14. decembra 2010
Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12 a 21 v prípade, ºe a 11 a 22 a 12 a 21 0.
Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad Ak ozna íme b 11 b 12 b 21 b 22 = b 11b 22 b 12 b 21, tak predchádzajúcu rovnos môºeme vyjadri ako c 1 a 12 a 11 c 1 c 2 a 22 a 21 c 2 x 1 = x 2 = a 11 a 12 a 11 a 12 a 21 a 22 a 21 a 22
Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Plocha rovnobeºníka
Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Plocha rovnobeºníka Rovnobeºník ur ený vektormi α = (a 11, a 12 ) a β = (a 21, a 22 ). Vektory (a 11, a 12, 0) a (a 21, a 22, 0) majú vektorový sú in (0, 0, a 11 a 22 a 12 a 21 ). S = a 11 a 22 a 12 a 21
Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Objem rovnobeºnostena
Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Objem rovnobeºnostena α β γ cos α = ( α β). γ α = (a 11, a 12, a 13 ) β = (a 21, a 22, a 23 ) γ = (a 31, a 32, a 33 ) a 12 a 13 a 31 a 22 a 23 a 32 a 11 a 13 a 21 a 23 + a 33 a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31
Determinant A T Denícia V tejto kapitole budeme ozna ova ako S n mnoºinu v²etkých permutácií mnoºiny {1, 2,..., n}. Dvojica (ϕ(k), ϕ(s)) sa volá inverzia permutácie ϕ, ak k < s ale ϕ(k) > ϕ(s). Po et inverzií permutácie ϕ budeme ozna ova i(ϕ).
Determinant A T Príklad Permutácia ( 1 4 2 1 3 3 4 2 ) má 4 inverzie (4,1), (4,3), (4,2), (3,2): ( ) 1 2 3 4 4 1 3 2 4 1 4 3 4 2 3 2
Determinant A T Denícia Nech A je matica typu n n nad po om F, A = a ij. Determinant matice A je A = ϕ Sn( 1) i(ϕ) a 1ϕ(1) a 2ϕ(2)... a nϕ(n). (1) a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21.
Determinant A T ϕ i(ϕ) inverzie ( 1 2 3 ( 1 1 2 3 3 2 ) 1 2 3 0 ) 1 (3, 2) ) 1 (2, 1) ) 2 (2, 1) (3, 1) ) 2 (3, 1) (3, 2) ) 3 (3, 2) (3, 1) (2, 1) ( 1 2 3 2 1 3 ( 1 2 3 2 3 1 ( 1 2 3 3 1 2 ( 1 2 3 3 2 1 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31.
Determinant A T Sarrusovo pravidlo a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 + + + a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33
Determinant A T Motivácia Determinant A T Veta Nech A je matica typu n n. Potom A = A T.
Laplaceov rozvoj Laplaceov rozvoj Pre i-ty riadok: A = a i1 A i1 + a i2 A i2 +... + a in A in. Pre j-ty st pec: A = a 1j A 1j + a 2j A 2j +... + a nj A nj. A ij = algebraický doplnok prvku a ij.
Laplaceov rozvoj Laplaceov rozvoj Pre maticu 3 3: A 11 = a 22 a 33 a 23 a 32 A 12 = a 23 a 31 a 21 a 33 A 13 = a 21 a 32 a 22 a 31 A 21 = a 13 a 32 a 12 a 33 A 22 = a 11 a 33 a 13 a 31 A 23 = a 12 a 31 a 11 a 32 A 31 = a 12 a 23 a 13 a 22 A 32 = a 13 a 21 a 11 a 23 A 33 = a 11 a 22 a 12 a 21
Laplaceov rozvoj Laplaceov rozvoj Veta Pre algebraický doplnok prvku a rs A rs = ( 1) r+s M rs ²tvorcovej matice A platí Dôsledok (Laplaceov rozvoj determinantu) Nech A je matica typu n n. Potom A = ( 1) i+1 a i1 M i1 + ( 1) i+2 a i2 M i2 +... + ( 1) i+n a in M in (2) A = ( 1) j+1 a 1j M 1j + ( 1) j+2 a 2j M 2j +... + ( 1) j+n a nj M nj (3)
Laplaceov rozvoj Laplaceov rozvoj Príklad Nasledujúci determinant vypo ítame Laplaceovým rozvojom pod a druhého st pca. 2 2 0 1 1 0 1 1 1 1 1 2 3 1 1 = 2 2 1 1 2 0 1 2 2 1 2 2 0 1 3 1 1 1 2 1 2 = ( 2).1 3.( 1) = 1
Laplaceov rozvoj Veta Ak maticu B získame z A vynásobením k-teho riadku skalárom c F, tak B = c A. Dôsledok Ak matica A má nulový riadok, tak A = 0. Veta Ak má matica A dva rovnaké riadky, tak A = 0.
Laplaceov rozvoj Veta Nech matice A a B sú matice typu n n, ktoré sa lí²ia len v k-tom riadku. Potom A + B = C, kde c ij = a ij = b ij pre i k a c kj = a kj + b kj. Veta Ak matica B vznikne z A pripo ítaním c-násobku niektorého riadku k inému (pri om c F ), tak B = A. Veta Ak matica B vznikne z A vzájomnou výmenou dvoch riadkov, tak B = A. (Výmena 2 riadkov matice mení znamienko determinantu.)
Laplaceov rozvoj Veta Ak A je horná trojuholníková matica (pod hlavnou diagonálou má nuly), tak determinant matice A sa rovná sú inu prvkov na diagonále. A = a 11 a 22... a nn
Laplaceov rozvoj Dôsledok Determinant diagonálnej matice sa rovná sú inu diagonálnych prvkov. d 1... = d 1 d 2... d n d n Veta Nech A je ²tvorcová matica typu n n. Matica A je regulárna práve vtedy, ke A 0.
Laplaceov rozvoj Príklad 2 2 0 1 = 0 0 1 0 3 3 1 2 = 2 2 0 1 0 0 1 0 3 3 0 2 = 2 2 0 1 0 0 1 0 3 3 0 2 = 2 2 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 = 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 = 2 2 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 = 2 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 = 1 2 2 0 1 1 0 1 1 2 3 1 1 2 0 1 2 2 2 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1
Veta Nech A, B sú dve matice typu n n nad po om F. Potom platí A.B = A. B.
Výpo et inverznej matice Cramerovo pravidlo Výpo et inverznej matice Veta Ak A je regulárna matica typu n n, tak A 11 A 21... A n1 A 1 = 1 A A 12 A 22... A n2............ A 1n A 2n... A nn kde A ij ozna uje algebraický doplnok prvku a ij.
Výpo et inverznej matice Cramerovo pravidlo Výpo et inverznej matice Maticu A 11 A 21... A n1 A 12 A 22... A n2............ A 1n A 2n... A nn nazývame adjungovaná matica k matici A. A 1 = adj A A.
Výpo et inverznej matice Cramerovo pravidlo Cramerovo pravidlo Ak matica A je regulárna, tak rie²enia sústavy a 11 a 12... a 1n c 1 a 21 a 22... a 2n c 2............... a n1 a n2... a nn c n sú x i = A i A, kde A i ozna uje maticu, ktorú dostaneme ak v matici A nahradíme i-ty st pec st pcom (c 1, c 2,..., c n ) T ( iºe pravými stranami).