x a u este puct de acuulare petru A (u astfel de puct se ueşte puct izolat), atuci există V V ( a) astfel îcât V A= {a} şi evidet F V I A U, U V [ F( a) ] doeiul său de defiiţie I Rezultă că orice fucţie este cotiuă îtr-u puct izolat di Teorea 39 Urătoarele afiraţii sut echivalete: (i) F este cotiuă î a A (ii) ε > 0, δ ε > 0 astfel îcât x A cu proprietatea x a <δ ε rezultă că F( x) F( a) <ε (iii) Petru orice şir { x } de eleete di A, x F F x a a, rezultă Deostraţia rezultă di Teorea 38 şi Observaţia 39, cu eţiuea că dacă a A este u puct izolat, atuci oricare di afiraţiile (i)-(iii) este evidetă