13. EUKLIDOVSKÉ PRIESTORY
|
|
- Ἀληκτώ Αθανασιάδης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 13. EUKLIDOVSKÉ PRIESTORY Naše štúdium vektorových priestorov sa doteraz nieslo prevažne v algebraickom duchu a bolo vedené takmer výlučne algebraickými prostriedkami. Geometria bola v tomto poňatí zredukovaná väčšinou len na otázky rovno- či rôznobežnosti a pretínania lineárnych a afinných podpriestorov, t. j. na tzv. štruktúru incidencie. Popri tom však geometrický názor bol pre nás dôležitým zdrojom prvotných motivácií alebo dodatočných ilustrácií mnohých pojmov. To bolo umožnené hlavne tým, že hoci sme sa zaoberali vektorovými priestormi nad ľubovoľným poľom, ako typické príklady sme si pod nimi väčšinou predstavovali vektorové priestory malej dimenzie nad poľom reálnychčíselavektoryvnichakoorientovanéúsečky(spočiatkomvbode0),ktorémajú určitú dĺžku, smer a orientáciu. Inak povedané, lineárnu algebru sme často vedome a ešte častejšie podvedome zasadzovali do rámca elementárnej geometrie roviny alebo priestoru. Prísne vzaté nám však len samotná štruktúra vektorového priestoru(ani keby sme saobmedziliibanaprípadpoľa R)neumožňujevôbechovoriťodĺžke takýtopojem v doterajšom kontexte nemá žiadny zmysel. Pritom práve dĺžka, a spolu s ňou tiež uhol sú základnými kvantitatívnymi veličinami elementárnej euklidovskej geometrie. Naplnenie lineárnej algebry geometrickým obsahom teda v prvom rade vyžaduje dať práve týmto pojmom určitý dobre zakotvený význam, ktorý hoci by sa neopieral lenonášgeometrickýnázor bolbysnímvdobrejzhode.vtejtokapitolesaoto pokúsime vo vektorových priestoroch nad poľom R. Ukazuje sa, že celú základnú geometrickú štruktúru, vrátane dĺžok a uhlov, možno odvodiť z jedinej kladne definitnej symetrickej bilineárnej formy na takomto priestore Skalárny súčin Skalárnym alebo tiež vnútorným súčinom na reálnom vektorovom priestore V rozumieme ľubovoľnú kladne definitnú, symetrickú bilineárnu formu na V. Hodnotu tejto formynavektoroch x,y V budemeznačiť x,y. Nezávisle na znalosti uvedených pojmov možno skalárny súčin na V definovať ako binárnuoperáciu V V R,ktorákaždejdvojici(x,y)vektorovzV priradíreálne číslo x,y také,žeprevšetky x,y,x 1,x 2 V aľubovoľné c Rplatí: x 1 + x 2,y = x 1,y + x 2,y (aditivita), cx, y = c x, y x, y = y, x x 0 x,x >0 (homogenita), (symetria), (kladnádefinitnosť). Spojenie aditivity a homogenity skalárneho súčinu dáva jeho linearitu ako funkcie prvej premennej(pri pevnej druhej premennej). Vďaka symetrii z toho vyplýva aj 1
2 2 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA linearita skalárneho súčinu ako funkcie druhej premennej(pri pevnej prvej premennej), t. j. rovnosti x,y 1 + y 2 = x,y 2 + x,y 2, x,cy =c x,y, prevšetky x,y 1,y 2 V a c R.Z(bi)linearitytakistovyplývanasledujúcipodrobnejší rozpis podmienky kladnej definitnosti x,x 0& ( x,x =0 x=0 ) prekaždé x V.Prváčasťtejtopodmienkynámumožňujedefinovaťnormualebo dĺžku vektora x rovnosťou x = x,x. Výraz x 2 trebazatiaľchápaťlenakoinéoznačenieprekvadratickúformu x,x indukovanúskalárnymsúčinom.ooprávnenostinázvu dĺžka akoajoďalšíchvlastnostiach normy podrobnejšie pojednáme až v paragrafe Euklidovským priestorom nazývame ľubovoľný konečnorozmerný reálny vektorový priestor so skalárnym súčinom. Hoci sa v tejto kapitole hodláme sústrediť práve na euklidovské priestory, všetky pojmy a výsledky, v ktorých konečnosť dimenzie nehrá podstatnú úlohu, sa budeme snažiť formulovať tak, aby zahŕňali všetky(teda i nekonečnorozmerné) priestory so skalárnym súčinom Príklad. Náš čitateľ sa už na strednej škole v rámci analytickej geometrie, prípadnevrámcifyziky,asistretolsoskalárnymsúčinom x,y =x 1 y 1 +x 2 y 2 vrovine R 2 asoskalárnymsúčinom x,y =x 1 y 1 +x 2 y 2 +x 3 y 3 vpriestore R 3.Ľahkosamožno presvedčiť,žerovnakáformulkafungujeprekaždé n,t.j.pre x = (x 1,...,x n ) T, y=(y 1,...,y n ) T jepredpisom n x,y =x T y= x i y i definovanýskalárnysúčinnastĺpcovomvektorovompriestore R n.vprípaderiadkovéhopriestoru R n máme n x,y =x y T = x i y i pre x=(x 1,...,x n ), y=(y 1,...,y n ).Takýtoskalárnysúčinbudemenazývaťštandardnýmskalárnymsúčinomna R n.štandardnýskalárnysúčinvektorov x,y R n (čiužideoriadkovéalebostĺpcovévektory)saobvykleznačí x y.dĺžkavektora x vzhľadom na štandardný skalárny súčin je x = ( n 1/2 x x= xi) 2. V rámci analytickej geometrie sa pre nenulové vektory x, y dokazuje známy vzťah i=1 i=1 i=1 x y= x y cos α, ktorýzväzuještandardnýskalárnysúčinvr 2 čivr 3 sdĺžkoupríslušnýchvektorov a nimi zvieraným uhlom α.
3 13. EUKLIDOVSKÉ PRIESTORY Príklad. Nech V označuje vektorový priestor C a, b všetkých spojitých reálnychfunkciídefinovanýchnauzavretomintervale a,b,kde a < bsúreálnečísla, prípadne jeho ľubovoľný lineárny podpriestor. Pre f, g V položme f,g = b a f(x)g(x) dx. Z komutatívnosti násobenia v R a aditivity a homogenity integrálu vyplýva, že f, g je symetrická bilineárna forma na V (podrobne si premyslite ako). Na dôkaz kladnej definitnostisistačí uvedomiť,že pre f 0 (t.j. f nie identicky rovné nule), je f 2 (x) 0prekaždé x a,b.zospojitostifunkcie f (atedatiež f 2 )vyplýva existencianejakéhonetriviálnehouzavretéhopodintervalu a 1,b 1 a,b takého,že f 2 (x) >0prevšetky x a 1,b 1.Keďže fna a 1,b 1 nadobúdaminimum,máme f,f = b a f 2 (x)dx b1 a 1 f 2 (x)dx (b 1 a 1 ) min a 1 x b 1 f(x) >0. Tedapredpisom(f,g) f,g jedefinovanýskalárnysúčinna C a,b akoajnajeho ľubovoľnomlineárnompodpriestore,napr.napriestorochpolynómov R[x], R (n) [x], n N,uvažovanýchakospojitéfunkciena a,b.vprípadepriestorov C a,b,či R[x] ide o skalárny súčin na nekonečnorozmerných vektorových priestoroch. Norma spojitejfunkcie f: a,b Rpotomje f = ( b 1/2 f,f = f (x)dx) 2. a Gramova matica a Cauchyho-Schwartzova nerovnosť Nech α = (u 1,...,u k ) je ľubovoľná usporiadaná k-tica vektorov vo vektorovom priestore V so skalárnym súčinom. Takmer všetky podstatné informácie o týchto vektoroch sú ukryté v tzv. Gramovej matici G(α)=G(u 1,...,u k )= ( u i,u j ) k k vektorov u 1,...,u k.determinantgramovejmatice u 1,u 1... u 1,u k det G(α)= G(u 1,...,u k ) = u k,u 1... u k,u k sanazývagramovýmdeterminantomvektorov u 1,...,u k.
4 4 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA Tvrdenie. Nech u 1,...,u k súľubovoľnévektoryvovektorovompriestore V so skalárnym súčinom. Potom (a) G(u 1,...,u k )jekladnesemidefinitnásymetrickámatica; (b)vektory u 1,...,u k súlineárnenezávisléprávevtedy,keď G(u 1,...,u k )jekladne definitná. Dôkaz. Označme G=G(u 1,...,u k ). (a) Symetria matice G je priamym dôsledkom symetrie skalárneho súčinu. Zostáva dokázať,žepreľubovoľnývektor c=(c 1,...,c k ) R k platí c G c T 0.Položme v=c 1 u c k u k.potomzbilinearityakladnejdefinitnostiskalárnehosúčinu vyplýva k k c G c T = c i c j u i,u j = v,v 0. i=1 j=1 (b)ak u 1,...,u k súlineárnenezávislé,taktvoriabázulineárnehopodpriestoru S=[u 1,...,u k ] V.Zúženieskalárnehosúčinu x,y napodpriestor Sjeskalárny súčin(t. j. kladne definitná symetrická bilineárna forma) na S. G je maticou tejto formyvzhľadomnabázu u 1,...,u k,tedakladnedefinitnámatica. Ak u 1,...,u k súlineárnezávislé,takvr n existujevektor c=(c 1,...,c k ) 0 taký,že v= c 1 u c k u k =0.Potompodľa(a) teda G nie je kladne definitná. c G c T = v,v = 0,0 =0, Práve dokázané tvrdenie má spolu s vetou nasledujúci dôsledok Dôsledok. Preľubovoľné u 1,...,u k V platí G(u 1,...,u k ) 0. Pritom G(u 1,...,u k ) =0právevtedy,keďvektory u 1,...,u k súlineárnezávislé. Špeciálnepreľubovoľnédvavektory u,v V platí G(u,v) = u,u v,u u,v v,v = u,u v,v u,v v,u = u 2 v 2 u,v 2 0, pričom rovnosť nastane práve vtedy, keď vektory u, v sú lineárne závislé. Tým sme dokázali nasledujúci vzťah, známy ako Cauchyho-Schwartzova nerovnosť Tvrdenie. Preľubovoľnévektory u,v V vpriestore V soskalárnymsúčinom platí u,v u v, pričom rovnosť nastane práve vtedy, keď vektory u, v sú lineárne závislé.
5 13. EUKLIDOVSKÉ PRIESTORY Dĺžka vektora a uhol dvoch vektorov Normou na reálnom vektorovom priestore V rozumieme ľubovoľné zobrazenie V R, ktoré vektoru x V priradí reálne číslo x, nazývané normou alebo tiež dĺžkou vektora x,také,žeprevšetky x,y V aľubovoľné c Rplatí x + y x + y cx = c x x =0 x=0 (trojuholníková nerovnosť), (pozitívna homogenita), (oddeliteľnosť). Zuvedenýchpodmienokvyplývanezápornosťnormy,t.j. x 0prekaždé x V. Keďževďakapozitívnejhomogeniteplatí 0 =0a x = x,spoužitímtrojuholníkovej nerovnosti naozaj dostávame x = 1 2 ( x + x ) 1 2 x x =1 2 0 =0. Navyše,vďakaoddeliteľnostimáme x >0prekaždé0 x V;inakpovedané, každýnenulovývektormôžemepomocoujehonormy oddeliť odnulovéhovektora. Reálny vektorový priestor s normou nazývame normovaný priestor. Intuitívne sa na normovaný priestor dívame ako na vektorový priestor, v ktorom možno merať dĺžky vektorov. Tri definujúce podmienky pre normu zaručujú, že takéto meranie dĺžok, t. j. priradenie x x, má rozumné vlastnosti, aké od dĺžok očakávame. Vzdialenosťou bodov x, y vo vektorovom priestore V s normou nazývame dĺžku vektora x y,t.j.číslo x y.pomocouvzdialenostíbodovmožnotrojuholníkovú nerovnosť vyjadriť iným, ekvivalentným spôsobom, ktorý vari ešte názornejšie osvetľuje jej názov: x y + y z x z prevšetky x,y,z V. Všeobecnou problematikou normovaných priestorov sa v tomto kurze nebudeme zaoberať. Obmedzíme sa len na normy, ktoré pochádzajú od skalárnych súčinov Tvrdenie. Nech V je reálny vektorový priestor so skalárnym súčinom. Potom rovnosťou x = x,x jedefinovanánormana V. Dôkaz. Zvoľme x,y V. S použitím bilinearity a symetrie skalárneho súčinu a Cauchyho-Schwartzovej nerovnosti dostávame x+y 2 = x+y,x+y = x,x + x,y + y,x + y,y = x 2 +2 x,y + y 2 x 2 +2 x y + y 2 = ( x + y ) 2. To dokazuje trojuholníkovú nerovnosť. Jednoduchý dôkaz ďalších dvoch podmienok prenechávame čitateľovi.
6 6 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA Z Cauchyho-Schwartzovej nerovnosti vyplýva, že pre ľubovoľné nenulové vektory x, y vo vektorovom priestore so skalárnym súčinom platí 1 x,y x y 1. Pretoexistujejedinéreálnečíslo αtaké,že0 α πa cos α= x,y x y. Číslo αnazývameuhlomalebotiežodchýlkouvektorov x, yaznačímeho α= (x,y). Zosymetrieskalárnehosúčinuvyplýva (x,y)= (y,x),toznamená,žeideoneorientovaný uhol. Pri takejto definícii uhla dvoch nenulových vektorov zostáva vzťah x,y = x y cos (x,y), platnýpreštandardnýskalárnysúčinvr 2 a R 3,zachovanývľubovoľnompriestore so skalárnym súčinom. Treba si však uvedomiť, že z logického hľadiska postupujeme obrátene ako v stredoškolskej analytickej geometrii. Tam totiž vopred vieme(či aspoň sataktvárime),čosútodĺžkyauhlyvektorov,apomocounichdefinujemeskalárny súčinuvedenýmvzťahom,prípadnerovnosťou x y= x i y i,kedymusímeuvedený vzťah dokázať. Pri našom postupe vychádzame z pojmu skalárneho súčinu a pomocou neho definujeme dĺžky a uhly vektorov tak, že platnosť klasických poučiek analytickej geometrie zostáva zachovaná, ba dokonca ju rozširujeme na vektorové priestory ľubovoľnej konečnej i nekonečnej dimenzie vybavené skalárnym súčinom. Hovoríme, že vektory x, y V sú(navzájom) kolmé alebo tiež ortogonálne, označenie x y,ak x,y =0. Teraz uvedieme niekoľko bezprostredných dôsledkov našich definícií. Ich jednoduché dôkazy prenechávame ako cvičenie čitateľovi Tvrdenie. Nech V je vektorový priestor so skalárnym súčinom. Potom pre ľubovoľnénenulovévektory x,y V platí: (a) (x,y)=0 ( c R)(c >0&x=cy); (b) (x,y)=π ( c R)(c <0&x=cy); (c) (x,y)=π/2 x y; (d) ( x, y)= (x,y), ( x,y)= (x, y)=π (x,y). Pokračujeme štyrmi poučkami klasickej analytickej geometrie Tvrdenie. Nech V je vektorový priestor so skalárnym súčinom. Potom pre ľubovoľnénenulovévektory x,y V platí: (a)(kosinová veta) x+y 2 = x 2 + y 2 +2 x y cos (x,y), x y 2 = x 2 + y 2 2 x y cos (x,y); (b)(pytagorova veta) x y x+y 2 = x y 2 = x 2 + y 2 ;
7 (c) (pravidlo rovnobežníka) x+y 2 + x y 2 =2 ( x 2 + y 2) ; (d)(uhlopriečky kosoštvorca sú na seba kolmé) x = y x+y x y. 13. EUKLIDOVSKÉ PRIESTORY 7 (Samozrejme, tvrdenia(b),(c),(d) platia aj bez predpokladu nenulovosti vektorov x, y vidnotoiznášhodôkazu.) Dôkaz. (a)akosmeukázalivdôkazetvrdenia13.3.1,preľubovoľné x,y V máme x+y 2 = x 2 + y 2 +2 x,y. Z toho už okamžite vyplýva prvá podoba kosinovej vety; jej druhú podobu dostaneme zprvejnazáklade13.3.2(d). (b) Pytagorova veta je zvláštnym prípadom kosinovej vety. (c) Pravidlo rovnobežníka dostaneme sčítaním oboch verzií kosinovej vety. (d)priamovyplývazidentity x+y,x y = x 2 y Ortogonálne a ortonormálne bázy Usporiadaná k-tica α=(u 1,...,u k )vektorovzvektorovéhopriestorusoskalárnym súčinom V,sanazývaortogonálna,ak u i u j prevšetky1 i<j k.voľne tiežhovoríme,ževektory u 1,...,u k sú(navzájom)ortogonálnealebokolmé.usporiadaná k-tica(u 1,...,u k )sanazývaortonormálna,akjeortogonálnaa u i =1pre všetky i k.taktiežhovoríme,ževektory u 1,...,u k tvoriaortonormálnysystém. Podobne možno definovať pojmy ortogonálnosti a ortonormálnosti aj pre nekonečné postupnosti(u k ) k=0vektorovzv,prípadnepremnožiny X V. Nasledujúce tvrdenie je bezprostredným dôsledkom našich definícií Tvrdenie. Nech V je vektorový priestor so skalárnym súčinom. Potom pre ľubovoľnú k-ticu α=(u 1,...,u k ) V k platí: (a) α je ortogonálna práve vtedy, keď jej Gramova matica G(α) je diagonálna; (b) αjeortonormálnaprávevtedy,keď G(α)=I k. Z posledného tvrdenia a dôsledku priamo vyplýva Dôsledok. Ak u 1,...,u k V súnavzájomkolménenulovévektory,špeciálne,ak u 1,...,u k tvoriaortonormálnysystém,taksúlineárnenezávislé. Vpriestore R n soštandardnýmskalárnymsúčinomkanonickábáza ε=(e 1,...,e n ) je zrejme ortonormálna a v zhode s posledným dôsledkom možno ľahko nahliadnuť rovnosť G(ε)=I n.ortogonálneaortonormálnebázyvšakexistujúvľubovoľných euklidovských priestoroch Veta. Každý euklidovský priestor má ortonormálnu bázu. Dôkaz. Nech V je euklidovský priestor. Keďže skalárny súčin je kladne definitná, symetrická bilineárna forma na konečnorozmernom reálnom priestore V, na základevety11.3.5,dôsledku12.1.3atvrdenia12.2.1existujetakábáza βpriestoru V,
8 8 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA vzhľadomnaktorúmátentosúčinjednotkovúmaticu.inakpovedané, G(β)=I n, čiže β je ortonormálna báza. Nasledujúce tvrdenie zhŕňa niekoľko užitočných vlastností ortonormálnych báz v euklidovskom priestore. Podmienka(c), rovnako ako istý jej nekonečnorozmerný variant, sa nazýva Parsevalova rovnosť Tvrdenie. Nech α=(u 1,...,u n )jeortonormálnabázaeuklidovskéhopriestoru V.Potompreľubovonévektory x,y V platí: (a) x= n i=1 x,u i u i, t.j. (x) α = ( x,u 1,..., x,u n ) T ; (b) x,y = n i=1 x,u i u i,y ; (c) x 2 = n i=1 x,u i 2. Dôkaz. (a)keďže αjebáza, xmožnovyjadriťvtvare x= n i=1 c iu i prejednoznačne určenékoeficienty c 1,...,c n.zortonormálnostivektorov u 1,...,u n vyplýva x,u j = n c i u i,u j =c i i=1 prekaždé1 j n. (b) Ak α je ortonormálna báza, tak matica skalárneho súčinu vzhľadom na bázu αje G(α)=I n.preto x,y =(x) T α (y) α prevšetky x,y V.Potrebnýzáver vyplývaz(a). (c) je špeciálnym prípadom(b). Preistotueštesiešterazzopakujme,čovyplývaztvrdenia13.4.1,vety13.4.3a tvrdenia : V ľubovoľnom n-rozmernom euklidovskom priestore V skalárny súčin vektorov x,y V splývasoštandardnýmskalárnymsúčinomvr n x,y = n x i y i =(x) α (y) α i=1 ich súradníc (x) α = (x 1,...,x n ) T, (y) α = (y 1,...,y n ) T vzhľadom na ľubovoľnú ortonormálnubázu α=(u 1,...,u n )priestoru V.Podmienka(a)poslednéhotvrdenianámnavyšeudávaexplicitnýtvartýchtosúradníc: x i = x,u i, y i = y,u i. Teraz popíšeme algoritmus, ktorý umožňuje zostrojiť ortonormálne bázy, známy ako Gramov-Schmidtov ortogonalizačný proces. Nech V jevektorovýpriestorsoskalárnymsúčinomau 1,...,u n V súlineárne nezávislevektory.chcemezostrojiťortogonálnevektory v 1,...,v n tak,abyprekaždé k nplatilo [v 1,...,v k ]=[u 1,...,u k ]. Akpoložíme v 1 = u 1,taksamozrejme[v 1 ]=[u 1 ].Vektor v 2 [u 1,u 2 ]=[v 1,u 2 ] budemehľadaťvtvare v 2 = av 1 + bu 2,kde a,b R.Akmávšakplatiť[v 1,v 2 ]= [u 1,u 2 ],musíbyť b 0.Tonajjednoduchšiedosiahnemevoľbou b=1.navyševektor v 2 = u 2 + av 1 mábyťkolmýnavektor v 1,t.j. 0= v 2,v 1 = u 2,v 1 +a v 1,v 1.
9 13. EUKLIDOVSKÉ PRIESTORY 9 Odtiaľ dostávame a= u 2,v 1 v 1,v 1. Predpokladajme,že2 k naužsmezostrojiliortogonálnevektory v 1,...,v k 1 také,žeprekaždé1 i k 1platí[v 1,...,v i ]=[u 1,...,u i ].Poučeníprípadom k =2budemevektor v k [u 1,...,u k 1,u k ]=[v 1,...,v k 1,u k ]hľadaťvtvare v k = u k + a 1 v 1 + +a k 1 v k 1,kde a 1,...,a k 1 R.Navyševektor v k musíbyť kolmýnakaždýzvektorov v i pre1 i k 1,čiže k 1 0= v k,v i = u k,v i + a j v j,v i = u k,v i +a i v i,v i, lebopodľanášhopredpokladu v j,v i =0pre j i.ztohodôvodu Tým sme dokázali nasledujúcu vetu. j=1 a i = u k,v i v i,v i Veta. Nech V jevektorovýpriestorsoskalárnymsúčinomau 1,...,u n V súlineárnenezávislevektory.vektory v 1,...,v n V definujemerekurziou: v 1 = u 1 a v k = u k k 1 i=1 u k,v i v i,v i v i, pre1 < k n.potom v 1,...,v n súortogonálnevektoryaprekaždé1 k nplatí [v 1,...,v k ]=[u 1,...,u k ]. Špeciálne, ak u 1,...,u n je báza priestoru V, tak v 1,...,v n je ortogonálna báza priestoru V;potomvektory v 1 1 v 1,..., v n 1 v n tvoriaortonormálnubázupriestoru V. Poznámka. Gramov-Schmidtov ortogonalizačný proces funguje aj pre nekonečné postupnosti(u k ) k=0 lineárnenezávislýchvektorovvnekonečnorozmernomvektorovom priestore so skalárnym súčinom V. Rekurziou cez množinu všetkých prirodzených čísel v 0 = u 0 a v k = u k k 1 i=0 u k,v i v i,v i v i, pre k >0,jeivtomtoprípadedefinovanáortogonálnapostupnosť(v k ) k=0 taká,že [v 0,...,v k ]=[u 0,...,u k ] prekaždé k N.Ztohoužvyplývalineárnanezávislosťpostupnosti(v k ) k=0.ak (u k ) k=0 bolabázou V,tak(v k) k=0 jeortogonálnaa( v k 1 v k ) k=0 ortonormálna bázavo V.
10 10 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA Príklad. Na základe Sylvestrovho kritéria(veta ) ľahko nahliadneme, že symetrická matica A= R je kladne definitná. To znamená, že predpisom x,y =x T A y je definovaný skalárny súčin na (stĺpcovom) priestore R 3. Aplikáciou Gramovho- Schmidtovhoortogonalizačnéhoprocesunakanonickúbázu(e 1,e 2,e 3 )zostrojíme ortogonálnubázu(v 1,v 2,v 3 )priestoru R 3 suvedenýmskalárnymsúčinom: v 1 = e 1 =(1,0,0) T, v 2 = e 2 e 2,v 1 v 1,v 1 v 1= e v 1=( 1/2,1,0) T, v 3 = e 3 e 3,v 1 v 1,v 1 v 1 e 3,v 2 v 2,v 2 v 2= e v v 2=(2/3, 1/3,1) T, keďže e 2,v 1 =1, v 1,v 1 =2, e 3,v 1 = 1, e 3,v 2 =1/2a v 2,v 2 =3/2.Ak eštedopočítame v 3,v 3 =7/3,dostanemedĺžkyjednotlivýchvektorov v 1 = 2, v 2 = 3/2, v 3 = 7/3.Príslušnáortonormálnabázajepotomtvorenávektormi 1 v 1 = 1 1 0, v 2= , 3 7 v 3= Príklad. Na vektorovom priestore R[x] všetkých reálnych polynómov v premennej xjedanýskalárnysúčin f,g = 1 1 f(x)g(x)dx(pozripríklad13.1.2).postupnosť(x n ) n=0všetkýchmocnínpremennej xtvoríbázuvr[x].gramovou-schmidtovoumetódouznejzostrojímeortogonálnubázu ( L n (x) ) priestoru R[x] jej n=0 prvky sa niekedy nazývajú Legendreove polynómy. Ak si uvedomíme, že x m,x n = 1 1 postupne dostaneme L 0 (x)=1, [ x x m x n m+n+1 dx= m+n+1 L 1 (x)=x x,l 0 L 0,L 0 L 0(x)=x, ] 1 1 = { 2 m+n+1, L 2 (x)=x 2 x2,l 0 L 0,L 0 L 0(x) x2,l 1 L 1,L 1 L 1(x)=x 2 1 3, ak m+njepárne, 0, ak m+njenepárne, L 3 (x)=x 3 x3,l 0 L 0,L 0 L 0(x) x3,l 1 L 1,L 1 L 1(x) x3,l 2 L 2,L 2 L 2(x)=x x,
11 13. EUKLIDOVSKÉ PRIESTORY 11 atď.vidíme,že L n (x) = x n... jepolynóm n-téhostupňa,ktorýprepárne n obsahujelenpárnemocninypremennej xaprenepárne nlennepárnemocniny x. S trochou námahy možno odvodiť explicitné vyjadrenie L n (x)= n! (2n)! d n dx n(x2 1) n. V literatúre sa Legendreovými polynómami zvyčajne nazývajú násobky P n (x)= 1 2 n ( ) 2n L n (x)= 1 n 2 n n! d n dx n(x2 1) n polynómov L n (x),normovanétak,abyprekaždé nplatilo P n (1)=1. Gramovu-Schmidtovu ortogonalizáciu možno alternatívne vykonať len vhodnými úpravamiistýchmatíc.ak α=(u 1,...,u n )jelineárnenezávislá n-ticavektorov v priestore so skalárnym súčinom V, tak podľa tvrdenia (b) jej Gramova matica G(α) je kladne definitná a je to matica skalárneho súčinu zúženého na lineárny podpriestor S=[u 1,...,u n ] Vvbáze α.podľavety12.2.3jumožnovýlučneúpravami typu(1 + )upraviťnadiagonálnytvar D=diag(d 1,...,d n )skladnýmiprvkamina diagonále. Elementárne stĺpcové operácie zodpovedajúce týmto úpravám postupne vykonanénamatici I n násprivedúkhornejtrojuholníkovejmatici P=(p ij ) R n n sjednotkaminadiagonále,t.j. p ii =1ap ij =0prekaždé i naj < i.akpoložíme α P= β=(v 1,...,v n ), tak P= P α,β,t.j. P jematicouprechoduzbázy βdobázy α(pozriparagraf7.5). Potom Djematicouskalárnehosúčinuzúženéhonapodpriestor Svbáze β,teda G(β)=D,takže βjeortogonálnabáza S.Navyše,vzhľadomnatvarmatice P,platí k 1 v 1 = u 1 a v k = u k + p ik u i, i=1 pre1 < k n,zčohomožnoľahkonahliadnuťrovnosti [v 1,...,v k ]=[u 1,...,u k ] prevšetky k n.taktiežnormyvektorov v k simožnoprečítaťpriamozmatice D.Platítotiž d k = v k 2 prekaždé k n.tedapríslušnáortonormálnabázaje tvorenávektormi(1/ d 1 )v 1,...,(1/ d n )v n.tentoposlednýkrokmožnosamozrejme realizovať úpravami typu(4) matice G(β) a príslušnými ESO na matici P (pozri paragraf 11.3). Ak V = R m sakýmkoľvek(t.j.nienutneštandardnýmskalárnymsúčinom),tak postotožneníbázy αsmaticou,ktorejstĺpcesúvektorytejtobázy,možnokbáze β dospieťpriamo(t.j.bezmatice P),vykonanímpríslušnýchESOnamatici α.
12 12 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA Príklad. Prepočítajme si ešte raz príklad práve opísanou metódou. Uvedená matica A je zároveň Gramovou maticou G(ε). Najprv pomocou prvku na mieste(1, 1) vynulujeme ostatné prvky prvého riadku i stĺpca. Potom pomocou prvku namieste(2,2)vynulujemeprvkynamiestach(2,3)a(3,2): G(ε)= /2 1/2 0 1/2 5/ /2 0 =G(β) /3 Zrejmešlooúpravytypu(1 + ).VykonanímpríslušnýchESOnajednotkovejmatici dostaneme I 3 = /2 1/2 1 1/2 2/ /3 =β Čitateľ by si mal samostatne premyslieť detaily výpočtu. Vidíme, že výsledné matice sa presne zhodujú s výsledkom príkladu Príklad. Vráťme sa ešte k príkladu Bez podrobnejšieho komentára zortogonalizujemesystém(1,x,x 2,x 3 )prvýchštyrochmocnín xvr[x].postupnými úpravamitypu(1 + )Gramovejmatice G(1,x,x 2,x 3 )dostaneme 2 0 2/ G(1,x,x 2,x 3 )= 0 2/3 0 2/5 0 2/3 0 2/5 2/3 0 2/ / /5 0 2/7 0 2/5 0 2/ /3 0 0 =G(L 0 0 8/45 0 0,L 1,L 2,L 3 ) /175 Príslušné ESO vykonané na jednotkovej matici dávajú / / /5 I 4 = =P Potom (L 0,L 1,L 2,L 3 )= ( 1,x,x 2,x 3) P= (1, x, 13 + x2, 35 x+x3 ), rovnakoakovpríklade pohľadnamaticu G(L 0,L 1,L 2,L 3 )námnavyšeprezradínormypolynómov L n (x)pre n 3: L 0 = , L 1 = 3, L 2 = 45 =2 3 5, L 3 = 175 = PrenormyLegendreovýchpolynómov P n (x), n 3,ztohovyplýva P 0 = , P 1 = 3, P 2 = 5, P 3 = 7.
13 13. EUKLIDOVSKÉ PRIESTORY Príklad. Veuklidovskompriestore R 4 soštandardnýmskalárnymsúčinom je daný lineárny podpriestor S generovaný stĺpcami matice α= Nájdeme nejakú ortonormálnu bázu podpriestoru S. Zrejme stĺpce matice α sú lineárnenezávislé,teda αjebázou S.JejGramovumaticu G(α)=α T αupravíme pomocouúpravtypu(1 + )nasňoukongruentnýdiagonálnytvar G(α)= /3 1/ /3 0 =G(β) /3 11/ /11 Príslušnými ESO na matici α dostaneme α= /3 4/3 1 4/3 2/3 1 2/3 2/ /11 1 2/3 14/11 1 4/3 6/11 1 2/3 8/11 =β. Ortonormálna báza podpriestoru S je potom tvorená stĺpcami matice β vynásobenými prevrátenými hodnotami druhých odmocnín príslušných diagonálnych prvkov matice G(β), teda vektormi , /3 = 1 2, 11 4/ / /11 14/11 = 1 6/ / Ortogonálne matice Videli sme, že z vyjadrenia súradníc vektorov v euklidovských priestoroch vzhľadom na ortonormálne bázy vyplývajú dodatočné výhody, aké nám bázy, ktoré nespĺňajú túto podmienku, neposkytujú. Bude preto zaujímavé preskúmať, ako vyzerajú matice prechodu medzi takýmito bázami. Odpoveď na naznačenú otázku je prekvapivo jednoduchá. Matica A R n n sanazývaortogonálna,akplatí A T A=I n, alebo,čojetoisté, A 1 = A T.Uvedommesi,žeprvápodmienkavlastnehovorí,že stĺpcematice Atvoriaortonormálnubázueuklidovskéhopriestoru R n soštandardným skalárnymsúčinom.potomtiežplatí A A T = I n,tedatakistoriadkymatice Atvoria ortonormálnubázuvr n.ztýchdôvodovbybolovaripriliehavejšienazývaťtakéto matice ortonormálnymi. Budeme sa však držať zaužívanej terminológie.
14 14 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA Veta. Nech V je n-rozmerný euklidovský priestor, α je ortonormálna a β je ľubovoľná báza priestoru V. Potom báza β je ortonormálna práve vtedy, keď matica prechodu P α,β zbázy βdobázy αjeortogonálna. Inak povedané, každá matica prechodu medzi ortonormálnymi bázami je ortogonálna, a tiež naopak, každá ortogonálna matica je maticou prechodu medzi ortonormálnymi bázami. Dôkaz. Označme α=(u 1,...,u n ), β=(v 1,...,v n )ap = P α,β.podľadefinície maticeprechoduzparagrafu7.5atvrdenia13.4.4(a)pre i nplatí s i (P)=(v i ) α = ( v i,u 1,..., v i,u n ) T, teda P= ( v i,u j ).Keďžebáza αjeortonormálna,podľatvrdenia13.4.4(b)má n n (i,k)-typrvokmatice P T Ptvar s i (P) T s k (P)= n v i,u j u j,v k = v i,v k. j=1 Tedamatica P jeortogonálna,t.j. P T P= I n,právevtedy,keď v i,v k =δ ik pre všetky i,k n,t.j.právevtedy,keď βjeortonormálnabáza. Ortogonálne matice možno tiež charakterizovať ako matice, násobenie ktorými zachovávava štandardný skalárny súčin resp. euklidovskú dĺžku vektorov Veta. Nech R n jestĺpcovýeuklidovskýpriestorsoštandardnýmskalárnym súčinomaa R n.potomnasledujúcepodmienkysúekvivalentné: (i) A je ortogonálna matica; (ii)prevšetky x,y R n platí A x,a y = x,y ; (iii)prevšetky x R n platí A x = x. Dôkaz. (i) (ii)nech Ajeortogonálnaax,y R n.potom A x,a y =(A x) T (A y)=x T (A T A ) y= x T I n y= x,y. (ii) (i)zpodmienky(ii)prevektory x=e i, y= e j,kde i,j n,vyplýva s i (A) T s j (A)= s i (A),s j (A) = A e i,a e j = e i,e j =δ ij, teda A T A=I n,čiže Ajeortogonálna. (ii) (iii)platítriviálnea(iii) (ii)jedôsledkomrovnosti x,y = 1 2( x+y 2 x 2 y 2). Podrobnejší popis štruktúry ortogonálnych matíc nám umožnia až niektoré ďalšie poznatky o spektrálnych vlastnostiach matíc a lineárnych zobrazení, ktoré si začneme zadovažovať počnúc kapitolou 18. Ortogonálne matice rádu n 2 však možno preskúmať celkom elementárnymi prostriedkami. Čísla ±1 sú zrejme jediné dve ortogonálne matice rozmeru 1 1. Prvý netriviálny prípadtedanastávapre n=2.
15 13. EUKLIDOVSKÉ PRIESTORY Veta. Nech A R 2 2.Potom Ajeortogonálnaprávevtedy,keďjematicou rotácie okolo počiatku, t. j. ( ) cos α sin α A= = R sin α cos α α pre nejaké α R, alebo maticou osovej súmernosti podľa osi prechádzajúcej počiatkom,t.j. ( ) cos2β sin2β A= = S sin2β cos2β β prenejaké β R. Dôkaz. Nech A= ( ) a b.potom c d ( ) ( ) A T a c a b A= = b d c d ( ) a 2 + c 2 ab+cd ba+dc b 2 + d 2, tedapodmienka A T A=I 2,jeekvivalentnásrovnosťami a 2 + c 2 =1, ab+cd=0, b 2 + d 2 =1. Prváznichjeekvivalentnásexistenciou α Rtakého,že a=cos α, c=sinα,atretia sexistenciou β Rtakého,že b=sinβ, d=cos β.podľadruhejrovnicemusíprene platiť cos αsinβ+sinαcos β=sin(α+β)=0, t.j. α+β = kπ,kde k Z.Pre kpárneztohodostávame b=sinβ = sin α, d=cos β=cos α,teda Amátvar ( ) cos α sin α A= = R sinα cos α α. Pre knepárnemáme b=sin β=sin α, d=cos β= cos α,čovedienamaticutvaru ( ) cos α sin α A= = S sin α cos α α/2. Substitúciou(teraz už iného) β = α/2 dostávame tvar uvedený v znení vety.
x x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότεραVektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich
Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:
Διαβάστε περισσότεραMatematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραLineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus
1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových
Διαβάστε περισσότεραÚvod 2 Predhovor... 2 Sylaby a literatúra... 2 Označenia... 2
Obsah Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Označenia Euklidovské vektorové priestory 3 Skalárny súčin 3 Gram-Schmidtov ortogonalizačný proces 8 Kvadratické formy 6 Definícia a základné vlastnosti 6 Kanonický
Διαβάστε περισσότερα1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia... 3
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 3 1.3 Základné označenia................................. 3 2 Množiny a zobrazenia
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραVLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b
VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený
Διαβάστε περισσότερα(IP3) (f, g) = (g, f) (symetria), (IP4) (f, f) > 0 pre f 0 (kladná definitnosť). Z podmienok (IP1) (IP4) sa ľahko dokážu rovnosti:
Hilbertove priestory Veľké množstvo aplikácií majú lineárne normované priestory, v ktorých norma je odvodená od skalárneho (vnútorného) súčinu, podobne ako v bežnom trojrozmernom euklidovskom priestore.
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότερα1. POLIA A VEKTOROVÉ PRIESTORY. V tejto kapitole zavedieme dva druhy algebraických štruktúr, ktoré budú hrať v celom
1. POLIA A VEKTOROVÉ PRIESTORY V tejto kapitole zavedieme dva druhy algebraických štruktúr, ktoré budú hrať v celom ďalšom výklade kľúčovú úlohu, a dokážeme o nich niekoľko jednoduchých základných tvrdení.
Διαβάστε περισσότεραUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vektorové prostory. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vektorové prostory študenti MFF 15. augusta 2008 1 9 Vektorové priestory Požiadavky Základné vlastnosti vektorových priestorov, podpriestorov generovania,
Διαβάστε περισσότεραLineárne kódy. Ján Karabáš. Kódovanie ZS 13/14 KM FPV UMB. J. Karabáš (FPV UMB) Lineárne kódy Kodo ZS 13/14 1 / 19
Lineárne kódy Ján Karabáš KM FPV UMB Kódovanie ZS 13/14 J. Karabáš (FPV UMB) Lineárne kódy Kodo ZS 13/14 1 / 19 Algebraické štruktúry Grupy Grupa je algebraická štruktúra G = (G;, 1, e), spolu s binárnou
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. Lineárna algebra. (ver )
Matematika 2 Lineárna algebra (ver.01.03.2011) 1 Úvod Prehľad. Tieto poznámky obsahujú podklady k prednáške Matematika 2 na špecializácii Aplikovaná informatika: jedná sa o 12 dvojhodinových prednášok
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I. Doc. RNDr. Michal Šabo, CSc
MATEMATIKA I Doc. RNDr. Michal Šabo, CSc 2 Obsah Predhovor 5 2 VYBRANÉ STATE Z ALGEBRY 2. Úvod................................... 2.2 Reálne n-rozmerné vektory...................... 2.3 Matice..................................
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie Fourierove rady
Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru
Διαβάστε περισσότεραBANACHOVE A HILBERTOVE PRIESTORY
BANACHOVE A HILBERTOVE PRIESTORY 1. ZÁKLADNÉ POJMY Normovaným lineárnym priestorom (NLP) nazývame lineárny (= vektorový) priestor X nad telesom IK, na ktorom je daná nezáporná reálna funkcia : X IR + (norma)
Διαβάστε περισσότερα1 Polynómy a racionálne funkcie Základy Polynómy Cvičenia Racionálne funkcie... 17
Obsah 1 Polynómy a racionálne funkcie 3 11 Základy 3 1 Polynómy 7 11 Cvičenia 13 13 Racionálne funkcie 17 131 Cvičenia 19 Lineárna algebra 3 1 Matice 3 11 Matice - základné vlastnosti 3 1 Cvičenia 6 Sústavy
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραG. Monoszová, Analytická geometria 2 - Kapitola III
text obsahuje znenia viet, ktoré budeme dokazovat na prednáškach text je doplnený aj o množstvo poznámok, ich ciel om je dopomôct študentom k lepšiemu pochopeniu pojmov aj súvislostí medzi nimi text je
Διαβάστε περισσότεραDeliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
Διαβάστε περισσότεραSúčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.
Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICKÁ OLYMPIÁDA
S MATEMATICÁ OLYMPIÁDA skmo.sk 2008/2009 58. ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO. Nech n je kladné celé číslo a a,..., a k (k 2) sú navzájom rôzne celé čísla z množiny {,..., n} také, že n
Διαβάστε περισσότεραVzorové príklady s riešeniami k lineárnej algebre a geometrie pre aplikovaných informatikov k písomke
Vzorové príklady s riešeniami k lineárnej algebre a geometrie pre aplikovaných informatikov k písomke 23.5.26 Príklad č. Riešte sústavu Bx = r (B r) 2 3 4 2 3 4 6 8 8 2 (B r) = 6 9 2 6 3 9 2 3 4 2 3 2
Διαβάστε περισσότεραPlanárne a rovinné grafy
Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότερα1-MAT-220 Algebra februára 2012
1-MAT-220 Algebra 1 12. februára 2012 Obsah 1 Grupy 3 1.1 Binárne operácie.................................. 3 1.2 Cayleyho veta.................................... 3 2 Faktorizácia 5 2.1 Relácie ekvivalencie
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICKÁ ANALÝZA 1
UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta Ústav matematických vied Božena Mihalíková, Ján Ohriska MATEMATICKÁ ANALÝZA Vysokoškolský učebný text Košice, 202 202 doc. RNDr. Božena
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραJán Buša Štefan Schrötter
Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραPodmienenost problému a stabilita algoritmu
Podmienenost problému a stabilita algoritmu Ing. Gabriel Okša, CSc. Matematický ústav Slovenská akadémia vied Bratislava Stavebná fakulta STU G. Okša: Podmienenost a stabilita 1/19 Obsah 1 Vektorové a
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy matematiky I
Prednáška č. 7 Numerické metódy matematiky I Riešenie sústav lineárnych rovníc ( pokračovanie ) Prednáška č. 7 OBSAH 1. Metóda singulárneho rozkladu (SVD) Úvod SVD štvorcovej matice SVD pre menej rovníc
Διαβάστε περισσότεραPageRank algoritmus. Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky
Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky PageRank algoritmus Bakalárska práca Študijný program: Informatika Študijný odbor: 9.2.1 Informatika Školiace pracovisko: Katedra
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότερα1 Úvod Sylabyaliteratúra Základnéoznačenia... 3
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Sylabyaliteratúra.... 3 1.2 Základnéoznačenia.... 3 2 Množiny a zobrazenia 4 2.1 Dôkazy... 4 2.1.1 Základnétypydôkazov... 4 2.1.2 Matematickáindukcia... 4 2.1.3 Drobnéradyakodokazovať....
Διαβάστε περισσότεραHľadanie, skúmanie a hodnotenie súvislosti medzi znakmi
Hľadanie, skúmanie a hodnotenie súvislosti medzi znakmi Typy súvislostí javov a vecí: nepodstatné - vonkajšia súvislosť nevyplýva z vnútornej potreby (javy spoločne vznikajú, majú zhodný priebeh, alebo
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry
Katedra matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická Univerzita v Košiciach Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová, Helena Myšková 005 RECENZOVALI: RNDr. Štefan Schrötter, CSc. RNDr.
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITA KOMENSKE HO V BRATISLAVE Fakulta matematiky, fyziky a informatiky. Dua lne c ı sla. Bakala rska pra ca. S tudijny odbor: Matematika
UNIVERZITA KOMENSKE HO V BRATISLAVE Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Dua lne c ı sla Bakala rska pra ca S tudijny odbor: Matematika Vedu ci bakala rskej pra ce: RNDr. Pavel Chalmoviansky, PhD.
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότεραAnalytická geometria
Analytická geometria Analytická geometria je oblasť matematiky, v ktorej sa študujú geometrické útvary a vzťahy medzi nimi pomocou ich analytických vyjadrení. Praktický význam analytického vyjadrenia je
Διαβάστε περισσότερα2. prednáška. Teória množín I. množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin
2. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Verzia: 27. 9. 2009 Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi
Διαβάστε περισσότερα15. Matlab Lineárna algebra
1 Portál pre odborné publikovanie ISSN 1338-0087 15. Matlab Lineárna algebra Blaho Michal MATLAB/Comsol 18.09.2009 Matlab pracuje s dátami vo forme vektorov a matíc. Základnej práci s vektormi a maticami
Διαβάστε περισσότεραMini minimaliz acia an BUˇ Koˇ sice 2011
Mini minimalizácia Ján BUŠA Košice 2011 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Noname, CSc. Doc. RNDr. Emanname, PhD. Prvé vydanie Za odbornú stránku učebného textu zodpovedá autor. Rukopis neprešiel redakčnou ani jazykovou
Διαβάστε περισσότεραPrirodzené čísla. Kardinálne čísla
Prirodzené čísla Doteraz sme sa vždy uspokojili s tým, že sme pod množinou prirodzených čísel rozumeli množinu N = { 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10,11,12, } Túto množinu sme chápali intuitívne a presne sme ju
Διαβάστε περισσότεραPrednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák
Prednáška 6 6.1. Fourierove rady Základná myšlienka: Nech x Haφ 1,φ 2,...,φ n,... je ortonormálny systém v H, dá sa tento prvok rozvinút do radu x=c 1 φ 1 + c 2 φ 2 +...,c n φ n +...? Ako nájdeme c i,
Διαβάστε περισσότεραRiešenie sústavy lineárnych rovníc. Priame metódy.
Riešenie sústavy lineárnych rovníc. Priame metódy. Ing. Gabriel Okša, CSc. Matematický ústav Slovenská akadémia vied Bratislava Stavebná fakulta STU G. Okša: Priame metódy 1/16 Obsah 1 Základy 2 Systémy
Διαβάστε περισσότεραReálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Διαβάστε περισσότερα3. prednáška. Komplexné čísla
3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet
Διαβάστε περισσότερα23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Διαβάστε περισσότερα2 Základy vektorového počtu
21 2 Základy vektorového počtu Fyzikálne veličíny sa dajú rozdeliť do dvoch skupín. Prvú skupinu fyzikálnych veličín tvoria tie, pre ktorých jednoznačné určenie postačí poznať veľkosť danej fyzikálnej
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότερα1. Trojuholník - definícia
1. Trojuholník - definícia Trojuholník ABC sa nazýva množina takých bodov, ktoré ležia súčasne v polrovinách ABC, BCA a CAB, kde body A, B, C sú body neležiace na jednej priamke.. Označenie základných
Διαβάστε περισσότεραp(α 1 ) = u 1. p(α n ) = u n. Definícia (modulárna reprezentácia polynómu). Zobrazenie
1. Rychlá Fourierová transformácia Budeme značiť teleso T a ω jeho prvok. Veta 1.1 (o interpolácií). Nech α 0, α 1,..., α n sú po dvoch rôzne prvky telesa T[x]. Potom pre každé u 0, u 1,..., u n T existuje
Διαβάστε περισσότεραALGEBRA. Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov
ALGEBRA Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov Definícia Množinu považujeme za určenú, ak vieme o ľubovoľnom objekte rozhodnúť, či je alebo nie je prvkom množiny. Množinu určujeme
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Základné pojmy a vzťahy Základné neurčité integrály Cvičenia Výsledky... 11
Obsah Neurčitý integrál 7. Základné pojmy a vzťahy.................................. 7.. Základné neurčité integrály............................. 9.. Cvičenia..........................................3
Διαβάστε περισσότεραSymbolická logika. Stanislav Krajči. Prírodovedecká fakulta
Symbolická logika Stanislav Krajči Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice 2008 Názov diela: Symbolická logika Autor: Doc. RNDr. Stanislav Krajči, PhD. Vydala: c UPJŠ Košice, 2008 Recenzovali: Doc. RNDr. Miroslav
Διαβάστε περισσότεραTeória pravdepodobnosti
2. Podmienená pravdepodobnosť Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 23. februára 2015 1 Pojem podmienenej pravdepodobnosti 2 Nezávislosť náhodných udalostí
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA. Martin Kalina
MATEMATIKA Martin Kalina Slovenská technická univerzita v Bratislave Všetky práva vyhradené. Nijaká časť textu nesmie byť použitá na ďalšie šírenie akoukoľvek formou bez predchádzajúceho súhlasu autorov
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότεραKATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE
H KATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE 0 Základné požiadavky zadávania VZT potrubia pre výrobu 1. Zadávanie do výroby v spoločnosti APIAGRA s.r.o. V digitálnej forme na tlačive F05-8.0_Rozpis_potrubia, zaslané mailom
Διαβάστε περισσότεραMetódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/28 Motivácia k metódam vol nej optimalizácie APLIKÁCIE p. 2/28 II 1. PRÍKLAD: Lineárna regresia - metóda najmenších štvorcov Na základe dostupných
Διαβάστε περισσότεραAFINNÉ TRANSFORMÁCIE
AFINNÉ TRANSFORMÁCIE Definícia0..Zobrazenie f: R n R m sanazývaafinné,ak zachováva kolinearitu(t.j. priamka sa zobrazí buď na priamku alebo na jeden bod), zachovávadeliacipomer(t.j.akprekolineárnebody
Διαβάστε περισσότεραFakulta matematiky, fyziky a informatiky Univerzita Komenského v Bratislave. dizertačná práca
Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Univerzita Komenského v Bratislave dizertačná práca jún 2008 Mgr. Peter Novotný Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Univerzita Komenského v Bratislave Katedra
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραPevné ložiská. Voľné ložiská
SUPPORTS D EXTREMITES DE PRECISION - SUPPORT UNIT FOR BALLSCREWS LOŽISKA PRE GULIČKOVÉ SKRUTKY A TRAPÉZOVÉ SKRUTKY Výber správnej podpory konca uličkovej skrutky či trapézovej skrutky je dôležité pre správnu
Διαβάστε περισσότερα7. Dokážte, že z každej nekonečnej množiny môžeme vydeliť spočítateľnú podmnožinu.
Teória množín To, že medzi množinami A, B existuje bijektívne zobrazenie, budeme symbolicky označovať A B alebo A B. Vtedy hovoríme, že množiny A, B sú ekvivalentné. Hovoríme tiež, že také množiny A, B
Διαβάστε περισσότεραObyčajné diferenciálne rovnice
(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú
Διαβάστε περισσότεραZÁPISKY Z MATEMATICKEJ ANALÝZY 1
UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta Ústav matematických vied 4 3 4 n 6 4 3 2 3 2 4 3 6 5 6 7 3 4 2 3 3/5 /2 2/5 /3 /4 /5 /0 d 0/ /0 /5 /4 /3 2/5 6 3 2 3 2 6 5 6 7 3 4 2
Διαβάστε περισσότεραFunkcie komplexnej premennej
(prezentácia k prednáške FKP/10) doc. RNDr., PhD. 1 1 ondrej.hutnik@upjs.sk umv.science.upjs.sk/analyza Prednáška 1 16. februára 2016 Podmienky Obsah nepovinná účast (!prelínanie prednášok a cvičení!)
Διαβάστε περισσότεραSK skmo.sk. 2009/ ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie A
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/2010 59. ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie A 1. V obore reálnych čísel riešte sústavu rovníc x2 y = z 1, y2 z = x 1, z2 x = y 1. (Radek Horenský) Riešenie.
Διαβάστε περισσότεραDefinícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Διαβάστε περισσότεραmnožiny F G = {t1, t2,, tn} T a pre ľubovoľný valec C so základňou B1, B2,, Bn v bodoch t1, t2,, tn, takou, že pre t G - F je Bt = E, platí PF(C) = PG
STOCHASTICKÝ PROCES Definícia stochastického procesu Definícia 1 Nech (Ω, F, P) je pravdepodobnostný priestor a nech T je podmnožina R. Pre každé t T nech X(t, ω) je náhodná premenná definovaná na pravdepodobnostnom
Διαβάστε περισσότερα1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2
1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2 Rozdiel LMT medzi dvoma miestami sa rovná rozdielu ich zemepisných dĺžok. Pre prevod miestnych časov platí, že
Διαβάστε περισσότερα,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,
Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I ZBIERKA ÚLOH
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STAVEBNÁ FAKULTA ÚSTAV TECHNOLÓGIÍ, EKONOMIKY A MANAŽMENTU V STAVEBNÍCTVE KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY RNDr. Pavol PURCZ, PhD. Mgr. Adriana ŠUGÁROVÁ MATEMATIKA I ZBIERKA
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότεραviacrozmerných a nekonečnorozmerných priestoroch. A ako nasvedčuje jej názov, pôjde o rovnice nelineárne.
Nelineárna analýza 1. Úvod Na začiatok by bolo načim ako-tak vymedzit, čím sa nelineárna analýza zaoberá. Čitatel by už mal však mat dostatok skúseností, aby vedel, že je to dost t ažké u l ubovol nej
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότερα