UNIVERSITTE BBEŞ-BOLYI CLUJ-NPOC FCULTTE DE MTEMTICǍ ŞI INFORMTICǍ LUCRRE DE DIPLOMǍ ECILIBRU ECONOMIC CU EXTERNLITĂłI Coducător ştiińific Prof. Dr. Maria Mureşa bsolvet Maria D. Rusu 2008
Cupris Elemete de aaliză matematică, aaliză fucńioală, teoria măsurii şi aaliză eetedă 7. Elemete de aaliz matematic...7.2 Elemete de aaliz fuc ioal...8.3 Elemete de teoria m surii...6.4 Elemete de aaliz eeted...20 2 ExisteŃa uui echilibru petru ecoomii cu exteralităńi şi u spańiu cu măsură al cosumatorilor 30 2. Modelul i rezultatul de existe...30 2.. Modelul i o iuea de echilibru...30 2..2 Rezultatul de existe petru fuc ii geerale de exteralitate...32 2..3 Sl birea ipotezei de covexitate EC 0...34 2.2 Modelul rela iilor de coali ie...37 2.2. Modelul i rezultatul de existe...37 2.2.2 Demostra ia Teoremei 3...38 2.2.3 Modelul rela iilor de coali ie a lui Noguchi...42 2.3 Demostra ia teoremei de existe...44 2.3. Demostra ia Teoremei 2 î cazul itegral m rgiit...44 2.3.2 Demostra ia Teoremei 2 î cazul geeral...49 2.3.2. Truchierea ecoomiei...49 2.3.2.2 Petru destul de mare, p >>0...49 2.3.2.3 Petru suficiet de mare, ( p, f ) este u echilibru petru (, )...49 2.4 pedix...5 2.4. Propriet ile multifuc iei quasi-cerere...53 2.4.2 Propriet i ale rela iilor de coali ie ale lui Noguchi...53 2.4.3 Cotraexemplul lui Balder de oexiste a echilibrului...58
3 Echilibru ecoomic cu exteralităńi. plicańii 60 3. Coceptul de exteralitate; formele sale...60 3.2 aliza exteralit ilor...64 3.3 Echilibrul î codi ii de exteralitate...66 3.4 Nivelul optim de exteralitate...70 3.5 Cotrolul exteralit ilor...73 3.5. Iterdic ia...73 3.5.2 Izolarea...74 3.5.3 Reglemet rile guverametale...75 Bibliografie 78
Itroducere Lucrarea de fa se bazeaz pe echilibrul ecoomic cu exteralit i, ca parte itegrat a matematicii ecoomice. Dezvoltarea iter a matematicii ecoomice a relevat imposibilitatea utiliz rii o iuii de fuc ie î modelare i a impus utilizarea coceptului de multifuc ie, cu toate coseci ele sale (adic, a implicat dezvoltarea aalizei multivoce (ca parte a aalizei eetede), a teoriei puctului fix, precum i a teoriei jocurilor. Echilibrul ecoomic cu exteralit i reprezit u subiect de iteres cotiuu î teoria echilibrului. Exteralit ile sut defiite ca i efecte ale celui de-al treilea participat, efecte care provi di produc ia i/sau cosumul de buuri i servicii petru care u se pl te te ici o compesa ie coveabil. Exteralit ile pot provoca u e ec (o c dere) al(a) pie ei dac mecaismul pre ului u ia î cosiderare toate costurile i beeficiile sociale ale produc iei i cosumului. Studiul exteralit ilor a deveit uul vast î ultimii ai - u î ultimul râd datorit preocup rilor î ceea ce prive te leg turile ître ecoomie i matematic. Î acest ses, este bie cuoscut faptul c majoritatea laurea ilor premiului Nobel î ecoomie au fost matematiciei: Yisrael Robert Joh uma (.8 iuie 930) (matematicia i ecoomist israeli laureat al Premiului Nobel petru ecoomie (2005)), Joh Forbes Nash Jr. (.3 iuie 928) (matematicia americ laureat al Premiului Nobel petru Ecoomie (994)). aliza microecoomic a echilibrului a fost prima dat formulat de Walras (954) i primele demostra ii ale existe ei sale au fost realizate de Wald (95), McKezie (954) i rrow i Debreu (954). ceast lucrare vorbe te despre o ecoomie de schimb cu u spa iu cu m sur al age ilor i exteralit ilor de cosum, care ia î cosiderare dou efecte extere posibile î preferi ele cosumatorilor: depede a de pre uri i cea de alte cosumuri ale age ilor. cestea permit îglobarea îtr-u model geeral de exteralit i cu rela ii de coali ie, î care preferi ele fiec rui aget a sut iflue ate de pre uri i de cosumul global (sau mediu) al age ilor î rela ii fiite de coali ie asociate fiec rui aget a. Exteralitatea depedet de pre este o problem recuoscut de mult timp, problem care i-a g sit recet oi aplica ii î studiul pie elor fiaciare, î care u model Walrasia cu preferi e depedete de pre are o form redus. Petru existe a echilibrului î ecoomii cu u spa iu cu m sur de age i i exteralit i de pre, se face referire la Greeberg, care a folosit preferi e ordoate i o apropiere a teoriei jocului, i care exploateaz ideea origial a lui Debreu de a itroduce u juc tor care stabile te pre ul. 3
Depede a de cosumul age ilor a fost, de asemee pus î discu ie î ultimii ai, cu îcercarea de a avea acela i ivel de geeralitate petru u spa iu cu m sur al age ilor, ca i petru u um r fiit de age i. Î aceast lucrare se va cosidera cazul age ilor cu preferi e strict trazitive, care u sut eap rat complete, ca i î cazul lui Schmeidler (969). Prelucrarea de fa permite existe a uei ipoteze mai slabe de covexitate asupra preferi elor, ceea ce ofer posibilitatea cupriderii rezultatelor lui um Greeberg i Schmeidler. Î lucrarea de fa se propue u model cu um r fiit de efecte de exteralitate, adic, formal, spa iul de exteralitate E este presupus a fi o submul ime a uui spa iu Euclidia fiit dimesioal, iar exteralitatea e E cupride efectele de exteralitate care rezult atât di depede a de pre uri, cât i di alte cosumuri ale age ilor. Rela ia de preferi a fiec rui aget care poate depide de exteralitatea e E, este dat de e, iar iflue a exteralit ii asupra preferi elor age ilor este reprezetat de o fuc ie dat a exteralit ii (exoge ), care asociaz fiec rui aget fiec rui pre p i fiec rei aloc ri de cosum f (itegrabil ), exteralitatea e = ( p, f ) E. stfel, fiid dat pre ul p i alocarea f, op iuile agetului a vor fi f cute cu ajutorul rela iei de preferi ( p, f ). Cosiderarea efectelor fiite ale exteralit ilor determi o restric ie explicit asupra cuplurilor (p,f) de pre uri i aloc ri de cosum (itegrabile) care pot iflue a preferi ele age ilor pri itermediul fuc iei de exteralitate. 4 Modelul aterior co ie, î particular, cazul exteralit ilor cu rela ii de coali ie care se prezit î cotiuare. Fie (,, ν ) spa iul cu m sur al cosumatorilor, apoi modelul rela iilor de coali ie petru fiecare aget a i fiecare pre p, um rul fiit de rela ii de coali ie C ( p) ( =,..., K), care pot iflue a preferi ele agetului a îtr-uul di urm toarele dou moduri. Fiecare coali ie C ( p) poate fi cosiderat clas de referi a agetului a petru u grup particular de m rfuri, ca de exemplu: haie, muzic, c l torii, etc. Depede a exteralit ii opereaz pri itermediul vectorilor de cosum de referi (petru grupuri particulare de marf ) care pot fi ob iu i ca i cosum total sau mediu al age ilor î rela ia de coali ie a agetului a. Cu o sigur rela ie de coali ie (de ex. K=), fuc iile de exteralitate i 2 corespuz toare cosumului total i mediu sut defiite, respectiv, pri: 2 ( p, f ) = ν [ C( p) ] = ( p, f ) f ( α) dν ( α ) C( p) [ ] ( ) ( ) (, ) > 0 f α d ν α daca ν C a p C( p) [ C a p ] 0 dacaν (, ) = 0
mbele modele cosider u um r fiit de efecte extere, cu spa iul de exteralitate E =R, orthat pozitiv îchis al spa iului de m rfuri R, pri î elegâd um rul de m rfuri î cadrul ecoomiei. Î primul model, catitatea de m rfuri i um rul de persoae ce cosum grupul particular de m rfuri sut importate deoarece, de exemplu, î cazul efectelor de re ea: um rul persoaelor coectate la o re ea (iteret sau telefoie mobil ) î rela ia de coali ie este importat petru ca u aget s decid coectarea s adic s cumpere tocmai aceast marf, î timp ce, î al doilea model, doar cosumul mediu este importat petru a defii tedi a de referi. Pricipalul scop al acestei lucr ri este de a furiza u rezultat de existe a echilibrului î modelul cu o fuc ie geeral de exteralitate, i apoi, de a deduce di acesta u rezultat de existe î modelul rela iilor de coali ie atât petru depede a global cât i petru cea medie. Rezultatul ob iut cupride rezultatul lui Schmeidler î cazul rela iilor de coali ie costate (care, a adar, u depide de sistemul de pre uri). Se geeralizeaz, de asemee rezultatul de existe al lui Noguchi, care cosider o rela ie de coali ie particular, ce cost di to i age ii care apar i uei aumite clase de veit asociat agetului a (subcapitolul 2.2.3). De asemee are loc me ioarea rezultatelor de existe ob iute idepedet de c tre Balder, care geeralizeaz de asemeea pe cele ale lui um Greeberg i Schmeidler. Î modelele lui Balder, depede a de exteralit i este defiit îtr-u mod diferit iar age ii au preferi e ordoate (de ex: fuc ii de utilitate), pe câd î modelul de fa, age ii au preferi e stricte. Lucrarea este structurat dup cum urmeaz. Capitolul abordeaz aspectele teoretice di aaliza matematic, aaliza fuc ioal, aaliza eeted i teoria m surii, aspecte idispesabile î elegii pricipalei teme a lucr rii, a aplica iilor semificative ale tuturor acestor domeii, cât i sesiz rii tedi elor dezvolt rii lor ulterioare. Î Capitolul 2 se prezit modelul ecoomiilor de schimb cu fuc ii de exteralitate geerale i coceptul de echilibru (subcapitolul 2..), se eu pricipalul rezultat de existe (subcapitolul 2..2) i are loc sl birea presupuerii de covexitate a preferi elor (subcapitolul 2..3) petru a putea realiza cupriderea rezultatului de existe al lui uma-ildebrad. poi se prezit modelul rela iilor de coali ie (subcapitolul 2.2) i se deduce di teorema de baz existe a echilibrului î acest model; î fial, se prezit cazul particular al modelului rela iilor de coali ie cosiderat de Noguchi. Demostra ia pricipalului rezultat de existe este dat î subcapitolul 2.3. Se demostreaz mai îtâi u rezultat de existe î ipoteza suplimetar c multifuc ia mul imilor de cosum este itegral m rgiit (subcapitolul 2.3.). poi se deduce di aceasta rezultatul pricipal î cazul geeral (subcapitolul 2.3.2). Î fial, pedix-ul prezit 5
pricipalele propriet i ale quasi-cererii idividuale care sut folosite î demostra ia teoremei de existe. Capitolul 3 reprezit capitolul de aplica ii. Se prezit coceptul de exteralitate, formele sale, cotrolul exteralit ilor, precum i cateva exemple ale utiliz rii echilibrului ecoomic cu exteralit i î practic. 6
CPITOLUL Elemete de aaliză matematică, aaliză fucńioală, teoria măsurii şi aaliză eetedă Scopul acestui capitol este de a oferi o colec ie de rezultate cuoscute di aaliza matematic, aaliza fuc ioal, aaliza eeted i teoria m surii ecesare mai târziu.. Elemete de aaliză matematică Fie X o mul ime evid i o fuc ie f X R { ± } :. DefiiŃia... Fie 0 / M X. Fuc ia caracteristic ata at mul imii M este fuc ia χ : X R defiit pri: M, x M χm ( x) : = 0, x M. Se admite acum c ( X, ρ ) este u spa iu metric. Cu B( r), r > 0, se oteaz bila deschis cu cetrul î a X i de raz r, adic : { ρ } B( r) = x X ( x) < r. Dac X este u spa iu ormat, ueori se va ota B : = B(0,). DefiiŃie..2. Fie u spa iu metric X i o fuc ie f X { ± } este cotiu îtr-u puct x0 δ ( = δ ( ε, x )) > 0 astfel îcât: 0 : R. Fuc ia f se spue c X dac i umai dac petru orice ε > 0 exist h : = f ( x ) ε f ( x) f ( x ) ε, x B( x, δ ). 0 0 0 Fuc ia f se spue c este cotiu, dac ea este cotiu pe fiecare x X. DefiiŃia..3. Fie o fuc ie f : X { ± } a fuc iei f î puctul x 0 se defie te pri: Fie o fuc ie f : X { ± } fuc iei f î puctul x 0 se defie te pri: R i u puct x0 limif f ( x) : = sup if f ( x) = sup if f ( x). δ x x0 V V ( x ( 0, ) 0 ) x V δ> 0 x B x R i u puct x0 X. tuci limita iferioar X. tuci limita superioar a 7
limsup f ( x) : = if sup f ( x) = if sup f ( x). x x V V ( x0 ) 0 0 x V δ> x B( x0, δ ) DefiiŃia..4. O fuc ie real f, defiit pe u spa iu topologic X, se ume te superior semicotiu îtr-u puct x X dac petru orice ε> 0 exist o veci tate V a lui x astfel îcât ε< f ( x) f ( y) oricare ar fi y V. Î mod echivalet, se poate scrie: limsup f ( x) f ( y). x y DefiiŃia..5. O fuc ie real f, defiit pe u spa iu topologic X, se ume te iferior semicotiu îtr-u puct x X dac petru orice ε> 0 exist o veci tate U a lui x astfel îcât f ( y) f ( x) ε, petru to i x U. Î mod echivalet, asta se poate scrie: limif f ( x) f ( y) x y.2 Elemete de aaliză fucńioală DefiiŃia.2.. O fuc ie ρ : X X R se ume te semimetric pe o mul ime X dac : a) ρ( x, y) ρ( x, z) ρ( z, y) petru orice x, y, z X (iegalitatea triughiului) b) ρ( x, y) = ρ( y, x) petru orice x, y c) ρ ( x, x) = 0 petru orice x X. Di a), b) i c) rezult imediat c ρ( x, y) 0, petru orice x, y X X. O semimetric ρ pe o mul ime X se ume te metric pe X dac : d) ρ ( x, y) = 0, cu x, y X, implic x = y. O pereche ( X, ρ ) î care X este o mul ime i ρ este o semimetric sau o metric pe X, se ume te spa iu semimetric, respectiv spa iu metric. Dac se oteaz cu K câmpul R al umerelor reale sau câmpul C al umerelor complexe, cu 0 elemetul eutru fa de aduarea di K, cu elemetul eutru fa de îmul irea i di K i cu rela ia de ordie uzual di R, atuci rezult urm toarea defii ie: DefiiŃia.2.2. O mul ime X se ume te spa iu vectorial (sau spa iu liiar) peste K dac î X s-a dat o opera ie iter, umit aduare i otat aditiv : X X X, i o opera ie exter peste K, umit îmul ire cu scalari i otat multiplicativ : K X X, care verific urm toarele axiome: 8
a) ( x y) z= x ( y z) petru orice x, y, z X, b) exist 0= 0 X cu 0 x 0 petru orice x X c) x= x petru orice x X X, X, d) ( α β ) x= α ( β x) petru orice α, β K i orice x e) α ( x y) = α x α y petru orice α K i orice x, y X, f) ( α β ) x= α x β x petru orice α, β K i orice x X. U spa iu vectorial peste R se ume te spa iu vectorial real. X DefiiŃia.2.3. O pereche ( X, ρ ), ude X este u spa iu vectorial i ρ este o semiorm sau orm pe X, se ume te spa iu semiormat, respectiv spa iu ormat. O orm ρ se mai oteaz ρ=. DefiiŃia.2.4. O topologie τ pe u spa iu vectorial X peste K se ume te topologie vectorial dac : 0 0 TV) duarea ( x0, y0 ) x0 y0 î X este cotiu î fiecare puct ( x0, y0 ) X X. TV2) Îmul irea cu scalari ( α0, x0 ) α0x0 î X este cotiu î fiecare puct ( α, x ) K X. (Produsele carteziee X X i K X di aceast defii ie sut îzestrate cu topologia produs, de aceea codi iile TV) i TV2) au formul rile echivalete: TV) petru orice ( x0, y0) X X i orice U V ( x0 y0) exist V V ( x0 ) i exist W V ( y0) astfel îcât V W U, respectiv, TV2) petru orice ( α0, x0 ) K X i orice U V ( α0x0) exist δ> 0 i exist V V ( x ) astfel îcât { α K α α < δ} V U. ) 0 0 DefiiŃia.2.5. U spa iu vectorial X peste K, dotat cu o topologie vectorial, se ume te spa iu vectorial topologic peste K. ceast o iue a fost itrodus de. N. Kolmogorov (934). DefiiŃia.2.6. O topologie τ pe o mul ime X se ume te metrizabil dac exist o metric ρ pe X astfel îcât τ s fie egal cu topologia τ itrodus de ρ pe X. U spa iu topologic ρ ( X, τ ) se ume te metrizabil dac topologia sa τ este metrizabil. Spa iile metrizabile mo teesc toate propriet ile topologice ale spa iilor metrice. 9
DefiiŃia.2.7. U spa iu topologic X se ume te compact dac orice acoperire deschis î X a lui X iclude o acoperire fiit a lui X. O parte Y a uui spa iu topologic X se ume te compact dac î X dac subspa iul topologic Y al lui X este compact. (, ) Se reamite te c topologia τ Y a uui subspa iu topologic Y al uui spa iu topologic X τ este dat de: τ { : τ} Y= Y G G. O parte Y a uui spa iu topologic X se ume te secve ial compact dac orice ir î Y are u sub ir coverget c tre u elemet di Y. DefiiŃia.2.8. Fie X u spa iu prehilbertia. O parte U a lui X se ume te mul ime slab secve ial compact dac petru orice ir ( ) u X cu u N lim ( x u ) = ( x u) petru fiecare x X. î U exist u ir ( u ) al lui ( u) i exist N PropoziŃie.2.9. O aplica ie : X Y este compact dac i umai dac orice ir de elemete di ( U ) are u sub ir coverget c tre u elemet di Y. DefiiŃia.2.0. O parte Y a uui spa iu vectorial topologic X se ume te m rgiit dac petru orice veci tate V a origiii lui X exist λ> 0, cu Y λv. DefiiŃia.2.. Fiid dat o mul ime evid T, ot m cu B( T ) mul imea tuturor fuc iilor scalare x : T K, care sut m rgiite: B( T ) = { x : T K x m rgiit }. stfel, B( T ) este u spa iu vectorial peste K, umit spa iul fuc iilor m rgiite pe T. DefiiŃia.2.2. Fiid dat u spa iu topologic evid T, ot m cu C( T ) mul imea: i cu CB( T ) mul imea: C( T ) ={ x : T K x cotiu } CB( T ) = C( T ) B( T ) = { x : T K x cotiu i m rgiit }. Spa iul vectorial C( T ) se ume te spa iul fuc iilor cotiue pe T, iar spa iul vectorial CB( T ) se ume te spa iul fuc iilor cotiue i m rgiite pe T. Câd T este compact, avem CB( T ) = C( T ). 0
DefiiŃia.2.3. Se spue c o rela ie biar îtr-o mul ime T este dirijat (superior) dac petru orice t, t T exist t T, cu t t i t t. O mul ime T, îzestrat cu o rela ie biar, care este reflexiv, trazitiv i dirijat, se va umi mul ime dirijat. Pri ir geeralizat îtr-o mul ime X se î elege orice aplica ie x : T X, ude ( T, ) este o mul ime dirijat. U ir geeralizat x î X se mai oteaz cu ( x ). t t T DefiiŃia.2.4. Se spue c u ir geeralizat ( x t ) t T îtr-u spa iu topologic X este coverget c tre u elemet x al lui X dac petru orice V V ( x) exist t T 0 astfel îcât oricare ar fi t T, cu t 0 t, s avem xt V. U elemet x di aceast defii ie se ume te limit a lui ( x t ) t T. Faptul c u ir geeralizat ( x t ) t T are o sigur limit x se oteaz x x sau lim x= x. t t T t DefiiŃia.2.5. U ir geeralizat ( x t ) t T ditr-u spa iu vectorial topologic X se ume te fudametal dac petru orice V V (0) exist t 0 x, t T, cu t t0 i s t. 0 DefiiŃie.2.6. O serie x -coverget dac irul sumelor sale par iale X ; respectiv, -absolut coverget dac seria umeric T astfel îcât xt xs V oricare ar fi cu termeii îtr-u spa iu ormat X se ume te: x = N x este coverget c tre u elemet di este coverget c tre u um r di R. DefiiŃia.2.7. O parte Y a uui spa iu vectorial topologic X se ume te complet dac orice ir geeralizat î Y, care este fudametal, este coverget c tre u elemet di Y. DefiiŃia.2.8. O parte Y a uui spa iu vectorial topologic X se ume te secve ial complet dac orice ir obi uit î Y, care este fudametal, este coverget c tre u elemet di Y. DefiiŃia.2.9. Se dau dou umere îtregi m 0, 0. Se spue c m pucte v,..., 0 v m di spa iul euclidia λ,..., λ R, cu λ... λ = 0 i 0 m 0 R sut afi idepedete dac petru orice m λ0v0... λ v = 0, m m
avem λ0 =... = λ m = 0. ude Fiid da i m vectori afi idepede i v,..., 0 v m di R, mul imea: { λ λ R λ λ } v... v = x= v... v : (,..., ) L 0 m 0 0 m m 0 m m m {( 0,..., ) R : 0 0,..., 0, 0... } L = λ λ λ λ λ λ = m m m m se ume te simplex m-dimesioal î R, iar v,..., 0 m v se umesc vârfurile sale. DefiiŃia.2.20. Fie X i Y dou spa ii topologice. O aplica ie : X Y se ume te cotiu î x dac petru orice V V ( ( x)) exist U V ( x) astfel îcât ( U ) V. DefiiŃia.2.2. Fie X i Y dou spa ii topologice. O aplica ie : X Y se ume te secve ial cotiu î x dac petru orice ir ( x) î X, cu N x x, avem ( x ) ( x) î Y. DefiiŃia.2.22. O parte Y a uui spa iu vectorial se ume te mul ime covex dac petru orice x, y Y i orice α R, cu 0< α<, avem α x ( α ) y Y. Ideea de mul ime covex apare, petru prima dat, la rhimede î secolul 3 î.e.. DefiiŃia.2.23. Fie X u spa iu vectorial, U X, U evid i covex. O fuc ie f : U R se ume te fuc ie covex pe U dac petru orice x, y U i orice λ [ 0,] are loc iegalitatea: f ( λx ( λ) y) λ f ( x) ( λ) f ( y). Dac X este u spa iu vectorial topologic, este o submul ime evid a s ot m cu cl (sau ) îchiderea lui, co îvelitoarea covex a lui. DefiiŃia.2.24. Fie X u spa iu vectorial i o parte a lui X. Se oteaz : { : } V = C X C covexa si C. Itersec ia co= { C C } : V se ume te îvelitoarea covex a lui. DefiiŃia.2.25. Fie X u spa iu vectorial i Y X. U elemet x al lui X de forma x= αy... α y, 2
ude N, y,..., y Y i α,..., 0 α, cu α... α =, se ume te combia ie covex de elemete di Y. DefiiŃia.2.26. Fiid dat u spa iu ormat ( X, ), fuc ia ρ : X X R, defiit de ρ( x, y) = x y, x, y X, este, evidet, o metric î X. Dac spa iul metric ( X, ρ ), astfel costruit i deumit spa iul metric asociat lui ( X, ), este complet, atuci ( X, ) este spa iu Baach. fuc ia modul Î cele ce urmeaz, câmpul K este privit ca spa iu Baach î raport cu orma dat de : K R. DefiiŃie.2.27. U spa iu topologic X se ume te separabil dac exist o parte cel mult um rabil Y a lui X, cu Y= X. Fie X i Y dou spa ii ormate peste acela i K. Pe spa iul vectorial ( X, Y ) al tuturor aplica iilor liiare i cotiue : X Y se itroduc dou topologii vectoriale ausdorff: ua geerat de orma: i umit topologie uiform î { } = sup ( x) : x X, x, ( X, Y ), X Y, i alta geerat de familia suficiet P= { p : x X} (, ) x de semiorme px : ( X, Y ) R, defiite pri i umit topologie puctual î p ( ) ( ), (, ) x = x X Y ( X, Y ). adar, ( X, Y ) are o dubl structur : el este spa iu ormat î raport cu topologia uiform i spa iu local covex ausdorff î raport cu topologia puctual. Di ( x) x x X urmeaz c topologia uiform este mai fi decât topologia puctual î ( X, Y ). Teorema.2.28. (Teorema de covexitate a lui Caratheodory, 907). Dac P este o parte a uui spa iu vectorial real de dimesiue fiit 0, atuci orice puct di îvelitoarea covex cop a lui P este o combia ie covex de cel mult pucte disticte di P. 3
DefiiŃia.2.29. Se ume te spa iu euclidia o pereche ( K,( ), ) ude ( ) este produsul scalar î K, dat de ( x y) = x y, x= ( x ) K, y= ( y ) K. i= i i i i i i DefiiŃia.2.30. Î geometrie, u orthat îchis reprezit ua di cele 2 submul imi ale uui spa iu Euclidia -dimesioal, defiit pri codi ioarea fiec rei axe de coordoate carteziee de a fi eegativ sau de a u fi pozitiv. sta îseam c, u orthat îchis este echivaletul uui quadrat îchis î pla i uui octat îchis î spa iul tridimesioal. U orthat îchis este defiit prit-u sistem de iegalit i: ε x 0 petru i i i asupra coordoatelor x i, ude fiecare ε i este sau -. Orthat deschis este similar, dar coordoatele trebuie s fie pozitive sau egative (cu defiirea iegalit ilor: ε x> 0 petru i ). i i DefiiŃia.2.3. Fie Y u spa iu Baach, B bila uitate îchis di X, ( X, ) u spa iu m surabil i F : X P( Y) o fuc ie multivoc. F se spue c este itegral m rgiit, [4], dac i umai dac exist m L ( X, R ) astfel îcât F( t) m( t) B, petru orice t X. Teorema.2.32. (Teorema Eberlei-Smulia[2]) O submul ime K a uui spa iu Baach este slab compact dac i umai dac este slab secve ial compact. Teorema de maxim a lui Berge este ua ditre cele mai folosite i mai puterice teoreme aplicate î matematica ecoomic i î teoria jocurilor. Spue c mul imea solu iilor uei probleme de maximizare variaz î mod superior hemicotiuu dup cum mul imea de costrîgere variaz îtr-u mod cotiuu. Teorema cosider cazul maximiz rii uei fuc ii cotiue cu valori reale peste o mul ime compact care variaz cotiuu cu aumi i vectori parametrii. Mul imea solu iilor este o multifuc ie hemicotiu cu valori compacte. Mai mult, valoarea fuc iei maximizate variaz cotiuu cu parametrii. 4
Teorema.2.33. (Teorema ( de Maxim a lui Berge[6]). Fie P, X spa ii metrice i fie ϕ : P ~> X o multifuc ie cu valori compacte. Fie f : X P R cotiu. Se defie te multifuc ia argmax µ : P ~> X pri µ { ϕ i fuc ia valoare V : P R pri: ( p) = x ( p) : x maximizeaz f (, p) pe ϕ( p) }, V ( p) = f ( x, p) petru orice x µ ( p). Dac ϕ este cotiu î p, atuci µ este îchis i superior semicotiu î p i V este cotiu î p. Mai mult, µ are valori compacte. Lema lui Fatou stabile te o iegalitate ce leag itegrala (î sesul lui Lebesgue) limitei iferioare a uei ir de fuc ii cu limita iferioar a itegralelor acestor fuc ii. Este umit dup matematiciaul fracez Pierre Fatou (878-929). Lema.2.34. (Lema lui Fatou) Dac f, f 2,... este u ir de fuc ii m surabile eegative defiite pe u spa iu m surabil ( S, Σ, µ ) atuci S limif f dµ lim if f dµ. Î partea dreapt limita iferioar a lui f este luat puct cu puct. Fuc iile pot atige valoarea ifiit i itegralele pot fi i ele ifiite. S Teorema.2.35. (Teorema de covexitate a lui Lyapuov) Fie T 0 u iterval compact î R, g familia tuturor p r ilor m surabile Lebesgue ale lui T 0 i L ( T 0) spa iul Baach real al claselor xɶ de fuc ii x : T 0 R, care sut m surabile i itegrabile pe T 0, îzestrat cu orma: xɶ = x t dt x xɶ L T. T0 ( ), ( 0) Petu simplificarea scrierii, o clas xɶ se va idetific de regul, cu ua ditre fuc iile x care o geereaz. Teorema.2.36. (.. Lyapuov, 940). Dac este covex i compact î spa iul euclidia x,..., x L ( T ), cu, atuci mul imea 0 R T L { = ( x ( t) dt,..., x( t) dt) : T } T T R. DefiiŃia.2.37. Se ume te mul ime ordoat o pereche ( X,, ) ude X este o mul ime i este o rela ie de ordie î X (reflexiv, trazitiv i atisimetric ). 5
DefiiŃia.2.38. Fie ( X, ) o mul ime ordoat. U elemet x X se ume te maximal î X dac y X, cu x y, avem x= y..3 Elemete de teoria măsurii DefiiŃia.3.. Fie X o mul ime evid i P ( X ). se spue c este o σ algebr pe X dac : (i) 0/ / ; (ii) X \ ; (iii), =,2,.... Urmeaz imediat c X, iar dac, =,2,..., atuci. Dac este o σ algebr pe X, atuci perechea ( X, ) se spue c este u spa iu m surabil, iar elemetele di se umesc mul imi m surabile sau, ueori, -m surabile. Dac i, i I, este o clas de σ algebre pe X, atuci i I i este o σ algebr pe X. Dac 0 / R P ( X ), atuci σ algebra geerat de R este defiit ca itersec ia tuturor σ algebrelor care co i pe R. DefiiŃia.3.2. Fie ( X, ) u spa iu m surabil i Y u spa iu topologic. O fuc ie f : X Y se spue c este o fuc ie m surabil, dac are loc ua di urm toarele dou codi ii echivalete: (i) petru fiecare mul ime deschis V Y, mul imea { } f ( V ) = t X f ( t) V ; (ii) petru fiecare mul ime îchis C Y, mul imea { } f ( C) = t X f ( t) C. Fiec rui spa iu topologic Y i se asociaz o structur caoic de spa iu m surabil î care mul imile m surabile vor fi, pri defii ie, submul imile boreliee ale lui X. DefiiŃia.3.3. O clas de mul imi R se va umi iel de mul imi dac verific rela iile:, B R B R i \ B R. U iel de mul imi pe X care co ie pe X se ume te algebr de mul imi. 6
DefiiŃia.3.4. U iel de mul imi se va umi δ -iel (respectiv σ -iel) dac este îchis la itersec ii um rabile (respectiv reuiui um rabile). U σ -iel de p r i ale lui X se va umi σ -algebr dac co ie pe X. Îtrucât deducem c orice σ -iel este u δ -iel. = \ ( \ ) N DefiiŃia.3.5. Dac X este u spa iu topologic, atuci σ algebra geerat de mul imile deschise se spue c este σ algebra Borel pe X, iar elemetele sale se umesc mul imi boreliee pe X. Clasa mul imilor boreliee pe X se oteaz cu B ( X ). lgebra Borel este cea mai mic -algebr pe mul imea umerelor reale R ce co ie itervalele, iar m sura Borel este m sura pe aceast -algebr care ata eaz itervalului [ b] m sura b a (ude a < b). M sura Borel u este complet, fapt petru care î practic se prefer m sura Lebesgue complet : orice mul ime Borel m surabil este de asemeea Lebesgue m surabil, iar m surile mul imilor coicid. Îtr-u cotext mai geeral, fie X u spa iu ausdorff local compact. O m sur Borel este orice m sur µ pe -algebr -algebra Borel pe X. DefiiŃia.3.6. Fie P σ -algebra mul imilor boreliee di R. Se ume te m sura Lebesgue pe R o m sur pozitiv λ pe B astfel îcât: a) este ivariat la trasla ii (adic petru orice λ( x ) = λ( )); b) λ ( I) =, ude: [ 0,] [ 0,] [ 0,] I ori =. x R i orice B avem Fie ( X, ), ( Y, R ) ) dou σ algebre. σ algebra geerat de R se oteaz cu R, adic R este cea mai mic σ algebr care co ie { R, R R }. DefiiŃia.3.7. Fie ( X, ) u spa iu m surabil i Y u spa iu ormat. O aplica ie m defiit pe cu valori î Y sau [ 0, ] se ume te m sur dac petru orice familie { } de N mul imi N, cu m = 0 / petru m, avem m ( N ) = m ( ). Tripletul 7
( X,, m) î care ( X, ) este u spa iu m surabil, iar m este o m sur pe, se ume te spa iu cu m sur. Dac m sura m ia valori î itervalul [ 0, ], atuci se spue c m este o m sur pozitiv. Dac m( ) < petru orice, m sura m se spue c este o m sur fiit. Dac exist o familie { } de mul imi N cu = X N i m( ) <, petru orice N, atuci se spue c m este o m sur σ fiit. O mul ime E se ume te atom (î raport cu m ) dac m( E ) > 0 i dac petru orice cu E sau m( ) = 0 sau m( ) = m( E). M sura m se spue c este o m sur atomic dac exist cel pu i u atom î ; m se spue c este o m sur eatomic dac fiecare mul ime m surabil este eatomic. DefiiŃie.3.8. Se ume te m sur exterioar pe X o fuc ie ϕ : P ( X ) R, care este σ -subaditiv i cresc toare, adic B ϕ( ) ϕ( B). DefiiŃia.3.9. U spa iu cu m sur ( X,, m) (ude este o σ algebr pe X, iar m este o m sur pozitiv ) este u spa iu complet dac B, B, m( B) = 0. DefiiŃia.3.0. Fie ϕ o m sur exterioar pe X. O parte a lui X se va umi ϕ - m surabil dac petru orice parte B a lui X are loc rela ia: ϕ( B) = ϕ( B ) ϕ( B C ). Mul imea se va umi ϕ -itegrabil dac este ϕ -m surabil i ϕ ( ) <. Se va ota cu I ( ϕ) (respectiv S ( ϕ) mul imea p r ilor ϕ -m surabile (respectiv ϕ -itegrabile). DefiiŃia.3.. Fie R o σ -algebr de p r i ale lui X i fie µ o m sur pozitiv pe R. O parte M X se va umi µ -m surabil dac M R µ (adic este de forma M= B, R, µ ( B) = 0 ). DefiiŃia.3.2. (Proprietatea lui Fubii) Cuplul de m suri ( µ, ν ) satisface proprietatea lui Fubii dac petru orice C R S, fuc iile umerice pe X, respectiv, Y defiite pri y x ν ( C ), y µ ( C ) x 8
sut R -m surabile, respectiv S -m surabile i ν ( C ) ( ) ( y x d µ x = µ C ) d ν ( y) = ( µ ν )( C). Not m cu D dreptughiul [ b] [ c, d] di pl ude b, c, d R, a< b i c< d. Teorema.3.3. (G. Fubii, 907). Dac f : D K este o fuc ie itegrabil pe D, atuci: a) Exist S [ b] i exist T [ c, d] fuc iile t f ( s, t) i s f ( s, t) [, ] a b petru fiecare t T. [, ], cu m s S = b a i m s T = d c, astfel îcât s fie itegrabile pe [, ] d b) Fuc iile s f ( s, t) dt i t f ( s, t) ds c a b c d petru fiecare s S, respectiv pe sut m surabile pe [, ] b d d b c d, i f ( s, t) ds dt= f ( s, t) dt ds= f ( s, t) ds dt; D a c c a â a b, respectiv pe c) Dac ipoteza itegrabilit ii lui f pe D este îlocuit cu codi ia ca f s fie m surabil i eegativ i dac este fiit ua ditre itegralele repetate a b c d f ( s, t) dt ds i f ( s, t ) ds dt, atuci este fiit i cealalt itegral, f este itegrabil pe D i au loc egalit ile de la b). c d a b DefiiŃia.3.4. O fuc ie f : X Y Z, ude ( X, ) este u spa iu m surabil, iar Y, Z sut spa ii topologice, se spue c este o fuc ie produs-m surabil dac f este m surabil î raport cu σ -algebra B ( Y ). DefiiŃia.3.5. O fuc ie f : X Y Z, ude ( X, ) este u spa iu m surabil, iar Y, Z sut spa ii metrice, se spue c este o fuc ie Caratheodory (C. Caratheodory 873-950) dac : y Y, f ( i, y) este m surabil t X, f ( t, ) este cotiu..4 Elemete de aaliză eetedă DefiiŃia.4.. Fie X i Y dou mul imi evide. O multifuc ie F de la X la Y este o fuc ie de la X la P( Y ). Se oteaz cu F : X > Y. O multifuc ie se va ota cu liter mare, î vreme 9
ce o fuc ie se va ota cu liter mic. Dac multifuc ia F satisface codi ia c F( x) 0 /, petru orice x X, atuci ot m F : X Y i spuem c ea este strict. DefiiŃia.4.2. Dac F : X > X, u puct x X cu proprietatea x F( x) se ume te puct fix al multifuc iei F. Not m F { ( )} Fix = x X x F x. Fix F mul imea puctelor fixe ale lui F, adic DefiiŃia.4.3. Fie X X 2, Y Y2 i F : X > Y, G : X 2 > Y2. tuci G se spue c este o extesie a lui F i se oteaz cu F G dac G( F) G ( G). Dac F este uivoc i G este strict, atuci se spue c F este o selec ie a lui G. Fie ( X,, m) u spa iu cu m sur σ -fiit, u eap rat complet, i Y u spa iu Baach real. Petru p se defie te: p { (, ), ( ) ( ),.. } p S = L. F f f X Y f t F t a p t pe X DefiiŃia.4.4. Fie ( X,, m) u spa iu cu m sur i Y u spa iu Baach. Defiim itegrala uma di multifuc ia F pe X pri: X { } F S F( t) m( dt) : = f ( t) m( dt) f. Uzual se oteaz S F mul imea selec iilor m surabile ale multifuc iei F. X DefiiŃia.4.5. U spa iu topologic separabil i metrizabil cu o metric complet se spue c este u spa iu poloez. Teorema.4.6. (Teorema de selecńie a lui uma[3], [4]) Fie ( X, ) u spa iu m surabil cu o σ -algebr σ -fiit, Y o submul ime Borel a uui spa iu poloez i F : X Y o multifuc ie graf m surabil. tuci exist o fuc ie m surabil f : X Y care este selec ie a.p.t., adic f ( t) F( t) a.p.t. DefiiŃia.4.7. O multifuc ie Γ : B se ume te superior hemicotiu î puctul a dac petru orice veci tate deschis V a lui Γ ( a) exist veci tatea U a lui a astfel îcât Γ ( x) este î V petru to i x î U. 20
DefiiŃia.4.8. O multifuc ie Γ : B este iferior hemicotiu î puctul a dac petru orice mul ime deschis V ce itersecteaz Γ ( a), exist o veci tate U a lui a astfel îcât Γ ( x) s itersecteze pe V, petru to i x î U. Termeii de iferior semicotiuitate i superior semicotiuitate, î loc de iferior i superior hemicotiuitate, sut mult mai raspâdi i î literatur. Termeul de iferior hemicotiuu este rezervat petru iferior semicotiuitatea î raport cu topologia slab, iar cel de superior hemicotiuu este rezervat petru superior semicotiuitatea î raport cu topologia slab. Î cotiuare se face o prezetare ituitiv a uor idei i cocepte de baz ale microecomiei..4.9. Teoria microecoomică Teoria microecoomic are drept scop aaliza comportametului idividual al age ilor ecoomici i agregarea ac iuilor lor îtr-u cadru istitu ioal. Patru elemete sut relevate î aceast defii ie: (i) u aget idividual este u cosumator (idivid, familie sau istitu ie) sau o firm ; (ii) pri comportamet, tradi ioal, se î elege urm rirea maximiz rii utilit ii i a maximiz rii profitului; (iii) cadrul istitu ioal este, tradi ioal, mecaismul pre ului îtr-o pia impersoal ; (iv) modul de aaliz urm re te agregarea comportametului age ilor i aaliza echilibrului. Scopul este de a î elege mai bie atât ie irile cât i activitatea ecoomic. ceast î elegere este util î dou sesuri: (i) î ses pozitiv, adic beeficiul cuoa terii mai aprofudate a feomeului microecoomic; (ii) î ses ormativ, adic abilitatea de a se itervei sau u, atât la ivel guverametal cât i la ivel istitu ioal Se aalizeaz succit o pia cu o sigur marf, fie ea carea de pas re, figura Dac pre ul c rii de pas re urc, oameii vor cump ra mai pu i care de pas re. Dac pre ul c rii de pas re scade, oameii vor cump ra mai mult care de pas re. cest lucru este sugerat î figura 2. 2
Figura : Cerere-ofert Figura 2: Modificarea ofertei cesta este u model al pie ei c rii de pas re. Despre acest model se spue c este î echilibru dac cerea i oferta coicid. Î figura.. p este pre ul de echilibru i q este catitatea de echilibru. Nimei u cump r mai mult la acest pre i ici u furizor u livreaz mai pu i la acest pre. Pre ul are mai multe fuc ii î ecoomie. Se amitesc aici câteva: (i) iformare. Cel mai importat, pre urile ofer iforma ii asupra relativei limit ri a diferitelor buuri f r a oferi, î mod ecesar, iforma ii asupra catit ilor produse, a modului, locului sau datei de producere; (ii) ra ioalitate. Pre urile previ epuizarea resurselor limitate (pre urile mai mari preîtâmpi cererea excesiv ); (iii) veit. Pre urile determi veiturile, iclusiv pre ul for ei de muc (al salariului). Se presupue c oferta de care de pas re scade datorit uei epidemii aviare severe. Curba ofertei traslateaz la stâga. Petru fiecare pre este furizat o catitate mai mic de care de pas re decât îaite. Catitatea de echilibru scade, iar pre ul de echilibru cre te..4.0. Mărfuri şi preferińe Cosumatorul face alegeri di i te pachete de m rfuri. Teoria cosumatorului modeleaz felul î care aceste alegeri sut f cute. U bu este u produs (de exemplu: patofi, mere, pere, etc). U bu poate fi specificat î termei de timp (mere de ast zi, mere de mâie) sau/ i loc (mere de Cluj). U pachet de buuri este o colec ie de buuri (de exemplu: 2 mere de Cluj). U pachet de buuri poate co ie atâtea buuri câte se cer. Dac se lucreaz cu doar dou buuri, 22
reprezetarea pla este facil i util. stfel, x=(2 mere, 4 pere), y=( m r, 2 pere), z=(3 mere, p r). Premisa de baz î teoria cosumatorului este c fiecare cosumator are preferi e asupra pachetelor de buuri. tuci rezult c : (i) x y dac i umai dac pachetul x este preferat strict pachetului y; (ii) x y dac i umai dac pachetul x u este preferat strict pachetului y i y u este preferat strict pachetului x. Cosumatorul este idiferet ître cele 2 pachete; (iii) x y dac i umai dac pachetul x este preferat strict pachetului y sau cosumatorul este idiferet ître cele 2 pachete. Îarmat cu aceste preferi e, cosumatorul poate compara diferite pachete de buuri. lucra cu preferi e, îs, u este îtotdeaua u or. Tocmai de aceea se va itroduce u alt istrumet de lucru î locul preferi elor, dar fudametat pe ele. Se fac urm toarele trei ipoteze asupra rela iei de preferi : (i) completitudie, adic, x y sau y x sau ambele petru toate pachetele x i y. ceast ipotez stipuleaz c orice dou pachete pot fi comparate pri prisma preferi ei; (ii) (iii) reflexivitate, adica x x petru orice pachet x. ceast ipotez stipuleaz c orice pachet este dorit î aceea i m sur ca sie îsu i; trazitivitate, adic, dac x y i y z, atuci x z. Cu alte cuvite, dac u cosumator prefer pachetul x pachetului y i prefer pachetul y pachetului z, atuci cosumatorul prefer pachetul x pachetului z. Cele trei ipoteze u par iacceptabile. Oricum, ele sut ipoteze i u fapte. Istrumetul de lucru care se itroduce î locul preferi elor, dar strâs legat de ele, este fuc ia de utilitate. ceasta ata eaz fiec rui pachet de buuri u um r real. Se oteaz fuc ia de utilitate cu u( ). ceast asociere se face astfel ca fuc ia s reprezite rela ia de preferi, adic, u(x) u(y) dac i umai dac x y. adar se itroduce o fuc ie u : X R care s reprezite preferi ele uui aget a ecoomic. Se spue c o fuc ie u : x y atuci i umai atuci câd a a u ( x) u ( y). a X R reprezit preferi ele cosumatorului a dac 23
Se presupue c X este o mul ime ordoat cu o rela ie de ordie complet i trazitiv. Itervalul [ b ] este defiit pri { x X a < x < b} petru care mul imile { y X y x} i { y X y x} < <. O topologie atural pe X este o topologie sut îchise petru orice x X. Se itroduce mul imea claselor de echivale (idifere ) X : = X /. Se exclude cazul trivial câd X =. Fuc ia de reprezetare a u se ume te fuc ie de utilitate sau de satisfacere. Teorema.4.0.. Orice rela ie de preferi care satisface cele trei ipoteze de mai sus poate fi reprezetat pritr-o fuc ie de utilitate. Numerele u( ) îsele u au u ses special. Coteaz doar relativa lor m rire. Coform teoremei, fiec rui pachet de buuri i se poate ata a u um r de utilitate. Spa iul m rfurilor (buuri i servicii cuatificabile) se defie te pri X, adic exist m rfuri. Timpul i loca ia se pot iclude î defii ia m rfii. Se va lua X= i astfel mul imea X a m rfurilor este coex, îchis i covex. Covexitatea presupue diviziuea complet a m rfurilor. Fiecare ax de coordoate a spa iului X este asociat uei m rfi specifice i ivers. Pe axa asociat uei m rfi se reprezit o catitate di respectiva marf. U elemet x X se spue c este u pachet de m rfuri sau vector de cosum et. Evidet, o compoet x i a uui pachet x poate fi pozitiv, zero sau egativ. Dac o aumit compoet x i a pachetului de m rfuri x este pozitiv, atuci acel bu se cosider a fi o itrare, fiid u bu cosumabil, î timp ce dac compoeta respectiv este egativ, ea se cosider a fi o ie ire (furizare de muc ) i se ume te factor. Fie mul imea age ilor ecoomici, iar um rul lor. Se presupue c exist u um r fiit de age i. U aget ecoomic este defiit pri tripletul (C a, e a ), a, ude: (i) C a este mul imea de cosum a agetului a i C a X; (ii) a este rela ia de preferi e sau preferi ele agetului a; (iii) e a a C este îzestrarea ii ial a agetului a; Mul imea de cosum C a co ie pachetele de m rfuri care sut relevate petru agetul a. Se presupue c mul imea C a este: îchis, coex, covex i m rgiit iferior, adic, exist o costat care m rgie te iferior orice compoet a oric rui elemet di C a. Îchidere coexitatea i covexitatea mul imii de cosum C a sut cerute de rezultatele ce se doresc a fi 24
demostrate. M rgiirea iferioar este impus de realitate (u se poate cosuma mai pu i decât strictul ecesar supravie uirii, imposibilitatea de a avea catitate egativ de pâie,etc.). Rela ia de preferi a a cosumatorului a este o rela ie biar pe C a, adic, a a a C C i se cite te preferat sau echivalet lui (sau cel pu i la fel de bu ca). (x,y) a ( x a y) deot c petru cosumatorul a pachetul x este preferat sau echivalet pachetului y sau c pachetul x este cel pu i la fel de bu precum pachetul y. O ecoomie de schimb pur este defiit pri: ε 0 = (, X,,e, ) ude este mul imea age ilor ecoomici, X este spa iul de cosum, este mul imea rela iilor de preferi, e este mul imea îzestr rilor ii iale, iar este spa iul pre urilor. x. a se cite te preferat strict i se defie te pri: x a y dac i umai dac u are loc y ~ a se cite te echivalet lui/idiferet lui i se defie te pri: x ~ a y dac i umai dac x a a y i y a x. Defiim mul imea pachetelor preferate sau echivaletul lui x pri R a (x)={y C a y ax};aceast mul ime se ume te coturul superior. Vom folosi i ota ia: R (x)=r a (x). Mul imea pachetelor strict preferate pachetului x se defie te pri P a (x)={y C a y a x} i se ume te coturul superior strict. Mul imea de idifere se defie te pri I a (x)={y C a y ~ a x}. Î leg tur cu rela ia de preferi utiliz m ipoteze de mai jos. Rela ia de preferi se spue c este: (i) complet, adic, dac x,y C a, atuci x a y sau y a x sau ambele; (ii) reflexiv, adic, x a x, x C a ; (iii) trazitiv, adic, dac x,y,z, atuci x ay i y a z implic x a z; a C (iv) cotiu, adic, R (x) i R (x) sut îchise î C a ; (v) esaturat, adic, petru orice x C a exist y C a astfel ca y a x; (vi) covex, adic, dac x ay, atuci λ x ( λ) y a y, petru orice λ [0,]; (vii) mooto, adic, dac x y x a y. Cu alte cuvite, mai mult este mai bie. Ipoteza (iv) de cotiuitate a rela iei de preferi se mai poate exprima astfel: 25
(i) petru oricare dou iruri covergete de pachete de m rfuri (x,y ), cu x a y petru orice G, avem x ay,, ude x=lim x i y=limy ; (ii) coturul superior strict P a (x) este o mul ime deschis. Scopul acestor ipoteze poate fi relevat urm rid figura 4, ude am presupus ca avem u spa iu bidimesioal al m rfurilor, adic avem dou m rfuri pe pia. Fie C a = 2. stfel mul imea de cosum C a este îchis, coex, covex i m rgiit iferior. Pri ipoteza (i) de completitudie toate elemetele di C a sut î rela ie cu x deoarece sau x a y sau y a x sau ambele. Pri urmare, putem scrie C a =R (x) R (x). Di ipoteza de reflexivitate (ii) avem ca x R (x) R (x), deci ambele mul imi sut evide. Mai mult, dac y R (x) R (x), atuci y I a (x). Reciproc, dac y I a (x), atuci y R (x) R (x). stfel, I a (x)= R (x) R (x)..4.. Bugetul S-a v zut ce pachete de buuri prefer u cosumator. Cum buurile cost bai, cosumatorul u î i poate permite cump rarea uei catit i oricât de mari di careva bu. Se presupue c u cosumator are u veit egal cu m. tuci cump r torul u poate cheltui mai mult decât m. Se presupue c avem dou buuri i c ele au pre uri eegative, fie p, respectiv p 2. Catitatea total de bai cheltui i petru a cump ra catitatea x di primul bu este p x, iar petru a cump ra catitatea x 2 di al doilea bu este p 2 x 2. stfel se ob ie iecua ia: p x p 2 x 2 m. Î geeral, este imposibil existe a uor catit i egative de buuri. Pri urmare mai exist dou restric ii: x 0 i x 2 0..4.2. Costrâgeri bugetare Fiec rei m rfi i se ata eaz u um r real pi 0, pre ul s u. U vector p= ( p,..., p ) este u sistem de pre uri. Este coveabil s se cosidere c pre urile sut î simplexul P p pi = R. Num rul real p, x sau px se ume te valoarea pachetului x. i= 26
m rfurilor Bugetul este o multifuc ie de la produsul scalar al spa iului pre urilor P cu mul imea X=R î mul imea cosum bugetul ca fiid multifuc ia: a a C, adic, : B P X C { } B ( p, e ) = x C p, x p, e a a a a a. stfel se poate defii adic mul imea pachetelor de cosum pe care i le poate permite agetul ecoomic a. a a a Teorema.4.2.. Multifuc ia B (, e ) : P C este superior semicotiu..4.3. Cererea a a Problema cosumatorului a se defie te cu fuc ia ψ (, e ) : P R pri a (, a ) max a ψ p e = u ( x ) () a a x B ( p, e ) Cererea agetului ecoomic a se defie te ca fiid multifuc ia φ a : P R C a defiit pri: a a a φ ( p, e ) = arg max u ( x ), (2) a a x B ( p, e ) adic multifuc ia de la perechile pre -îzestrare î spa iul de cosum. ObservaŃia.4.3.. Problema () a cosumatorului are solu ie dac fuc ia de utilitate a a cotiu, iar bugetul B ( p, e ) este o mul ime compact. a u este Fuc ia a ψ se ume te fuc ie de utilitate maximalizat (sau fuc ie idirect de utilitate). Multifuc ia a φ se ume te corespode (marshalia ) de cerere. lterativ, se poate cosidera cazul dual al miimiz rii fuc iei de cheltuieli (cost). ceasta a fost itrodus de P. Samuelso î aul 947 i formulat, a a cum se utilizeaz î prezet, de L. McKezie î aul 957: { } a a a a a (, 0 ) = mi, ( ) 0, (3) E p u p x cu x y C u y u { } h p u p x cu x y C u y u a a a a a (, 0 ) = arg mi, ( ) 0 (4) Fuc ia a a a a E ( p, u 0 ) se ume te fuc ia de cost sau fuc ia de cheltuieli, iar multifuc ia h ( p, u 0 ) se ume te corespode a de cerere compesat sau icsia. Se spue c cererea este a compesat deoarece apare o compesare dat de u 0. a a a Mul imea { y C u ( y) u 0 } este îchis i m rgiit iferior. tuci exist miimul di (3), i deci, exist pachetul a a h ( p, u 0 ) care miimizeaz costul. Cum mul imea a a a { y C u ( y) u 0 } u depide de pre, ea este simulta superior i iferior semicotiu î 27
raport cu pre ul. stfel î raport cu pre ul, fuc ia de cost este cotiu, iar corespode a de cerere hicsia este superior semicotiu..4.4. Buăstarea ecoomică Bu starea ecoomic este o ramur a ecoomiei care studiaz eficie a i starea de bie a îtregii societ i bazate pe aloc ri alterative ale resurselor limitate. Bu starea ecoomic extide aaliza microecoomic a curbelor de isoutilitate la îtreaga societate ca u tot. Bu starea ecoomic se studiaz pe baza eficie ei Pareto. Se spue c exist o eficie Pareto dac starea (ecoomic ) a uei persoae u poate fi îmbu t it f r a deteriora starea a cel pu i uei alte persoae. Î geeral eficie a Pareto u se atige dac exist resurse efolositoare sau efolosite. Pri agajarea resurselor efolositoare î produc ie, uele firme pot avea o produc ie mai mare f r a reduce produc ia uei alte firme. Î cotiuare se prezit o formul matematic propus de ecoomistul i sociologul italia V. Pareto, petru stabilirea ivelurilor echilibrului uui sistem social pri determiarea puctelor î care exist u maximum de ofelimitate petru fiecare idivid. Se tie c : ofelimitatea este satisfac ia pe care o d uui idivid cosumul sau posesia uei catit i ditr-u bu ecoomic, catitate ad ugat ueia cosumate sau de iute deja de u idivid; otîd ofelimit ile m rfii cu 2... petru idivizii, 2,..., iar varia iile ofelimit tii totale ale fiec rui idivid cu, 2,..., se poate scrie c : du = O = dφ dφ... Φ 2 a Φ2a ude U = maximum de ofelimitate petru o colectivitate, î ecoomia politic, iar d = varia iile care se produc î fuc ie de drumul pe care se ajuge la puctul de echilibru. ceast ecua ie u poate fi rezolvat, respectiv u se poate asigura maximum de ofelimitate petru to i idivizii îtr-u puct de echilibru al sistemului social, decît dac o parte di ofelimit ile totale, 2,..., este pozitiv i cealalt parte egativ. Cu alte cuvite, optimul paretia presupue mai multe iveluri, dar Pareto postuleaz c trecerea de la u ivel la altul al optimului se face umai dac se me i costate raporturile ditre ofelimit ile maxime ale idivizilor. ceasta îseam c o societate poate atige u optim corespuz tor uor ofelimit i idividuale mai mari dac ea î i spore te veitul et ob iut pri cre terea produc iei. Î realitate, Pareto a ar tat c optimul paretia presupue c rata substituirii a dou sau mai multe m rfuri sau factori de produc ie s r mî eschimbat, ceea ce u este posibil decît dac toate uit ile ecoomice î i maximizeaz profiturile (toate adopt, deci, cele mai ieftie metode de produc ie), dac fiecare aget ecoomic este liber s - i stabileasc strategia de ac iue 28
i to i adopt u comportamet ecoomic ra ioal, dac se me ie u echilibru relativ al cererilor i ofertelor pe pia a liber, iar to i age ii ecoomici cuosc perfect ivelurile acestui echilibru, i dac, î sfîr it, sît elimiate toate exteralit ile ecoomice" (orice iterve ie a factorilor oecoomici î derularea activit ii ecoomice). Este evidet c aceste codi ii u sît itegral satisf cute de ici u sistem ecoomic real. 29
Capitolul 2. ExisteŃa uui echilibru petru ecoomii cu exteralităńi şi u spańiu cu măsură al cosumatorilor 2. Modelul şi rezultatul de existeńă 2... Modelul şi ońiuea de echilibru Se cosider o ecoomie de schimb cu o mul ime fiit de m rfuri. Spa iul de m rfuri este reprezetat pri spa iul vectorialr. Petru o mul ime fiit, pri R. U elemet x di R va fi de forma ( xh ) h cofuzii. Petru dou elemete x= ( x ), x = ( x ) î produsul scalar, pri x îchis. Petru X h R se î elege mul imea tuturor fuc iilor de la la h sau simplu ( x h), câd u sut posibile = R, se î elege pri xix x h hx h = xix orma Euclidia i pri B( x0, r) = { x R x x0 r} bila R, se î elege pri itx, X i cox, respectiv, iteriorul, îchiderea i îvelitoarea covex a lui X. Nota iile: x x, x < x, x << x îseam, respectiv, c petru to i h, xh x, h [ x x i x x ], i x h < x h. Se oteaz mul imile R :={ x R 0 x} i : = { x R R 0 << x }. Fie :=(,...,) R i baza caoic { e i i } di i e =, dac h=i i e = 0, dac h i. i h h R, defiit pri Petru u spa iu cu m sur (,, ν ), reamitim c o mul ime m surabil se ume te atom dac ν () >0 i petru fiecare C astfel îcât C, avem [ ν ( C) = 0 sau ν ( \ C) = 0], iar pri a î elegem partea oatomic di, adic complemetara î a reuiuii tuturor atomilor di. L (, R ) reprezit spa iul claselor de echivale al fuc iilor itegrabile di î = defie te o R, iar f : f ( a ) dν ( a ) orm pe defiit de orma L (, R ). Spa iul L (, R ) va fi îzestrat cu dou topologii diferite, topologia tare f i topologia slab ( L, L ) coverge slab c tre f dac i umai dac σ ; se reamite te faptul c u ir { f } sup f < i f ( a) dν ( a) f ( a) dν ( a) C, C petru fiecare C. Petru C, C2 î, fie C C2 : = ( C \ C2 ) ( C2 \ C ) difere a simetric i se defie te fuc ia caracteristic χ ( a) = 0 dac a C C. 30 χ : C R pri χ ( a) = dac a C C i
este o Mul imea cosumatorilor este defiit pritr-u spa iu cu m sur (,, ν ), ude σ algebr de submul imi î iar ν este o m sur di. U elemet C este u posibil grup de cosumatori, umit i coali ie. Fiecare cosumator a este îzestrat cu o mul ime de cosum X ( a) R, o îzestrare ii ial ( a) ω R i o rela ie de preferi strict e pe X(a), fapt care permite depede a de exteralit i e E (umit spa iul de exteralitate), îtr-u mod ce va fi specificat mai târziu. Mul imea X(a) reprezit cheltuielile posibile ale cosumatorului a. O alocare a cheltuielilor ecoomiei specific cheltuielile posibile ale fiec rui cosumator, i deci reprezit o selec ie a multifuc iei a X (a), care se presupue, î plus, a fi itegrabil. Mul imea aloc rilor de cosum este otat cu fuc ia ii ial de îzestrare ecoomiei este ω ( a ) dν ( a). L X. Se presupue, de asemee c ω : R este itegrabil i astfel îzestrarea ii ial total a Specific acestei ecoomii este faptul c exteralit ile de pre i cele de cosum pot iflue a rela ia de preferi a fiec rui aget a. stfel, fiid dat pre ul p R i alocarea f L, alegerile agetului a vor fi realizate pri itermediul rela iei de preferi strict ( p, f ), ude R L : X E este o fuc ie dat, umit fuc ia de exteralitate. Î preze a exteralit ilor, ecoomia de schimb este caracterizat complet pri itermediul cuplului (, ), ude spa iul exteralit ilor E i fuc ia de exteralitate sut defiite ca mai sus, iar precizeaz caracteristicile cosumatorilor: X Se d î cotiuare defii ia uui echilibru î aceast ecoomie. DefiiŃia 2... U echilibru al ecoomiei (, ) îcât p 0 i: este u elemet ( f, p ) L astfel X R (a) [Maximizarea preferi elor] petru aproape to i a, f ( a) este u elemet maximal petru î mul imea buget } B( p ) : = { x X ( a) p x p ω( a), ude e : = ( p, f ), e a adic, f ( a) B( p ) i u exist ici u x B( p ) astfel îcât f ( a) x ; e a a 3