MATEMATIKA 1 Prvi pismeni kolokvijum, 29.11.2014 Grupa 6 Rexea zadataka i rezultati Prof Dragan ori
MATEMATIKA 1 1. Kolokvijum, novembar 2014 - Grupa 6 Dragan ori 1. Neka je M = { (x, y) : x, y R, x 2 7y 2 0 } i neka je operacija definisana sa (x, y) (a, b) = (xa + 7yb, xb + ya) za sve (x, y), (a, b) M. Ispitati da li je (M, ) grupa. Da li je data operacija komutativna? Rexee. Dokaimo da je (M, ) Abelova grupa. 1. Operacija je zatvorena u skupu M. Ako je (x, y) (a, b) = (u, v), tada iz a, b, x, y R sledi da je u = xa + 7yb R i v = xb + ya R. Treba jox proveriti da li je u 2 7v 2 0 za (x, y) M i (a, b) M. Kako je u 2 7v 2 = (xa + 7yb) 2 7(xb + ya) 2 = x 2 a 2 + 14xayb + 7 2 y 2 b 2 7x 2 b 2 14xbya 7y 2 a 2 = x 2 (a 2 7b 2 ) + 7y 2 (7b 2 a 2 ) = (a 2 7b 2 )(x 2 7y 2 ) i kako je a 2 7b 2 0 i x 2 7y 2 0, to je i u 2 7v 2 0. Prema tome, (u, v) M. 2. Operacija je u skupu M komutativna jer je (a, b) (x, y) = (ax + 7by, ay + bx) = (u, v). 3. Operacija je asocijativna. Za (x, y), (a, b), (c, d) M je gde je [(x, y) (a, b)] (c, d) = (u, v) (c, d) = (p, q), p = uc + 7vd = (ax + 7yb)c + 7(xb + ya)d = axc + 7ybc + 7xbd + 7yad, q = ud + vc = (ax + 7yb)d + (xb + ya)c = axd + 7ybd + xbc + yac. S druge strane, imamo da je gde je (x, y) [(a, b) (c, d)] = (x, y) (s, t) = (g, h), g = xs + 7yt = x(ac + 7bd) + 7y(ad + bc) = xac + 7bdx + 7yad + 7ybc, h = xt + ys = x(ad + bc) + y(ac + 7bd) = xad + xbc + yac + 7ybd. Kako je p = g i q = h, operacija je asocijativna. 4. Jediniqni element je (1, 0) jer je 1, 0 R, 1 2 7 0 2 i vai za svaki element (x, y) M. (x, y) (1, 0) = (1, 0) = (x, y)
5. Svaki element (x, y) skupa M ima svoj inverzni element. Iz jednakosti (x, y) (a, b) = (1, 0) sledi da je ax + 7yb = 1 i xb + ya = 0. Determinanta ovog sistema (po a i b) je x y pa sistem ima jedinstveno rexee a = Kako je a, b R i a 2 7b 2 = 7y x = x2 7y 2 0, x x 2 7y 2, b = y x 2 7y 2. 1 x 2 7y 2 0, to je (a, b) M. Naravno, zbog komutativnosti vai i (a, b) (x, y) = (1, 0). Prema tome, element (a, b) je inverzni za element (x, y). Na osnovu (1)-(5) sledi da je struktura (M, ) Abelova grupa. 2. U zavisnosti od vrednosti parametara p i q odrediti rang matrice 3 3 2 1 5 A = p + 3 10 1 1 6. p 12 1 pq + 13 4 q + 19. 1 5 1 6 3 1 5 10 1 6 = 13q + 26, 1 4 q + 19 Rexee: Neka je r rang date matrice. Minor r 2. Kako je to je r = 3 za q 2. Za q = 2 imamo da je je razliqit od nule, pa je A = 3 3 2 1 5 p + 3 10 1 1 6 3 3 2 1 5 p 13 1 0 1 p 12 1 2p + 13 4 21 p 13 2p + 5 0 1 3 3 2 1 5 p 13 1 0 1 1 3 2 3 5 0 13 1 p 1. 0 0 2p + 6 0 0 0 0 2p + 6 0 0 Iz posledne matrice vidimo da je r = 3 za 2p + 6 0 i r = 2 za p = 3. Prema tome, r = 2 za (p, q) = ( 3, 2) i r = 3 za (p, q) ( 3, 2). 3. U zavisnosti od vrednosti realnog parametra a diskutovati i rexiti sistem 2x + (a + 1)y + 2(a + 1)z = 1 2ax + 2y + (3a + 1)z = 1 2ax + 2ay + (3a + 1)z = a. Rexee: Neka je D determinanta matrice datog sistema. Kako je 2 2a + 2 a + 1 D = 2a 2 3a + 1 2a 2a 3a + 2 = 2 a + 1 2a + 2 2a 2 3a + 1 = (2a 2) 2 2a + 2 0 2a 2 0 2a 3a + 1 = 4(a 1)2 (2a + 1), postoje tri sluqaja.
( Dx (1) Za m { 1/2, 1} sistem ima jedinstveno rexee (x, y, z) = D, D y D, D ) z, gde je D 1 a + 1 2a + 2 D x = 1 2 3a + 1 a 2a 3a + 1 = 1 a + 1 2a + 2 1 2 3a + 1 a 1 2a 2 0 1 a 1 2a + 2 = 1 0 3a + 1 = (a 1) a 1 2a + 2 a 1 0 0 0 3a + 2 = (a 1)2 (3a + 1), 2 1 2a + 2 D y = 2a 1 3a + 1 2a a 3a + 1 = 2 1 2a + 2 2a 1 3a + 1 = (a 1) 2 2a + 2 0 a 1 0 2a 3a + 1 = 2(a 1)2 (2a + 1), 2 a + 1 1 D z = 2a 2 1 2a 2a a = 2 a + 1 1 2a 2 1 0 2a 2 a 1 2 a 1 1 = 2a 0 1 = (a 1) 2 a 1 0 0 a 1 2a 0 = 2a(a 1)2. Dakle, u ovom sluqaju je (x, y, z) = ( 1 4 3a + 1 2a + 1, 1 ) 2, 1 2 a. 2a + 1 (2) Za a = 1/2 dati sistem nema rexea jer je D = 0 i D z = 9/4 0. (3) Za a = 1 dati sistem ekvivalentan je jednaqini 2x + 2y + 4z = 1, pa sistem ima dvoparametarski skup rexea. Dakle, u ovom sluqaju, (x, y, z) {(1/2 α 2β, α, β), α, β R}. 4. U vektorskom prostoru V = (R 3, R, +, ) dati su vektori a = (1, 2, 3), b = (1, 1, 2), c = (0, 2, 6), d = (1, 1, 1). a) Dokazati da vektori a, b i c qine bazu vektorskog prostora V. b) Izraziti vektor d kao linearnu kombinaciju vektora a, b i c. Rexee: a) Poxto je dim(v ) = 3, dovo no je dokazati da su vektori a, b i c linearno nezavisni. Iz jednakosti αa + βb + γc = 0 dobijamo homogen sistem α + β = 0, 2α + β + 2γ = 0, 3α 2β 6γ = 0 koji ima trivijalno rexee ako i samo ako je determinanta D matrice sistema razliqita od nule. Kako je dati vektori su linearno nezavisni. 1 1 0 D = 2 1 2 3 2 6 = 1 0 0 2 1 2 3 5 6 = 1 2 5 6 = 16 0, Prema tome, vektori a, b i c qine bazu vektorskog prostora V.
b) Iz jednakosti imamo sistem d = (1, 1, 1) = x 1 a + x 2 b + x 3 c = (x 1, 2x 1, 3x 1 ) + (x 2, x 2, 2x 2 ) + (0, 2x 3, 6x 3 ) = (x 1 + x 2, 2x 1 + x 2 + 2x 3, 3x 1 2x 2 6x 3 ) x 1 + x 2 = 1, 2x 1 + x 2 + 2x 3 = 1, 3x 1 2x 2 6x 3 = 1. Rexavaem ovog sistema (na primer, Kramerovim pravilom - matrica sistema je matrica homogenog sistema iz a)) dobijamo x 1 = 3 8, x 2 = 11 8 i x 3 = 13 16. Prema tome, d = 3 8 a + 11 8 b 13 16 c. Uvid u radove Uvid u radove bie u kab.317 (ako jox uvek bude postojao) u sledeim terminima: Za studente sa vixe od 9 poena - 9.12.2014 u 12:20 Za studente sa mae od 10 poena - 11.12.2014 u 12:20 Pre dolaska na uvid treba deta no prouqiti priloena rexea zadataka i pripremiti eventualna pitaa. Prof Dragan ori
РБ. Презиме Име Бр инд. Poeni 1 Поповић Ђорђе 45/14 19 2 Пејица Ана 4/14 18 3 Пејић Никола 79/14 17 4 Радуловић Игор 508/14 17 5 Савковић Ирена 26/14 17 6 Миловановић Лука 104/14 16 7 Ракуљ Кристина 512/14 16 8 Соломка Соња 201/14 16 9 Петровић Милица 593/14 15 10 Поповић Милош 599/14 15 11 Савић Вук 570/14 15 12 Стојановић Вања 17/14 15 13 Микашевић Александра 40/14 14 14 Миљковић Марија 577/14 14 15 Петковић Нина 68/14 14 16 Радојичић Сандра 140/14 14 17 Ристић Бојана 145/14 14 18 Ставрић Лазар 106/14 14 19 Тојчић Иван 846/11 14 20 Филиповић Филип 64/14 14 21 Матић Јован 124/14 13 22 Недељковић Урош 234/14 13 23 Стефановић Ана 502/14 13 24 Терзић Јована 36/14 13 25 Матић Срђан 222/14 12 26 Митровић Дарко 113/13 12 27 Николић Јелена 108/14 12 28 Опачић Немања 595/14 12 29 Сарић Александар 645/14 12 30 Стојадиновић Милица 58/14 12 31 Стојковић Филип 256/14 12 32 Тодосијевић Александра 213/14 12 33 Цветановић Наташа 183/14 12 34 Чолић Дејан 545/14 12 35 Матић Данијела 167/14 11 36 Милинковић Слободан 505/14 11 37 Митковић Ружица 822/11 11 38 Моровић Петар 763/13 11
39 Недељковић Лазар 146/14 11 40 Николић Ања 175/14 11 41 Плескоњић Оливера 386/13 11 42 Прокоповић Милан 507/13 11 43 Радовановић Милица 203/14 11 44 Станишић Наталија 765/14 11 45 Стојић Милош 759/14 11 46 Тешић Слађана 750/13 11 47 Милановић Виолета 629/14 10 48 Минић Бојан 158/14 10 49 Николић Милица 631/14 10 50 Срејић Сандра 711/14 10 51 Тодић Сава 569/14 10 52 Цветковић Ана 445/14 10 53 Чупић Емилија 395/14 10 54 Марковић Ана 586/14 9 55 Милошевић Софија 523/14 9 56 Николић Катарина 519/13 9 57 Радић Катарина 606/13 9 58 Радовић Сара 634/14 9 59 Станковић Анђела 118/14 9 60 Филиповић Ивана 685/14 9 61 Филић Милена 249/14 9 62 Црнчевић Петар 19/14 9 63 Миковић Дарко 137/13 8 64 Милосављевић Јелена 712/14 8 65 Михајловић Јована 162/13 8 66 Михајловић Никола 563/14 8 67 Младеновић Јелена 370/11 8 68 Младеновић Лазар 366/12 8 69 Младеновић Марија 420/14 8 70 Николић Срђан 444/14 8 71 Стефановић Александар 641/14 8 72 Стефановић Иван 270/12 8 73 Цветковић Милош 248/14 8 74 Чубрак Катарина 532/14 8 75 Огњеновић Хана 421/14 7 76 Петровић Софија 601/14 7 77 Узур Милица 787/14 7
78 Мартиновић Сара 603/14 6 79 Мићуновић Маша 430/14 6 80 Пачов Катарина 277/13 6 81 Пејновић Милана 832/14 6 82 Пешић Никола 654/14 6 83 Радовић Милица 760/14 6 84 Ташин Филип 213/13 6 85 Мијатовић Јована 469/13 5 86 Милићевић Никола 219/14 5 87 Новчић Ивана 269/11 5 88 Петровић Мирослава 437/14 5 89 Репановић Михајло 362/14 5 90 Ристић Марија 96/14 5 91 Савић Катарина 258/14 5 92 Тошић Стеван 676/11 5 93 Цветановић Петар 753/14 5 94 Милићевић Миња 859/14 4 95 Миловановић Матија 240/14 4 96 Минчић Душан 581/14 4 97 Ницевић Ена 380/14 4 98 Радосављевић Вукан 445/13 4 99 Цветковић Јована 803/14 4 100 Чаровић Бранислав 260/14 4 101 Милановић Александар 499/13 3 102 Остојић Маја 789/13 3 103 Пепић Марко 269/14 3 104 Рајић Владимир 225/14 3 105 Стојановић Милица 259/14 3 106 Чоловић Јелена 905/14 3 107 Николић Срећко 455/14 2 108 Пешут Милена 839/14 1 109 Радојковић Јелена 452/13 1 110 Станишић Алекса 409/14 1 111 Томић Ана 844/13 1 112 Цветановић Немања 830/14 1 113 Миленковић Андрија 437/12 0